PC_2016-1_EP01_Polinomios

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EP 01 – 2016-1 – Polinômios Pré-Cálculo 
 
1 de 8 
CEDERJ 
EP 01 
Pré-Cálculo 
______________________________________________________________________ 
Caro aluno 
Este é o nosso primeiro Exercício Programado, que chamaremos de EP. O primeiro de muitos que 
vamos trabalhar juntos. Espero que as orientações dadas nos EPs e os exercícios resolvidos e 
propostos o ajude nessa caminhada que hoje se inicia. Nesse semestre nosso primeiro tópico 
será: POLINÔMIOS. 
Você encontrará esse conteúdo no Livro de Pré-Cálculo, Volume 2, Módulo 3, aulas 16, 17 e 18. 
Saber fatorar polinômios é muito útil para os nossos Cursos de Cálculo. 
Só para lembrar: um polinômio com coeficientes reais, na variável 𝒙, é uma expressão do tipo: 
𝑝(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0, onde 𝑛 ∈ ℤ, 𝑛 ≥ 0 e 𝑎𝑖 ∈ ℝ, 𝑖 = 0, 1, 2,⋯ , 𝑛. 
Assim como operamos com os números, podemos também operar com os polinômios. É 
importante praticar a divisão entre polinômios. No Módulo 03, páginas 20 a 23, você poderá ler 
sobre o Algoritmo de Euclides e estudar os exemplos de divisão de polinômios, ali apresentados. 
O Dispositivo de Briot – Rufini é um algoritmo eficiente e prático para a determinação do 
quociente )( xq e do resto )( xr na divisão euclidiana de um polinômio )( xp por ax . Leia 
sobre isso na página 33 do Módulo 03. 
O material básico de apoio “COMPLETAR QUADRADO” (disponível na semana 1 da plataforma) 
apresenta a técnica de completar quadrado do trinômio do 2º. grau, uma técnica de simplificação 
de expressões bastante útil, baseada nos seguintes produtos notáveis: 
222 2)( bababa  222 2)( bababa  . 
Estude esse material, pois a experiência nos tem mostrado que muitos alunos têm sérias 
dificuldades com essa técnica e temos certeza que os exemplos o ajudarão a compreender esse 
assunto e permitirá que você estude o tópico “Polinômios” com mais tranquilidade. 
O material básico de apoio “FATORAÇÃO” (disponível na Semana 1 da plataforma) o leva a saber 
fatorar alguns tipos de expressões matemáticas, simplificar alguns quocientes de expressões 
matemáticas, resolver alguns tipos de equações polinomiais. Vamos lá fazer essa revisão ou se for o 
caso, vamos lá aprender resultados que o permitirá a fatorar polinômios, assunto desse EP01. 
 
______________________________________________________________________ 
Nos resultados a seguir, você encontrará expressões como: 
fatores lineares, fatores quadráticos, fatorar um polinômio, decompor em fatores lineares e ou 
fatores quadráticos irredutíveis. 
Vamos explicar o que essas expressões significam. 
Fatores lineares: são polinômios de grau 1, da forma 𝑎𝑥 + 𝑏 , 𝑎 , 𝑏 ∈ ℝ , 𝑎 ≠ 0. 
Fatores quadráticos: são polinômios de grau 2, da forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 , 𝑎 , 𝑏 , 𝑐 ∈ ℝ , 𝑎 ≠ 0. 
EP 01 – 2016-1 – Polinômios Pré-Cálculo 
 
