Aula Cap 03_Gases Reais_2023

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Gases Reais
Capítulo 03 Castellan
Profª Daniela Martins Fernandes de Oliveira
Universidade estadual de Maringá
Departamento de Química
1
Desvios do Comportamento Ideal
• A lei dos gases ideais não representa o comportamento “real” dos 
gases  falha em altas pressões e baixas temperaturas  desvios 
da idealidade.
• Medidas de P, V e T diferentes das previstas pela equação PV=nRT
Para os gases ideais consideramos:
• Ausência de forças intermoleculares;
• Os átomos e/ou moléculas do gás não possuem volume (V=0), 
consideramos que o volume do gás é o volume do recipiente. 
Os desvios da idealidade estão relacionados com as 
interações entre as moléculas gasosas e com o volume 
molecular.
2
Interações entre as moléculas gasosas
Forças de atração
Distância relativamente grande.
Ex: Condensação de gases a 
baixas temperaturas
Distância relativamente pequena.
Ex: Líquidos e sólidos possuem um 
“tamanho” definido e não se 
transformam num ponto infinitesimal
E  0
E  0
As forças atrativas e repulsivas 
influenciam o V e a P do gás.
- Forças Atrativas →  P e 
(+ compressível)
- Forças Repulsivas →  V
(- compressível)
Forças de repulsão
3
Fig. 1. Gráfico de Ep de 2 átomos versus a distância entre eles.
Quanto o comportamento do gás se desvia da 
idealidade???
Para observar o desvio da idealidade, podemos comparar o volume molar 
observado , com o volume molar ideal : )( obsV )( idV
P
RT
V id = Z
V
V
id
obs
= Fator de compressibilidade (Z)
Z
RT
PV
V
V obs
id
obs
==
RT
VP
Z
obs
=
✓Para o gás ideal, Z=1, independente de T e P.
✓Para os gases reais, Z = f (T,P), é uma função da temperatura e 
da pressão.
Mede quanto o comportamento do gás se 
distancia do comportamento do gás ideal 
4
O fator de compressibilidade Z 
Gás ideal: Z = 1 
Gás real: Z = f (T ,P) 
Z > 1 ou Z <1
- Se Z  1, (Vobs Vid)  o gás é mais 
compressível que o ideal  forças atrativas 
predominam
- Se Z  1, (Vobs  Vid)  o gás é menos 
compressível que o ideal  forças repulsivas 
predominam
Z → 1 quando P → 0
Gás real: T, P., n
Gás real: T, P., n
5
RT
PV
V
V
Z
id
obs
==
Valores de Z versus P para gases a 0°C
• Para um gás ideal, Z=1 em todas as 
pressões.
• As curvas tendem p/ Z=1 qdo P→0, 
mas, suas inclinações (coef. 
angulares) são diferentes em P 
moderadas (ampliação no gráfico).
• Z →1 qdo P→0 c/ coef. angulares . 
P/ gás ideal o coef angular é nulo, p/ 
gás real, o coef. angular pode ter 
valores positivos ou negativos e pode 
variar c/ T.
• Na Temperatura de Boyle (TB), o 
gás se comporta idealmente em um 
maior intervalo de pressão.
6
Fig.2. Gráfico de Z versus P para diferentes 
gases a 0°C.
Fig.3. Gráfico de Z versus P para um dado gás 
em diferentes Temperaturas.
Valores de Z versus P p/ o CO2 em diferentes T
Podemos ver que à medida que a temperatura diminui os desvios 
tornam-se mais acentuados porque o gás se liquefaz ou está 
próximo de se liquefazer.
RT
PV
V
V
Z
id
obs
==
Z =
TB = 600K p/ CO2
7
• Em altas P todas as 
curvas (T) possuem Z  1 
(FR predominam).
• Em moderadas P, os 
desvios são mais 
acentuados para menores 
T.
• Em 1000 K, Z  1 em 
todas as P (FR 
predominam).
Valores de Z versus P para gases a 0 °C
O que podemos observar no gráfico?
Como podemos modificar a eq. do 
gás ideal de forma a representar estes 
resultados mais precisamente? 
• P/ o H2, Z1 em todas as pressões (difícil 
liquefazer);
• P/ o N2, dependendo da pressão:
