PC_2020-2_EP04_Funcoes Elementares_Leitura Grafica_GABARITO

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Pré-Cálculo 2020-2 EP04 – GABARITO 1 de 22 
 
DISCIPLINA PRÉ-CÁLCULO 2020-2 
 Profa. Maria Lúcia Campos 
Profa. Marlene Dieguez 
 
EP04 - FUNÇÕES ELEMENTARES – LEITURA GRÁFICA – GABARITO 
 
Exercício 1: Um contêiner, sem tampa, de base quadrada e lados retangulares tem volume de 8 
metros cúbicos. O material da base custa $5 por metro quadrado e o dos lados, $2 por metro 
quadrado. 
a) Encontre uma fórmula que expresse o custo total do contêiner como uma função do 
comprimento do lado da base. 
b) Qual é o domínio da função custo C obtida no item a). 
Resolução: 
a) 
Para o contêiner definimos: 𝑥 a medida do lado do quadrado 
da base, 𝑦 a medida do outro lado do retângulo que compõe 
as laterais do contêiner (são quatro desses retângulos), 𝑉 o 
volume, 𝐴𝑏 a área da base, 𝐴𝑖 a área de um dos retângulos 
que compõe os lados do contêiner e 𝐶 o custo total do 
contêiner. 
Temos: 
𝑉 = 8 𝑚3 𝐴𝑏 = 𝑥
2 𝐴𝑖 = 𝑥𝑦 𝑉 = 𝑥
2𝑦 
O custo total do contêiner será calculado da seguinte forma: 𝐶 = 5𝑥2 + 2 ∙ 4 ∙ 𝑥𝑦. 
Como 𝑉 = 𝑥2𝑦 = 8 , então 𝑦 =
8
𝑥2
 . 
Portanto, 
𝐶 = 5𝑥2 + 2 ∙ 4 ∙ 𝑥𝑦 = 5𝑥2 + 2 ∙ 4 ∙ 𝑥
8
𝑥2
= 5𝑥2 + 2 ∙ 4 ∙
8
𝑥
= 5𝑥2 +
64
𝑥
 
Assim, o custo total do contêiner é : 𝐶 = 5𝑥2 +
64
𝑥
 . 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
b) A função Custo é uma função do lado 𝑥 . O domínio da função Custo é o intervalo (0 , +∞) , já 
que 𝑥 é uma medida e deve ser positiva ou nula, mas não se anula por ser um denominador da 
função Custo. Uma outra razão para 𝑥 ≠ 0 é o fato de ter sido dado que 𝑉 = 8 𝑚3 , e se 𝑥 = 0 
então 𝑉 = 𝑥2𝑦 = 0 . 
________________________________________________________________________________ 
 
𝑥 
𝑥 
𝑦 
Pré-Cálculo 2020-2 EP04 – GABARITO 2 de 22 
Exercício 2: Uma caixa sem tampa deve ser construída de um pedaço retangular de papelão com 
dimensões 12 por 20 cm. Deve-se cortar quadrados de lados 𝑥 de cada canto e depois dobrar, 
conforme mostra a figura. 
a) Expresse o volume 𝑉 da caixa 
como uma função de 𝑥. 
b) Encontre o domínio de 𝑉. 
Resolução: 
a)..A base da caixa tem lados que medem: 12 − 2𝑥 cm e 20 − 2𝑥 cm. 
A área da base é 𝐴 = (12 − 2𝑥)(20 − 2𝑥) = 4𝑥2 − 64𝑥 + 240 e a altura da caixa mede 𝑥 cm. 
Assim o Volume 𝑉 da caixa é 𝑉(𝑥) = 𝑥(4𝑥2 − 64𝑥 + 240) = 4𝑥3 − 64𝑥2 + 240𝑥. 
Portanto o volume da caixa pode ser expresso como: 
𝑉(𝑥) = 4𝑥3 − 64𝑥2 + 240𝑥. 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
b) Como 𝑥 é uma medida de comprimento, não pode ser negativa e como não podemos cortar 
quadrados de lados maiores que 6 cm então 0 < 𝑥 < 6 . Note que se 𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑥 = 6 estaremos 
construindo caixas degeneradas. 
________________________________________________________________________________ 
Exercício 3: Considere as curvas abaixo com os domínios especificados em cada uma. Indique quais 
dessas curvas são gráficos de funções de x com o domínio especificado. Justifique sua resposta. 
a) Domínio: (−∞ , +∞) b) Domínio: ℝ − {𝟎} c) Domínio: (−∞, 𝟑] 
 
 
 
 
 
d) Domínio: ℝ e) Domínio(−∞ , 𝟎] 
 
 
f) Domínio:ℝ 
 g) Domínio: [−𝟑, 𝟑] 
Pré-Cálculo 2020-2 EP04 – GABARITO 3 de 22 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
As curvas dos exemplos a), c) e g) não atendem ao Teste da Reta Vertical, 
e portanto não são gráficos de função. No exemplo a), a reta vertical 𝑥 =
2 , por exemplo, corta o gráfico em três pontos distintos, fazendo 
corresponder a 𝑥 = 2, três valores distintos de y . 
 
