espelhos esféricos de Gauss

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EDITORA CAMPO NOVO
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO ― MATERIAL DIDÁTICO 2023
Capítulo 4
EM13CNT301 - Construir questões, elaborar hipóteses, previsões e estimativas, empregar instrumentos de medição e representar e interpretar modelos explicativos, dados e/ou resultados experimentais para construir, avaliar e justificar conclusões no enfrentamento de situações-problema sob uma perspectiva científica.
1 INTRODUÇÃO
Neste capítulo, iremos estudar os conceitos fundamentais relacionados a esse tipo de espelho, como a equação esférica, a distância focal, a ampliação e a posição da imagem formada. Além disso, vamos aprender como a luz é refletida por um espelho esférico de Gauss, e como esses espelhos são usados em instrumentos ópticos como espelhos de maquiagem, lentes de câmeras, microscópios, telescópios entre outros.
Imagem de Telescópio refletor.
Os espelhos esféricos de Gauss são importantes para a compreensão dos princípios da óptica geométrica, que é a área da óptica que se dedica ao estudo da propagação da luz em meios homogêneos e transparentes, como o ar e o vidro.
Eles são amplamente utilizados em instrumentos ópticos em diversas áreas do conhecimento, como física, engenharia, medicina, astronomia e tecnologia. 
1.1 O estudo analítico do espelho esférico de Gauss
O estudo analítico do espelho esférico de Gauss é uma análise matemática cujas referências são constituídas por uma par de eixos ortogonais aplicados a espelhos esféricos. 
O referencial gaussiano de um espelho esférico é uma escolha conveniente para descrever a imagem formada por esse tipo de espelho. Nesse referencial, o espelho é considerado uma superfície esférica e a distância do centro da esfera até o vértice do espelho é chamada de raio de curvatura (R). 
1.2 Imagem real e virtual
De acordo com a figura apresentada no item 1.1 temos as seguintes características relacionadas às imagens formadas pelos espelhos esféricos:
Imagens reais: objetos ou imagens em frente do espelho (eixo ‘x’ da abscissa positiva).
Imagens virtuais: objetos ou imagens atrás do espelho (eixo ‘x’ da abscissa negativa).
 Direção perpendicular ao vértice do espelho orientação para cima (eixo ‘y’).
Nesse caso é importante destacar a simbologia adotada:
 = abscissa do objeto.
= abscissa da imagem.
 = distância focal.
 = ordenada do objeto.
 = ordenada da imagem..
Para o referencial gaussiano consideremos os seguintes casos:
 Objeto real.
 Imagem virtual
 no espelho côncavo o foco principal é real (distância focal).
 
Os pontos conjugados são pontos ópticos virtuais que têm uma função importante na óptica geométrica. Eles são definidos como pontos no espaço onde os raios de luz que emanam de um objeto real convergem após passar por uma lente ou espelho. Esses pontos são chamados de conjugados porque um deles está relacionado ao objeto real e o outro está relacionado à imagem formada pela lente ou espelho.
Equação dos espelhos esféricos
As equações do espelho esférico são utilizadas para determinar a posição e a natureza das imagens formadas por um espelho esférico. Essas equações são baseadas nas leis da reflexão da óptica geométrica e dependem da posição do objeto e da distância focal do espelho.
 
A razão entre a ordenada da imagem e a ordenada do objeto é chamada de aumento linear transversal (A).
= 
Quando a imagem é direita, ‘’ e ‘ i ’ têm o mesmo sinal, já quando a imagem é invertida fica com sinais opostos.
Exercícios Resolvidos
1) (EEAR) Quando um objeto real foi colocado perpendicularmente sobre o eixo principal a 20 cm do vértice de um espelho côncavo, não se observou a formação de imagem (imagem imprópria). Então decidiu afastar o objeto 40 cm do ponto no qual o objeto foi inicialmente colocado, mas mantendo o objeto sobre o eixo e a frente da superfície refletora. Nesta nova situação, qual o valor do aumento linear transversal observado? 
a) -2/3 
b) -1/2 
c) +1/3 
d) +1
Resposta B
Em espelho côncavos, quando a imagem for imprópria / sem imagem , significa que o objeto vai estar no foco.
Quando o objeto se afastou 40 cm da posição inicial, ou seja: 20 + 40 = 60.
Usando a equação de Gauss temos: 
p’ = 30 cm
Agora usando a fórmula chegamos ao resultado esperado:
 = 
2) (EAM) Considerando um objeto colocado sobre o eixo principal a uma distância de 10 cm do vértice de um espelho esférico côncavo de raio 10 cm, calcule a distância, em centímetros, da imagem formada pelo espelho em relação ao vértice do mesmo espelho, considerando que os raios incidentes no espelho esférico satisfazem as condições de nitidez de Gauss, e assinale a opção correta.
a) 25
b) 20
c) 15
d) 10
e) 5
Resposta D
No enunciado o raio é 10 cm, logo o foco é:
Substituindo na equação de gauss temos;
3) Um objeto real é colocado a uma distância “p” de um espelho esférico côncavo que apresenta raio de curvatura igual a 20 cm. Observa-se que este espelho conjuga uma imagem real e 4 vezes maior que o objeto. Com base nestas informações, pode-se afirmar que a imagem é ___________ e a distância p vale _________ cm.
Dentre as alternativas a seguir, assinale aquela que preenche corretamente as lacunas da questão.
a) direita, 7,5
b) direita, 12,5
c) invertida, 7,5
d) invertida, 12,5
Resposta D
1° passo) O espelho conjuga uma imagem real, logo se é real é invertida. 
Sabemos que: , (Como trata de um espelho côncavo, a distância focal é positiva).
 