P  Z  1 (forças atrativas predominam)
 P  Z  1 (forças repulsivas predominam)
• P/ o CH4 e CO2, a inclinação é mais brusca e 
negativa em  P e em  P , Z  1 
Qual desses gases é mais fácil de 
liquefazer por compressão? 
H2(l) → -253 °C (20 K)
N2(l) → -196 °C (77 K)
CH4(l) → -161,6 °C (90,7 K)
CO2(l) → -78 °C (194,7 K)
8
Ponto normal de 
liquefação (P=1 atm) 
Modificando a Equação do Gás Ideal – A equação de 
van der Waals
Podemos começar corrigindo uma falha óbvia na equação de estado do gás 
ideal que prevê que sob pressão constante, V=0 quando T= 0. 
Gás  T Líquido  T Sólido
Pequena mudança de volume da 
liquefação p/ a solidificação
Corrigindo o Volume (forças repulsivas) 
• Moléculas como esferas rígidas e impenetráveis, que 
ocupam volume. O volume de um gás real é o volume do 
recipiente menos o volume ocupado por todas as outras 
moléculas.
Podemos então prever um volume positivo e finito p/ o gás a 0 K.
O que acontece quando se resfria o gás a P= cte?
9
Modificando a Equação do Gás Ideal – A equação de 
van der Waals
Podemos obter uma nova equação provendo um volume positivo e finito para o 
gás a zero Kelvin, adicionando uma constante, b, ao volume do gás ideal:
P
RT
bV
P
RT
V
+=
=
P
RT
bV =−
O volume do gás real é o volume do 
recipiente menos o volume ocupado 
por todas as outras moléculas
P
RT
bV +=
Sendo,
Quando T = 0 ou P, , isto é, b é o volume 
excluído,
 ou seja, b é comparável ao volume molar do líq ou sólido. 
bV =
(1)
(1)
10
Como essa nova equação pode explicar as 
curvas de Z x P ????
RT
VP
Z =
P
ZRT
V = (2), Igualando as eq. (1) e (2) :
P
RT
b
P
ZRT
+= RTbPZRT +=
RT
bP
Z +=1 (3)
A eq. (3) requer que à T=cte, Z = f(P), com 
um coeficiente angular positivo. 
Explica casos em que Z > 1, ou seja, explica a 
curva do H2.
Quando Z > 1  V  0 e finito  o gás é 
menos compressível que o gás ideal, ou seja, 
as forças repulsivas (efeitos de volume) 
predominam.
Como explicar as curvas do N2, CO2 e CH4 ??????
 RT
P
RT
bV += (1)
11
Como explicar os efeitos observados para Z 1???
Podemos observar no gráfico que os 
gases que apresentam Z1 são aqueles 
que liquefazem mais facilmente. 
Deve haver uma relação entre a facilidade 
de liquefação e o fator de 
compressibilidade (Z).
Quando e por quê um gás se liquefaz???
Quando  T ou  P as moléculas se aproximam e devido às forças atrativas 
entre elas, ocorre:
Se o gás é mais compressível que o ideal, Z 1, liquefaz mais facilmente  
As forças atrativas diminuem a pressão exercida por esse gás com relação 
ao gás ideal.
E o processo inverso?
O calor de vaporização mede a 
magnitude de forças que mantém as 
moléculas unidas no estado líquido. 
12
Aumento na P
Sabemos que: a pressão exercida por um gás resulta da força que o 
mesmo exerce sobre as paredes do recipiente. Assim, essas forças agem 
para fora.
Se considerarmos as forças de atração que agem nas 
moléculas e tendem a aproximá-las entre si, constataremos 
que a pressão efetiva na parede do recipiente será inferior 
à do gás ideal.
Se forças atrativas predominam, a pressão exercida 
por um gás real será menor do que a exercida por 
um gás ideal. 
E essa redução na pressão do gás real em relação ao gás 
ideal, deve ser proporcional às forças intermoleculares.
P é proporcional à:
- Intensidade de colisões  a concentração 
molar,
 - Frequência de colisões  a concentração 
molar,
13
Seguindo nosso raciocínio, quanto a P diminui da P do gás ideal????
Logo,
2