No exemplo c), a reta vertical 𝑥 = 2 , por exemplo, corta o gráfico em 
dois pontos distintos, fazendo corresponder a 𝑥 = 2 , dois valores 
distintos de 𝑦 . 
É fácil ver que no caso g) acontece o mesmo. 
 
As curvas dos exemplos b), d) e f) atendem ao Teste da Reta Vertical, e portanto são gráficos de 
função. 
A única curva que poderia gerar alguma dúvida é a curva do exemplo e), mas prestando bastante 
atenção ao domínio considerado nesse exemplo, vemos que a única parte desta curva que está 
sendo considerada é a parte que está no 20 Quadrante, que 
atende ao Teste da Reta Vertical. 
O gráfico realmente considerado no exemplo e) é: 
________________________________________________________________________________ 
 
Pré-Cálculo 2020-2 EP04 – GABARITO 4 de 22 
Exercício 4: Considere as três seguintes funções 
a) 𝒇: ℝ ⟶ ℝ b) 𝒈: [−1, 5] ⟶ ℝ c) 𝒈: [−3, 6] ⟶ ℝ 
 𝒙 ⟼ 𝑥2 − 4𝑥 − 5 𝒙 ⟼ 𝑥2 − 4𝑥 − 5 𝒙 ⟼ 𝑥2 − 4𝑥 − 5 
Essas funções são distintas? Justifique sua resposta. Faça um esboço do gráfico de cada uma delas 
e determine suas respectivas imagens. 
Resolução: 
Apesar dessas funções terem a mesma lei de formação, o domínio que as define são distintos, o que 
torna essas funções distintas. Podemos perceber claramente essas diferenças quando esboçamos 
os gráficos dessas funções. 
a) 54)( 2 −−= xxxf b) 54)( 2 −−= xxxf c) 54)( 2 −−= xxxf 
 
 
 
 
 
 
𝐷𝑜𝑚 = ℝ 𝐷𝑜𝑚 = [−1 , 5] 𝐷𝑜𝑚 = [−3 , 6] 
𝐼𝑚 = [−𝟗 , +∞) 𝐼𝑚 = [−𝟗 , 0] 𝐼𝑚 = [−𝟗 , 16] 
________________________________________________________________________________ 
 
Exercício 5: Encontre o domínio, a imagem e esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo: 
a) 𝑓(𝑥) = 
3𝑥+|𝑥|
𝑥
 b) ℎ(𝑧) = {
−𝑧 , 𝑠𝑒 𝑧 < 0 
𝑧2 , 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑧 ≤ 1
1 , 𝑠𝑒 𝑧 > 1 
 
c) 𝑟(𝑥) = {
𝑥 + 3 , 𝑠𝑒 𝑥 < −1 
−2𝑥, 𝑠𝑒 |𝑥| ≤ 1
−2 , 𝑠𝑒 𝑥 > 1 
 
Resolução: 
a) Para que o quociente 
3𝑥+|𝑥|
𝑥
 possa calculado é preciso que o denominador não se anule, assim 
devemos ter 0x . Logo, 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ − {0} . 
Analisando x , temos que, |𝑥 | = {
−𝑥, 𝑥 < 0
𝑥, 𝑥 ≥ 0
 
Logo, 
Pré-Cálculo 2020-2 EP04 – GABARITO 5 de 22 
𝑓(𝑥) = 
3𝑥 + |𝑥|
𝑥
= {
3𝑥 + 𝑥 
𝑥
 , 𝑥 > 0
3𝑥 − 𝑥 
𝑥
 , 𝑥 < 0
 ⟺ 𝑓(𝑥) = {
4𝑥 
𝑥
 , 𝑥 > 0
2𝑥 
𝑥
 , 𝑥 < 0
 ⟺ 𝑓(𝑥) = {
4 , 𝑥 > 0
2 , 𝑥 < 0
 
 
 
 
 
 
 
