curvas verticais

Prévia do material em texto

ESTRADAS – CCE1033
Aula 8: Curvas verticais
CCE1033 ESTRADAS - Ementa
Capítulo 1 -Generalidades sobre transportes no Brasil
Capítulo 2 – Elementos para o projeto de Estradas
Capítulo 3 – Características técnicas das Estradas
Capítulo 4 – Concordância de curvas horizontais
Capítulo 5 – Concordância de curvas verticais
Capítulo 6 – Projeto de Terraplenagem
Capítulo 7 – Drenagem de estradas
Capítulo 8 – Projeto de Pavimentação
CCE1033 ESTRADAS - Conteúdos
Capítulo 5 Concordância de Curvas Verticais 
5.1-Introdução 
5.2-Inclinações Máximas e Mínimas das Rampas 
5.3-Tipos de Curvas Verticais 
5.4- Propriedades das Curvas Verticais Parabólicas 
5.5-Escolha do Comprimento de Curvas Verticais 
5.6-Comprimento Mínimo das Curvas Verticais 
5.7-Cálculo das Cotas dos Pontos das Curvas Verticais 
Parabólicas
CCE1033 ESTRADAS - Referências
Curvas verticais
Curvas verticais
PROJETO EM PERFIL, PROJETO VERTICAL OU GREIDE DE UMA ESTRADA DE RODAGEM
• Greide é a representação do eixo da rodovia sobre o plano vertical
• Também denominado projeto em perfil ou projeto altimétrico
• A escala vertical deve ser 10 vezes a escala horizontal
• As inclinações ou rampas são dadas em percentual
Curvas verticais
PROJETO EM PERFIL, PROJETO VERTICAL OU GREIDE DE UMA ESTRADA DE RODAGEM
• Os trechos retos do greide, considerando o sentido do estaqueamento, são 
denominados:
- Rampa ou aclive, quando o trecho for ascendente
• As curvas verticais podem ser:
- Contra-rampa ou declives, quando o trecho for descendente
- Plano, quando a inclinação for nula
- côncavas
- convexas
Curvas verticais
PROJETO EM PERFIL, PROJETO VERTICAL OU GREIDE DE UMA ESTRADA DE RODAGEM
• Pontos singulares do greide:
- PCV → ponto de curva vertical
• São numerados sequencialmente desde a primeira curva até a última
- PIV → ponto de interseção vertical
- PTV → ponto de tangência vertical
Curvas verticais
Curvas verticais (Pontes Filho, 1998)
PROJETO EM PERFIL, PROJETO VERTICAL OU GREIDE DE UMA ESTRADA DE RODAGEM
Curvas verticais (Pontes Filho, 1998)
Exemplo
Dados:
𝐸(PIV1) =7 + 0,00m
𝐸(PIV2) =18 + 10,00m
cota (PIV1) =97,985m
cota (PIV2) =89,935m
Pede-se:
Qual a declividade do greide entre
PIV1e PIV2, 𝑖2?
Curvas verticais (Pontes Filho, 1998)
Solução Dados:
𝐸(PIV1) =7 + 0,00m
𝐸(PIV2) =18 + 10,00m
cota (PIV1) = 97,985m
cota (PIV2) =89,935m
𝑖2 =
𝑑ℎ
𝑑𝑙
=
cota PIV2 − cota (PIV1)
𝐸 PIV2 − 𝐸(PIV1)
𝑖2 =
89,935m − 97,985m
18 + 10,00m − 7 + 0,00m
𝑖2 =
−8,05m
230,0m
= −0,035m/m
𝑖2 = −3,5%
Curvas verticais (Pontes Filho, 1998)
Inclinação Máxima das Rampas (%)
Comprimento Crítico de Rampa
Curvas verticais (Pontes Filho, 1998)
CÁLCULO DOS ELEMENTOS DEFINIDORES DA CURVA PARABÓLICA DE CONCORDÂNCIA VERTICAL
Curvas verticais (Pontes Filho, 1998)
Diferença algébrica de rampas
𝑔 = 𝑖1 − 𝑖2
𝑔 > 0 (curva convexa)
𝑔 < 0 (curva côncava)
Curvas verticais (Pontes Filho, 1998)
Exemplo
𝑔 = 𝑖1 − 𝑖2
𝑔 < 0 (curva côncava)
𝑖1 = −3% 𝑖2 = 4%
𝑔 = −3 − 4
𝑔 = −7%
Tipos de Curvas verticais (Pontes Filho, 1998)
Curvas verticais (Pimenta e Oliveira, 2004)
Exercício: Calcular as cotas dos PIVs e a rampa desconhecida
7
4
5
,2
3
m
8
1
2
,9
7
m
PIV1
PIV 2
PIV 3
[0 + 0,00] [82 + 2,00] [120 + 8,00] [164 + 8,00] [254 + 18,00]
Estacas
Curvas verticais (Pontes Filho, 1998)
Propriedades das parábolas
O ponto de interseção (I) de duas tangentes à parábola, traçadas a partir