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Fatorar um polinômio: é uma forma resumida de dizer "escreva o polinômio como produto de 
fatores lineares e/ou fatores quadráticos irredutíveis". 
Decompor em fatores lineares e ou fatores quadráticos irredutíveis: significa fatorar o 
polinômio, ou seja, escrever o polinômio como produto de fatores lineares e/ou fatores 
quadráticos irredutíveis. 
Exemplos de polinômios fatorados: 
𝑝(𝑥) = 𝑥3 + 5𝑥2 + 2𝑥 − 8 = (𝑥 − 1)(𝑥 + 2)(𝑥 + 4) 
𝑝(𝑥) = 3𝑥3 + 15𝑥2 + 6𝑥 − 24 = (3𝑥 − 3)(𝑥 + 2)(𝑥 + 4) 
𝑝(𝑥) = 2𝑥3 + 7𝑥2 − 5𝑥 − 4 = (𝑥 − 1)(2𝑥 + 1)(𝑥 + 4) 
𝑝(𝑥) = 𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥 − 3 = (𝑥 − 1)(𝑥2 + 2𝑥 + 3), onde (𝑥2 + 2𝑥 + 3) é irredutível. 
𝑝(𝑥) = 2𝑥4 + 3𝑥3 + 3𝑥2 − 5𝑥 − 3 = (𝑥 − 1)(2𝑥 + 1)(𝑥2 + 2𝑥 + 3) 
𝑝(𝑥) = 2𝑥4 + 5𝑥3 + 3𝑥2 − 𝑥 − 1 = (𝑥 + 1)3(2𝑥 − 1) 
 
Como estamos interessados em fatorar polinômios, vamos lembrar alguns resultados importantes 
que nos permitirá encontrar a fatoração de polinômios. 
Resultado 1: 
"Seja 𝑝(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0 um polinômio na variável 𝑥 , onde 𝑛 ∈ ℕ, 
 𝑛 ≥ 1 e 𝑎𝑖 ∈ ℝ, 𝑖 = 0, 1, 2,⋯ , 𝑛. Dizemos que um número real  é uma raiz do polinômio 
)( xp se, e somente se, 0)( p ". 
______________________________________________________________________ 
Resultado 2: 
"Todo polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0, onde 𝑛 ∈ ℕ, 𝑛 ≥ 1 e 
𝑎𝑖 ∈ ℝ, 𝑖 = 0, 1, 2,⋯ , 𝑛, se decompõe em fatores lineares e/ou fatores quadráticos 
irredutíveis". 
______________________________________________________________________ 
Resultado 3: 
Em especial, vamos trabalhar com a fatoração do polinômio quadrático, polinômio de grau 2, 
cxbxaxp  2)( onde, IR,, cba , com 0a . 
Vamos, inicialmente, resolver a equação 02  cxbxa onde, IR,, cba , com 0a . 
As possíveis soluções dessa equação são raízes do polinômio cxbxaxp  2)( . 
Multiplicaremos os dois membros da equação por a : 
022  caxbaxa , que é o mesmo que 022  caxabxa . 
Completando o quadrado na variável x : 
𝑎2𝑥2 + 𝑎𝑏𝑥 + 𝑎𝑐 = 0 ⟺ (𝑎2𝑥2 + 𝑎𝑏𝑥 +
𝑏2
4
) −
𝑏2
4
+ 𝑎𝑐 = 0 ⟺ 
(𝑎𝑥 +
𝑏
2
)
2
−
𝑏2
4
+ 𝑎𝑐 = 0 ⟺ (𝑎𝑥 +
𝑏
2
)
2
= 
𝑏2
4
− 𝑎𝑐 ⟺ (𝑎𝑥 +
𝑏
2
)
2
=
𝑏2−4𝑎𝑐
4
 
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Atenção: Caso você não lembre como se completa o quadrado, veja o texto "Completando o 
Quadrado", disponível na Semana 1 da plataforma. 
Da igualdade (𝑎𝑥 +
𝑏
2
)
2
=
𝑏2−4𝑎𝑐
4
 segue que: 
I) Se ,042  cab a equação dada não tem solução, pois, (𝑎𝑥 +
𝑏
2
)
2
≥ 0, ∀ 𝑥 ∈ ℝ 
e, portanto, (𝑎𝑥 +
𝑏
2
)
2
 nunca será igual a um número negativo. 
Neste caso o polinômio cxbxaxp  2)( é irredutível em IR , não pode ser escrito 
como produto de dois polinômios de grau 1 , com coeficientes reais. 
II) Se ,042  cab então (𝑎𝑥 +
𝑏
2
)
2
= 0 , donde 0
2

b
xa e, portanto 
a
b
x
2
 . 
Neste caso 
a
b
x
2
 é a solução da equação dada e o polinômio cxbxaxp  2)( tem 
duas raízes reais iguais, e se fatora da seguinte forma: 
𝑝(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎 (𝑥 +
𝑏
2𝑎
) (𝑥 +
𝑏
2𝑎
) = 𝑎 (𝑥 +
𝑏
2𝑎
)
2
 