 
Observamos do gráfico que Im(𝑓) = {2 , 4} 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
b) ℎ(𝑧) = {
−𝑧 , 𝑠𝑒 𝑧 < 0 
𝑧2 , 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑧 ≤ 1
1 , 𝑠𝑒 𝑧 > 1 
 . O domínio da função ℎ é a união dos intervalos que estão na 
definição da função partida: (−∞ , 0) ∪ [0 , 1] ∪ (1 , + ∞) = ℝ . 
Assim, 𝐷𝑜𝑚(ℎ) = ℝ. 
Observamos do gráfico que 
Im(ℎ) = [0 , + ∞) 
 
 
 
 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
c) 𝑟(𝑥) = {
𝑥 + 3 , 𝑠𝑒 𝑥 < −1 
−2𝑥, 𝑠𝑒 |𝑥| ≤ 1
−2 , 𝑠𝑒 𝑥 > 1 
 ⟺ 𝑟(𝑥) = {
𝑥 + 3 , 𝑠𝑒 𝑥 < −1 
−2𝑥, 𝑠𝑒 − 1 ≤ 𝑧 ≤ 1
−2 , 𝑠𝑒 𝑥 > 1 
 ⟺ 
 
O domínio da função 𝑟 é a união dos intervalos que estão 
na definição da função partida: 
(−∞ , −1) ∪ [−1 , 1] ∪ (1 , + ∞) = ℝ. 
Assim, 𝐷𝑜𝑚(𝑟) = ℝ. 
Observamos do gráfico que Im(𝑟) = (−∞ , 2] 
. 
 
 
Pré-Cálculo 2020-2 EP04 – GABARITO 6 de 22 
Exercício 6: Considere as funções 𝑓 , 𝑔 , ℎ , 𝑟 , 𝑠 , 𝑡 definidas por: 
𝑓(𝑥) = √9 − |2𝑥 − 1 | 𝑔(𝑥) = √ 
𝑥2+𝑥−6
𝑥−1
 ℎ(𝑥) = √𝑥2 + 2𝑥 − 3 
𝑟(𝑥) = 
1
𝑥2−16 
 𝑠(𝑥) = 
1
√|𝑥 |−𝑥 
 𝑡(𝑥) = √1 − √1 − 𝑥2 
a) Determine a expressão das funções 𝑢(𝑥) = 𝑓(𝑥) + ℎ(𝑥) e 𝑣(𝑥) = ℎ(𝑥) ∙ 𝑟(𝑥). 
b) Determine o domínio dasfunções: 𝑓 , 𝑔 , ℎ , 𝑟 , 𝑠 , 𝑡 , 𝑢 , 𝑣 . 
Resolução: 
a) 𝑢(𝑥) = 𝑓(𝑥) + ℎ(𝑥) = √9 − |2𝑥 − 1 | + √𝑥2 + 2𝑥 − 3 . 
𝑣(𝑥) = ℎ(𝑥) ∙ 𝑟(𝑥) = √𝑥2 + 2𝑥 − 3 ∙ 
1
𝑥2−16 
 . 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
b) Domínio da função 𝑓(𝑥) = √9 − |2𝑥 − 1 | : 
Para que essa raiz quadrada possa ser calculada é preciso que o radicando 9 − |2𝑥 − 1 | seja 
positivo ou nulo. Temos que, 
9 − |2𝑥 − 1 | ⟺ |2𝑥 − 1 | ≤ 9 ⟺ −9 ≤ 2𝑥 − 1 ≤ 9 ⟺ −8 ≤ 2𝑥 ≤ 10 ⟺ −4 ≤ 𝑥 ≤ 5 
Donde, 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = [−4 , 5]. 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Domínio da função 𝑔(𝑥) = √ 
𝑥2+𝑥−6
𝑥−1
 : 
Para que essa raiz quadrada possa ser calculada é preciso que o radicando 
𝑥2+𝑥−6
𝑥−1
 seja positivo ou 
nulo e o denominador da fração não se anule. 
Assim, 
𝑥2+𝑥−6
𝑥−1
 ≥ 0 𝑒 𝑥 − 1 ≠ 0. 
Buscando as raízes do trinômio do 2º grau 𝑥2 + 𝑥 − 6 : 
𝑥 = 
−1±√12−4.1.(−6) 
2.1
 = 
−1±√25 
2
= 
−1±5
2
 ⟹ 𝑥 = −3 ou 𝑥 = 2. 
Assim, 𝑥2 + 𝑥 − 6 = (𝑥 + 3)(𝑥 − 2) . 
Devemos fazer o estudo do sinal da fração 
𝑥2+𝑥−6
𝑥−1
 : 
função −∞ < 𝑥 < −3 𝑥 = −3 −3 < 𝑥 < 1 𝑥 = 1 1 < 𝑥 < 2 𝑥 = 2 2 < 𝑥 < ∞ 
𝑥2 + 𝑥 − 6 =
(𝑥 + 3)(𝑥 − 2) 
+ + + + 0 − − − − − − − − − 0 + + + + 
𝑥 − 1 − − − − − − − − − 0 + + + + + + + + + 
𝑥2 + 𝑥 − 6
𝑥 − 1
 − − − − dn − − − − 
 
