Equação de Gauss para Espelhos Esféricos

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CIÊNCIAS DA NATUREZA
E SUAS TECNOLOGIAS
F B O N L I N E . C O M . B R
//////////////////
Professor(a): Artur Henrique
assunto: espelHo esférico iii
frente: físicA iV
OSG.: 118070/17
AULA 06
EAD – MEDICINA
Resumo Teórico
Estudo Analítico – Equação de Gauss dos 
pontos conjugados
Considerando as condições de nitidez de Gauss, temos:
A
B’
B
p
C V
I
F
2f
P’
A’
ƒ
1 2 3 4
Por semelhança de triângulos
A B
AB
f p
p f
A B
AB
p
f
f p
p f
p
f
p p p f f p
´ ´ ´
e
´ ´ ´ f
´ ´ f
´ ´
=
−
−
=
−
−
−
=
−
⇒ ⋅ = ⋅ + ⋅
2
2
2
2
Dividindo a equação por p · p´ · f, temos:
1 1 1
f p p
= +
´
Aumento Linear Transversal
A
i
o
p
p
= = −
´
Estudo dos sinais (Referencial de Gauss)
Luz incidente
Objetos e
imagens reais
Objetos e
imagens reais
Imagens
virtuais
Imagens
virtuais
0
A
+
+ +
C F V
0
+ CFV
Luz incidenteB
Referencial de Gauss para os espelhos côncavo (A) e convexo (B)
• Objeto real: p > 0;
• Imagem real: p´ > 0;
• Imagem virtual: p´ < 0;
• Espelho côncavo: f > 0; R > 0;
• Espelho convexo: f < 0; R < 0.
Exercícios
01. Um palito de fósforo, de 8 cm de comprimento, é colocado a 
80 cm de distância de uma espelho esférico convexo. A imagem 
do palito possui comprimento de 1,6 cm e a mesma orientação 
deste. Pode-se concluir que o valor absoluto da distância focal do 
espelho vale:
A) 10 cm
B) 20 cm
C) 30 cm
D) 40 cm
E) 50 cm
02. Um rapaz utiliza um espelho côncavo, de raio de curvatura igual 
a 40 cm, para barbear-se. Quando o rosto do rapaz está a 10 cm 
do espelho, a ampliação da imagem produzida é:
A) 1,3
B) 1,5
C) 2,0
D) 4,0
E) 40
03. Para evitar acidentes de trânsito, foram instalados espelhos 
convexos em alguns cruzamentos. A experiência não foi bem 
sucedida porque, como os espelhos convexos fornecem imagens 
menores, perde-se completamente a noção de distância. 
Para perceber esse efeito, suponha que um objeto linear seja 
colocado a 30 m de um espelho convexo de 12 m de raio, 
perpendicularmente ao seu eixo principal. A que distância do 
espelho convexo, em módulo, seria vista a imagem desse objeto?
A) 5 m
B) 6 m
C) 7,5 m
D) 18 m
E) 36 m
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Módulo de estudo
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04. Um objeto real O encontra-se diante de um espelho esférico 
côncavo, que obedece às condições de Gauss, conforme o 
esquema a seguir.
I
o
V F C
10 cm
x
21 cm
 Sendo C o centro da curvatura do espelho F seu foco principal, 
a distância x entre o objeto e o vértice V do espelho é:
A) 6,0 cm
B) 9,0 cm
C) 10,5 cm
D) 11,0 cm
E) 35,0 cm
05. A imagem do Sol é formada em um espelho esférico côncavo, 
de distância focal igual a 1 metro. Considerando a distância do 
Sol à Terra 250 vezes maior que o diâmetro do Sol, o diâmetro 
da imagem formada será:
A) 250 m B) 40 m
C) 4 m D) 4 · 10–1 m
E) 4 · 10–3 m
06. A figura a seguir mostra um espelho côncavo e diversas posições 
sobre o seu eixo principal. Um objeto e sua imagem, produzida 
por este espelho, são representantes pelas flechas na posição 4.
1 2 3 4 5 6 7 8
 O foco do espelho está no ponto identificado pelo número.
A) 1 B) 2
C) 3 D) 4
E) 8
07. Uma pessoa encontra-se de pé a uma distância de 10 cm de um 
espelho esférico. Esta pessoa vê, no espelho, sua imagem direita 
e aumentada em 5 vezes.
 Com os dados anteriores, pode-se afirmar que a sua distância 
focal do espelho é:
A) 12,5 cm B) 10 cm
C) 20 cm D) 30,5 cm
E) 25,5
08. Um objetivo é colocado sobre o eixo de um espelho convexo. 
O gráfico seguinte representa, respectivamente, as abscissas p e p´ do 
objeto e de sua imagem, ambas em relação ao vértice do espelho:
p (cm)
p’ (cm)
50
40
30
20
10
50– 5– 10– 15 10 15
 Qual é o módulo da distância focal desse espelho em centímetros?
A) 10 B) 12
C) 14 D) 16
E) 18
09. Em um experimento de Óptica Geométrica dispuseram-se um toco 
de vela e um espelho côncavo gaussiano E, de distância focal igual 
a 20 cm, como representa na figura:
E
30 cm
40 cm
x
0
x
0
x
1
x
1
 O toco de vela foi deslocado x0 a x1, com velocidade escalar de 
módulo 1,0 cm/s. Enquanto o toco de vela foi deslocado, qual 
foi o módulo da velocidade escalar média da imagem, expresso 
em centímetros por segundo?
A) 1 B) 2
C) 3 D) 4
E) 5
10. Na entrada do circo existe um espelho convexo. Uma menina de 
1,0 m de altura vê sua imagem refletida quando se encontra a 1,2 m 
do vértice do espelho. A relação entre os tamanhos da menina e 
de sua imagem é igual a 4. Qual o módulo da distância focal do 
espelho da entrada do circo?
A) 0,1 m 
B) 0,2 m
C) 0,3 m 
D) 0,4 m
E) 0,5 m
11. Um espelho esférico côncavo tem distância focal 3,0 m. Um objeto 
de dimensões desprezíveis se encontra sobre o eixo principal do 
espelho, a 6,0 m deste. O objeto desliza sobre o eixo principal, 
aproximando-se do espelho com velocidade constante de 1,0 m/s. 
Após 2,0 segundos, sua imagem
A) terá se aproximado 6,0 m do espelho.
B) terá se afastado 6,0 m do espelho.
C) terá se aproximado 3,0 m do espelho.
D) terá se afastado 3,0 m do espelho.
E) terá se aproximado 12,0 m do espelho.
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Módulo de estudo
12. Um pequeno objeto foi colocado sobre o eixo principal de um 
espelho esférico côncavo, que obedece às condições de Gauss, 
conforme ilustra a figura ao lado. O raio da esfera, da qual foi 
retirada a calota que constitui o espelho, mede 1,00 m. Nessas 
condições, a distância entre esse objeto e sua respectiva imagem 
conjugada é de:
F C
Objeto
10 cm
A) 240 cm
B) 150 cm
C) 75 cm
D) 60 cm
E) 50 cm
13. Um objeto linear de altura h está assentado perpendicularmente 
no eixo principal de um espelho esférico, a 15 cm de seu vértice. 
A imagem produzida é direita e tem altura de h/5. Este espelho é:
A) côncavo, de raio 15 cm.
B) côncavo, de raio 7,5 cm.
C) convexo, de raio 7,5 cm.
D) convexo, de raio 15 cm.
E) convexo, de raio 10 cm.
14. Colocou-se diante de um espelho esférico de Gauss um objeto 
extenso, perpendicularmente a seu eixo principal. Sua imagem 
formou-se a 2,0 cm do espelho, é direita e tem metade da altura 
do objeto. Determine a natureza e a distância focal do espelho.
A) Côncavo, 4 cm.
B) Convexo, 4 cm.
C) Plano, 3 cm.
D) Côncavo, 8 cm.
E) Convexo, 8 cm.
15. Um espelho esférico côncavo tem raio de curvatura igual a 
80 cm. Um objeto retilíneo, de 2,0 cm de altura, é colocado 
perpendicularmente ao eixo principal do espelho, a 120 cm do 
vértice. Essa posição resulta em uma imagem:
A) real e invertida de 1,0 cm de altura e a 60 cm do espelho.
B) virtual e direita de 1,0 cm de altura e a 10 cm do espelho.
C) virtual e invertida de 1,0 cm de altura e a 10 cm do espelho.
D) real e direita de 40 cm de altura e a 60 cm do espelho.
E) virtual e direita de 40 cm de altura e a 10 cm do espelho.
Resoluções
01. Utilizando o aumento linear temos:
 
