Introducao a Fototriangulacao

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11-
JOAO BOSCO LUGNANI
PROFESSOR TITULAR DO DEPARTAMENTO DE GEOCIENCIAS DA
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANA
Introdu~ao
Fototriangula~ao
,
a
Lugnani, Joao Bosco
Introdur;ao a fototriangular;ao/Joao
Curitiba, 1987.
134 p. : il.
~
Bosco Lugna.ni. -
1. Fotogrametria. I. Titulo.
COD - 526.982
CDU - 528.73 CURITIBA
1987
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CAPITULO 1 -Introdu~ao
1.1. Considera~oes gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 01
1.2. Conceitos da fototriangula~ao 01
1.2.1. Conceito classico .......................•............ , 02
1.2.2. Conceito moderno . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 02
1.3. Objetivo............................................ 02
1.4. Considera~Oes historic as . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . .. 03
1.5. Classifica~io 03
1.5.1. Com respeito ao espa~o objeto envolvido , 03
1.5.2. Com respeito ao modo de processamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 04
1.5.3. Com respeito ao tipo de processamento . . . . .. . .. . . . . . . . . . . . . . .. 04
1.5.4. Com respeito ao metodo de ajustamento , 04
1.5.5. Com respeito'a menor unidade utilizada no ajustamento . . . . . . . . . . . . .. 04
1.5.6. Com respeito ao procedirnento utilizado na adequalrio:
Realidade fisica / modelo matematico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 05
1.5.7. Com respeito aos recursos de calibra~io ........•....•......... , 05
1.5.8. Com respeito ao modele matematico ..............•.......... 06
CAPITULO 2 - Fototriangula~o AnalOgica
2.1. Introdu~io }.............................. 09
2.2. Instrumentos fototrianguladores - classificalrao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 09
2.2.1. Quantoaonfunerodeprojetores ................•........... 10
2.2.2. Quanto ao sistema de proje~ao .................•.......... , 10
2.3. Procedirnentos em fototriangulalrao analogica 16
2.3.1. Etapa de prepara~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . .. 17
2.3.2. Coleta de dados ' .................•.. ; . . . . . . .. 17
2.3.3. Ajustamento.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 28
2.3.4. AnaIise de resultados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . .. 30
CAPITULO 3 - Fototriangula~ por M{)delos lndependentes semi-AnaIitica
ou Analitica
3.1. Consideralroesintrodutorias ,.... 31
3.2. Forma\;ao da faixa a partir de modelos independentes , 31
3.2.1. Etapas da forma\;ao da faixa . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . •. 33
3.2.2. Determina\;ao do centro perspectivo . . . . . . . • . . . . . . • . . . . . . . . . .. 35
3.2.2.1. Considera\;OeS gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • • . . . . . . . . .. 35
3.2.2.2. Modelo matematico para 0 metodo numerico do!J.Z 36
3.2.2.3. Observa\;oes ....••.•..........................•.. , 39
3.2.2.4. 0 metodo da resse\;ao espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 40
3.2.3. Transforma\;Oes de concatena\;ao de modelos em faixa , , 40
3.2.3.1. Modelo isogonal corn sete parametros , 42
3.2.3.2. Modelo af"un 44
3.2.3.3. Matriz de Rodrigues '.' ..•.. , 45
3.2.4. Ajustamento da faixa 51
3.3. Fototriangula\;ao por modelos independentes em bloco . . . . . . . . . . . . . . . .. 51
3.3.1. Introdu\;ao conceitual . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. 51
3.3.2. Modelo matematico , 55
3.3.3. Aspectos numericos , 58
3.3.3.1. Padroes de A e de N • . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 58
3.3.3.2. Metodos alternativos de solu\;ao ~ . . . . . . . . . . . 59
3.3.4. Depura\;ao de dados e qualidade dosresuItados ~." '." , 71
CAPITULO 4 - Fototriangula~io Analitiea , 73
4.1. In trodu~iio . . . . . . . . . . : . . . . . . . . ., 75
4.2. As equa~Oes de colinearidade .. '. . . . . . . . . . . . . . , 79
4.3. Aplica~Oesda equa,iio de colineandade , 79
4.3.1. Ressefliioespacial , 81
4 3 2 Orientafliio relativa t't "d r 83
4'3:3: Detenninaflao do centro perspectivo de urn instrumento res I UI 0 . 83
4\4. Proje~ao analitica ::::: .. ::: 85
4 3 5 Retifica<;iio de imagens 'd' : . . . . . . . . . . . . .. 85
4'.4: . FototrianguIa,iio com pre.re!1~arnento das coordenadas a unagem . . . . . . . . .. 86
4.4.1. Corre<;ao de enos sistematlcos : : , 87
4.4.1.1. Correfloes de deforma<;ao d? fl1me . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 87
4.4.1.2. Transla<;aoparaopo~toprmclpal :: .. , 88
4.4.1.3. Corre<;iiodas distor<;oes das \entes _ : : . . . . . . . . . 90
4.4.1.4. Correfloes das distor~5es da refra<;ao atmosfenca. . . . . . . . . . . . . . . .. 92
4.4.2. Tratarnentomatematico _ ~ :: 93
4.5. Fototriangula,iio com pararnetriza,ao de dlstor,oes slstematICas 93
4.5.1. Mode10 matematico .
APENDICE A , 95
A.1. Introdu,iio :::::............. 97
A.2. Defini,5es e Conceitos.. 97
A.2.1. Grupo Principal '. . . . . . . . . . . . . . , 97
A.2.1.l. Transforma,oes ortogona~s no plano. . . . . . . . . . . . . 98
A.2.1.2. Transforma,oes orto.go~al~ no espa,o : : : : : : : : : : 110~
A.2.1.3. Transforma~oes de sunJiarldade no plano . . . . . . . . . . . . , 02
A.2.2. Grupo das Transforrna<;5es Afms : 102
A.2.2.1. Transforma,aoafimnoplano ·········· 103
A.2.2.2. Transforma,ao afim no :s~a<;o : : 103
A.2.3. Grupo das Transforma,5es ProJetlvas . . . . . . . . . . . 103
A.2.3.1. Transforma,ao projet~va no plano ; : 104
A.2.3.2. Transforma,iio pro~et~vaem coordenadas homogeneas .:: 105
A.2.3.3. Transforma<;ao proJetlva no espa,o . 106
A.2.4. Rela,oes Geometricas Diversas 106
A.2.4.1. Re1a,oes polinomiais 107
A.2.4.2. Equa,ao de pro~e<;a~parale1a 108
A.2.4.3. Equa,ao de colmeandade , . 109
A.3. Propriedades .
APENDICE B • . . . . . . . . . . . . 117
B.l. Defini,aodeSistemasUsuaisdeReferencla. ·········· 117
B 1 1 Sistema de Espa,o Imagem . . . . . . . . . . . '... '. : . . . . . . 117
B:1:1:1. Sistema fotogr¥ico de coordenadas do dlaposItlvo ....::::::::::: 118
B.1.1.2. Sistemafotognifi~ode.7°ordenadasdOnegatIvo 119
R1.1.3. Sistemas "fotograficos :............... . 120
B 1 2 Sistemas de coordenadas do espa<;oobJeto .. ':. '..... '•. '. . . . 120
B:1:2:1. Sistema carte~iano terrestre medio e elipsOldlco geocentn~o. : : : : : : : : : : 121
B.1.2.2. Sistema geodeslCo :.................. . 122
B.1.2.3. Sistema geodesico carte siano 122
B.1.2.4. Sistemacartesianolocal: ················ 124
B.1.2.5. Sistemas cartesian os auxilJares : : : 124
B.1.2.6. Sistema de coordenadas do modelo , 125
B 2 Mudan,as de Sistemas e Escolha de Modelo MateJ.TIatlco 125
B:2:1. Transfonna,iio do sistema geode~ico para ~ geodeslco cart~slaono 125
B.2.2. Transforma~ao do sistema carteslano geodeslco paIa geodesIc 126
B.2.3. Transforma~ao de urn sistema retan~~a.r para Dutro. '.' 126
B.2.4. Transforma,oes de urn sistema geodesIco para UTM e vlce·versa '. : : : : . . 127
B.2.5. Exercicios .
REFERfNCIAS BIBLIOGRAFICAS . . . . . . . . . . . .
Estc lil'ro rcsllitull do aprillloramcllto de notas de aulas de Fototriallgulas:ao,
ministradcs no Curso de Engcnharia Cartogrd[ica e no Curso de P6s·Graduas:ao em
CietlCias Geodcsicas. da Unil'ersidadc Federal do Parand.
o assunto e apresentado de modo que 0 principiante possa aeompanhar a de-
senvo!J'imento. Tambcm os principais t6picos mais modernos relativos a [ototn'an-
gulafao sao introduzidos de modo aeessz'vel ao estudante.
No capz'tulo J. alem da conceiruas:ao e topicos introdutorios, e apresentada
uma classificafao englobando as di[erentes "[aces" da [ototriangulas:ao moderna.
Esta classificas:ao visa dar uma sistematizas:iio diddtiea ao grande acervo de variantes
dos metodos da [0totriangulas:ao.
o eapz'tulo 2 consiste numa uti/izafao dos procedimentos anal6gieos (moder-
namente tendentes ao desuso) com 0 objetivo de ilustrarao concreta (visual) para os
metodos semi-anahlicos e anaWicos dos capz'tulos 3 e 4. Este capz'rulo estd parlieu·
/amzente voltadopara 0 principiante em [ototriangulariio.
o capz'tulo 3 en[oca a [ototriangularao par modelos independentes semi-ana·
litica. Conceitua, apresenta as principais tratamentos matenuiticos e alguns aspectos
de ops:oes para otimizarao.
o cap{tulo 4 introduz 0 modelo matenuitico [uncional das equaroes de coli-
nearidade, destaca algumas de suas aplicaroes usuais e desenvolve a principal aplica-
rao a [ototriangulafao pelo metoda dos [eixes de raios. Alguns dos metodos indica-
dos na classificarao apresentada no capc'tulo 1 silo considerados e os respeclivos mo-
delos matemdticos apresentados.
No apendice A as transformaroes lineares sao conceituadas e enfase maior Ii
dada ao problema da escolha do modelo matenuitico. Este enfoque visa atenuar a
c/amorosa carencia de literatura da drea. 0 apendice B apresenta os principais siste-
mas re[erenciais com que 0 [otogrametrista se depara. Dd uma coneeiruariio sufi·
eientemente rigorosa para a implementariio dos problemas de foto triangulariio.
As re[ereneias bibliogrdjicas propieiam, ao leitor interessado, fontes para
aprofundamento dos topieos tratados.
Diversos eolegas eontribuiram com 0 encorajamento e/ou assistencia para a
e/aborat;ao deste trabalho. Os alunos do Curso de Engenharia Cartogrdfica: Edson
Stapassoli; Cldudia Hobbi; Roberto Elizeu Preosck e Valther Xal'ier Aguiar, como
bolsistas da FINEP, desempenharam papel importante na revisiio dos manusen'tos,
elaborariio de figuras e resolurao de exerdcios. A eles penhoramos nosso profundo
agradecimento. Seme/hantemente somos gratos ao Prof Joiio Fernando Cust6dio
da Silva pela revisao crftiea e preciosas sugestoes oferecidas. Somos ainda gratos aos
colegas do Curso de P6s-Graduariio em Ciencias Geodesieas da UFPR que nos ineen·
tivaram e de a/guma forma facilitaram este traba/ho.
A fototriangula~ao analitica evoluiu significativamenteem suas tIes ou quatro
decadas de ;existencia.Esta evolu~o se deve, em adiy30 ao desenvolvimento cienti-
fico normal, a dois principais fatores: 0 desenvolvimento da computa~o eletronica
que tomou possivel 0 processamento de grandes sistemas;e a economia e eficiencia
da fototriangulayao na gerayao de pontos de controle quando comparada a outros
metodos.
