Aplicações de funções

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03/12/2022 10:14 Aplicações de funções
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Aplicações de funções
Prof.º André Luís Corte Brochi
Descrição
Cálculo das taxas de variação média entre duas grandezas e interpretá-las. Interpretação de gráficos que
representem a variação das funções custo, receita e lucro em relação à quantidade produzida de certa
utilidade com o intuito de analisar o comportamento de cada uma delas quanto ao seu crescimento e
decrescimento.
Propósito
Habituar o aluno ao uso de funções matemáticas, ilustrando com exemplos que frequentemente surgem no
dia a dia profissional.
Preparação
Ao longo deste estudo, você precisará de uma calculadora.
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Objetivos
Módulo 1
Taxas de variação médias
Calcular taxas de variação médias entre duas grandezas.
Módulo 2
Taxas de variação em grá�cos
Relacionar as taxas de variação em gráficos com períodos de crescimento e decrescimento.
Módulo 3
Funções custo, receita e lucro
Analisar as funções custo, receita e lucro, bem como seus gráficos.
Módulo 4
Demanda e a oferta de produtos
Analisar, por meio de funções, a demanda e a oferta de produtos a partir do preço praticado.
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Introdução
A Matemática é uma das áreas mais amplas do conhecimento. Ela vai desde análises abstratas até as
aplicações mais corriqueiras do nosso cotidiano. Praticamente qualquer fenômeno ao nosso redor pode ser
representado matematicamente, e muitas vezes essa representação nos ajuda a aprender algo importante,
ou a solucionar um problema concreto.
Neste estudo, veremos algumas aplicações, com ilustrações tanto teóricas quanto práticas. Desse modo,
você vai se habituar com uma linguagem que poderá encontrar e usar ao longo dos seus estudos e da sua
vida profissional.
1 - Taxas de variação médias

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Ao �nal deste módulo, você será capaz de calcular taxas de variação médias entre duas
grandezas.
Vamos começar!
Os diversos usos das variáveis
Neste vídeo, o especialista aborda os principais conceitos e aspectos sobre os diversos usos das variáveis.
Vamos lá!
Taxa de variação média de em relação a 
No estudo da relação entre variáveis, quando conseguimos quantificá-las, utilizamos as funções
matemáticas, como aquelas que você estudou no ensino médio, em que, geralmente, expressamos o valor de
uma variável em relação à outra, que costumamos denotar por .

y x
y x
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Variável dependente
A variável é comumente chamada de variável dependente.
Variável independente
A variável é comumente chamada de variável independente.
Para compreender melhor o comportamento da variável dependente em relação à variável independente,
muitas vezes, utilizamos o cálculo da taxa de variação da primeira em relação à segunda, isto é, quanto que
 varia para cada unidade de .
Vamos considerar uma variável dada em função de , ou seja:
Rotacione a tela. 
A taxa de variação média de em relação a , em um intervalo (para variando de até ), é
dada por:
Rotacione a tela. 
Essa expressão indica o quanto a variável dependente varia para cada unidade aumentada na variável
independente .
y
x
y x
y x
y = f(x)
y x a ≤ x ≤ b x a b
f(b)−f(a)
b−a
y
x
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É comum representarmos a variação ocorrida em uma variável inserindo a letra grega ("delta" maiúscula)
antes da sua indicação. Por exemplo, a variação da variável será notada por . Sendo assim, a taxa de
variação de em relação a poderá ser expressa por:
Rotacione a tela. 
Algumas vezes, para facilitar representação, os valores e das fórmulas acima são indicados por e ,
respectivamente. De forma semelhante, escrevemos:
Rotacione a tela. 
Utilizando esse tipo de notação, podemos escrever:
Rotacione a tela. 
Exemplo 1
Dada a função , em que , vamos calcular, inicialmente, a taxa de variação média
de para variando de 2 a .
Nesse caso, consideramos:
 e 
Rotacione a tela. 
Assim:
 
Rotacione a tela. 
Consequentemente:
Δ
x Δx
y x
Δy
Δx
= f(b)−f(a)
b−a
a b x2 x1
y2 = f(b) e y1 = f(a)
Δy
Δx =
y2−y1
x2−x1
y = f(x) f(x) = 3 + 2x
y = f(x) x 5(2 ≤ x ≤ 5)
x1 = 2 x2 = 5
y1 = f (x1) = f(2) = 3 + 2.2 = 3 + 4 = 7
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Rotacione a tela. 
A taxa de variação média, portanto, será dada por:
 
