Ondas_07de08w

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ONDAS 
AULA 06/08 
Prof. Ronai Lisboa 
ronailsb@gmail.com 
 Objetivos 
 
 
 
 Distinguir as qualidades no som: a intensidade, a altura e o timbre; 
 
 Aplicar a síntese e análise de Fourier ao estudo de ondas. 
ONDAS SONORAS 
 A energia média 
 
 
 
 A potência média 
 
 
 A intensidade da onda sonora é def inida como a razão 
 
 e 
 
 A intensidade é proporcional ao quadrado da 
 amplitude (pressão ou deslocamento) 
 
 
 
AS QUALIDADES DO SOM MUSICAL: 
 A INTENSIDADE 
𝐼 =
< 𝑃(𝑥, 𝑡) >
Á𝑟𝑒𝑎
=
1
2
 𝜔 𝑠0 𝑝0 
𝐼 =
𝟏
𝟐
 𝒗 𝝆𝟎 𝝎
𝟐 𝒔𝟎
𝟐 𝐼 =
1
2
𝒑𝟎
𝟐
𝜌0𝑣
 
< 𝑃 𝑥, 𝑡 > =
< 𝐸 >
Δ𝑡
 
< 𝐸 > = < 𝜂 > Δ𝑉 ⟹ < 𝐸 > = < 𝜂 > 𝐴 𝑣 Δ𝑡 
Δ𝑉 = 𝐴 Δ𝑟 = 𝐴 𝑣Δ𝑡 
< 𝐸 >
𝐴 Δ𝑡
= < 𝜼 > 𝑣 
ou 
𝒑𝟎 = 𝝆𝟎𝒗 𝝎 𝒔𝟎 
 O limiar de audibil idade corresponde ao som mais fraco que pode 
ser ouvido ( pode variar de ser para ser ). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O limiar da dor corresponde ao som mais alto que pode ser ouvido. 
AS QUALIDADES DO SOM MUSICAL: 
 A INTENSIDADE 
𝐼0 =
1
2
𝑝0
2
𝜌0𝑣
= 𝟏𝟎−𝟏𝟐𝑊/𝑚2 
𝑝0 = 3𝑥10
−5𝑁/𝑚2 
𝑣 = 340 𝑚/𝑠 
𝜌0 = 1,3 𝐾𝑔/𝑚
3 
𝐼0 =
1
2
 𝜌0 𝜔
2 𝑠0
2 𝑣 = 𝟏𝟎−𝟏𝟐𝑊/𝑚2 
𝝎 = 𝟐𝝅𝒙𝟏𝟎𝟑 𝒓𝒂𝒅/𝒔 
𝑠0 = 1,1𝑥10
−11 𝑚 
𝐼 = 𝟏 𝑊/𝑚2~ 1012 𝐼0 
𝑝 = 30 𝑁/𝑚2 ≪ 𝑝𝑎𝑡𝑚 
𝑠 = 1,1𝑥10−5 𝑚 
 
Então, no 
interior do 
ouvido humano: 
 
𝑠
𝑠0 ~ 10
6 
𝐼
𝐼0
 ~ 1012 
 O nível sonoro 
 
 
 
 O decibel é um número adimensional como o radiano ! 
 