Ern menos de oito decadas de existencia a fototriangula~o experimentou, a
nivel de produ~ao, desenvolvirnentos tais como: metodos de fototrianguJa~ao ra-
diais e anal6gicos (ambos ja obsoletos, mas 0 ultimo ainda eventualmente usado);
metodo de fototriangulayao semi-analitica em faixa e depois em bloco; metodos
analiticos, analiticos com auto calibra~O'e com injun~s e fototriang~o ern
tempo real "on-line". 0 desenvolvirnento de equiparnentos, programas e t6cnicas de
modelagem de enos sistematicos propiciaram sensivelelevayaode precisao e confia-
bilidade dos resultados obtidos por metodos modernos de fototriangula~o, 0 que
a tomou atrativa para muitos outIos campos de aplica~o diferentes da extensao de
controle. Esta, entretanto, continua sendo sua principal aplica~o. A investigayao
cientifica e conduzida presentemente nos dispositivos de detecyfo de enos grossei-
ros e depurayao de dados.
Dais conceitos sao apresentados a seguir: 0 cUssico refletindo a aplicayao
quase que exclusiva da fototriangula~o a extensao do controle; e 0 outro atual,
onde a fronteira de aplicayJroda mesma nao estli delineada.
1.2.1. Com:eito ClUsico
Fototriangula~o t! 0 mcHodo fotogramcHrico de estabelecimento de controle
horizontal e vertical suplementar, atravt!s da rela~o geomt!trica de fotografias adja.
centes, que constituem estereomodelos (01 ).
1.2.2. Conceito Modemo
Fototriangulayao t! 0 mt!todo fotogrametrico de determinayao de coordenadas
de pontos do espayo objeto atraves de:
a) a relayao geometrica de fotos adjacentes devidamente tomadas;
b) esparso controle de campo dado; e
c) wn conjunto de valores aproximados de panimetros.
o objetivo da fototriangulayao e 0 de eficientemente gerar coordenadas pre·
cisas de pontos do espayo objeto, a partir de coordenadas medidas em fotografias,
devidamente tomadas ou em modelos estereosc6picos formados, e de urn minima
de informayOes do sensor.
Para que as coordenadas de pontos do espayo objeto geradas sejam referidas
a urn sistema de coordenadas pre-definido, necessario se faz que urn minima de
pontos de controle de campo sejam fornecidos como dados (nao necessariamente
constantes).
o nao fornecimento desses pontos de controle de campo deixa indefmido 0
sistema de referencia do espayo objeto dando origem a problemas de deficiencia de
posta ("rank") da matriz de coeficientes das equayoes normais.
o ajustamento livre 1 propicia soluyao do sistema de equay5es normais num
sistema de referencia arbitnmo, fixado na soluyao pelas injuny5es mate mati cas in·
troduzidas. Esta soluyao aplicada a fototriangulayao nao esta ainda difundida nos
meios cientificos fotogrametricos. Foi objeto de pesquisa desenvolvida no Curso de
P6s-Gradua~0 em Ciencias Geodesicas em tese de mestrado (02) e testado apenas
para pequenos blocos.
Atualmente, a nivel de produyao"e ate mesmo a nivel cientifico, e requisito
da fototriailgulayao a existencia de algum controle de campo que defina 0 sistema
de coordenadas ao qual os pont os computados no espayo objeto serao referidos.
A utiliza~o de feiyoes digitalizadas como controle e outro conceito moder·
no, difundido apenas nos meios cientificos, cujo potencial ja foi provado e que esta
em fase de investigayao no Curso de P6s-Graduayao em Ciencias Geodesicali (03),
(114),(05), (06), (07).
1 No ajustamento livre injun~Oes sao introduzidas matematicamente para suprir a deficiencia
de posto.
A hist6ria da fototriangula<;ao se relaciona estreitamente ao desenvolvimento
da Fotogrametria, cujas origens hist6ricas remontam ao tempo do renascimento.
Aos leitores interessados em pormenores hist6ricos e sugerida a consulta ao "Ma-
nual ofPhotogrametry" (08).
Aproximadamente por volta de 1905 a ideia de fototriangulayao radial foi
concebida e pouco ap6s,as primeiras solu<;5es numericas tiveram origem. Sao nomes
ligados a estes primeiros desenvolvimentos: Theodor Scheimpflug (1865.1911) e
Sebastian Finstewalder (1862-1951). Umberto Nistri tern a patente da aerotriangu·
layao espacial (1919) (09).
A aerotriangulayao anal6gica foi desenvolvida ate 1935 em instrumentos de
multiprojetores tipo multiplex. Reinhard Hugershoff (1882-1941) e Otto von Gru·
ber (1884-1942) associadosa Casa Zeiss desenvolveram a fototriangulayao anal6gica
em instrumeI\tos de bases inversiveis.
o grande desenvolvimento da fototriangulayao analitica e semi·analitica s6 se
tornou possivel com 0 desenvolvimento dos sistemas computacionais modernos. Os
principais nomes ligados a este novo periodo sac: Gotthardt, Schut, Schimidt,
Brown e Ackermann.
Os estudos atuais estao voltados principalmente para a otimizayao de proces-
samento, modelagem de enos sistematicos, desenvolvimento de sistemas em tempo
real "on-line" e detecyao de enos em geral eO), e 1), C 2), e 3), e 4), e 5), e 6).
Sao dadas a seguir classificayoes diversas que englobam praticamente todas as
atividades de fototriangulayao conhecidas modernamente. Podemos analisar a foto-
triangulayao segundo diferentes fatores e a partir dai classifica-Ia segundo esses
fatores.
o fator espayo objeto nos permite classificar a fototriangulayao em:
a) radial ou plana: que trata apenas da determinayao de coordenadas planime-
tricas de pontos do espayo objeto;
b) espacial ou estereotrhingulayao: que envolve a determinayao plani-altime.
trica de pontos do espayo objeto.
1.5 2. Com respeito 80 modo de processamento
Quanto ao modo de processamento a fototriangulay[o pode ser c1asslficada
a) convencional em lote ou fora de Iinha ( 'off-Iine") que ~ a fototnan ula·
~ao convencional e mais difundida onde as obst.'rva~Oe'e 0 proce m n
sac tratad s como duas etapa dl ti tas d tra I
b) em linha ("on-line"): as observa~l'5es ao proces adas fT\
time") a medld em que as mesm s[o efetuad Est
ao advento do r uidores anal{ticos ("analytical plo ter "
A fototriangulayaopode aplicar solu~ao anal6gica ou anal{tlca ao problema
fotogrametrico. Teremos er tao:
a) anal6gica: a fototriangula~ao cujo processamento de coordenadas de pon-
tos do espa~o objeto e feito analogicamente. Sao exemplos os instrumen-
tos fototriangullldores 6ticos, mecameos e 6ticos mecamcos;
b) analltica: a computayao de coordenadas de pontos do espa~o objeto e
efetuada numericamente a partir de coordenadas de pont os do espa~o ima·
gem;
c) semi-analitica: combina ambos os processamentos, 0 anal6gico para cons-
truir modelos estereosc6picos e 0 numerico para a concatena~ao de mode·
los. "Fototriangulayao semi·anal{tica" e "fototriangulayao por modelos
independentes" sac erroneamente considerados equivalentes.
1.5.4. Com respeito ao metodo de ajustamento
Dependendo dos recursos computacionais dispon{veis, bem como das dimen·
sOes do problema, pode-se efetuar uma soluyao:
a) sequencial- aplicando modelos de ajustamentos sequenciais;
b) simultanea - quando se opta por efetuar urn ajustamento simultaneo.
Ao resolvermos 0 problema da fototriangula~[o 0 modele mate matico esco-
lhido delimita a unidade fotogram~trica a ser considerada na fototriangula~[o.
Neste caso temos:
a) fototriangula~a-o por feixes de raios ("bundlcmethod"): neste modelo, uma
foto e considerada como urn feixe de retas. Cada reta do feixe fica definida
pela condi~ao de colinearidade de tres pon tos (os pontos imagem, objeto e
o centro perspectivo); este modele recebe coordenadas de pontos imagens
como dados basicos do problema;
b) por modelos independentes: neste caso 0 modele matematico requer que
o modele estereosc6pico tenha side constituido (anal6gica ou analitica·
mente) a priori. Estes modelos constituem a unidade fotogrametrica do
ajustamento; os dados basicos sao coordenadas de pontos do modelo;
c) em faixa ou semi-blocos: modelos matematicos diversos podem ser utiliza-
dos para a transformayao sequencial ou simultanea de faixas ou semi-blo-
cos para 0 espa~o objeto.
1.5.6. Com respeito ao procedimento utilizado na adequayao:
realidade [{sica / modelo matematico
Dada a complexidade da realidade [{sica, as solu~6es matematicas de proble-
mas praticos geralmente lan~am mao de aproximayaes e simplifica~Oes. Esta ade-
qua~ao realidade [(sica/modelo matematico nos permite c1assificar a fototriangu-
la~ao em:
a) fototriangulayao com pre-refmamento das coordenadas da imagem: neste
caso 0 modele matematico e a simples equa~ao de colinearidade com in-
jun~s de controle 2 ;
b) fototriangula~ao com parametriza~ao: neste caso 0 modele mate matico e
modificado com panimetros adicionais para se adaptar a realidade [{sica de
que, 0 raio luminoso que une 0 ponto objeto, ponto imagem e centro pers-
pectivo, atraves da atmosfera e do sistema de lentes, nao satisfaz a condi-
~ao de colinearidade. Nos programas com parametriza~ao e possivel e mes-
mo conveniente, aplicar tambem 0 pre.refmamento.
Existe neste caso vasta gama de tratamentos dispensados a camara ou ao sis-
tema fotogrametrico. Temos desde tratamentos que consideram as camaras altamen-
te estaveis ate os casos onde as camaras sao nao metricas e sac instaveis. Temos por
exemplo:
2 Pode-se efetuar refinamento da imagem tambem para a aplica~iio do modelo isogonal na
fototriangulayiio por modelos independentes anaHticos.
a) fototriangula~lo com calibra~o de campo "on job" foto-variante ou ~Ilto-
calibra~lo foto variante; diferentes conjuntos de parametros slo determi-
nados para 0 sistema fotogramcHrico, para cada diferente exposi~lo. Este
~ 0 tratamento dispensado na fotogrametria a curta distancia quando uti-
liza camaras comuns e instaveis e9).
b) fototriangula~o com calibra~lo de campo "on job" bloco-variante (ou
aJJto-calibra~o bloco-variante): neste caso urn novo conjunto de parame-
tros de calibra~ao e determinado para 0 sistema fotogrametrico em cada
novo bloco fotografado. Admite-se que a camara e estavel durante a
cobertura fotognifica de urn bloco;
c) fototriangula~ao com op~ao de pre-calibra~ao em caII1l'.ode teste (as cama-
ras metricas sac usualmente pre-calibradas): aproximadamente ate a decada
de 60 a calibra~ao de laborat6rio era a futica efetuada na pratica. A partir
de entao programas de fototriangula~ao surgiram, que permitem a utili-
za~o de campos de testes para a determina~ao de parametros de calibra-
~ao com 0 sistema submetido a condi~6es semelhantes aquelas de trabalho;
d) ausencia total de recursos de calibra~ao: considera-se a camara pre-cali.
brada em laborat6rio, como sendo perfeitamente estavel.