V
n
P ccP .
V
c
1

2
1
V
P 
Devido às forças atrativas, 
a P de um gás real é menor 
que a P de um gás ideal de 
uma quantidade 
proporcional a: 
2
1
V
P
RT
bV +=
A partir da eq. (1):
)( bV
RT
P
−
=
Correção no volume
Podemos agora, corrigir 
a pressão: Equação de van der 
Waals 
a é uma cte positiva 
proporcional à energia de 
vaporização do líquido.
Dividindo por n:
14
Equação de van der 
Waals
Van der Waals foi o 1º a reconhecer a influência do 
tamanho molecular e das forças intermoleculares 
na pressão de um gás.
Resumindo....
Forças Atrativas: Contribuem p/ a compressão do gás (o gás 
é mais compressível que o ideal) e diminuem a pressão do gás 
com relação ao ideal (reduzem as colisões do gás c/ as paredes do 
recipiente.
Forças Repulsivas: Moléculas como esferas rígidas e 
impenetráveis que ocupam volume.Contribuem para a 
expansão do gás (o gás é menos compressível que o ideal) e 
aumentam o volume do gás com relação ao do gás ideal.
15
Equação de van der 
Waals
a e b são chamadas de constantes de van der 
Waals, são ctes características de cada gás e 
independentes da T.
a = cte positiva proporcional à energia de vaporização do líquido
a = Pa m6 mol-2 = Pa m3 m3 mol-2 
b = cte positiva relacionada ao volume molar a 0 K 
b = m3 mol-1 ou L mol-1
(a e b são constantes empíricas calculadas ajustando-se a equação aos 
dados experimentais ou a partir das constantes críticas do gás). São 
características de cada gás e independentes de P e T.
Energia (J)
atm L2 mol-2
16
A equação de van der Waals pode ser escrita também nas 
seguintes formas:
RTbV
V
a
P =−







+ )(
2
0
23
=−+





+−
P
ab
V
P
a
V
P
RT
bV
2






−
−
=
V
n
a
nbV
nRT
P
Obter a eq. de van der Waals em termos de volume molar!!!
Dividindo por P:
Notamos que a equação de van der Waals é de 3° grau 
em V, ou seja, para cada valor de T e P teremos três 
valores de volume. É de difícil interpretação
17
✓ Como calcular Z para um gás de van der Waals????
(1) (2) Igualando (1) e (2):
Dividindo por RT:
(3)
18
✓ Como calcular Z para um gás de van der Waals????
Z=f (T,V)
Z=f (P,T)
P → 0 ou T →  => Z → 1V →  ou T →  => Z → 1
...
V
b
VRT
a
bZ +





+





−+=
2
1
1
( )
...2
1
1 2
3
+





−+





−+= P
RT
a
b
RT
a
P
RT
a
b
RT
Z
(*)
(**) **mais conveniente
p/ x  1: 
(3)
Substituindo na eq. (3):
Série de Taylor
19
AI.4 Castellan p.481
AIV.2 Castellan p.503
x
A equação (**) que expressa Z = f (T,P) é a mais conveniente p/ explicar os desvios 
da idealidade que ocorrem em  P e  T. 
( )
...2
1
1 2
3
+