2°passo) A imagem é quatro vezes maior que o objeto, logo, a ampliação será a imagem é invertida.
 
3°passo) Se e Joga na fórmula de ampliação e depois na equação de Gauss.
 
Substituindo na eq de Gauss temos , resultando em:
Exercícios propostos
1) (Famerp 2018) Um objeto luminoso encontra-se a 40 cm de uma parede e a 20 cm de um espelho côncavo, que projeta na parede uma imagem nítida do objeto, como mostra a figura.
Considerando que o espelho obedece às condições de nitidez de Gauss, a sua distância focal é 
a) 15 cm. 
b) 20 cm. 
c) 30 cm. 
d) 25 cm. 
e) 35 cm.
2) (Unesp 2020) Em uma atividade de sensoriamento remoto, para fotografar determinada região da superfície terrestre, foi utilizada uma câmera fotográfica constituída de uma única lente esférica convergente. Essa câmera foi fixada em um balão que se posicionou, em repouso, verticalmente sobre a região a ser fotografada, a uma altura h da superfície. Considerando que, nessa atividade, as dimensões das imagens nas fotografias deveriam ser 5.000 vezes menores do que as dimensões reais na superfície da Terra e sabendo que as imagens dos objetos fotografados se formaram a 20 cm da lente da câmera, a altura h em que o balão se posicionou foi de:
a) 1.000 m. 
b) 5.000 m. 
c) 2.000 m. 
d) 3.000 m. 
e) 4.000 m.
3) (G1 - ifsul 2019) Um objeto real linear é colocado a 60 cm de um espelho esférico, perpendicularmente ao eixo principal. A altura da imagem fornecida pelo espelho é 4 vezes maior que o objeto e é virtual. Com base nisso, é correto afirmar que esse espelho e a medida do seu raio de curvatura são, respectivamente, 
a) convexo e 160 cm. 
b) côncavo e 80 cm. 
c) convexo e 80 cm. 
d) côncavo e 160 cm.
4) (ifsul - 2020) Os espelhos esféricos, que podem ser classificados como côncavo ou convexo, apresentam como superfície refletora a parte interna ou externa de uma calota esférica. 
Considere um espelho esférico de Gauss, do tipo convexo, semelhante ao da imagem, com raio de curvatura é igual a 1,0 m. Uma pessoa, com 1,7 m de altura, coloca-se em pé na frente do espelho, a uma distância de 2m de sua superfície. Nessas condições, qual é o tamanho da imagem formada e suas características? 
a) 34 cm, direita e virtual. 
b) 34 cm, direita e real. 
c) 1,3 m, invertida e real.
 d) 1,3 m, direita e virtual. 
5) Numa aula, utilizando experimentos com material de baixo custo, o professor de Óptica tenta mostrar, aos seus alunos, a formação de imagens num espelho esférico. Para realizar a demonstração, ele utilizou a superfície externa e espelhada de uma bola de árvore de Natal, cujo raio vale 10 cm, e, usando uma vela acesacomo objeto real, colocou-a sobre o eixo principal e anotou cuidadosamente os dados de suas observações sobre a imagem obtida.
Considerando este aparelho como sendo ideal e colocando uma vela de 12 cm de altura, num ponto que se encontra a 25 cm do vértice do espelho, conforme a figura, o professor mostrou que a imagem é: 
a) imprópria. 
b) direta com altura de 2,0 cm 
c) invertida com altura de 2,0 cm. 
d) invertida com altura de 12 cm. 
e) direta com altura de 12 cm.
6) (Unaerp) Um espelho usado por esteticistas permite que o cliente, bem próximo ao espelho, possa ver seu rosto ampliado e observar detalhes da pele. Este espelho é: 
a) côncavo. 
b) convexo. 
c) plano. 
d) anatômico. 
e) epidérmico.
7) (Uece) A figura a seguir ilustra um espelho esférico côncavo E. Sobre o eixo principal estão indicados pontos eqüidistantes, entre os quais se encontram o foco F e o centro da curvatura O. Se um objeto real é colocado no ponto N, a imagem conjugada pelo espelho se formará no ponto: 
a) M 
b) Q 
c) O 
d) P
8) (Mackenzie) Um objeto real, colocado perpendicularmente ao eixo principal de um espelho esférico, tem imagem como mostra a figura a seguir. Pelas características da imagem, podemos afirmar que o espelho é;
a) convexo e sua imagem é virtual.
b) convexo e sua imagem é real. 
c) côncavo e a distância do objeto ao espelho é menor que o raio de curvatura do espelho, mas maior que sua distância focal. 
d) côncavo e a distância do objeto ao espelho é maior que seu raio de curvatura. 
e) côncavo e a distância do objeto ao espelho é menor que a distância focal do espelho. 
9) (Ita) Um espelho plano está colocado em frente de um espelho côncavo, perpendicularmente ao eixo principal. Uma fonte luminosa A, centrado no eixo principal entre os dois espelhos, emite raios que se refletem sucessivamente sobre os dois espelhos e formam sobre a própria fonte A, uma imagem real da mesma. O raio de curvatura do espelho é 40cm e a distância do centro da fonte A até o centro do espelho esférico é de 30cm. A distância d do espelho plano até o centro do espelho côncavo é, então:
a) 20 cm 
b) 30 cm 
c) 40 cm 
d) 45 cm 
e) 50 cm
 10) (Ufpe) Um espelho côncavo tem 24 cm de raio de curvatura. Olhando para ele de uma distância de 6,0 cm, qual o tamanho da imagem observada de uma cicatriz de 0,5cm, existente no seu rosto? 
a) 0,2 cm 
b) 0,5 cm 
c) 1,0 cm 
d) 2,4 cm 
e) 6,0 cm