E grande a variedade de modelos e tratamentos numericos dados aos proble-
mas de fototriangula~ao. Sem a pretensao de sermos exaustivos, podemos enumerar
alguns modelos:
a) modele aproximadamente isogonal com itera~ao plani-altimetrica (4 e 3
parametros e com injun~oes): utillzado no programa PAT-M43 (09), eO);
b) modele aproximadamente isogonal com 7 parametros e com injun~oes:
consiste na computa~o simultinea dos sete parametros de similaridade de
cada modelo constituinte do bloco.
c) modele isogonal com injun~oes;
d) equa~0es de colinearidade com injun~Oes: este e 0 modele utillzado por
praticamente a totalidade de programas de feixes "bundle" eO), e 2);
e) equa~oes de colinearidade com injun~0es e parametros adicionais: sac
mcHodos de maior precisao e que modelam ereos sistematicos atraves da in-
trodu~o de parametros adicionais no modele de collnearidade eO), e4),
usados na auto-calibra~o;
f) combina~fo de modelos fotogrametricos e geodesicos: nestes metodos, nao
apenas 0 controle fotogrametrico convencional e utilizado, mas tambem
informay0es geodesicas sac introduzidas no modelo. Equay0es de azimute,
de distancia e outras slo aproveitadas para controle e8).
Os modelos a), b) e c) acima do usados por programas que ajustam modelos
independentes e os tres ultimos por programas que ajustam feixes.
Aparentemente as subdivis0es acima englobam os desenvolvimentos da foto·
triangulayao modema. Nlo e prop6sito destas notas esgotar todos os Hens dessa
classificay30, mas, nos capitulos que seguem, parte dessa terminologia sera utili-
zada.
T
FOTO FOTO FOTO I
MODELO - MODELO - MODELO
r- FAIXA - FAIXA - FAIXA
COMPUT
OU
NUME
AJUSTAMENTO AJUSTAMENTO AJUSTAMENTO
FAIXA FAIXA FAIXA
- '-- BLoeo - BLoeo - BLoeo -
FIG. 1.1 - l1ustra~iio de tees metodos usuais da fototriangula~ao espacial, evidenciando a
fran teira en tre tarefas de observa~oes e compu tacionais.
Como vimos na sec~a-o 1.3., a determina~a-o de coordenadas de pont os do es-
paIYoobjeto com precislio e efici~ncia constitui a meta da fototriangula~[o. A subs-
titui~[o de tarefas instrumentais por processamento numerico, que se d:i progressi-
vamente da fototriangulayao anal6gica para a semi-anal1tica e anal1tica,e a principal
respons:ivel pela eleva~lio da precislio nos casos anallticos, pais 0 instrumento e 0
operador slio fontes de erros. A figura 1.1 i1ustra 0 deslocamento da fronteira de ati-
vidades computacionais que crescem (enquanto decresce a participa~ao instrumen-
tal) do procedimento anal6gico para 0 analitico.
A fototriangula~ao radial tomou-se obsoleta e e mencionada apenas na c1assi-
fica~lio. A fototriangula~ao anal6gica, embora ainda em usa em algumas entidades,
nlio e modernamente atrativa pela desvantagem de precisao e eficiencia que apre-
senta, quando comparada com procedimentos mais modernos; ser:i entretanto
referida brevemente como ilustra~o do conceito de fototriangula~ao, no pr6ximo
capitulo.
A fototriangula9ao anal6gica consiste na computa~ao anal6gica 3 de coorde-
nadas de pontos do espa~o objeto a partir do recobrimento fotogrMico adequado e
de esparso controle de campo.
E desenvolvida em instrumentos trianguladores. Nestes instrumentos, as foto-
grafias de uma faixa slio progressivamente orientadas de modo que os modelos for-
mados resultem concatenados analogicamente, isto e, a faixa formada se constitui
numa unidade, referida a urn (mico sistema de coordenadas. Esta faixa estabelece
ponte de Iiga~ao entre 0 esparso controle de campo existente.Os pontos de con-
trole, por sua vez, fornecem elementos para ajustamento, corre~oes de defonna~oes
e distor~Oes e para transfonna~ao de coordenadas do sistema da faixa para 0 sis-
tema ao qual esta referido 0 controle.
Os instrumentos fototrianguladores para triangula~ao anal6gica sao instru-
mentos com recursos para restaura9ao de faixa. Tais instrumentos podem ser c1assi-
ficados:
a) Instrumentos com multiprojetores. Exemplo: multiplex e balplex.
b) Instrumentos com dois projetores e com dispositivos de inversiks de bases
e dos trajetos 6ticos. Exemplo: Autograph A·7 da Wild e Stereoplanigraph
da Zeiss.
a) proje~o 6tica - stereoplanigraph - Zeiss;
b) proje~o mecanica - autograph A-7, Wild;
c) proje~o 6tico-mec3.nica - photostereograph, Nistri;
d) proje~o analitica - planicomp C-lOO. Este nao ~ urn instrumento anal6.
gico, mas pode desempenhar as tarefas de fototriangula¢o anal6gica.
a) instrumento universal de I~ ordem;
b) instrumento de 2~ ordem;
c) instrumento de 3~ ordem.
Esta classifica~o ~ bem difundida nos meios cartogrfficos, mas nao ~ aceita
no meio cientifico, por ser mal defmida.
as instrumentos fototIianguladores de multi-projetores sao de baixa precisao.
Podem triangular de urna vez, uma por~ao da faixa com, no maximo, urn mlmero de
fotografias igual ao nl1mero de projetores disponlveis (Fig. 2.1.).
as instrumentos com dois projetores permitem a forma¢o de uma faixa de
comprimento ilimitado atrav~s da inverslio de bases e de traietos 6ticos. Tais inver-
siks possibilitam a observa~lio e proje~lio, por exemplo, da regillo M1 2 da foto 2
(Fig. 2.2.) com base interna e a proje~lio da regillo M23 da mesma foto (Fig. 2.3.)
com base externa.
BASE INTERNA
dTICA OIRETA
FIG. 2.2 - Regiio da foto 2 projetada para forma~o do modelo M12 e observada comolbo direito do obJelVador.
BASE EXTERNA
dTICA INVERTIDA
FIG. 2.3 - RCIifo da foto 2 projetada para form~o do modelo M2) e obJelVada com 0
olbo da nquerda.
Se 0 trajeto 6tico ~ tal que 0 olho direito do observador observa a regilo MI2
da foto 2 (Fig. 2.2), ao inverter« a base, a regilo M23 da mesrna foto passarl1a
ser observada pelo olho esquerdo atrav~s do desvio do trajeto 6tico com a utll1·
za~o de recursos 6ticos. Assim a forma~o de urna faixa de comprimento arbitrli·
rio se torna passivel com a utiliza~!o de apenas dois projetores. Em sintese, a se-
quencia para a forma~lo da faixa seria:
a) com base interna: trajeto 6tico normal e fot05 1 e 2 nos projetores 1 e 2
respectivarnente (Fig. 2.4.), forma-se e observa-se 0 primeiro rnodelo da
faixa: modelo M12;
b) com base externa: trajeto 6tico invertido e [oto 1 substitu{da pela [oto 3
da [aixa (Fig. 2.5), [orma-se e observa-se 0 modelo M] 3. Segundo modelo
da [aixa.
'I '2;
c) com base interna: trajeto 6tico normal e [oto 2 substitu{da pela [oto 4
(Fig. 2.6), forma-se e observa-se 0 terceiro modelo M34 da faixa.
Assim como os modelos M,], M]3 e M34, ilustrados aeima, os demais mode-
los da faixa seriam seqtiencialmente formados e observados para posterior ajusta-
mento.
Nos instrumentos de projeyl"o 6tica 0 feixe luminoso ~ projetado do espa~o
imagem para 0 espa~o objeto e 0 modelo 6tieo da lUea fotografada ~ formado no
plano de projeyl"o da mesma.
No caso de projeyl"o mecanica e reconstru~o geom~trica da perspectiva do
modelo ~ toda baseada na proje~lio mecaniea. a raio luminoso ~ materializado por
hastes metalicas, que possibilitam as medidas.
as instrument os 6tico-mecanicos utilizam proje~o 6tica para a orienta~ao
interna e proje~o mecanica para 0 espa~o objeto.
Ins.trumentos de proje~ao analitiea sao instrumentos cuja proje~ao ~ computa-
da e os movimentos executados por servo-motores. Estes instrument os sao moder-
nos e sua utiliza~o em fototriangula~ao abrem novas perspectivas no campo da
fototriangula~o em linha "on-line". Possuem recursos para desenvolver as tarefas
desempenhadas pelos instrumentos trianguladores classicos, mas dispBem de muitos
e maiores recursos para as tarefas cartograficas e nao cartogrillcas em gera!.
A classifica~o de instrumentos de 1~ e 2~ ordem nao ~ hem defmida. as
instrumentos ditos de 1~ ordem geralmente propiciam: precisa orienta~ao dos este-
reomodelos, sistemas 6ticos e mecanicos altamente precisos, compensa~o de dis-
tor~o de lentes, compensa~o para a distor~ao ou deforma~o m~dia do fJ.l.mee
inclinayio do diapositivo('). Propiciam ainda: saidas grillcas e digitais para as coor-
denadas do modelo, liga~o direta entre modelos sucessivos em termos de escala e
sistema de referencia, recursos de orienta~o relativa dependente e independente
e invers5es de bases e do trajeto 6tico do sistema de observa~ao. Sao exemplos de
fototrianguladores de 1~ ordem: Autograph A-7 da Wild e 0 Stereocartograph -
projetado por Santoni e construido pela "Oficina Gallleu", instrumentos mecani-
cos; Stereoplanigraph - projetado por Bauersfeld e produzido por Carl Zeiss, ins-
trumento 6tico e instrumento 6tico-mecanico. as instrument os de 2~ ordem foram
projetados basicamente para compila~o de mapas. Sao instrumentos como 0 Mul-
tiplex, KeIsh, Bolplex, Autograph A-B. Entre estes instrumentos existem aqueles
com multiprojetores como 0 Multiplex e Balplex e aqueles com apenas dois proje-
tores, mas sem a facilidade de inversao de bases. Nestes a transferencia da orienta-
~o de urn projetor para 0 outro ~ requerida para a forma~ao da faixa. Esta trans-
ferencla para 0 caso da inclina~ao ~ obtida atrav~s de niveis. Sao exemplos dessa
classe de dois projetores 0 Kelsh eo Autograph A-B.
As atividades do fotogrametrista na aerotriangula~!o, para fins didaticos ou
de planejamento, podem ser divididas em quatro etapas que seriam: prepara~o,
coleta de dados, ajustamento e analise de resultados. Estas etapas existem tam-
bc!m na fototriangulayl"o analitica, mas neste caso podem tomar-se pouco distintas.
Esta etapa ~ ampla e importante para 0 born desempenho de atividades que
seguem em etapas posteriores. Requer cuidadoso levantamento de dados e recursos
disponiveis tais como dados de controle, equipamento e material necessario. Certa-
mente os pormenores desta etapa dependem do m~todo empregado. Eta pode en-
volver atividades como: croqui da area a ser triangulada facilitando a identifica~ao
de controle, obten~o de foto-indice, carta da regiao, obten~o de relat6rio de call-
bra~ao da camara, escolha de escala e planejamento levando em considera~ao 0 ins-
trumental dispon{vel e precislio desejada, sele~o de pontos para a fototriangula~ao
e preparo de croqui dos mesmos, marca~ao de pontos no diapositivo, caIculo de
valores aproxirnados iniciais a serem introduzidos no instrumento, testes de ins-
trumentos a serem utilizados, etc.
Estas atividades de prepara~o sio de natureza bastante pratica e sao descri-
tas, para 0 caso de fototriangula~ao anal6gica, com pormenores na referencia (,3).
Sao tarefas que sao mais valorizadas e propriamente dominadas por aqueles que de-
senvolvem 0 trabalho na pratica.
A coleta de dados ~ distinta para distintos m~todos de fototriangula~ao,
muito embora seja fase de trabalho pertinente a todos os metodos.