i
o
p
p
p
= − ⇒ = − ⇒
´ , ´1 6
8 80
p’ = –16 cm.
 Agora pela equação de Gauss temos:
 f
p p
p p
cm f cm=
+
=
−
−
=
−
= − ⇒ =
’
’
( )
.
80 16
80 16
80
4
20 20
 Resposta: B
02. O aumento linear em função da distância focal é dado por:
A
f
f p
A A=
−
⇒ =
−
⇒ = +
20
20 10
2
 Resposta: C
03. Pela equação de Gauss, temos que:
f
p p
p p
p
p
p p p m=
⋅
+
⇒ − =
⋅
+
⇒ = − − ⇒ =
’
’
’
’
’ ’ ’6
30
30
5 30 1 5 
 Resposta: A
04. Por Gauss temos:
1 1 1 1 1
21
1
10p p f x x
+ = ⇒ −
−
= ⇒
’
x2 – 41x + 210 = 0
 Raízes: x = 35 e x’ = 6
 Como x < f = 10 cm, conclui-se que: x = 6,0 cm.
 Resposta: A
05. Como a distância do sol a terra é muito grande, a imagem do sol 
se formará no foco do espelho, portanto:
P’ = f = 1 m 
i/O = –P’/P 
i/d = –1/250 d 
i = –1/250 = 4 · 10–3 m 
 Resposta: E
06. Pela equação de Gauss temos:
f
pp
p p
d d
d
d
d
f d=
+
=
⋅
= ⇒ =
’
’
.
4 4
8
16
8
2
2
 