−+





−+= P
RT
a
b
RT
a
P
RT
a
b
RT
Z
Essa eq. mostra que os gases 
reais se aprox. da idealidade 
qdo P→ 0 ou T→ . 
As informações sobre os desvios da idealidade em função de P e T podem 
ser obtidas analisando o coef. angular da eq (**). 
( )
...2
21
3
+





−+





−=







P
RT
a
b
RT
a
RT
a
b
RTP
Z
T
Derivando a eq. (**)
TP
Z








Coeficiente angular inicial da 
curva de Z = f(P)
Gás de van 
der Waals
20
Artifício matemático pág. 40 Castellan
Quando P = 0, todos os termos de grau superior se anulam e a 
derivada representa o coeficiente angular inicial da curva de Z = f(P)






−=







RT
a
b
RTP
Z
T
1
Basta analisar essa derivada p/ saber a 
inclinação: 
0







==
TP
Z
RT
a
b
P/ P=0 
Predominam os efeitos das forças 
atrativas no comportamento do gás.
Z < 1 ➔ Baixas (intermediárias) P: Z < 1 
0







==
TP
Z
RT
a
b
Predominam os efeitos das forças 
repulsivas, ou do tamanho no 
comportamento do gás. ➔ Altas P: Z > 1 
0=







===
TP
Z
RT
a
b
Os efeitos das forças atrativas e 
repulsivas se compensam ➔ Z = 1 (gás 
se comporta idealmente) 21
Como Z varia com a Temperatura????
Baixas T: Predominam os 
efeitos das forças atrativas 
no comportamento do gás
Z < 1
0








TP
Z
RT
a
b
Altas T: Predominam os 
efeitos das forças 
repulsivas, ou do tamanho, 
no comportamento do gás
Z > 1
0








TP
Z
RT
a
b
Na TB: o coef angular 
inicial é nulo e a curva 
tangencia a do gás ideal 
(Z = 1) em uma ampla faixa 
de pressões
0=







=
T
B
P
Z
RT
a
b
Rb
a
TB =
Forças atrativas e 
repulsivas se 
compensam. 
TB → Temperatura de Boyle
22
Como Z varia com a Temperatura????
Na Temperatura de Boyle (TB):
0
1
=





−=







RT
a
b
RTP
Z
T Rb
a
T
B
=
Acima da TB, Z 1
Na TB, Z =1
Abaixo da TB, Z  1.
Gráfico de Z contra P p/ vários 
gases à 0ºC (273,15 K)
Temperatura de Boyle p/ vários gases
Vemos que no gráfico, a T do H2 é maior que 
sua TB, por isso Z 1. 23
A equação de van der Waals representa uma melhora 
sensível com relação à lei dos gases ideais, pois 
explica qualitativamente os desvios dos gases reais.
2
1