No caso da fototriangula~o anal6gica os valores observados serao eoordena-
das de pontos da faixa, referidos todos, a urn Unico sistema de eoordenadas. Nisto
reside uma das diferen~as fundamentais entre fototriangula~ao anal6gica e foto-
triangula~o semi-analitica, na qual as eoordenadas observadas, para os pontos de
urn modelo, saD referidas a urn sistema de coordenadas independente, e entre anal6-
giea e anaHtica. Nesta ultima, as eoordenadas observadas estao referidas a urn sis-
tema independente para os pontos de uma foto.
A figura (2.7.) ilustra, de modo simplificado, as atividades da coleta de dados
nos diferentes m~todos de fototriangula~o.
A etapa coleta de dados ou de observayOes, como ilustrado, ~ bastante mais
abrangente no caso anal6gico que no analltico. Como 0 observador e 0 instru-
mento sio fontes de erros randornicos e sistematicos, temos aqui uma das razBes
pela qual 0 procedimento anal6gico ficaprejudicado em termos de preeisio quando
eomparado ao anal{tico.
FIG. 2.7 - Atividades das coletas de dados em diferentes mchodos; (a) Metodo analogi-
co; (b) Metodo semi-analitico; (c) Metodo analitico.
No caso anal6gico as observa~oes subentendem faixa estabelecida no instru-
mento e conseqiientemente orienta~A'o interna e relativa instrumental. Na pratica,
a orienta~A'o absoluta ~ tam~m estabelecida.
Nas linhas que seguem, um conceito simplificado da forma~ao de uma faixa e
desenvolvido, nao com 0 prop6sito de que 0 leitor se capacite a desenvolver foto-
triangula~o anal6gica na pratica 4 ,mas com 0 objetivo de visualizar, de modo
mais concreto, os recursos da geometria projetiva empregados na fototriangula~ao;
e que se forme urn conceito de triangula~ao anal6gica e se estabele~ bases para 0
desenvolvirnento dos metodos serni-analiticos e analiticos,que sao de grande inte-
resse.
Parece util ilustrarmos a forma¢o da faixa, inicialrnente num Multiplex. Se 0
conjunto de projetores assumirem as posi~Oes relativas e orienta~Oes corresponden-
tes aquelas assumidas pela camara a~rea, na tomada das fotografias de uma dada
faixa, entao, os modelos estereosc6picos formados pela proje~ao 6tica, estarao con-
catenados e representam uma faixa continua de terreno em visao estereosc6pica e
numa dada escala.
Sabe-se que uma camara no espa~o possui 6 graus de liberdade (3 transla90es
e 3 rota90es). Conseqiientemente duas camaras (ou projetores) possuem 12 graus
de liberdade de movirnento. Dois projetores formam urn modelo quando 5 dos seus
12 graus de liberdade sao deterrninados (orienta¢o relativa) e os 7 parametros res-
tantes sao flXados na orienta¢o absoluta, que envolve uma transforma9ao isogonal
no espa90 (3 transla9Qes, 3 rota~Oes e escala). Portanto, posicionar os projetores de
urn Mutiplex de modo semelhante as posi~OeS da camara, no instante da tomada das
fotos, corresponde a obter todos os modelos absolutamente orientados e a faixa
entao formada, seria urn modelo da regiao fotografada diferindo do terreno apenas
emescala.
Os erros e lirnita9QeS instrumentais e de observa~o prejudicam parcialmente
os resultados praticos, entretanto, 0 objetivo ~ ainda aquele de restaurar nos proje-
tores,as posi90es e orienta~o da esta9ao de exposi¢o e obter a faixa estereosc6-
pica semelhante ao terreno em pauta.
Na pratica, a forma¢o da faixa pode envolver os seguintes procedimentos:
a) orienta~[o interna do par 5;
b) orienta~lI'o relativa;
c) orienta~lIo absoluta;
d) registro de observa~s.
PARA 0 2? MODELO:
a) orienta~o interna do novo diapositivo;
b) orienta~o relativa dependente;
c) esca1a do novo modelo; \
d) registro de observa~(5es.
As figuras(2.8.) ilustram 0 aspecto progressive da forma~o da faixa.
Para relacionar aspectos pniticos e te6ricos, imaginemos urna faixa com 10
fotografias (9 modelos). Teoricamente sabemos que 6 parametros sac necessarios e
suficientes 6 para dar a orienta~o exterior de cada foto. Logo lOx 6 = 60 para-
metros defmem a faixa absolutamente orientada.
Examinemos agora 0 procedimento pnitico para a faixa acima:
1. No primeiro dos 9 modelos:
- a orienta~ao relativa fixa 5 parametros;
- a orienta~o absoluta fixa 7 parametros.
2. Em cada urn dos 8 modelos restantes:
a orientayao relativa dependente fixa 5 parametros;
- 0 ajuste de esca1afixa urn parametro.
Temos entao, no procedimento pnitico, ao fmal da faixa, fixados 5 + 7 + 8 .
. (5 + I) = 60 parametros que correspondem, como no caso te6rico, a uma faixa
absolutamente orientada.
o procedimento pnitico e fortemente afetado de enos de naturezas diversas,
o que 0 afasta significativamente da condiyao ideal.
Na fase de coleta de dados em instrument os com dois projetores, pode-se
considerar dois diferentes casos:
a) instrwnentos de primeira ordem, com recursos de inversOeS de bases e lei-
tura digital de coordenadas;
b) instrumentos de segunda ordem, sem aqueles recursos.
No caso do multiplex, parte da orienta~ao interna e efetuada na redu~io do diapositivo.
Fieam Implfcitos vanos aspectos convencionais e de sistema referencial.
����������	
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�������
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I -oS
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'-" oS
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• ;:I
MI:::
.'pC-' I:::•..• 0
••.• U
No primeiro caso, 0 procedimento pnHico em Iinhas gerais, dlfere daquele
mencionado acima para 0 Multiplex apenas:
a) no registro de coordenadas de alguns pontos espeeiais do modelo estabe-
Jeddo, para propiciar a transferencia de escala e manter urn tinieo sistema
de referencia para a faixa;
b) na inversao de bases e do trajeto 6tieo para a orienta¢o progressiva;
c) na re-inicializa¢o das coordenadas registradas no modelo anterior;
d) no registro de eoordenadas que pode ser feito digitalmente ensejando 0
ajustamento eomputacional.
Para 0 case de instrumentos de segunda ordem, a principal diferen\.a com res-
peito ao procedimento utilizado em instrument os multi-projetores, reside no requi-
sito de se transferir a ultima foto do modelo para 0 primeiro projetor, para que 0
pr6ximo modelo possa ser obtido com a introdu9ao de nova foto da faixa. Essa
transferencia deve ser tal, que a orientayao seja mantida, para assegurar a continui-
clade da faixa ou eoneatena9ao anal6gi~ dos rnodelos. Como ja mencionarnos ante-
riormente, as inelina9Qes w e ¢ sao transferidas com 0 uso de n[vel ajustavel.
o parametro K ~ lido e transferido e, se urn dispositivo de Ieitura nao cxiste, K e
aproximado para zero e corrigido ap6s a orienta9ao relativa dependentc do novo
modelo. A escala ~ transferida atrav~s da varia~o da base, estabelecendo coinciden·
cia da cota de ponto eomum aos dois modelos au atraves da distancia entre dois
pontos comuns aos modelos.
Em instrumentos de primeira ordem, pode ser muito utH tirac proveito do
estagio atual de desenvolvirnento das calculadoras, des~nvolvendo a orienta~ao nda-
tiva numericamente. Isto nao constituiu pratica eomum no pas.<;ado,mas pode ser
considerado modernamente.
Os elementos de orienta¢o relativa independente, podem ser ealeulados a
partir da equa~ao:
Py=XKl-(x-b)K2+~¢1 - (X-b)Y¢2-(~+Z)Wl (2.1)z z z
Para 0 case da orienta¢o relativa dependente, pode-se deterrninar os elemen-
tos a partir da adequa¢o 7 :
2
Py = fJy- Y oz+(X-b)K2 + y(x-b) ¢2 -z(1 + L
2
)wz (2.2)
z z z
Nas equa~s acima, (6 y, b z, KI , K2, 4> I , 4> 2 , WI e W 2) do elementos de
orienta~o, inc6gnitas a serem deterrninadas numericamente; Py = Y2"- YI ~ a
paralaxe observada no ponto dado; (x, Y, z) sa-o as coordenadas aproximadas do
ponto, (y pode ser a m~dia entre YI e Y2) com respeito a urn sistema do modelo
com origem no projetor 1 (Fig. 2.9.).
", ~:
\ 1/ :
\ II I, I,' ,
\ I,' i
\ I i,. I
\ I:"
\ I
\\ /
\ I
" ~ I'"j.,.,
"
(XI -b)YI 2
-(Xl - b) XIYI ( YI z)XI -+
Z Z Z
X2Y2 (X2 -b)Y2 2
-(X2 - b) -(~ + z)X2
Z Z z
A=
2
_ (Yn + z)
z
YI (XI - b) 2
1
YI
(XI - b) -z(l YI )+-
Z Z i2
Y2 (X2 -b) 2A= Y2 (X2 - b) Y21 -z(l +-)
Z Z Z2
_Yo (Xn-b)
z
2
-z(l+YO)
Z2
No caso de n > 5, aplica-IC 0 ml!todo dOl mlnimOi quadradol para a eaU.
mativa de X. 0 modelo matem't1co baseia« em aprox.ima\1o de primeira or.
dem (17). Consequentemente a iter8~o pode ser necessma.
M~todo rigoroso de orienta\1O relativa ler;{ considerado nos capltulos que
seguem.
A orienta~o absoluta do primeiro modelo deve ser cuidadosamente feita para
o caso de "ajustamento" grillco. No caso de ajustarnento ana1ltico a precis[o da
orienta~o absoluta do primeiro modelo nlo l! importante.
o ajustamento desempenha papel importante em qualquer ml!todo de foto·
triangulayao, porque os enos randomicos estlo sempre presentes e seus efeitos de-
vem ser minimizados. 0 ajustamento (Fig. 2.7.) na fototriangula~o anal6gica l! bas-
tante restrito quando comparadoaos m6todos anallticos. Por este motivo 0 ajusta-
mento anaUtico seni discutido com algum ponnenor nos capltulos que seguem.
Aqui noslimitaremos a rfterir ao "ajustamento" grillco de maneira breve, urna vez
que 6 mais de interesse hist6rico que pratico. 0 fato de preterir a discussao do ajus·
tamento anal1'tico, nao implica em que ele nao possa ser usado em triangula¢"o ana-
lllgica. lsto 6 posslvel sempre que observaye\es digitalizadas possam ser obtidas.
o tenno ajustamento l! muitas vezes usado impropriamente em fototriangu·
la~o anal6gica. Sabe-se que 0 ajustamento l! tratamento matematico adequado para
sistemas inCOtlliJtentes, com observayOes super-abundantes. Frequentemente l! usa-
do 0 tUIDO DOIIIltido de parametrizaylo de distoryOes sistematicas, aU mesmo sem '(
~. auper-abundantes, 0 que l! urn absurdo do ponto de vista matematico.
o termo ajuatamento usado em tais condiyOes sed notado "ajustamento".