 Nessa escala: 
 O limiar de audibilidade é definida como 𝐼 = 𝐼0 
 
 O limiar da dor é definida como 𝐼 = 𝐼𝑚𝑎𝑥 
 
 Ondas sonoras audíveis correspondem aos intervalos 
AS QUALIDADES DO SOM MUSICAL: 
 O NÍVEL SONORO 
𝛽 = 10 log
𝐼
𝐼0
𝑑𝐵 1𝑑𝐵 = 0,1 𝑏𝑒𝑙 
⟶ 𝛽 = 0 
⟶ 𝛽 = 120 
20𝐻𝑧 < 𝑓 < 20.000𝐻𝑧 
17 𝑚 1,7 𝑐𝑚 > 𝜆 > 
Som 
forte 
Som 
fraco 
AS QUALIDADES DO SOM MUSICAL: 
 O NÍVEL SONORO 
Nível de intensidade versus frequência 
𝛽 = 40 ⟶ 𝐼 = 104 aumentou em 4 ordens de grandeza 
 𝛽 aumenta em 10dB toda vez que a intensidade sonora aumenta de uma ordem de grandeza 
Limiar da audiação 
Farfalhar de folhas 
Conversa 
Show de rock 
Limiar da dor 
Turbina a jato 
 Se um protetor de ouvido diminui o nível sonoro em 31dB, 
qual é a razão entre a intensidade f inal 𝐼𝑓 e a intensidade 
inicial 𝐼𝑓 . 
AS QUALIDADES DO SOM MUSICAL: 
 O NÍVEL SONORO 
𝛽𝑖 = 10 log
𝐼𝑖
𝐼0
𝑑𝐵 𝛽𝑓 = 10 log
𝐼𝑓
𝐼0
𝑑𝐵 
𝛽𝑓− 𝛽𝑖 = 10 log
𝐼𝑓
𝐼0
− log
𝐼𝑓
𝐼0
𝑑𝐵 𝛽𝑓 − 𝛽𝑖 = 10 log
𝐼𝑓
𝐼𝑖
𝑑𝐵 
−31𝑑𝐵 = 10 log
𝐼𝑓
𝐼𝑖
𝑑𝐵 −
31𝑑𝐵
10𝑑𝐵
= log
𝐼𝑓
𝐼𝑖
 
10−3,1 =
𝐼𝑓
𝐼𝑖
 
𝐼𝑓
𝐼𝑖
~0,001 -31dB reduz em três ordens de grandeza 
AS QUALIDADES DO SOM MUSICAL: 
A ALTURA 
 DREAM ON – As cordas vocais do Steven Tyler são capazes de 
produzir f requências de graves as agudas sem muito esforço. 
 
𝑓𝑛 = 𝑛
1
2𝐿
𝐹𝑇
𝜇
 
LINK 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Steven_Tyler
http://pt.wikipedia.org/wiki/Steven_Tyler
http://www.youtube.com/watch?v=RUh6GSfMr0c
 A altura de um som está associada aos sons: 
 
 GRAVES – Baixa frequência (som baixo); 
 
 AGUDOS – Alta frequência (som alto). 
 
 A escala cromática temperada 
AS QUALIDADES DO SOM MUSICAL: 
 A ALTURA 
# 
# 
# 
# # 
1 oitava: 𝑓2 = 2𝑓1 
A oitava é dividida em 12 intervalos (semitons temperados) 𝑖𝟏𝟐 = 2 ⟶ 𝑖 = 1,0595 
GRAVES AGUDOS 
 A escala cromática 
AS QUALIDADES DO SOM MUSICAL: 
A ALTURA 
1,0000 
1,0595 
1,1225 
1,1892 
1,2600 
1,3348 
1,4142 
1,4983 
1,5874 
1,6818 
1,7818 
1,8877 
𝑖12 = 2 ⟶ 𝑖 = 1,0595 
 Mickey Mouse & Friends - The B and Concert ( 1935) 
AS QUALIDADES DO SOM MUSICAL: 
O TIMBRE 
O ouvido humano é capaz 
de distinguir diversos 
instrumentos, mesmo se 
tocassem a mesma nota 
e com a mesma 
intensidade e altura. 
 Um som com a mesma intensidade e altura pode diferir pelo t imbre. 
 
 Percebe-se uma mesma nota (𝑓1 = 440𝐻𝑧 ) emit ida por diferentes 
instrumentos. 
 
 
 
 
 
 
 O s p e r f is d as o nd as s ão d i f erentes , m as e l as g u ar dam o m e s m o p e r í od o. 
AS QUALIDADES DO SOM MUSICAL: 
O TIMBRE 
Oboé Clarineta Sax Alto Trumpete 
Diapasão Clarineta Oboé 
 O diapasão produz um som com um único harmônico fundamental: 
 
 f requência fundamental 
 
 modo normal 
 
 Um instrumento musical não vibra só na frequência fundamental ; 
 
 A vibração é uma superposição de vários harmônicos permitidos: 
 
 
 
 A intensidade dos harmônicos dominantes depende do instrumento 
e de como ele é tocado. 
 