Rotacione a tela. 
Esse resultado nos diz que há um aumento de 2 unidades na variável para cada aumento de uma unidade
em .
Agora, vamos determinar a taxa de variação média para , variando de 2 a 4.
Nesse caso, temos:
 e 
Rotacione a tela. 
Já vimos que:
Rotacione a tela. 
Já o valor de será dado por:
 
Rotacione a tela. 
A taxa de variação média, portanto, será dada por:
 
Rotacione a tela. 
Observe que não houve alteração na taxa média de variação de em relação a . É que o tipo de relação
entre tais variáveis é linear, pois é descrita por uma função de primeiro grau. Nesse caso, a variação de em
relação a é uma constante. Experimente calcular as taxas médias para outros intervalos de e note que o
resultado será sempre o mesmo.
y2 = f (x2) = f(5) = 3 + 2.5 = 3 + 10 = 13
Δy
Δx =
y2−y1
x2−x1
= 13−75−2 =
6
2 = 2
y
x
x
x1 = 2 x2 = 4
y1 = f (x1) = f(2) = 7
y2
y2 = f (x2) = f(4) = 3 + 2.4 = 3 + 8 = 11
Δy
Δx =
y2−y1
x2−x1
= 11−74−2 =
4
2 = 2
y x
y
x x
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Exemplo 2
Vamos calcular algumas taxas médias de variação considerando a função:
Rotacione a tela. 
Taxa média de variação de em relação a no intervalo .
Comecemos determinando a taxa média de variação de em relação a no intervalo .
Temos, portanto, e . Assim,
Rotacione a tela. 
e
Rotacione a tela. 
A taxa que queremos determinar, então, será dada por:
Rotacione a tela. 
O que acontece se considerarmos o intervalo ?
Vamos calcular a taxa de variação média nesse caso.
Consideraremos e . Já vimos que e, além disso, teremos:
y = f(x) = x2 + 2x
y x 0 ≤ x ≤ 3
y x 0 ≤ x ≤ 3
x1 = 0 x2 = 3
y1 = f (x1) = f(0) = 0
2 + 2 ⋅ 0 = 0
y2 = f (x2) = f(3) =
32 + 2 ⋅ 3 = 9 + 6 = 15
Δy
Δx
=
y2 − y1
x2 − x1
=
15 − 0
3 − 0
=
15
3
= 5
0 ≤ x ≤ 2
x1 = 0 x2 = 2 y1 = f (x1) = f(0) = 0
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Rotacione a tela. 
Nesse caso, a taxa que queremos determinar será dada por:
Rotacione a tela. 
O resultado, como vemos, não é o mesmo. Esse tipo de função não apresenta a taxa de variação constante
como a do exemplo anterior.
Exemplo 3
Uma função pode apresentar decrescimento em um trecho e, no outro, crescimento. Considere a função:
Rotacione a tela. 
Vamos calcular as taxas de variação média em diferentes intervalos.
Crescimento de em relação a no intervalo .
Vamos calcular a sua taxa de variação média no intervalo . Temos que: е .
Daí:
Rotacione a tela. 
Rotacione a tela. 
y2 = f (x2) = f(2) =
22 + 2 ⋅ 2 = 4 + 4 = 8
Δy
Δx
=
y2 − y1
x2 − x1
=
8 − 0
2 − 0
=
8
2
= 4
f(x) = x3 − 3x2 + x + 3
y x 1 ≤ x ≤ 3
1 ≤ x ≤ 3 x1 = 1 x2 = 3
y1 = f (x1) = f(1) =
13 − 3 ⋅ 12 + 1 + 3 =
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Rotacione a tela. 
e
Rotacione a tela. 
Rotacione a tela. 
Rotacione a tela. 
A taxa de variação média nesse intervalo será dada por:
Rotacionea tela. 
Aqui, observa-se um crescimento de em relação a .
O que acontece se considerarmos o intervalo ?
Nesse caso, teremos: , .
E:
Rotacione a tela. 
Rotacione a tela. 
Rotacione a tela. 
A taxa de variação média nesse intervalo será dada por:
1 − 3 + 1 + 3 = 2
y3 = f (x2) = f(3) =
33 − 3 ⋅ 32 + 3 + 3 =
27 − 27 + 3 + 3 = 6
Δy
Δx
=
y2 − y1
x2 − x1
=
6 − 2
3 − 1
=
4
2
= 2
y x
1 ≤ x ≤ 2
x1 = 1,x2 = 2 y1 = f (x1) = f(1) = 2
y2 = f (x2) = f(2) =
23 − 3 ⋅ 22 + 2 + 3 =
8 − 12 + 2 + 3 = 1
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Rotacione a tela. 
Isso indica que houve, em média, decréscimo de uma unidade em quando aumentou uma unidade.
Exemplo 4
Vejamos mais um exemplo que mostra o cálculo de taxas de variação média, mas considerando também
valores negativos para .
Considere a função:
Rotacione a tela. 
Vamos determinar a taxa de variação média dessa função no intervalo .
Temos e . Daí:
Rotacione a tela. 
Rotacione a tela. 
Rotacione a tela. 
e
Rotacione a tela. 
Δy
Δx
=
y2 − y1
x2 − x1
=
1 − 2
2 − 1
=
−1
1
= −1
y x
x
f(x) = x2 − 3x − 4
−3 ≤ x ≤ −1
x1 = −3 x2 = −1
y1 = f(−3) =
(−3)2 − 3(−3) − 4 =
9 + 9 − 4 = 14
y2 = f(−1) =
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Rotacione a tela. 
Rotacione a tela. 
Portanto, a taxa média de variação será dada por:
Rotacione a tela. 
Rotacione a tela. 
Como é possível constatar, não há alteração no processo, porém será preciso atentar-se aos sinais.
Mão na massa
Questão 1
Dada a função , a sua taxa de variação no intervalo é:
(−1)2 − 3(−1) − 4 =
1 + 3 − 4 = 0
Δy
Δx =
y2−y1
x2−x1
= 0−14
−1−(−3)
= −142 = −7