A bue te6rica de urn "ajustamento" grifico usual consUte em:
a) dadu u ctiscrepincias .1.Xi, .1.Yi e .1.Zi entre valores obtidos por foto-
trianRuIaeIo e os valores do controIe; e dadas as coordenadas fototriangula-
du Xi paa um Yc constante e i = 1,2,3,4, por exempIo;
b) c:alcuIarOlcocficientes Aj, Bj e Cj a partir dasequayOes:
.1.Xl = A. + AIX1 + A2,q + A,Xr
A~ - At, + A1X2 + A2X~ + A,X~
AX, - At, + A1X, + A2X1 + A,xi
AX. -= Ao + A1Xo. + A2X1 + A,JQ
.1.Y I Bo + B1X1 + B2Xt + B3X~
.1.Y2 = Bo + B1X2 + B2X~ + B3X~
.1.Y3 Bo + B1X3 + B2Xi + B3X~
.1.Y
4 = Bo + B1X. + B2JG + B3JG
.1.ZI Co + C1X1 + C~Xi + C3X~
.1.Z2 = Co + C1X2 + C2~ + C3X~
.1.Z
3 = Co + C1X3 + C2Xi + C3X~
..1Z4 = Co + C1x. + C2JG + C3JG
onde frequentemente nao ha super abundancia.
A determinayao dos quatro coeficientes Aj no sistema, (2.9a.) corresponde a
deImiyao de urn polinomio do terceiro grau, onde a discrepancia .1.X e funcao da
coordenada X,(.1.X = f(X», ao Iongo da falxa e, para urn Y constante. 0 meso
mo se pode dizer da deterrninayao dos coeficientes Bj e q ,nos sistemas (2.9b.) e
(2.9c.) e as diserepancias .1.Y e .1.Z. A determinayao dos coeficientes Aj , Bj e
Cj, no easo do "ajustamento" grillco, tern por objetivo a deImiyao das curvas do
terceiro grau .1. = f(X). Estas curvas podem ser obtidas aproximadamente por pro-
cedimento grafteo, plotando os quatro ou n pontos deImidos por (X, b.) e dese.
nhando a curva. Tambl!m 0 grau do polin6mio pode ser modificado.
Consideremos 0 caso ilustrado (Fig. 2.10):
P. R p P
Yc ----- :.L-----------,a 63 ... .••4
: I
I I
• I
FIG. 2.10 - Pontos de controle Pi homogeneamente distribuidos ao longo de Yc da fai·
XI fototriangulada.
Se obtivermos as discrepancias !:J.X nos pontos Pi, de posse dos pares
(Xi, !:J.Xi) para i = I, ... ,4 pode-se tra~ar a curva do polinomio do terceiro grau,
que d:i, graficamente as corre~oes !:J.X, como uma fun~4'o de X ao tango de Yc,
conforme ilustrado (Fig. 2.11.) e, onde a corre~ao para urn ponto qualquer P, dado,
pode ser interpolada da curva, a partir de Xp.
~Xp -------
I0 ,
1
6xp I
I3 I
I
I
I
bXp ---- - I
I2 I
j
~Xp I
II 1. I
t
I XI X2 X3 Xp X4 XI 0I
Para 0 mesmo Yc (por exemplo, a linha central da faixa) pode-se, por ~ro-
cedimento semelhante, construir as curvas !:J.Y = f(X) e !:J.Z= f(X)..•como ilus-
trado na Fig. 2.11. Da mesma forma, constr6i-se seis out:a~ curvas: tres p~a Y~ =
= m:iximo, margem superior da faixa e tres para Yc = nummo ou margem infe~or
da faixa. Desta forma as tres curvas de !:J.X (no centro e nas margens da faIXa)
permitirao, dado urn ponto P qualquer da faixa, estimar a corre¢o .l:J.Xp,a ser
aplicada ao valor da fototriangula~[o de X. Semelhantemente para t!.Yp e t!.Zp.
A an:ilise dos resultados sera objeto de estudo nos procedimentos anaHticos.
No caso grafico, os erros grosseiros sao facilmente visiveis e os erros de observa~aa
passam desapercebidos, pela baixa precisao do metoda.
FOTOTRIANGULACAO POR MODELOS INDEPENDENTES
SEMI·ANALITICA OU ANALITICA
3.1. CONSIDERA~OES INTRODUfORIAS
A fototriangula¢o semi-analitica utiliza 0 metoda de fototriangula¢o por
modelos independentes para combinar recursos instrumentais disponiveis, com os
benefi'cios procedentes da computa~[o eletronica. Esta combina~ao e atrativa, por-
que os instrumentos de fototriangula~ao anal6gica de primeira ordem sao caros e
nao atingem 0 nivel de precisao obtido semi-analiticarnente. Por outro lado, os pro-
cedimentos puramente analiticos demandam extensivo processamento computa-
cional, bem como, melhor qualifica~ao especializada do usuario. Este fator compu-
tacional que hoje nao constitui uma dificuldade muito significante, 0 constituiu M
poucos anos.
Na fototriangula~ao semi-analitica, cada modele estereosc6pico e obtido num
instrumento que disponha de recursos para a leitura ou registro de coordenadas tri-
dimensionais dos pontos do modelo, e em etapa subseqiiente, os modelos sac conca-
tenados sequencial ou simultaneamente, para formar faixas ou blocos. Esta etapa e
desenvolvida analiticamente. Em consequencia disto, este metodo prescinde parte
do esfor~o computacional e tambem prescinde instrumentos de primeira ordem, do
chamado tipo universal, tornando-se atrativo para organiza~6es de limit ada disponi-
bilidade de recursos. Os instrumentos anal6gicos requeridos neste caso, sao menos
dispendi osos.
3.2. FORMA~AO DA FAlXA A PARTIR DE MODEWS INDEPENDENTES
Menciona-se na sec~ao anterior a possibilidade da forma~ao de faixas ou de
blocos. Consideremos aqui 0 caso da forma~ao de faixa; forma~ao de bloco, simul-
taneamente, sera considerado na sec~ao seguinte.
Para que 0 modelo anal6gico esteja dispon{vel, algumas operayaes anal6gicas
sac requeridas. Nao IS nosso prop6sito tecer considera~Oes pormenorizadas em as·
pectos anal6gicos. Lembramos apenas, em Iinhas gerais, as opera~oes principais en·
volvidas. Sao vl1lidas aqui, as considera~t'5es da Sec~[o 2.3. A etapa de prepara~[o 1<1
referida,se aplica a todos os metodos de fototriangula~[o com alguma varia~[o.
Como foi ilustrado (Fig. 2.7b.) a coleta de dados e feita sobre urn modelo jl1forma·
do e isto subentende a orienta~ao interna e a relativa.
As etapas numericas posteriores nao podem reparar deficiencias de qualidade
dos modelos, isto e, se os modelos foram obtidos com deficientes orienta~e;es in·
teriores e relativas, a qualidade das coordenadas de pontos do modelo serl1ml1e os
resultados da fototriangula~ao, serao deficientes. A orienta~[o relativa numerica
pode ser utilizada no instrumento, para aprimorar a qualidade do modelo.
as modelos. analogicamente formadossao independentes entre si e neles te·
mos (Fig. 3.1.), pontos cujas coordenadas de terreno sac dadas (pontos de controle)
e pontos cujas coordenadas de terreno sac inc6gnitas. Todos esses pontos, bem
como os centros perspectivas, terao suas coordenadas de modelo dadas (observadas
ou pre<omputadas).
FIG. 3.1 (I) - Modelos vistos em sistemas de coordenadls independentes; fj, sao pontos
de controle e - do pontos de passagem ou centros perspectivos.
FIG. 3.1 (b). - OXYZ sistema de coordenadas de maquina; Mi modelos independentes
formados no mstrumento.
" as modelos obtidos independentemente (Fig. 3.1.), serao concatenados ana-
hbcame~t~ pa:a for~ar uma faixa continua (Fig. 3.2.). A faixa serl1entao ajustada,
COma ubliza~ao das mforma~Oes de controle.
3.2.1. Etapas da fonna~o da faixa
E facil observar, da (Fig. 3.2.) a importancia geometrica do centro perspectivo
na concatena~o dos model os II. Assim as coordenadas do centro perspectivo de-
II Evitando a forma~ao de aproximadas charneiras 30 longo da dire~o y.
~·I
. 1 •
I I
I ~-J,
I I -'.
If
l-
\'Cm estar disponiveis no momento da concatena~o de modelos. Estas coordenadas
poderao ser obtidas por leituras diretas em certos instrumentos, ou, computadas,
como serll visto na se~o seguinte. 0 estereopar deve ser levado ao instrumento e
este orientado intema e relativamente. 0 procedimento utilizado para a orienta~lIo
relativa poderll estar restrito l\ orienta~ao com apenas rota~~s, para nao alterar as
posi~oes dos centros perspectivos determinados,0 que ~ possivel em certos instru-
mentos, ou orienta~ao relativa por procedimento qualquer, mas com nova determi-
na~o dos centros perspectivos,.ap6s cada orienta~ao.
Vma vez formado 0 modelo, os pontos de controle, os pontos de passagem e
de enlace, bem como qualquer ponto adicional de interesse, localizados no modelo,
serao visitados pelo operador e suas coordenadas tridimensionais lidas. Aqui termina
a fase de coleta de dados.
A seguir serao efetuadas transferma~Oes matematicas, para referir todos os
modelos independentes a urn (mico sistema de referencia, isto ~, concatenar os mo-
delos, formando urna faixa (ou bloco).
Em urna Ultima etapa, a faixa formada sera ajustada atraves do controle de
campo. Este ajuste pode ser gratico ou numerico. Este ultimo ~ modernamente ado-
tado.
Vma vez que os pontos de passagem sao aproximadamente collneares, a parti-
cipa¢o (Fig. 3.2.) do centro perspectivo na concatena~ao de modelos, ~ importante
para a rigidez geometrica das transforma~s, conforme mencionado.
A utiliza~ao adequada dos centros perspectivos na forma~ao da faixa, implica
na atribui¢o de pesos correspondentes a qualidade das coordenadas destes pontos;
isto exige que nao s6 se calculem as coordenadas dos CPs, mas que tambem se es-
time a precisao dos valores calculados.
Basicarnente existem do is metodos de determina~ao do centro perspectivo, a
saber, 0 nurnerico e 0 empirico ou de leitura direta.
o m~todo empfrico varia de urn instrumento para outro, que dispOe de recur-
sos para tal. Os procedimentos praticos para a determina'rao do centro perspectivo
empiricamente, devem ser averiguados para 0 instrumento especffico e nao serao
tratados aqui em pormenores. Genericamente, pode-se dizer que os procedimentos
envolvem etapas, tais como:
a) introdu~ao da distancia principal nos projetores da direita e esquerda;
b) introdu¢o das componentes da base a~rea (By = Bz = 0);
c) zerar as rota~lIes;
d) introduzir a distancia de proje¢o;
e) inserir os porta-placas;
f) posicionar a marca flutuante no ponto principal;
g) estabelecer a sistema de coordenadas do modelo, inicializando valores para
X, Y e Z no digitalizador.
Parte da inicializayao acima pode ser utilizada tambem no procedimento COrn
putacional. Esta inicializayao, com exceyao dos itens b), c), d) e f), deve ser rnantida
ate 0 fmal das medidas para a determinayao do centro perspectivo.
Mesmo quando a determinayao numerica dos centros perspectivos e adotada,
os valores aproximados podem ser obtidos por procedimento empirico mais gros-
seiro.
Duas diferentes tecnicas de determinayao numerica do centro perspectivo sac
frequentemente usadas. Uma delas e desenvolvida com pormenores, a seguir; a
outra, a resseyao espacial e referida brevemente nesta Seyao e sera estudada com
pormtmores no Capitulo 4.
Urn mesmo ponto p do espa90 irnagem (Fig. ~.3.), projetado no espa90 ob-
jeto, pode ser lido em duas diferentes cotas Z e Z'. Estes pontos PeP' de coor-
denadas respectivas X, Y e Z eX', Y' e Z', estao referidos ao sistema OXYZ do
instrumento no qual tambem as coordenadas dos pontos do modelo serao IJdas.