AS QUALIDADES DO SOM MUSICAL: 
O TIMBRE 
𝑓1 = 400𝐻𝑧 
𝑦1 𝑥, 𝑡 = 𝐴1𝑆𝑒𝑛 𝑘1𝑥 𝐶𝑜𝑠(2𝜋𝑓1𝑡 − 𝛿1) 
𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝐴𝑛𝑆𝑒𝑛 𝑘𝑛𝑥 𝐶𝑜𝑠(2𝜋𝑓𝑛𝑡 − 𝛿𝑛)
𝑛
 
AS QUALIDADES DO SOM MUSICAL: 
O TIMBRE 
 A análise de Fourier ou análise harmônica; 
 Verifica as intensidades relativas dos harmônicos dominantes; 
 O ouvido humano é capaz de fazer uma análise de Fourier 
 Tecnologicamente o SAMPLER 
 Grava os timbres instrumentais ; 
 Digitaliza as frequências ; 
 Exemplo: 
 Gravar todo intervalo de frequências de um instrumento; 
 Transformar as frequências em códigos binários; 
 Associar as teclas do teclado do compudator à cada código binário; 
 Temos uma amostra de sons timbrados daquele instrumento (samples); 
AS QUALIDADES DO SOM MUSICAL: 
O TIMBRE 
 A síntese de Fourier ou síntese harmônica 
 Constrói uma onda periódica a partir de seus componentes 
harmônicos dominantes; 
 
 Quanto mais harmônicos permitidos entram na soma melhor será a 
aproximação da forma de onda real que se deseja obter. 
 
AS QUALIDADES DO SOM MUSICAL: 
O TIMBRE 
A onda quadrada e os três primeiros 
harmônicos ímpares 
A soma dos três primeiros harmônicos ímpares 
aproxima-se da onda quadrada desejada. 
Mathematica 
ntbs/FourierSynthesisForSelectedWaveforms.nbp
 Os sintetizadores 
 
 Os instrumentos possuem uma infinidade de harmônicos; 
 
 O sintetizador produz eletronicamente o timbre de um instrumento 
somando (síntese) um grande número de harmônicos, os amplifica e 
os ajusta para dar uma maior ou menor intensidade (amplitude) as 
frequências dominantes daquele instrumento. 
 
 Temos o som sintetizado. 
AS QUALIDADES DO SOM MUSICAL: 
O TIMBRE 
 Série de Fourier: 
 
 Qualquer função periódica do tempo pode ser representada por uma 
série de Fourier. 
 
 A série de Fourier contém a frequência fundamental e diferentes 
proporções dos harmônicos permitidos no instrumento. 
 
 As condições iniciais (𝑡 = 0) determinam os coeficientes 𝐴𝑛 e as fases , 
𝛿𝑛 , e assim o quanto os harmônicos superiores contribuem para o som 
produzido. 
 
 
 
 Essas diferentes proporções para 𝐴𝑛 e 𝛿𝑛 definem o timbre do 
instrumento. 
 
 
 
 
 
AS QUALIDADES DO SOM MUSICAL: 
O TIMBRE 
𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝐴𝑛𝑆𝑒𝑛 𝑘𝑛𝑥 𝐶𝑜𝑠(2𝜋𝑓𝑛𝑡 − 𝛿𝑛)
𝑛
 𝐴𝑛 =
2
𝐿
 𝑓 𝑥 𝑆𝑒𝑛(𝑘𝑛𝑥)
𝐿
0
𝑑𝑥 
Mathematica 
ntbs/SoundsOfWaveforms.nbp
 Uma corda de violão dedilhada no centro. Quando l iberada, sua 
vibração é uma superposição l inear de ondas estacionárias. A 
f igura mostra a função posição inicial f (x ) que é posta em 
movimento movendo-se seu ponto médio x = L/2 para o lado de 
uma distância x = ½ b L e dái soltando-a do repouso no insntate t = 
0. O problema de contorno é 
 
 
 
 
Encontre y(x ,t ) 
EXEMPLO 
𝑦𝑡𝑡 = 𝑎
2𝑦𝑥𝑥 0 < 𝑥 < 𝐿 ; 𝑡 > 0 
𝑦 0, 𝑡 = 𝑦 𝐿, 𝑡 = 0 𝑐. 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 
𝑦 𝑥, 0 = 𝑓 𝑥 𝑐. 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 1 
𝑦𝑡 𝑥, 0 = 0 𝑐. 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 2 
𝑓 𝑥 = 
𝑏𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿/2
𝑏 𝐿 − 𝑥 , 
𝐿
2
≤ 𝑥 ≤ 𝐿 
 
EXEMPLO