III) Se ,042  cab então: 
(𝑎𝑥 +
𝑏
2
)
2
=
𝑏2−4𝑎𝑐
4
 ⟺ 𝑎𝑥 +
𝑏
2
= ±
√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
 ⟺ 
𝑎𝑥 = −
 𝑏 
2
±
√𝑏2−4𝑎𝑐
2
 ⟺ 𝑎𝑥 =
−𝑏± √𝑏2−4𝑎𝑐
2
 ⟺ 𝑥 =
−𝑏± √𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
 
Neste caso, a equação dada tem duas soluções reais distintas: 
a
cabb
x
2
42
1

 e 
a
cabb
x
2
42
2

 . 
O polinômio cxbxaxp  2)( têm duas raízes reais distintas e se fatora da seguinte 
forma: 
)()()( 21
2 xxxxacxbxaxp  . 
______________________________________________________________________ 
Resultado 4: 
"Todo polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0, onde 𝑛 ∈ ℕ, 𝑛 ≥ 1, n ímpar e 
𝑎𝑖 ∈ ℝ, 𝑖 = 0, 1, 2,⋯ , 𝑛, tem pelo menos uma raiz real". 
______________________________________________________________________ 
Resultado 5: 
"Se  é uma raiz inteira do polinômio, 𝑝(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥
𝑛−1 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0, onde 
𝑛 ∈ ℕ, 𝑛 ≥ 1 e 𝑎𝑖 ∈ ℤ, 𝑖 = 0, 1, 2,⋯ , 𝑛, então  é um divisor do termo independente 0a ". 
______________________________________________________________________ 
 
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Resultado 6: 
"Se 
q
p
, onde p e q são números inteiros, 0q , p e q primos entre si, é uma raiz do 
polinômio 
01
1
1 .....)( axaxaxaxp
n
n
n
n 


onde n , 1n , ia números inteiros, 
ni ...,,3,2,1,0 , então p é um divisor do termo independente 0a e q é um divisor do 
coeficiente 
na ". 
______________________________________________________________________ 
Resultado 7: 
"O resto da divisão de um polinômio )( xp por ax é )(ap ". 
______________________________________________________________________ 
Resultado 8: 
"Um polinômio )( xp é divisível por ax se, e somente se, 0)( ap ". 
______________________________________________________________________ 
Resultado 9: 
"Senxxx .......,,, 21 são raízes de um polinômio de grau n , 
01
1
1 ...)( axaxaxaxp
n
n
n
n 