A equayao da reta que passa por esses tres pontos P, P' e C, pade ser escrita
como:
Xc-X
X' -X
Yc- Y---
Y' -Y
Zc-Z
Z' -Z
(Z' - Z)Xc - (X' - X)Zc Xl' + X'Z
(Z' - Z)Yc - (Y' - Y)Zc - YZ' + Y'Z
Na equayao (3.2.), (Xc, Yc, Zc) constituem os parametros incognitos e
(X, Y, Z) e (X', V', Z') as coordenadas observadas de PeP'.
Para que a soluyao propicie tambem a estimativa da qualidade, 0 metodo im-
plicito (ou combinado) de ajustamento e escolllido para 0 caIculo dos parame-
tras e3).
A expansao atraves das series de Taylor, desprezando-se os termos de segunda
ordem e superiores, nos permite escrever:
Fx= aFx fiX + aF~ bY + ~~ t::l + aFx Vx +
axc ay c aZe aXa
+ aFx Vx' + aFx Vy + aFx Vy' + F~
aXa aYa aYa
Fy= ~fiX + -fu !::. Y + -fut::l + -fu Vx +
axc ay c azc aXa
+ ~ Vx' + -fu Yy + -fu Vy' + F? 0
aXa aYa aYa
onde os termos F~ e F~ sac dados por:
Fx (X, Y, X', Y', xg, yg, z2, z, Z')
Fy (X, Y, X', Y', x2, Y2, z2, z, Z') vTpv
sendo (r - u) 0 numero de graus de liberdade e ~ a matriz varian cia -covariancia
das leituras referidas anteriormente .
.0 valor ajustado dos parametros ser4:
AU+ BV+
2 3 2 4
w = 0
2 1
onde U esta representando 0 vetor de corre90es aos parametros aproximados; V 0
vetor dm residuos W os erros de fechameno e A e B slio matrizes de coeficien·
tes (23 l
Para urn conjunto de n pontos p do espa90 imagem, teriamos 2n equa~s:
A U + B V + W = 0 10
2n 3 3 1 2n 4n 4n 1 2n 1
c = CO + U
(3.6.) e a precisao:
~C ~ (3.10.)
Os valores das coordenadas do centro perspectivo, calculados na equa9lio
(3.9.)11, serlo utilizados com os demais pontos do modelo, na concatena9lio destes
para a forma~o de faixa ou de bloco. 0 peso atribuido a este ponto C em parti·
cular sera deterrninado a partir de ~C
As leituras referidas nesta sub-se~o serao efetuadas como explanadas na
se~o seguinte.
Uma vez concluidas as etapas mencionadas em (3.2.2.1.), os procedimentos
para as medi90Cs instrumentais, consistem geralmente em:
a) selecionar duas cotas Z e Z' constantes para os pianos de proje9lio, tais
que: !J.Z = Z' _ Z seja maior que 50 mm (Fig. 33.);
10 A dimensio de B pede ser 2n por (4n + 2) se considerarmos Z e Z' como observal;oes; 0
que seria bastante justificavel
b) flxar a cota Z e ler monocularmente as coordenadas (X, Y)t, i = 1,2, ...
... , n dos n pontos p projetados no plano Z, por urn dos projetores;
c) repetir a opera~o b) para 0 outro projetor;
d) flxar nova cota Z' e repetir as opera~lles b) e c) acima, lendo agora
(X', Y')i'
Observar que Z e Z' sac constantes ou sio observados uma s6 vez para urn
conjunto de pontos.
Fica a cargo do leitor imaginar a raz[o te6rica para que bZ seja maior que
50 mm.
Os valores observados serao enao utilizados no modelo matem:itico do item
(3.2.2.2.) para 0 c:ilculo das coordenadas dos centros perspectivos.
Outros modelos matematicos diferentes do apresentado em (3.2.2.2.) exis-
tern, mas nao sio considerados nesta sub-sec~o.
Como referido lJIlte.riormente, p estudp.claresseca-o espacial ser:i feito no pr6-
ximo capitulo. Aqui indicar-se-:i apenas como a resse~o ~ apUcada na determina~l'o
do centro perspectivo. ~ conveniente lembrar, entretanto, 0 que significa resse~ao
espacial em fotogrametria.
A resseca-o espacial consiste na determina~o dos parametros de orienta~o
exterior - W, 'P, " XC, yC ZC - de urna foto (ou em nosso caso, de urn projetor),
a partir das coordenadas (:¥.i' Yi) e (~ Yi ~), i = s, n, medidas para n pontos nos
doil espa~, imIFm e objtto.
o modelo matemitico ~ a equa~o de colinearidade, que ser:i vista adiante, e
u ~I, para 0 caso da determina~o do centro perspectivo, fica reduzida a
X, Y, Z no ~ objeto, uma vez que x, Y slo obtidos com alta precisio das
inter~ de plac:a de vidro reticulada do instrumento.
3.1.3. TraDlfClnJl89la de COIlcatena~o de modelOl em faixa
Do ponto de n.ta matem:itico, 0 problema cia forma~o de uma faixa, a partir
de modelos independentes, se resume na determina~o de parametros de transfor-
.~ entre modeb Idjacentes sucessivos e na aplica~o da transforma~ao a todos
01 pontOi do modelo a ler concatenado.
Os doiI primeirOl modelos de uma faixa, (Fig. 2.8c.) e (Fig. 2.8d.), s[o con·
caten8dos fonnando um legmento de faixa, atravn cia transform~o isogonal. A
esIe IeJIMIlto de faixa, considerado agora como urn modelo, senf ajustado 0 tercei·
ro modelo, pelo \1m novamente cia transforma~o escolhida, fazendo com que 0 seg-
mento de faixa se estenda at~ 0 terceiro modelo. 0 processo se repete at~ que 0 ul.
timo modelo passe a integrar a faixa entlo formada.
Os espa~s (ou se preferir os sistemas de referenda) de cada modelo da faixa
foram considerados independentes e as medi~s (observa~s de coordenadas do
modelo) foram realizadas nestes espa~os (Fig. 3.4.).
FIG. 3.4 - Modelos nao concatenados; Pij pontos comuns a dois modelos .
A faixa ser:i formada num mtema referencial arbitrlirio. Este pode ser 0 sis.
~ma de maq~ina do primeiromodelo; 0 sistema de modele do prirneiro modelo ou
. da outro sIStema qualquer escolhido, escolha esta, baseada geralmente em conve-
lUencia num~rica.
Os pontos comuns a dois modelos adjacentes Pij'(Fig. 3.4.), fomecem os re-
quisitos matematieos para 0 calculo dos parametros ~ transforma~o entre os dois
espa~os (ou sistemas).
Considere-se a eoncatena~a-o da faixa ilustrada (Fig. 3.4). Escolha-5C arbi-
trariamente 0 sistema do primeiro modelo, OXYZ como sistema referencial para a
faixa.
Os pontos Pij (i identifiea 0 modelo e j 0 ponto eomum aos modelos eonsi-
derados) serlo utilizados para 0 caIeulo dos sete parimetros da transforma~o iso-
gonal:
XMX +XO
2 I
onde, XI representa 0 vetor das eoordenadas de Plj em OXYZ, X
2
0 vetor das
coordenadas de P2j em 0 X Y·Z , X 0 fator de escala da transforma~ao, M a:z 2 2 :z
matriz de rota~Oes eseolhida e x:; 0 vetor de transla~s.
Para 0 easo ilustrado, existern quatro pontos Pij comuns aos modelos I e 2.
Como para cada ponto comum podemos escrever urn conjunto de tres equa~s
(3.11.), doze equa~Oes a sete ine6gnitas serlo escritas e estara'o disponiveis para 0
caIeulo dos parametros. 0 metodo dos minimos quadrados e utilizado para a esti-
mativa dos parametros.
Ern conseqiieneia das equayoes (3.11.) nao serem lineares em rela~o aos
parametros, 0 procedimento geralrnente adotado, e 0 de expansao do modelo em
serle de Taylor. 0 modelo e entao linearizado, negligenciando os termos da serie
de ordem maior ou igual a dois.
Ene procedimento requer valores aproximados para os parametros, valores
estes que constituem 0 ponto de expansao da serle e requer tarnbem a itera~o para
reparar os problemas da aproxirna~o da serle.
o procedirnento aeirna e rlgoroso do ponto de vista matematieo. Computacio-
nalmente entretanto, nao e muito atrativo. Alguns pormenores deste procedimento
sao dados a seguir e nas se~QeS posteriores outras op~s serli'o consideradas.
o modele matematico dado pelas equa~ (3.11.) sera agora desenvolvido
com algum pormenor. Este modele pode ser escrito como:
F(Ua,La) = X - XMX - XO = 0
I :1 I
Ui = [X, W, I{J, K , X? ' y~ ' Z~ ]
1 T = [X' Y. 7·'il II 11""'11
i= 1,2
o eonjunto de observayQes feitas para as coordenadas de n pontos Pij comuns aos
dois sistemas I e 2.
A forma linear do modele (3.12.) e dada por, (23) eel):
A =[-LJaUa
Ua = Uai
La = Lai
B = f-:aF J
LLa Ua = Uai
La = Lai
sendo que, U e 0 vetor de eorre~s aos valores aproximados dos parametros; Uai
slo valores aproximados dos parametros:
onde V, represen la 0 ultimo dos residuos das iterarCles preceden tes eX' L·
T ai' aJ
os melhores valores (ajustados na itera<r[o anterior) disponiveis para os parametros
e observa<rCles.
Os valores de Xai e Lai nas equa<rCles(3.14.) sao sempre os melhores disponi.
veis, isto e, a partir da segunda itera<;ao, estes valores sao valores ajustados ja obti·
dos da itera<r[o anterior. Na primeira itera<rao Xai = X~ e 4i = Lb.
A solu~o e sua qualidade sao estimadas como foi referido na sec<rao(3.2.2.2.),
equa<rOes(3.7.) e (3.8.), desde que A, B e W sejam computados como indicado nas
equa<rOes(3.14.) e (3.15.) acima.
o fato do modelo mate matico (3.11.) ser nao linear com respeito aos parame·
tras, e 0 responsavel pela grande carga computacional. Como facilmente se nota, as
express6es (3.14.) e (3.15.) bem como a solu<rao (3.7.) e. (3.8.), sac complexas e
computacionalmente pouco atrativas. Isto enseja a busca de transforma<rOes mais
eficientes numericamente, 0 que sera tratado na pr6xima sub-sec<rao.A'-ltes porem,
cumpre complementar que uma vez calculados os parametros da transfarma<rao,
todos os pontos (comuns ou nao comuns, de controle e fototriangulados) do siste-
ma da direita serao transformados e estarao assim referidos ao sistema da faixa. 0
processo de calculo dos parametros e aplica~o da transforma¢o, se repete para
cada novo modelo ate que a faixa se complete. A faixa entao formada deve ser ajus-
tada, 0 que veremos mais adiante, nestas notas.
Se admitirmos a transforma~o afun geral como adequada para a concatena-
<raodos model os em faixa, a expressao (3.11.) e entao substituida par:
onde A e uma matriz 3 por 3, contendo nove parametros inc6gnitos e T urn vetor
com tres parametros tambem inc6gnitos, totalizando doze parametros de transfor-
ma~o.
A utiliza<rao de apenas quatra pontos comuns aos dois espa<r0spropicia solu·
<rao(utica (doze equa<rClesa doze inc6gnitas), supondo a inexistencia de problemas
de singularidade. A solu<;ao sem ajustamento nao deve ser aceita em problemas pra·
ticos, uma vez que nao propicia a detec<rao de erros. Logo, cinco ou mais pontos
comuns sac requeridos.
o modelo (3.16.) e linear com respeito aos parametros e a solu~o (mica ou
por minimos quadrados, fica simplificada.
Deixamos a criterio do leitar a amilise dos inconvenientes, te6ricos e praticos
possiveis, em decorrencia da troca de modelos ocorrida da (3.11.) para a (3.16.).