0 ++++ 0 ++++
Pré-Cálculo 2020-2 EP04 – GABARITO 7 de 22 
Da tabela acima concluímos que : 
𝑥2 + 𝑥 − 6
𝑥 − 1
 ≥ 0 ⟺ 𝑥 ∈ [−3 , 1) ∪ [2 , +∞) 
Observação: significa não definido. 
Portanto, 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = [−3 , 1) ∪ [2 , +∞) 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Domínio da função 32)( 2 −+= xxxh . 
Para que essa raiz quadrada possa ser calculada é preciso que o radicando 322 −+ xx seja positivo 
ou nulo. 
Buscando as raízes do trinômio do 2º grau 𝑥2 + 2𝑥 − 3 : 
𝑥 = 
−2±√22−4.1.(−3) 
2.1
 = 
−2±√16 
2
= 
−2±4
2
 ⟹ 𝑥 = −3 ou 𝑥 = 1. 
Assim, 𝑥2 + 2𝑥 − 3 = (𝑥 + 3)(𝑥 − 1) e como o coeficiente do termo 𝑥2 é 1 , positivo, então 
essa parábola tem concavidade voltada para cima e, portanto, 
𝑥2 + 2𝑥 − 3 > 0 ⟺ 𝑥 < −3 ou 𝑥 > 1 . 
𝑥2 + 2𝑥 − 3 = 0 ⟺ 𝑥 = −3 ou 𝑥 = 1 . 
Assim, 𝑥2 + 2𝑥 − 3 ≥ 0 ⟺ 𝑥 ∈ ( −∞ , −3] ∪ [1 , +∞) 
Assim, estudando o sinal desse trinômio do segundo grau, temos: 
Logo, 𝐷𝑜𝑚(ℎ) = (−∞ , −3] ∪ [1 , +∞) 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Domínio da função 
16
1
)(
2 −
=
x
xr . 
Para que essa fração possa ser calculada é preciso que o denominador seja diferente de zero. 
Temos que, 
𝑥2 − 16 ≠ 0 ⟺ 𝑥2 ≠ 16 ⟺ 𝑥 ≠ −4 e 𝑥 ≠ 4 . 
Logo, 𝐷𝑜𝑚(𝑟) = ℝ − {−4 , 4} 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Domínio da função 𝑠(𝑥) = 
1
√|𝑥 |−𝑥 
 
Para que a fração 
1
√|𝑥 |−𝑥 
 e a raiz quadrada √|𝑥 | − 𝑥 possam ser calculadas é preciso que o 
radicando |𝑥 | − 𝑥 seja positivo, ou seja |𝑥 | − 𝑥 > 0. 
Temos que: 
Se 𝑥 = 0 , |𝑥 | − 𝑥 = |0 | − 0 = 0. Portanto, 𝑥 = 0 , não satisfaz a condição |𝑥 | − 𝑥 > 0. 
dn
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Se 𝑥 > 0 , |𝑥 | = 𝑥 então |𝑥 |– 𝑥 = 𝑥 − 𝑥 = 0. Portanto, 𝑥 > 0 , não satisfaz a condição |𝑥 | −
𝑥 > 0. 
Se 𝑥 < 0 , |𝑥 | = −𝑥 e −𝑥 > 0 então |𝑥 | − 𝑥 = −𝑥 − 𝑥 = −2𝑥 > 0. Portanto, 𝑥 < 0 , satisfaz 
a condição |𝑥 | − 𝑥 > 0. 
Assim, 𝐷𝑜𝑚(𝑠) = (−∞ , 0). 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Domínio da função 211)( xxt −−= 
Para que 211 x−− possa ser calculada é preciso que 01 2 − x 
Temos que, 
1111101 222 −− xxxxx e 




 −−−− 2
2
222 )1(111011 xxx 
IR0011 222 −− xxxx 
Portanto, a única exigência é que 11 − x . E assim, 𝐷𝑜𝑚(𝑠) = [−1 , 1]. 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Domínio da função =+= )()()( xhxfxu 32129 2 −++−− xxx . 
O domínio da função )()()( xhxfxu += é 
=+−−−== }),1[]3,{(]5,4)()()( [hDomfDomuDom 
]5,1[]3,4[}),1[]5,4{}]3,(]5,4{ −−=+−−−−= [[ 
 