de dois pontos quaisquer pertencentes à parábola, possui abscissa cujo
valor é a média entre as abscissas de PCV e PTV
Curvas verticais (Pontes Filho, 1998)
Propriedades das parábolas
A variação da tangente à curva é um polinômio de segundo grau,
portanto a derivada é do primeiro grau
Curvas verticais (Pontes Filho, 1998)
Raios mínimos das parábolas, 𝜌
𝜌 =
𝐿
𝑔
𝑔 = dif. algébrica de rampas
𝐿 = comp. horizontal da parábola
𝐿 = 𝜌 𝑔
𝐿 = 𝜌 𝑔 /100 , se g estiver em %
𝑔 = 𝑖1 − (−𝑖2)
Curvas verticais (Pontes Filho, 1998)
Raios mínimos das parábolas, 𝜌
𝜌 =
𝐿
𝑔
𝑔 = dif. algébrica de rampas
𝐿 = comp. horizontal da parábola
𝐿 = 𝜌 𝑔
𝐿 =
𝜌
100
𝑔 , se g estiver em %
𝜌
100
= 𝐾, parâmetro K
Curvas verticais (Pontes Filho, 1998)
Curvas verticais (Pontes Filho, 1998)
Equação da parábola
𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
Na origem dos eixos
𝑥 = 0
𝑦 = 0
𝑐 = 0
Curvas verticais (Pontes Filho, 1998)
Derivada da curva no
ponto PCV é igual à
inclinação da reta
tangente à curva
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑖1
2𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑖1
𝑏 = 𝑖1 − 2𝑎𝑥
𝑥 = 0 → 𝑏 = 𝑖1
Curvas verticais (Pontes Filho, 1998)
Derivada da curva no
ponto PTV é igual à
inclinação da reta
tangente à curva
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑖2
2𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑖2
2𝑎𝑥 = 𝑖2 − 𝑏
2𝑎𝑥 = 𝑖2 − 𝑖1
𝑎 =
𝑖2 − 𝑖1
2𝑥
onde 𝑥 = 𝐿 (PTV)
Curvas verticais (Pontes Filho, 1998)
𝑎 =
𝑖2 − 𝑖1
2𝐿
se 𝑔 = 𝑖1 − 𝑖2
−𝑔 = 𝑖1 − 𝑖2
𝑎 =
−𝑔
2𝐿
Portanto, chega-se à
equação geral da
parábola:
𝑦 = −
𝑔
2𝐿
𝑥2 + 𝑖1𝑥
Curvas verticais (Pontes Filho, 1998)
FLEXAS PARCIAIS
1° ramo da parábola
𝑖1 =
𝑓 + 𝑦
𝑥
𝑓 + 𝑦 = 𝑖1x
𝑓 −
𝑔
2𝐿
𝑥2 + 𝑖1𝑥 = 𝑖1x
𝑓 =
𝑔
2𝐿
𝑥2 onde 𝑓 = flexa da parábola no ponto P.
Curvas verticais (Pontes Filho, 1998)
FLEXAS PARCIAIS
No ponto PIV, temos
a flexa máxima
𝐹 =
𝑔
2𝐿
𝐿
2
2
=
𝑔
2𝐿
𝐿2
4
𝐹 =
𝑔𝐿
8
Curvas verticais (Pontes Filho, 1998)
Flechas parciais no 2º ramo da parábola simples
Neste caso x é a distância
horizontal do ponto de
cálculo da flexa ao PTV
𝑓 =
𝑔
2𝐿
𝑥2
Curvas verticais (Pontes Filho, 1998)
Ponto de ordenada
máxima ou mínima
da parábola:
Derivando a parábola
em relação à x
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
2𝑔𝑥
2𝐿
+ 𝑖1
𝑦 = −
𝑔
2𝐿
𝑥2 + 𝑖1𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑔𝑥
𝐿
+ 𝑖1
Curvas verticais (Pontes Filho, 1998)
Ponto de ordenada
máxima ou mínima
da parábola:
𝑥 = 𝐿0
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑔𝑥
𝐿
+ 𝑖1
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=0
0 = −
𝑔𝐿0
𝐿
+ 𝑖1
𝐿0 =
𝑖1𝐿
𝑔
Curvas verticais (Pontes Filho, 1998)
Fazendo-se a
substituição obtem-se
a ordenada 𝑦0:
𝑦0 = ordenada máxima
𝑦0 = −
𝑔
2𝐿
𝐿0
2 + 𝑖1𝐿0
𝑦0 = −
𝑔
2𝐿
𝑖1𝐿
𝑔
2
+ 𝑖1
𝑖1𝐿
𝑔
𝑦0 =
𝑖1
2𝐿
2𝑔
Curvas verticais (Pontes Filho, 1998)
Estaca (Ponto de Ordenada Máxima da Parábola)
Estaca = Estaca PCV + 𝐿0
Cota (Ponto de Ordenada Máxima da Parábola)
Cota = Cota PCV + 𝑦0
Curvas verticais (Pontes Filho, 1998)
Estacas de PCV e PTV:
E(PCV) = E(PIV) – (L/2)
E(PTV) = E(PIV) + (L/2)
Curvas verticais (Pontes Filho, 1998)
Cotas de PCV e PTV:
Cota (PCV) = Cota(PIV) – (i1 x L/2)
Cotas de PCV e PTV:
𝑖 =
𝑑𝑣
𝑑ℎ
=
𝑑𝑖𝑠𝑡. 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
𝑑𝑖𝑠𝑡. ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙
Cota PTV = Cota(PIV) + (i2 x L/2)
gabi-
Nota
i . L/2
distancia vertical = i . dh
=i. L/2