44
Esta analise deve ser feita a luz dos criterios de escolha do modelo matemalico.
Tam~m as deforma<rOes do modelo devem ser consideradas.
As demandas computacionais do modelo afim sao bast ante reduzidas.
Admitindo 0 modele afim como adequado matematicamente, a solu<rll"opara-
metrica da~a em (44), e numericamente atrativa 12 ,entretanto, 0 modelo impl{cito
seria 0 mms adequado para 0 ajustamento, por admitir X 2 como observa<rao e nao
como constante.
o tratamento dispensado a equa<rao (3.11.), na seC<tao(3.2.3.1.) considerou a
matriz M como matriz convencional de rata<rao. Vimos que tal modele e pouco
reco~endavel do ~onto d~ vista de eficiencia computacional. A matriz de Rodrigues
tem sido uma 0P<rao atratlva, portanto sera cxaminada.
A matriz de rota<rao R de Rodrigues e ortogonal, isto e:
(I + S) (I - 5)-1
0 -c -:IS 1 0"2 c
-b a 0 J
"i'2-----
0, m~elo dado ,na equar,;a~ (3. J 6.) e, ~ rigOl,nao linear e impl1cito. Considera-lo parame-
tnco linear Implica em admltir 0 vetor X2 como isento de erros.
b + !ac
1R=-D c + !ab -a +!bc
-b + !ac
2 2 2onde D = 1 + (a + b + C )
4
Os elementos a, bee das eq~s (3.19.) e (3.20.) acima, sao facihnente
associados aos elementos w, l{J e K das matnzes de rota~o. Pode~ verificar que,
para pequenos w, l{J e K, as matnzes R(w), R(l{J)e R(K), podem ser escritas:
0 0
R(w) = 0 cosw -sen w = I+R'(w)
0 senw cosw
(3.20a.)
COSl{J 0 sen l{J
R(l{J)= 0 1 0 = 1+ R'(l{J)
-senl{J 0 COSl{J
(3.20b.)
III
cos K -sen K 0
R(K) = sen K cos " 0 = 1+ R'(K)
0 0 >
(3.2Oc.)
46
onde
0 0 0
R'(w) = 0 0 -w
0 w 0
(3.20d.)
0 0 l{J
R'(l{J)= 0 0 0
-<P 0 0
(3.20e.)
0 -K 0
R'(K) K 0 0
0 0 0
(3.20f.)
Para dois sistemas de coordenadas 0' x' y' z' e 0 x y z aproximadamente
paralelos, a transforma93o isogonaldada pela equa930 (3.12.) pode ser escrita como
TX' = [x' y' z' J
TX = [x y zJ
l-b
que equivale numericamente a equa~o (3.20.) para a, b, c pequenos.
Na pritica e interessante considerar nao apenas 0 caso de dois sistemas apro-
ximadarnente paralelos, mas tambem de escalas aproximadamente iguais. Isto pode-
ria significar que 0 vetor X da equa~o (3.23.) e 0 resultado da aplicaryao de uma
transforrnayao isogonal aproximada, restando agora uma transformaryao diferencial.
Podemos entao reescrever a equa~o (3.23.) como:
-y.c + z.b x.ll A - y .c.ll A t- z.b.ll A x'ox
+ x.c.ll A .•....yll A -z.a.llA + y'o= x.c + y - z.a
-xb + y.a + z -x.b.ll A t- y.a en -+- zll A z'o
x· x yc + zb + X.OA + x'o
y' x.c + y z.a + y·OA + y'o=
z· -x.b + y.a + z + z.ll A + z'o
que pode ainda ser escrita como:
[ x'
x 0 z -y 0 ~] OA [: vxo x 0 1 a - = vyy' y -zz· z y -x 0 0 0 b Vz
(3.26.)
49
x = [6 A a b c x'o y'o z'o] T
x 0 z -y 1 0 0 x' -x
A= y -z 0 x 0 1 0 eL= y' -y
z y -x 0 0 0 1 z' -z
(3.28.)
130 matrlz dOl coeficientes e vetor dos termos independentes do modelo paI3JDt!.
trico.
Deve-se notar que 0 modelo (3.25.) nao pode ser usado para transformar sis-
temas com acentuadas diferen~ em escala e ro~o. Neste caIO uma transfonna-
~ prehminar com par.imetros aproximados deve set efetuada. Uma norma pdtica
seria: a ~o (3.25.) pode setusada quando os parimetros A = 1, a = b = c = 0
constituem aceittms aproxima~ para os parimetros, para fins de ajustammto.
o modelo linear (3.25.) tem a forma do linearizado (3.26.), mas nfo foi linea·
rizado por Tayb. &te fato deve ser levado em conside~ na implemen~ do
pI'O?;iimento iteJatho •3.
Cada ponto comum aos dois sistemas propicia 1UO conjWlto de 3 ~s
(3.2~ ) e dados 1Jfaou mais pootos, os sete parimetros cia tJansf~o do esti-
maoios peIo Dtodo dos nUnimos quadrados e a transr~ isogonal rigorosa
3.2.4. Ajustamento cia faixa
Viu-se no capitulo 2 0 "ajustarnento" grllfico. Viu-se ainda alguns model os
rnatemliticos, que permitem a execu~lo daquele "ajustarnento" numericarn~nte.
Constata-se agora urn problema t(pico de transformay(o geometnca entre
dois espa~os. .. .
A faixa foi formada num referencial que fora arbltr:lno, mas preVlamente es-
thido podendo portanto estar aproximadarnente na escala e posiyao reais de ter·
:no o~ dos modelos. Suponha-se· que a faixa esteja em escala e posiyao aproxima-
das a do terreno (Fig. 3.5.):
o ajustarnento da faixa consiste no problema que segu~: dados Ci pontos
comWlS aos espa~os F e T e Pj pontos no espa~os F; calcular as coordenadas de
Pj no espa~o T 14.
Passos da soluyao:
a) escolha criteriosa do modelo de transformayao;
b) estirnativa dos parametros de transforma~ao e sua precisao, utilizando os
pontos comWlS aos dois espa~os;
c) aplicayao da transformayao aos pontos Pj de F para obtenyao de 'suas
coordenadas em T .
d) estimativa da precisao das coordenadas transformadas.
Na literatura fotogrametrica, os passos a) e d) aeima, nao tern recebido sem-
pre a atenyao requerida. Deixa-se transparecer, por exemplo, que a escolha de poli-
nOmios de graus mais altos, dariam maiores preeisoes, 0 que e te6riea e pratica-
mente incorreto e em outros casas, se rejeita de modo absoluto 0 modelo polino-
mial, 0 que nlo tern justificativa te6rica, se levarmos em conta a realidade fisica, e
que nfo aeha amparo na experiencia.
(3.29.) 3.3. FOTOTRIANGULA~AO POR MODELOS INDEPENDENTES EM BWCO
i aplic:ada para tocIoI CJI pontos do modelo cia direita para concateni-lo ao anterior.
Isto i repeticlo atI! que 0 IUtimo modelo cia fain tenha lido concatenado. 0 R na
(3.29.) i 0dadopea ~o (3.20.).
Como meaciomdo anteriormente, 0 sistema referencia1 no qual a faixa foi
fonnada,6 arbitdJio.
• 3 £ dciudo ••• exadc:io para 0 leit •• mtelalado detetar • dif~ de tJatluDeDtopua
osdoitc.JI.
Este metodo de fototriangulayao ~ espacial, fora de linha au em lote ("off.
line"), semi-8Oalitico ou analitieo, dependendo da formayao do modelo ser 8Oa16-
gica ou analitica; ~ ainda urn ajustamento em bloco simultaneo e 0 model0 materna-
tico ~ 0 isogonal.
Na fototriangul~l'o por model:>s independentes em bloco, cada modelo do
bloco seri referido a urn Unico sistema de referencia do espa~o objeto e as coorde-
nadas neste sistema de cada ponto do modelo, bem como os parametros de trans-
form~l'o, ser[o simultaneamente calculados. 0 conceito 6 ilustrado abaixo (Fig.
3.6.):
Ao transformar as coordenadas de urn modelo independente para 0 sistema.
do bloco, vamos admitir que 0 modelo foi corretamente fonnado e que f! urn mo-
delo matematicamente semelhantel:\ forma real da regiio correspondellte e. coos{'-
quentemente,o modele de transfonnay[o adequado 6 0 isogonal:
oode X e x sao dois vetores de eoordenadllS de pont os nwn e noutro sistema. R e
a matriz de rota~[o, ). e 0 fator de escala e XO 0 vetor de translayi5es.
o nwnero de inc6gnitas envolvidas na solu~o sera de:
a) sete inc6gnitas (parametros de transforma~ao) por modelo;
b) tees inc6gnitas (coordenadas)no sistema do bloeo) por ponf.o do terreno
cujas coordenadas se quer detenninar.
Assirn no exemplo ilustrado (Fig. 3.6.), temos:
- 7 x 8 :::::56 parametros de transforma~~o;
.- 3 x 25 = 75 coordenadas.
Como a inc!usao dos centros perspectivos comuns a dois rnodelo:: adjacentc~.
cia maior rigidez geometrica a "ligaylfo", inclui-se ainda, para 0 excm~la da figura,
seiscentros perspectivos, portanto mais
o mlmero de equa\(Ocs deve ser agora anaUs<:do. Pode·se escrev,~r tres e'{'ja·
~s (3.30.) para cada ponto medido nos modelos, jsto e, 0 numero de equ3\(0e"
ser4 dado por:
3 x 48 = 144 equay6es
!- 53
ill~
~
'""
8.2
.0.-e
;.;
II
i::
II
'0s::
8-
II
'0oS...2
II
'8
e
II
'0
:Ie
II•....0;;
II
'0
0•..
s::
;s
oS'
u
0
~:S.--!!-
Y:!....•e . c'.:J '0- ..••..e
A este ponto, 0 leitor rnenos atento ao problema poderia concluir apressada-
mente, que urna vez que temos 149 inc6gnitas e 180 equa~s, jll se tern possibili-
cladede solu~o, 0 que llIo e verdade, a menos que lielance rnfo do ajustarnento
)Me,0 que llIo ~ praties comurn.
Esta super abundancia de equa~l5ese aparente. Na realidade, a tentativa de
1O!u~0 por rnfuirnos quadrados daria origem a singularidade na matriz de coefici-
entes das equa~s normais. Este fato decorre da nlo defmiclo do sistema referen·
c:iaIdo bloco. Na prlltica esta defmi~o e feita com a utilizayl'o de pontos de con-
vole. Do ponto de vista computacional e conveniente tratar 0 controle de campo
como injun~s, como se vera na pr6xima se~ao.
ODdeA' = A-I e M = RT. Esta expressao assume a fonna parametrica de ajus-
tamento:
onde La e 0 vetor de coordenadas de rnodelos observados ajustados e va 0 vetor
eIeinc:6gnitas,cootendo parimetros de orienta~o de cada model0 e coordenadas
locaisdos pontos fototriangulados .
Os pontos cujas coordenadas locais slo conhecidas (pontos de apoio), lerlo
eRa inf~o adicional inserida no ajustamento, atraves de injun~l5esde controle.
No modelo matewtico principal, entretanto, seu tratamento e semelhante 80 dos
poutos de passagern.
A forma pararnetrica linearizada e:
AU + L = V
ODele OIlipiflClldos dol termoI e hem conhecido.
solU9ao muito conhecida que dispensa coment:1rios.
A solu~o, vetor dos parametros ajustados, ~ entao calculada aplicando as
corre9oes aos valores aproximados:
Devido a lineariza¢o, necessario se faz utilizar 0 valor ajustado Va como
novo valor aproximado, num procedimento iterativo bem conhecido dos cart6-
grafos.
A preci.sao dos valores e dada por:
.