 
 
 
 
Usamos acima a propriedade distributiva de conjuntos, a saber, 
}{}{}{ CABACBA = . 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Domínio da função 
16
1
32)()()(
2
2
−
−+==
x
xxxrxhxv . 
O domínio da função )()()( xrxhxv = é 
== )()()( rDomhDomvDom
  ),4()4,1[]3,4()4,(][]),1[]3,([ +−−−−=+−− 4,4--lR . 
ex 011 2 −−
 
 
 
Pré-Cálculo 2020-2 EP04 – GABARITO 9 de 22 
 
 
 
 
________________________________________________________________________________ 
Exercício 7: Encontre uma lei de formação (fórmula) para cada uma das funções cujos gráficos estão 
abaixo. 
a) 𝒚 = 𝑓(𝑥) b) 𝒚 = 𝑔(𝑥) 
 
 
 
 
 
Resolução: 
a) A função é uma função definida por partes: 
• No intervalo )0,( − : o gráfico é a semi reta 2=y 
• No intervalo )1,0[ : o gráfico é um segmento de reta com extremidade nos pontos 
)0,1()2,0( e . Vamos encontrar a equação da reta que contém esses pontos: 
2
1
2
10
02
−=
−
=
−
−
=m 22)1(2 +−=−−= xyxy . 
• No intervalo ),1[ + : o gráfico é uma semi-reta que contém os pontos )3,4()0,1( e . 
Vamos encontrar a equação da reta que contém esses 
pontos: 
1
3
3
14
03
==
−
−
=m . 
Portanto uma lei de formação da função é: 





−
+−

==
1,1
10,22
0,2
)(
xsex
xsex
xse
xfy 
Observação: o ponto )2,0( do gráfico satisfaz as fórmulas 2=y e 22 +−= xy , que são fórmulas 
que compõem a função partida )( xfy = . Por esse motivo é indiferente em qual dos dois intervalos, 
)( xfy =
1)1(1 −=−= xyxy
)( xfy =
 
 
 
Pré-Cálculo 2020-2 EP04 – GABARITO 10 de 22 
)0,( − ou )1,0( , o valor 0=x será incluído como extremo do intervalo. O mesmo comentário vale 
para o ponto )0,1( do gráfico. Assim, existem outras opções para definir a lei de formação de uma 
função que possui esse gráfico, uma delas é a encontrada acima, outra delas é: 





−
+−

==
1,1
10,22
0,2
)(
xsex
xsex
xse
xfy 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
b) A função )( xgy = é uma função definida por partes: 
• No intervalo )1,0[ : o gráfico é um segmento de reta de extremidade nos pontos )1,1()1,0( e
. Sua equação é 1=y . 
• No intervalo )2,1[ : o gráfico é um segmento de reta com 
extremidade nos pontos )2,2()1,1( e . Vamos encontrar a 
equação desse segmento de reta: 
1
1
1
12
12
==
−
−
=m xyxy =−=− )1(11 . 
• No intervalo ]3,2( : o gráfico é um segmento de reta com extremidade nos pontos 
)2,3()1,2( e . Vamos encontrar a equação da reta que contém esses pontos: 
1
1
1
23
12
==
−
−
=m 1)2(11 −=−=− xyxy . 
• No intervalo )4,3( : o gráfico é um segmento de reta com extremidade nos pontos 
)2,4()2,3( e . Sua equação é 2=y . 
Portanto a lei de formação da função )( xgy = é: 








−


==
43,2
32,1
21,
10,1)(
xse
xsex
xsex
xse
xgy
 
Outra opção de lei de formação da função que possui esse gráfico é, por exemplo: 








−


==
43,2
32,1
21,
10,1
)(
xse
xsex
xsex
xse
xgy 
________________________________________________________________________________ 
Exercício 8: Dado o gráfico da função )( xfy= ao lado: 
a) Obtenha os valores de )1(−f , )3(f , )0(f ; 
b) Estime o valor de )2(f ; 
 