−
−
=
V
a
bV
RT
P
Limitação: A lei do gás ideal não possui nenhum parâmetro que dependa de 
um gás individual, a constante R é universal. A eq. de van der Waals possui 
duas constantes a e b, que são diferentes para cada gás → perda da 
generalidade. 
24
Isotermas de um Gás Real
V2V3V4
▪A T1
▪ Ponto crítico
(Tc, Pc, e Vc)
Pe
P’
LiqGás
- Acima da Tc – T suficientemente alta para 
que o gás exiba comportamento ideal
- Em T1 – T suficientemente baixa, o gás exibe 
comportamento real. Analisando a compressão do gás a 
partir do ponto A em T1.
- Analisar a curva em Tc.
Em Tc não há fronteira que separe as 
2 fases (liq e vapor). Neste ponto, T, 
P e Volume molar são Tc, Pc e Vc
- pe é a pressão de vapor de 
equilíbrio do líq em T1 
Tc
V1
- Em T  e em V  a isoterma se assemelha a do gás ideal.
25
Em T abaixo da Tc há 
fronteira separando 
líquido de gás!
Em Tc e T  Tc é 
impossível distinguir 
líquido de gás!
Em TTc é impossível 
liquefazer um gás e a 
fase que contém a 
substância é mais 
densa do que uma 
fase gasosa normal 
(fluido supercrítico)
Propriedades intermediárias 
entre líquido e gás
Continuidade 
dos Estados 26
Aplicações Industriais:
 - Extração de produtos naturais 
- Extração de corantes
- Descafeinização
- Substituição de processos de destilação
- Remoção de solvente residual de polímeros
Propriedades intermediárias 
entre líq e gás
Fluido Supercrítico
- Densidade típica de 
líquido
- Propriedades 
relacionadas ao transporte 
(difusão e viscosidade) 
típicas de gás
VANTAGENS
- Processos a baixas temperaturas
- Fácil recuperação do solvente supercrítico
- Redução de gastos com energia
Gás Pc(MPa Vc/10
-6 m3 Tc(K)
H2 1,30 65 33,2
N2 3,40 90 126
CO2 7,40 95 304
Constantes críticas de alguns gases:
O que preciso fazer para 
liquefazer H2 ????
27
Vc(10-6
 m3 mol-1)
Isotermas do CO2
28
Compressão isotérmica do 
CO2 a 20°C em um cilindro 
transparente.
Isotermas do gás carbônico, CO2, em cinco 
temperaturas diferentes. PC – ponto crítico. 
Fonte [ATKINS 2008].
Pela descrição dos 
fenômenos observados 
quando vamos do ponto A 
ao ponto F, passando pelos 
pontos ABCDEF sobre a 
isoterma do gás na Figura, 
vemos nitidamente a 
transição de fase ocorrendo 
quando dentro do sistema 
notamos a interface de 
separação entre a fase 
líquida e a fase gasosa. 
Assim ao chegarmos ao 
ponto F sabemos que 
estamos na fase líquida 
porque vimos a 
condensação ocorrer ao 
passarmos pelos estados 
dos pontos C, D e E, quando 
o sistema é bifásico. É 
sempre possível distinguir a 
fase gasosa da fase líquida 
quando ambas coexistem 
em equilíbrio no sistema.
Continuidade dos Estados
- Inicialmente em “A” a substância está em estado 
gasoso. Mantendo V constante e aquecendo o 
vapor, a P aumenta até atingir o ponto G, acima 
da Tc. Então substância é resfriada a P cte, até 
atingir o ponto F. 
- No ponto F a substância existe na “forma 
líquida”, mas em nenhum ponto desse caminho 
as duas fases coexistiram ou seja, não passamos 
pela região de duas fases.
- O ponto F poderia representar um estado 
gasoso altamente comprimido, ou seja, a 
distinção entre líquido e gás nem sempre é clara, 
ou seja, não existe uma distinção nítida e 
indiscutível do que é o estado líquido e o estado 
gasoso e isso é o PRINCÍPIO DA CONTINUIDADE 
DOS ESTADOS líquido e gasoso da matéria, pois 
ambos estados físicos são fluidos. 
G
29
Isotermas de van der Waals






−
−
=
2V
a
bV
RT
P
- Em  V, o termo V-b  V e a/V2 muito pequeno.
- Em  T, a/V2  RT/V-b e pode ser desprezado.
- Em  V e T, nenhum termo pode ser desprezado.
- As isotermas PxV obtidas a partir da equação de van der Waals mostram que 
em  V e  T as curvasse assemelham às isotermas do gás ideal. 
- Na Tc temos um ponto de inflexão (ponto crítico) semelhante ao observado 
nas isotermas do gás real.
T1
T2
Tc
T3
P
- Na pe, a isoterma prevê 3 valores de volume 
(vemos máx. e mín. e não um patamar 
horizontal). 
- A equação de van der Waals não representa 
muito bem a região heterogênea 
(descontinuidade) que surge durante a 
liquefação. 
- Representa com maior precisão os dados de 
PVT do gás em desvios moderados da 
idealidade
pe
pe’
30
Isotermas de um gás de van der Waals
p
V
T3
Tc (ponto de inflexão E)
T2
T1
Abaixo de Tc a isoterma de van der Waals é uma equação 
de 3°grau em V:
0
23
=−+





