MATEMÁTICA - Trigonometria - Relações Trigonométricas

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TRIGONOMETRIA
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS.
Na Geometria Plana é dito que dois triângulos são semelhantes quando guardam 
uma proporção entre eles, ou melhor quando os ângulos e os lados do primeiro 
triângulo estão em correspondência com os ângulos e lados do segundo triângulo, de 
tal forma que seus ângulos sejam iguais e os lados do primeiro triângulo sejam 
proporcionais aos lados do segundo.
Mas, de fato não é necessário que se conheça todos os lados e ângulos dos 
triângulos para que tenhamos a semelhança assegurada. É isso que nos dizem os 
critérios de semelhança de triângulos: AA, LAL, LLL.
Caso AA - Ângulo Ângulo 
"Se dois triângulos possuem dois ângulos 
ordenadamente congruentes, então eles são 
semelhantes." 
Caso LAL - Lado Ângulo Lado
"Se dois lados de um triângulo são 
proporcionais aos lados homólogos do outro 
triângulo e se o ângulo entre estes lados for 
congruente ao correspondente do outro 
triângulo, então os triângulos são 
semelhantes." 
Caso LLL - Lado Lado Lado
"Se dois triângulos possuem os seus lados 
homólogos proporcionais, então eles são 
semelhantes." 
Uma maneira de obtermos uma linha reta é através da construção particular de dois triângulos
retângulos semelhantes e que tenham um vértice em comum. Isso é o que enunciado abaixo - e
consequência imediata do caso LAL - nos permite afirmar.
Caso particular de LAL no triângulo retângulo
Sejam ABC e DCE triângulos retângulos com 
um vértice em comum. Se os catetos b e c' são 
perpendiculares e, além disso
então as hipotenusas a e a' estão em linha 
reta. 
RELAÇÕES MÉTRICAS NUM TRIÂNGULO RETÂNGULO.
O triângulo é o polígono com menor número de lados, mas é uma das formas
geométricas mais importantes no estudo da geometria. Sempre intrigou matemáticos
desde a Antiguidade. Triângulo retângulo é aquele que apresenta um ângulo interno
medindo 90o. Esse tipo de triângulo apresenta propriedades e características muito
relevantes. Faremos o estudo das relações entre as medidas dos lados do triângulo
retângulo.
Todo triângulo retângulo é composto por dois catetos e uma hipotenusa.
A hipotenusa é o maior lado do triângulo retângulo e está oposto ao ângulo reto
Observe a figura.
Temos que:
a → é a hipotenusa
b e c → são os catetos.
A perpendicular a BC, traçada por A, é a altura h, relativa à hipotenusa do triângulo.
BH = n e CH = m são as projeções dos catetos sobre a hipotenusa
Os três triângulos são semelhantes:
∆𝐴𝐵𝐶 ~ ∆𝐴𝐵𝐻 ~ ∆𝐴𝑈𝐶
Da semelhança de triângulos obtemos as seguintes relações:
𝑐
ℎ
=
𝑏
𝑚
=
𝑎
𝑏
Assim segue que:
𝑏2 = 𝑎 .𝑚
𝑐2 = 𝑎 . 𝑛
ℎ2 = 𝑚.𝑛
𝑎. ℎ = 𝑚. 𝑛
𝑎 = 𝑚 + 𝑛
E a mais famosa das relações métricas no triângulo retângulo:
a2 = b2 + c2, que é o teorema de Pitágoras.
Todas elas são de grande utilidade na resolução de problemas que envolvem
triângulos retângulos.