Observação: estimar significa apresentar um valor aproximado ou um pequeno intervalo que 
contém o valor procurado. 
Pré-Cálculo 2020-2 EP04 – GABARITO 11 de 22 
c) Encontre os valores de 𝑥 para os quais 2)( =xf ; 
d) Obtenha o domínio e a imagem de f 
Resolução: 
a) Analisando o gráfico vemos que: 2)1( −=−f , 3)3( =f , 1)0( −=f . 
b) Analisando o gráfico vemos que: 3)2(5,2  f 
c) Para encontrar os valores de 𝑥 para os quais 
2)( =xf , devemos encontrar os pontos de interseção 
da reta 2=y com o gráfico da função f . 
Esses pontos são: )2,3(− , )2,1( , )2,5( . Logo, os 
valores de x para os quais 2)( =xf , são: 
5,1,3 ==−= xxx . 
d) O ]5,3[)( −=fDom e ]3,2[)(Im −=f . 
________________________________________________________________________________ 
Exercício 9: Dado o gráfico das funções 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑦 = 𝑔(𝑥) e 𝑦 = ℎ(𝑥), no mesmo para de 
eixos, faça o que se pede: 
a) Obtenha os valores de )2(f , )2(g , )2(h ; 
b) Para quais valores de x temos )()( xgxf = ? 
c) Obtenha o domínio e a imagem de f ; 
d) Obtenha o domínio e a imagem de g ; 
e) Para quais valores de x )()( xgxf  ; 
f) Para quais valores de x )()( xfxh  ; 
g) Dê o domínio, a imagem e a lei de formação da 
função )( xhy = . 
Resolução: 
a) 2)2( =f , 2)2( =g , 2)2( =h . 
b) )()( xgxf = são iguais para 22 =−= xex 
c) O ]4,4[)( −=fDom e ]3,4[)(Im −=f ; 
d) O ]3,3[)( −=gDom e ])3(,1[)(Im gg −= ; 
e) )()( xgxf  , para )2,2(− x 
f) )()( xfxh  , para )2,2(− x 
g) O gráfico da função )( xhy = é um segmento de reta que une os pontos )1,2(− e )2,2( . 
Pré-Cálculo 2020-2 EP04 – GABARITO 12 de 22 
Encontrando a equação desse segmento de reta: 
4
1
22
1
)2(2
12
=
+
=
−−
−
=m e )2(
4
1
2 −=− xy 
2
3
4
1
)2(
4
1
2 +=−=− xyxy . 
Logo, 
2
3
4
1
)( += xxh . ]2,2[)( −=hDom e ]2,1[)(Im =h 
________________________________________________________________________________ 
Exercício 10: Dado o gráfico da função )( xfy= e da função )( xgy= no mesmo par de eixos, faça 
o que se pede: 
 
a) Dê uma lei de formação de cada função; 
b) Obtenha o domínio e imagem de cada função; 
c) Para quais valores de 𝑥 temos )()( xgxf = ? 
d) Para quais valores de x temos )()( xgxf  ; 
e) Para quais valores de x temos )()( xgxf  ; 
f) Encontre a solução da equação 1)( =xf . 
Resolução: 
a) A função )( xfy = é uma função definida por partes: 
• No intervalo )2,4[ −− : o gráfico é um segmento de reta de extremidade nos pontos 
)0,2()2,4( −− e . Vamos encontrar a equação desse segmento de reta: 
1
2
2
)2(4
02
−=
−
=
−−−
−
=m 2)2())2((1 −−=+−=−−−= xyxyxy . 
• No intervalo )0,2[− : o gráfico é um segmento de 
reta com extremidade nos pontos )2,0()0,2( e− . 
Vamos encontrar a equação desse segmento de reta: 
1
2
2
)2(0
02
==
−−
−
=m 
 2))2((1 +=−−= xyxy . 
• No intervalo )2,0[ : o gráfico é um segmento de reta com extremidade nos pontos 
)0,2()2,0( e . Vamos encontrar a equação da reta que contém esses pontos: 
1
1
1
20
02
−=
−
=
−
−
=m 2)2(1 +−=−−= xyxy . 
• No intervalo ]4,2[ : o gráfico é um segmento de reta com extremidade nos pontos 
)2,4()0,2( e . 
Pré-Cálculo 2020-2 EP04 – GABARITO 13 de 22 
Vamos encontrar a equação da reta que contém esses pontos: 
1
2
2
24
02
==
−
−
=m 2)2(1 −=−= xyxy . 
Portanto uma lei de formação da função )( xgy = é: 