+−
p
ab
V
p
a
V
p
RT
bV
(gás ideal)pe’
V1 V2 V3
BC – Irreal, as oscilações são 
substituídas por uma reta 
passando no ponto onde a área 
da curva superior e inferior são 
iguais.
▪ E
▪ A
▪ B
▪ C
▪ D
AB → Líq super expandido
DC → Vapor super comprimido
(Estados metaestáveis)
pe
31
→ Condições analíticas p/: Ponto de Inflexão:
(Ponto Crítico)
De acordo com a equação de van der 
Waals, as duas equações seguintes 
devem ser obedecidas, 
simultaneamente no ponto crítico.
 
(T = Tc, V = Vc, P = Pc).
 
0
2
2
=







=







TT
V
P
V
P
V2V3V4
▪A T1
▪ 
LiqGás
Estado Crítico
Temperatura
 Crítica
À medida que T aumenta, a região de duas fases diminui 
até chegar em um ponto: Tc, Pc e Vc onde gás e líquido 
coexistem em equilíbrio. (ponto de inflexão)
32
2
c
c
c c
RT a
P
V b V
= −
−
( )
2 3
2
0 c
T cc
RTP a
V VV b
 
= = − + 
  −
→ Resolvendo para o ponto crítico, igualando (1) e (2):
8
27
c
a
T
bR
=
227
c
a
P
b
=
bV c 3=
(1)
(2)
Eq. van der Waals:
Substituindo em (1) ou em (2):(3)
(5)
Substituindo Tc e Vc na eq. de van der Waals:(4)
Usando as equações (3), (4) e (5) podemos 
encontrar a, b e R a partir das constantes críticas do gás.
2
3 ccVpa =
3
cV
b =
c
cc
T
Vp
R
3
8= R não é muito preciso
33
2
c
c
c c
RT a
P
V b V
= −
−
( )
2 3
2
0 c
T cc
RTP a
V VV b
 
= = − + 
  −
→ Resolvendo para o ponto crítico, igualando (1) e (2):
(1)
(2)
Eq. van der Waals:
Substituindo em (1) ou (2):
Substituindo Vc e Tc na equação de van der Waals:
Se a e b forem conhecidos, podemos calcular as coordenadas críticas do gás de vdw.
A partir das coordenadas críticas, podemos encontrar a, b e R.
2
3 ccVpa =
3
cV
b =
c
cc
T
Vp
R
3
8= R não é muito preciso
cVÉ difícil determinar pela equação de van der Waals com precisão. 
Então, recomenda-se obter a e b a partir de Tc e Pc.
c
c
c
c
p
RT
a
p
RT
b
64
)(27
8
2
==
E substituindo nas equações de a e b:
c
c
c
p
RT
V
8
3
=
Os resultados discordam dos experimentais, pois a eq. van der Waals falha 
próximo ao ponto crítico. 
A eq. van der Waals prevê o estado crítico; o fenômeno da liquefação, porém, não é 
boa para cálculos precisos próximo ao estado crítico.
Reescrevendo a eq. de R em termos de Vc: 
Atenção: Conferir/refazer 
todas essas equações 
dadas em aula!!!
35
2
3 ccVpa =3
cV
b =
Lei ou Princípio dos Estados Correspondentes
- Usando os valores de a, b e R, escritos em relação às coordenadas 
críticas, podemos escrever a eq. de van der Waals da seguinte forma:
que pode ser reescrita na forma:
→ A razão entre os valores de P, V, T e Pc, Vc, 
Tc são chamados REDUZIDOS. c
r
P
P
P
=
c
r
V
V
V
=
c
r
T
T
T
=
Variáveis Reduzidas 
do Estado
2
3
13
8
Pr
VrVr
Tr
−
−
=
(Lei dos Estados Correspondentes)
É uma equação boa p/ se trabalhar com gases em 
pressões moderadas, pois não contém nenhuma 
constante característica de cada gás individual. 
36
Em 188 v.d.w. mostrou que uma aproximação 
válida p/ todos os gases em P moderadas seria 
uma eq. de estado expressa em termos de 
variáveis reduzidas (Pr; Tc e Vr)
Como escrever a equação de van der Waals em termos de 
coordenadas críticas? 
Substituindo as constante a, b e R 
na eq. de vdw:
37
Lei ou Princípio dos Estados Correspondentes
2
3
13
8
Pr
VrVr
Tr
−
−
= - Envolve apenas razões P/Pc; T/Tc e V/Vc.
- Não tem nenhuma constante peculiar a 
um gás individual.
“Gases reais diferentes confinados no mesmo volume reduzido 
e à mesma temperatura reduzida possuem mesma pressão 
reduzida”
Gases diferentes possuem os mesmos 
fatores de compressão se tiverem as 
mesmas variáveis reduzidas
 