 , então ))....(()()( 21 nn xxxxxxaxp  ". 
______________________________________________________________________ 
Resultado 10: 
"Um polinômio )( xp , com nxpgr ))(( é divisível pelos binômios 
)(.....,,)(,)( 21 nxxxxxx  , onde nxxx ....,,, 21 são todos distintos entre si, se, e somente se, 
)( xp é divisível pelo produto ))....(()( 21 nxxxxxx  ". 
______________________________________________________________________ 
Vamos fatorar, em IR , alguns polinômios! 
Exemplo 1 Fatore, em IR , o polinômio 3434)( 23  xxxxp . 
Solução: 
Para fatorar )( xp precisamos conhecer as suas raízes. 
As possíveis raízes inteiras de )( xp são os divisores do termo independente 3 , que são: 
3,3,1,1  . 
Note que 120)3(;72)3(;0)1(;0)1(  pppp . 
Portanto, )( xp tem somente duas raízes inteiras, que são 1x e 1x 
Se 1x é uma raiz de )( xp então )( xp é divisível por 1)1(  xx . 
Se 1x é uma raiz de )( xp então )( xp é divisível por 1x . 
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Logo, )( xp é divisível por 1)1()1( 2  xxx . 
Dividindo )( xp por 12 x , obtemos )34()1()( 2  xxxp . 
Assim a fatoração procurada é )34()1()1()(  xxxxp . 
______________________________________________________________________ 
Exemplo 2 Fatore, em IR , o polinômio 3832)( 23  xxxxp . 
Solução: 
O polinômio 𝑝(𝑥) desse exemplo 2, tal qual o polinômio do exemplo 1, também não é um 
polinômio mônico, isto é, o coeficiente do seu termo de mais alto grau não é 1. Portanto esse 
polinômio pode admitir raízes racionais, do tipo, 
𝑚
𝑛
 , com 𝑚 , 𝑛 inteiros, primos entre si, e 𝑛 ≠ 0. 
Ao invés de começarmos a pesquisar as raízes inteiras de polinômio 𝑝(𝑥) , podemos já pesquisar 
suas raízes racionais. Neste caso, as possíveis raízes racionais desse polinômio são os divisores do 
termo independente 3 , que são: 3,3,1,1  , divididos pelos divisores do coeficiente do 
termo de maior grau, que são 2,2,1,1  . 
Assim, as possíveis raízes racionais desse polinômio são: 
2
3
,
2
3
,
2
1
,
2
1
,3,3,1,1  . Observe que aqui também estão incluídas as possíveis 
raízes inteiras, que também são racionais. 
 Uma forma de encontrar a fatoração é: 
Calcular o valor de )( xp nessas possíveis raízes: 
0)1( p , 12)1( p , 60)3( p , 0)3( p , 𝑝 (−
 1 
2
) =
15
2
 , 𝑝 (
 1 
2
) = 0 , 𝑝 (
 3 
2
) =
 9 
2
 
e 𝑝 (−
 3 
2
) = 15. 
Como 𝑝(𝑥) é um polinômio de grau 3 , então já encontramos todas as suas raízes e assim, pelo 
Resultado 9, 
𝑝(𝑥) = 2(𝑥 − 1)(𝑥 + 3) (𝑥 −
1
2
) = (𝑥 − 1)(𝑥 + 3)(2𝑥 − 1). 
 Outra forma de encontrar a fatoração é: 
𝑝(1) = 0 
𝑅𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 8
⇒ 𝑝(𝑥) é divisível por (𝑥 − 1). 
Aplicando o algoritmo de Briot-Ruffini para dividir 𝑝(𝑥) por (𝑥 − 1), 
 2 3 −8 3 
1 2 5 −3 0 
 
Logo, 2𝑥3 + 3𝑥2 − 8𝑥 + 3 = (𝑥 − 1)(2𝑥2 + 5𝑥 − 3); 
Agora podemos fatorar o trinômio de segundo grau 2𝑥2 + 5𝑥 − 3. 
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Δ = 52 − 4 ∙ 2 ∙ (−3) = 25 + 24 = 49 > 0 , donde a equação 2𝑥2 + 5𝑥 − 3 = 0 possui duas 
raízes reais distintas, 𝑥 =
−5±√Δ 
2∙2
=
−5±√49 
4
=
−5±7 
4
, logo, 
𝑥1 =
−5+7
4
=
2
4
=
1
2
 , 𝑥2 =
−5−7
4
=
−12
4
= −3. 
Fatorando, 2𝑥2 + 5𝑥 − 3 = 2 (𝑥 −
1
2
) (𝑥 + 3) = (2𝑥 − 1)(𝑥 + 3). 
Portanto, 𝑝(𝑥) = 2𝑥3 + 3𝑥2 − 8𝑥 + 3 = (𝑥 − 1)(2𝑥 − 1)(𝑥 + 3). 
______________________________________________________________________ 
Exemplo 3 O livro do matemático árabe al-Khwarizmi, que morreu antes de 850, contém uma 
extensa discussão sobre problemas de herança. Como escreve C. Boyer no livro História da 
Matemática, as complicadas leis árabes que regiam a divisão de heranças parecem ter encorajado 
o estudo da álgebra na Arábia. Dentro deste tema, está o seguinte problema: 
Um pai deixa a seus filhos uma herança de R$ 1 200 000,00. Três deles, renunciando a suas 
partes, fazem com que cada um dos demais receba, além do que receberia normalmente, um 
adicional de R$ 90 000,00. Quantos filhos tinha, no total, este pai? 
Solução: 
Considerando x o número de filhos, temos que cada um deles deveria receber: 
x
R 00,0002001$
. Como três dos seus filhos renunciaram suas partes, cada um dos demais 
recebeu: 
00,00090$
00,0002001$
R
x
R
 