 Resposta: B
07. Utilizando a relação entre o aumento linear e a distância focal, 
temos:
 A
f
f p
=
−
 ⇒ 5 f – 5(10) = f ⇒ 4 f = 50 ⇒ f = 12,5 cm.
 Resposta: A
08. Analisando o gráfico e utilizando a equação de gauss dos pontos 
conjugados, temos:1 1
10
1
5
10
f
f cm= − ⇒ = −
 Resposta: A
09. Como inicialmente a vela está no centro de curvatura, sua imagem 
também se encontra nesse ponto (p
0
’ = 40 cm).
 Já quando a vela se desloca para posição x
1
, temos que:
 
1
20
1
30
1
60
1
1= + ⇒ =p
p cm
’
’
O tempo de percurso do objeto foi de:
T = d/V
T = 10/1
T = 10 s(mesmo intervalo de tempo da imagem)
Portanto a velocidade da imagem é dada por:
 v
tm
=
−
=
p ’ p ’1 0
∆
 v
m
 = 60 – 40/10 = v
m
 = 2 cm/s
 Resposta: B
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Módulo de estudo
10. Pelo aumento linear temos:
i/O= –P’/P 
i/4i= –P’/1,2 
P’= – 0,3 m 
 E utilizando a equação dos pontos conjugados de Gauss, temos:
1/f = 1/1,2 + 1/–0,3 
f = –1,2/3 
f = – 0,4 m
 Resposta: D
11. Em 2 s o objeto se aproximou 2 m do espelho ficando a 4 m do 
espelho. Portanto, pela equação dos pontos conjugados de Gauss, 
temos:
1/f = 1/P + 1/P’ → 1/3 = 1/4 + 1/P’ → P’ = 12 m
 Então, como a imagem se encontrava inicialmente a 6 m do espelho 
e agora ela está a 12 m, significa dizer que a mesma se afastou do 
espelho 6 m.
 Resposta: B
12. Pela equação dos pontos conjugados, temos:
1/f = 1/P + 1/P’ 
1/50 = 1/60 + 1/P’ 
1/50 – 1/60 = 1/P’ 
(6 – 5)/300 = 1/P’ 
P’ = 300 cm 
 Portanto a distância entre o objeto e a imagem é de 240 cm (300 – 60)
 Resposta: A
13. Pelo aumento linear temos:
i/O = –P’/P 
(h/5)/h = –P’/15 
P’ = –3 cm 
 Pela equação dos pontos conjugados, temos:
1/f = 1/P + 1/P’ 
1/f = 1/15 + 1/–3 
f = –3,75 cm 
 portanto o raio é de –7,5 cm(R< 0 → espelho convexo)
 Resposta: C
14. Pela relação entre o aumento linear e o foco, temos:
 
A
f p
f
f
f
f f f cm=
−
⇒
− −
= ⇒ + = ⇒ = −
’ ( )
( ) ,
2 1
2
2 2 4 0 
 Resposta: B
15. Por Gauss, temos que:
1 1 1 1
40
1
120
1
60 0
f p
p cm p
= + ⇒ = +
= > ⇒
p’ p’
real.’ ’ imagem
Pelo aumento linear, temos:
i
o
A
i
i cm= ⇒ = − ⇒ =
2 0
1
2
1 0
,
,
 Resposta: A
SUPERVISOR/DIRETOR: Marcelo Pena – AUTOR: Artur Henrique
DIG.: Renan Oliveira – REV.: Karlla