- Não é muito válido para grandes 
intervalos de T e P, mas tem 
precisão suficiente em P e T 
industriais.
( ),r rZ f P T=
O uso de coordenadas reduzidas faz com que as 
curvas individuais de cada gás sejam reunidas em 
uma única curva. 
Pr = f (Tr, Vr)
Vr = f (Tr, Pr)
Tr = f (Pr, Vr)
38
39
Fator de compressibilidade “Z” em termos de 
coordenadas críticas 
Outras Equações de Estado
→ Melhor exatidão no comportamento dos gases, especialmente 
a ELEVADAS PRESSÕES ou perto das TEMPERATURAS DE 
CONDENSAÇÃO, deve-se usar expressões que possuam mais de 
dois parâmetros ajustáveis.
( ) ( ) 2
2
1 ... ...
B T n C T nPV
nRT V V
= + + + +
Gás ideal
B, C, D  são funções de T.
Coeficientes viriais
▪ Equação do Virial
▪ Equação de Beattie-Bridgeman Mesmo próximo do ponto crítico 
reproduz bem os dados de PVT.
32 VVV
RTPV

+++=
40
Com 8 termos ajustáveis, a eq. 
Virial representa bem a região 
de condensação. No entanto, o 
maior n° de parâmetros 
matemáticos torna os cálculos 
mais complicados
Assim como a eq. do Virial, a eq. 
de Beattie-Bridgeman é usada 
para se obter resultados mais 
precisos acerca do 
comportamento dos gases.
Equação Forma Reduzida Constantes Críticas
Pc Vc Tc
Gás Ideal
van der 
Waals
Berthelot
Dieterici
Virial
2
RT a
P
V b V
= −
−
RT
P
V
=
2
RT a
P
V b TV
= −
−
a
RTVRTe
P
V b
−
=
−
( ) ( )
2
1 ...
B T C TRT
P
V V V
 
= + + + 
 
2
8 3
3 1
r
r r
T
P
V V
= −
−
2
8 3
3 1
r
r r r
T
P
V T V
= −
−
2
2
2 1
r rT V
r
r
e T e
P
V
−
=
−
227
a
b
1
2
3
1 2
12 3
aR
b
 
 
 
2 24
a
e b
3b
3b
2b
8
27
a
bR
1
22 2
3 3
a
bR
 
 
 
4
a
bR
Outras Equações de Estado
41
É útil em  P e T
Não é boa nas proximidades do ponto crítico. Não 
representa bem a condensação
Melhor que a eq. Gás ideal 
para estimar volumes
Boa nas proximidades do 
ponto crítico mas pouco 
usual
Usada para cálculos mais 
precisos
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