−
+−
−+
−−−−
==
42,2
20,2
02,2
24,2
)(
xsex
xsex
xsex
xsex
xfy 
O gráfico da função )( xgy= é um segmento de reta que contém os pontos )0,2()2,4( e− . 
Vamos encontrar a equação desse segmento de reta: 
3
1
6
2
24
02
−=
−
=
−−
−
=m )2(
3
1
−−= xy . 
Portanto, )2(
3
1
)( −−= xxg . 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
b) O domínio da função f é a união dos intervalos que estão na definição da função partida: 
]4,4[]4,2[)2,0[)0,2[)2,4[ −=−−− . 
Assim, ]4,4[)( −=fDom e ]2,0[)(Im =f . 
]4,4[)( −=gDom Calculando 
3
2
)24(
3
1
)4( −=−−=g . Assim, ]2,
3
2
[)(Im −=g ; 
c) Temos que )()( xgxf = para 
21,4 =−=−= xexx ; 
d) Temos que )()( xgxf  para 
]4,2()2,1( −x ; 
e) Temos que )()( xgxf  para )1,4( −−x ; 
f) Para encontrar os valores de x para os quais 
1)( =xf , devemos encontrar os pontos de interseção da reta 1=y com o gráfico da função f . 
Esses pontos são: (−3 , 1) , (−1 , 1) , (1 , 1) , (3 , 1). Logo, os valores de 𝑥 para os quais 𝑓(𝑥) =
1 , são: 𝑥 = −3 , 𝑥 = −1 , 𝑥 = 1 , 𝑥 = 3. 
________________________________________________________________________________ 
 
Pré-Cálculo 2020-2 EP04 – GABARITO 14 de 22 
Exercício 11: Dado o gráfico da função 𝑦 = 𝑓(𝑥) abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Encontre 
a) Domínio de 𝑓 : 𝐷𝑜𝑚(𝑓) 
b) Imagem de 𝑓 : 𝐼𝑚(𝑓) ; 
c) 𝐷 = { 𝑓(𝑥) ∶ 𝑥 ∈ [−1 , 2) ∪ (2 , 4] ⊂ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) } = 𝑓( [−1 , 2) ∪ (2 , 4] ); 
d) 𝐸 = { 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) ∶ 𝑓(𝑥) ∈ [−3 , 2) } (e) 𝐴 = { 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) ∶ 𝑓(𝑥) = 3 } ; 
f) 𝐵 = { 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) ∶ 𝑓(𝑥) > 3 } . 
Resolução: 
a) Domínio de 𝑓 : 𝐷𝑜𝑚(𝑓) 
Projetando o gráfico da função no 
eixo 𝒙, vemos que o domínio da 
função 𝒇 é o conjunto no eixo 𝑥 
indicado na figura em vermelho. 
Seu domínio é a seguinte união de 
intervalos [−𝟒. 𝟓 , 𝟐) ∪ (𝟐 , 𝟏𝟏]. 
𝑫𝒐𝒎(𝒇) = [−𝟒. 𝟓 , 𝟐) ∪ (𝟐 , 𝟏𝟏]. 
Pré-Cálculo 2020-2 EP04 – GABARITO 15 de 22 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
b) Imagem de 𝑓 : 𝐼𝑚(𝑓) 
Projetando o gráfico da função no 
eixo 𝒚, vemos que a imagem da 
função 𝒇 é o intervalo no eixo 𝑦 
indicado na figura em vermelho. 
Sua imagem é o intervalo [−𝟒,
𝟖. 𝟑]. 
𝑰𝒎(𝒇) = [−𝟒, 𝟖. 𝟑]. 
 
 
 
 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
c) 𝐷 = { 𝑓(𝑥) ∶ 𝑥 ∈ [−1 , 2) ∪ (2 , 4] ⊂ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) } = 𝑓( [−1 , 2) ∪ (2 , 4] ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em azul está o intervalo [−𝟏 , 𝟒] do eixo 𝒙 contido no domínio da função 𝒇 . 
Pré-Cálculo 2020-2 EP04 – GABARITO 16 de 22 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Parte do gráfico da função restrita 
ao intervalo [−𝟏 , 𝟒] ⊂ 𝑫𝒐𝒎(𝒇) , no eixo 𝒙 
 
 
Projeção no eixo 𝒚 da parte do 
gráfico da função restrita 
ao intervalo [−𝟏 , 𝟐) ⊂ 𝑫𝒐𝒎(𝒇) 
Logo, 
𝑰𝒎 ( [−𝟏 , 𝟐) ) = [−𝟒 , 𝟓) 
 
 
 
 
 
Pré-Cálculo 2020-2 EP04 – GABARITO 17 de 22 
 
Projeção no eixo 𝒚 da parte do 
gráfico da função restrita ao intervalo 
 (𝟐 , 𝟒 ] ⊂ 𝑫𝒐𝒎(𝒇) . 
Logo, 𝑰𝒎 ( (𝟐 , 𝟒] ) = [−𝟑 , 𝟑) 
 
 
 
 
 
 
Portanto, 𝑰𝒎 ([−𝟏 , 𝟐) ∪ (𝟐 , 𝟒] ) = [−𝟒 , 𝟓) ∪ [−𝟑 , 𝟑) = [−𝟒 , 𝟓) . 
________________________________________________________________________________ 
d) 𝐸 = { 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) ∶ 𝑓(𝑥) ∈ [−3 , 2) } 
 
Em azul está o intervalo [−𝟑 , 𝟐) 
do eixo 𝒚 contido na imagem da função 𝒇 . 
 