Pensando de outra forma, como três dos seus filhos renunciaram suas partes, a herança foi 
dividida entre 3x filhos e cada um recebeu: 
3
00,0002001$
x
R
. 
Portanto, o número de filhos é a solução da equação: 
3
00,0002001$
00,00090$
00,0002001$


x
R
R
x
R
 
Dividindo cada membro da equação por 00,00030 temos: 
3
40
3
40


xx
. 
Mas, 









 0
3
40340
3
40340
3
40
3
40
xx
x
xx
x
xx
 



040)3()340(0
)3(
40)3()340(
xxx
xx
xxx
 
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040301209304033334040 222  xxxxxxxx . 
As raízes dessa equação são: 
58
2
133
2
1693
12
)40(14)3(3 2







 xouxx 
Portanto, o número de filhos é 8 . 
E agora, aos exercícios: 
______________________________________________________________________ 
Exercício 1: O livro "Al-Jabr Wa’l mugãbalah" escrito pelo matemático árabe al-Khwarizmi, que 
morreu antes de 850, tem grande importância na história da Matemática. O nome deste autor 
originou a palavra algarismo e a primeira palavra do título do livro, cujo significado, não se sabe 
ao certo, originou o termo álgebra, pois foi por esse livro que mais tarde a Europa aprendeu o 
ramo da Matemática que hoje tem esse nome. Um dos vários problemas que ilustram tal livro 
pede que se divida o número 10 em duas partes de modo que "a soma dos produtos obtidos, 
multiplicando cada parte por si mesma, seja igual a 58 ". Resolva-o. 
______________________________________________________________________ 
Exercício 2: Uma fatia com 3 cm de espessura é cortada paralelamente a uma das faces de um 
cubo, deixando um volume de 3cm196 . Encontre o comprimento do lado do cubo original. 
______________________________________________________________________ 
Exercício 3: Diga quais das expressões abaixo são polinômios: 
a) 2
2
1
2)( 35  xxxxp b) 5)( xt c) 53)( 2
1
3
1
 xxxq 
d) 32)( 134   xxxxs e) 
5
34
)(
3
25



x
xx
xr . 
______________________________________________________________________ 
Exercício 4: Determine os valores de cba ,, , números reais, que tornam os polinômios )( xp e 
)( xq iguais: 
)1()1()1()1()(  xxcxxbxxaxp e 53)( 2  xxq . 
______________________________________________________________________ 
Exercício 5: Faça as operações indicadas: 
a) 23 )14(2)14(  xx b) 44)( xhx  . 
______________________________________________________________________ 
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Exercício 6: Determine o quociente e o resto da divisão dos polinômios )( xp e )( xq nos 
seguintes casos: 
a) 3423)( 345  xxxxxp 12)( 3  xxxq 
b) 121143)( 2345  xxxxxxp )54()( 22  xxxxq . 
______________________________________________________________________ 
Exercício 7: Determine a , IRa , de modo que o polinômio 
axaxaxaxp 4)23()12()( 23  seja divisível por 1)(  xxq e em seguida, 
obtenha o quociente da divisão. 
______________________________________________________________________ 
Exercício 8: Fatore os seguintes polinômios: 
a) 352)( 2  xxxp b) 352)( 23  xxxxp 
c) 1)( 4  xxp d) 611692)( 234  xxxxxp 
e) 158)( 24  xxxp f) 4472)( 234  xxxxxp 
g) 1)( 4  xxp h) 𝑝(𝑥) = 𝑥4 − 2𝑥3 + 2𝑥 − 1. 
______________________________________________________________________ 
Exercício 9:Será 3x um fator do polinômio 2187)( 7  xxp ? Justifique sua resposta. 
______________________________________________________________________ 
Exercício 10: Considerando o que você aprendeu sobre polinômios, responda: existe algum 
número racional que seja igual ao seu cubo mais um? 
______________________________________________________________________ 
 
Bom trabalho!