02 N-I~V
a 0
e
2 yTpy XTV+LTpL
0
0 n-u n-u
onde n e 0 numero de observa90es e U 0 numero dos parametros inc6gnitos e os
de mais termos sao os usuais de ajustamento.
Como mencionado acima, as informa9OCs de controle sao introduzidas de
modo muito conveniente no ajustamento atraves das injun~s. Mostrar-se-a de
maneira simplificada como isto e feito em ajustamento. Para uma demonstra9ao
mais pormenorizada 0 leitor e referido a e 6) e e 7).
Consideremos 0 modelo mate matico (3.33.):
Como 0 vetor dos panlmetros e 0 mesmo em ambas as equa90es, pode-se
agrupar as equa~~s linearizadas (3.38.) e (3.39.) em:
A solucao da equacao (3.40.) e dada por (3.34.). Substituindo nesta os valores
dados pela (3.4.1.) e admitindo nao correla~ao entre as observa90es LI e Lz
tem-5e:
-1U = -(N +N ) (U + V )
t Z I Z
o conjunto de informa9oes de controle e introduzido no modelo mate matico
do ajustamento, por uma forma ainda mais simples que as equa90es (3.39.), pois 0
modelo e:
onde X e urn sub·vetor de V, que contem as coordenadas de terreno dos pontos
de controle a serem calculadas no processo e Xc as coordenadas de campo dos
mesmos pontos. Neste casa, a matriz Az para cada ponto de controle torna-se
uma matriz identidade.
A matriz N z eo vetor Vz serao simplesmente Pz e Pz Lz respectiva-
mente e 0 Pz, pe~!) do controle e geralmente tornado como diagonal, por razoes de
ordem pratica.
o procedimento de introdu9ao de injun90es de controle e muitoutil compu-
tacionalmente, porque se forma a matriz N ~ e 0 vetor V I , conforme 0 modelo
parametrico (3.38.) e modelo matematico (3.31.); a partir ctai, se urn dado ponto
Pj e de controle, posiciona-se dentro da matriz N I e vetor VI ' os elementos cor-
respondentes a Pj. A estes elementos adiciona-se Pz ' correspondente a Pj em N I e
P2L2 aos elementos de VI .
Este tratamento e conveniente numericamente, mantem 0 modelo parame-
t~ico e possibilita padroes especiaisa matriz At. e NI ' que sao importantes para efi·
clEncia num~rica. Estes aspectos serao considerados na se91Ioque segue.
Os problemas de ordem numerica assumem propor~oes muito significativas na
fototriangula~o analitica e semi-analitica. ~ comum a existencia de blocos com mi-
!hares de inc6gnitas e este fato, faz com que 0 aspecto otirniza~o seja seriamente
considerado principalmente nos programas de produ~[o. Tanto 0 problema do tem-
po de processamento, como 0 do espa~o de armazenamento e os dispositivos de
detec~[o de erros devem ser estudados.
Nao seria possivel nestas considera~15es gerais fazer urn estudo bastante com-
plexo destes aspectos; 0 que se fani aqui, sao considera~15es gerais sobre alguns
pontos.
Repete-se aqui por conveniencia 0 modelo rnaternatico (3.31), representan-
do A' por A:
onde U eo vetor dos parametros inc6gnitos:
UT = [ Al W 1 '-P I K
1
X~ y~ Z~ ... Am wm '-Pm Km X~ y~ Z~ XI Y 1 Zl ... Xn Y n Zn
(3.47.)
onde esta,mos sub-entendendo urn bloco de m modelos e n pontos com coordena-
das do espa~o objeto a serem determinados; e a matriz A e:
A {:~ ] = taa ~l :,;J
sendo U I C Ua, 0 vetor que cantem os parametros da transforma~ao e
vetor das coordenadas de terreno.
A 1l1~ltrll A de cod'iciclltcs assim obtiua. assumc a forma illlstrada (Fig. .I.i.)
c (Fig. 3.10.). 12 oportllllu Ilotar quc varia"ocs na urdclIJlYao dus paramctros Ua
aca1retalll v;lfiao;oes no pJdrau dc A. Estc padrau de A ddillid u padrJu da mdtlil
N, puis:
na soluo;3'ouada pela equayao (3.34.).
Uma vcz que a matriz N deve ser invertida para a determinayao tanto da
solUyao como da precisao, equayoes (3.34.) e (3.36.), a estrutura de N e de grJnde
interesse numerico. As estruturas de N para os dois casos de A (Fig. 3.7.) e (Fig.
3.10.), s:Io mostrados respectivamente nas (Fig. 3.9.) e (Fig. 3.12.).
Utilizando a tecnica de parti~ao de matrizes, grandes beneficios numericos
podem ser tifJdos da estrutura da matriz N. Por outro lado, esta estrutura pode
ser otimizada minimizando a largura da banda das duas submatrizes nao quadradas
Esta largura varia dependendo da forma do bloco e da ordena~ao estabelecida, ver
figuras de (3.7.) a (3.12.).
Tais pormenores nao serao tratados aqui. 0 leitar interessado deve consultar
a literatura especifica.
Quando trabalhamos com modelos esterosc6picos ja farmados (anal6gica ou
analiticamente), como e 0 caso da fototriangula~ao por modelos independentes, e
mais ou menos seguro dizer que, pouco ou nada se pode fazer com respeito a quali-
dade do modelo formado. Consequentemente 0 modelo deve ser admitido seme-
lliante a realidade f{sica que representa e 0 modelo matematico que se ajusta ao
caso e a transforma~ao de similaridade, do mesmo modo como visto na sec~ao
(3.2.3.).
Uma vez que a solu~ao do problema da fototriangulayao em bloco demanda
grande esfor~o computacional, certos aspectos numericos tornam-se altamente rele-
vantes. Por exemplo: 0 modelo de similaridade constituido de fun~5es trigonome-
tricas, bem como 0 de Rodrigues (ambos referidos neste capitulo), SaGnao lineares.
Sua 1ineariza~ao par expansao em serie de Taylor, requer 0 procedimento iterati\'o
como mencionado anteriormente. Considere-se ainda que os dispositivos de detec-
~ao de erros grosseiros nao SaGsuficientemente eficientes, ou nao estao implelllcllta-
dos em muitos dos programas disponiveis, 0 que implica em rcpctio;oes de processa-
lIlento.
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I rfI eP1 JrP_________ I,
151 52' 53 ' 54 f 55 f 56 "I i 2'3 '4'5' 6' 7'S' 9 'Id II '12'13'14'15'16'17'IS'19'2O'2I'22'23'M
L PARAMETROS DE TRANSFORMA~~ __ II COORDENAOAS ~ PONTOS
~«
rrIi lb ~
-------rlC(]----------Il----------
! tb Cb
-----~-L£i-- 9:L-__-------
i CbCb
----t--------11EI--J1----------
i Cbl:b-t--------lli-----------[1
1 ~~,
'--- ------"'9:l-------- ---
Ibl:b
!I-
A=jt
:t1.
l•L
• 7 •D 14
•• II 12
• 17 •
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eP eP
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Estes e outros fatores ellsejal11a busca dc m<!todos ou t~cnicas numericamcn tc
mais atrativos. J:i que aproxima~Ocs sao adotadas na solu~ao, par que nao prowrar
tambem modelos matem:Hicos aproximados, como e 0 casu da aplicayao da forma
linear da matriz de Rodrigues, descrita na secyao (3.2.3.3 .)?
Neste sentido varios modclos tem sido descnvolvidos, abandonando 0 rigor da
transforma~o conformc e adotando transforma~Cles que geralmente sac casos par-
ticulares da transformayao afim, ou ainda optando pela itera~o alternada do ajusta-
mento planimetrico com transforma~ao isogonal e ajustamento altimetrico aproxi-
madamente isogonal.
Para ilustrar 0 primeiro grupo tomar·se-a .0 modelo adotado pelo Dr. Blais
em seu programa SPACE-M e I), e 0 modelo empregado no programa PAT -M7 (9 l.
para 0 segundo, 0 modelo do SPACE-M pode ser descrito resumidamente como:
a) Em primeiro lugar, tem-se 0 modelo matematico linear, relacionando coor-
denadas de modelo (x, y, z) com coordenadas de terreno (X, Y, Z), dado por:
ax + by - cz + e
ay - bx - dz + f
az + cx + dy + g
Esta, apesar de ser uma transforma~ao com sete pariimetros, nao e isogonal' 5.
Os pariimetros a, b, ... ,g serao determinados para cada modele do bloco e destes
pariimetros, serao deduzidos outros de uma transforma~o isogonal rigorosa, que
transforme os pontos do modelo para 0 terreno. Isto deixa implicito que nao se
efetua urn ajustamento simultiineo de todos os parametros U da equa~o (3.47.),
mas sim que este hiper-vetor seja tratado em duas etapas sequenciais de ajustamento
particionado como indicado na equa~o (3.48.) onde se determina 0 subvetor U,
dos parametros ai, bi, ... , gi, i = I, m sendo m 0 mimero de modelos do bloco.
b) A partir destes, novos parimetros, agora de uma transforma~o isogonal,
serao estimados como segue:
A = (a2 + b2)1/2
K = arc tan (-b/a)
I(i arc tan (cIA)
w = arc tan (d/A)
'5 Trata-se de uma transforma~ao afim particular que nao satisfaz as propriedades de trans-
forma~ao isogonal.
c = c + C I_
f r -l C (.\ :;2.)2
g
,
g + C 3
sendo Ci corrc~ocs aplicadas as transla~ocs e dadas pelas medias dos residuos (lb-
tidos na aplica~ITo da transf orma~ao dc similaridade com 0 usa de e, f, g como
transla~ao .
c) Em tercciro lugar, 0 modelo que transforma (x, y, z) de modelo p,aa
(X, Y, Z) de terreno sera da forma isogonal:
i
! a
La
Icos .;:
I a
~en ;
-sen <.,.; I
I
cos c....'J
-
sen1
a I
cos <pJ
XI [X Y Z 1
xI [ x y z 1
xoI [ e' r g' 1
(3.53b.)
A ordem das rota~Ocs, bem como a sua forma IlITotem umajustificativa teo:
rica. Foram estabelecidas experimentalmellte,de modo a propici:H establ1ldade a
67
transfor~o com respeito 1varia~1 dOl maulas de rota~o. 0 que n(o ocorre
com a matriz de Rodrigues(II).
o modeJo emp~pdo no PAT·M7 ~ aproximadamente conforme. Para a IOlu-
~o simultinea dos ICteparimetros de transformas:lo. utiJiza 0 modelo matermtico
fundonal dado peJaseq~1 (3.25.).
Urn conjunto de tm equas:&s (3.25.) ~escrito para cada ponto observadono
modeJo:
conforme descrito na ~o 3.3.2.; [x' y' z' ]T sendo pari.metros do modele prin-
cipal e [Xc YcZc] T sendo as coordenadas de terreno dos pontos de apoio.
Este ~todo comparado com 0 ~todo empregado no programaPAT-M43
tern desvantagens de ~querer mores aproximados de boa qua1idadepara os pari_
metros e de ser mais dispendioso em tempo e armazenamento.
o ~todo iterativo que alterna os ajustamentos p~trico e altim~trico ~
utilizado no programa PAT-M43e ~ altamente atrativo do ponto de vista compu-
tacionaJ. 0 tempo de processamento ~ reduzido em muito e 0 espa~ de mem6ria
~m se toma menor.
o ajustamento p~trico utiliza a transfoI'l1las:foconforme:
X = alx - a2Y + a3
y = a2x + aIY + ~
00 de, aj slo os parametros da transforma~ao; (x. y) sA'oas ~oordenada.sde mo-
delo e (X. Y) as coordenadas de terreno. Para urn modelo perfeltamente mvelado a
uansforma~o (3.56.) ~ exata.