 
 
Parte do gráfico da função restrita ao 
intervalo [−𝟑 , 𝟐) ⊂ 𝑰𝒎(𝒇) , no eixo 𝒚 
 
 
 
 
 
Pré-Cálculo 2020-2 EP04 – GABARITO 18 de 22 
 
Projeção sobre o eixo 𝒙 da parte do 
gráfico da função restrita ao 
intervalo [−𝟑 , 𝟐) ⊂ 𝑰𝒎(𝒇) ,no 
eixo 𝒚 . 
 
 
Logo, 
{ 𝒙 ∈ 𝑫𝒐𝒎(𝒇) ∶ 𝒇(𝒙) ∈ [−𝟑 , 𝟐) ⊂ 𝑰𝒎(𝒇) } = (−
𝟑𝟒
𝟏𝟎
 , −𝟐] ∪ [𝟎 ,
𝟏𝟒
𝟏𝟎
) ∪ (
𝟕
𝟑
 , 𝟗) 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
e) 𝐴 = { 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) ∶ 𝑓(𝑥) = 3 } 
𝐴 = { 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) ∶ 𝑓(𝑥) = 3 } = {−3.5 , 1.6 , 10 } 
Gráfico da 
função 𝑦 = 𝑓(𝑥) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
Pré-Cálculo 2020-2 EP04 – GABARITO 19 de 22 
f) 𝐵 = { 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) ∶ 𝑓(𝑥) > 3 } 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A parte do gráfico da função que está acima da reta horizontal 𝒚 = 𝟑 está na figura abaixo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pré-Cálculo 2020-2 EP04 – GABARITO 20 de 22 
Projeção sobre o eixo 𝒙 da parte do gráfico da função que está acima da reta horizontal 𝒚 = 𝟑. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, 𝑩 = { 𝒙 ∈ 𝑫𝒐𝒎(𝒇) ∶ 𝒇(𝒙) > 3 } = [−𝟒. 𝟓 , −𝟑. 𝟓) ∪ (𝟏. 𝟔 , 𝟐) ∪ (𝟏𝟎 , 𝟏𝟏] 
________________________________________________________________________________ 
Exercício 12: Para fazer este exercício você deve acessar o APPLET: FUNÇÃO QUADRÁTICA na Sala 
da Disciplina de Pré-Cálculo, Aula 3. 
Uma das possíveis telas que você verá será esta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Neste applet temos três controles deslizantes: a , b , c . 
a) Clique no controle deslizante horizontal a com o botão esquerdo do mouse, e com o botão 
pressionado, arraste o mouse. 
Descreva as modificações que o gráfico sofre. O que ocorre quando a > 0 ? Quando a = 0? 
Quando a < 0? 
b) Clique no controle deslizante horizontal c com o botão esquerdo do mouse, e com o botão 
pressionado, arraste o mouse. 
Pré-Cálculo 2020-2 EP04 – GABARITO 21 de 22 
Descreva as modificações que o gráfico sofre. O que ocorre quando c > 0 ? Quando c = 0? 
Quando c < 0? 
Resolução: 
(a) 
• A concavidade da parábola está 
voltada para cima quando 𝑎 > 0 , 
como mostra a tela ao lado. 
 
 
 
 
 
• A concavidade da 
parábola está voltada para 
baixo quando 𝑎 < 0, como 
mostra a tela ao lado. 
 
 
 
 
 
 
• Quando 𝑎 = 0 , não temos mais 
uma parábola, pois 
𝑦 = 0𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑏𝑥 + 𝑐 , 
que é a equação de uma reta, como 
mostra a tela ao lado. 
 
 
 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Pré-Cálculo 2020-2 EP04 – GABARITO 22 de 22 
b) 
 
• A interseção da parábola, 
𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, com o 
eixo 𝑦 , que é no ponto, 
(0 , 𝑐) está cima do eixo 𝑥 
quando 𝒄 > 𝟎 , como 
mostra a tela ao lado. 
 
 
 
 
 
• A interseção da parábola, 𝑦 =
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, com o eixo 𝑦 , que 
é no ponto (0 , 𝑐) , está sobre o 
eixo 𝑥 quando 𝑐 = 0 , como 
mostra a tela ao lado. 
 
 
 
• A interseção da parábola, 
𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, com o eixo 
 𝑦 , que é no ponto (0 , 𝑐) , está 
abaixo do eixo 𝑥 quando 𝑐 <
0 , como mostra a tela ao lado. 
•