f(x) = 5 − 3x 2 ≤ x ≤ 7
A -3
B 5
C -0,6
D
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Parabéns! A alternativa A está correta.
Considerando e , temos:
e
.
Daí:
.
Questão 2
Dada a função , sua taxa de variação no intervalo é:
-5
E -7
x1 = 2 x2 = 7
f (x1) = f(2) = 5 − 3 ⋅ 2 = 5 − 6 = −1
f (x2) = f(7) = 5 − 3 ⋅ 7 = 5 − 21 = −16
Δf
Δf =
f(x2)−f(x1)
x2−x1
=
−16−(−1)
7−2
= −16+1
5
=
−15
5
= −3
f(x) = −3x2 + x − 4 −1 ≤ x ≤ 2
A -3
B -2
C -4
D 0
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Parabéns! A alternativa B está correta.
Considerando e , temos:
e
.
Daí:
.
Questão 3
Se a demanda de certo produto, em milhares de unidades, é dada em função de seu preço unitário
, a taxa de variação média de para o intervalo é:
E 1
x1 = −1 x2 = 2
f (x1) = f(−1) = −3 ⋅ (−1)2 + (−1) − 4 = −3 − 1 − 4 = −8
f (x2) = f(2) = −3 ⋅ 22 + 2 − 4 = −12 + 2 − 4 = −14
Δf
Δx
=
f(x2)−f(x1)
x2−x1
=
−14−(−8)
2−(−1)
= −14+82+1 =
−6
3
= −2
D
D = 8.500 − 5p D 500 ≤ p ≤ 1.000
A -8 unidades/real.
B 2 unidades/real.
C 5 unidades/real.
D -5 unidades/real.
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Parabéns! A alternativa D está correta.
Considere e reais. Assim, temos:
Portanto, a taxa média de variação da demanda , nesse intervalo, será dada por:
-5 unidades/real.
Questão 4
Se a quantidade ofertada de certo bem, em toneladas, pode ser expressa em função do seu preço
unitário , em reais, na forma , o quanto essa quantidade varia, em média, quando o
preço sobe de R$150,00 para R$180,00?
E -2 unidades/real.
p1 = 500 p2 = 1.000
D1 = 8.500 − 5.500 = 8.500 − 2.500 = 6.000
D2 = 8.500 − 5 ⋅ 1.000 = 8.500 − 5.000 = 3.500
D
ΔD
Δp =
D2−D1
p2−p1
=
3.500−6.000
1.000−500 =
−2.500
500 =
S
p S = 2p − 240
A 240 unidades/real.
B 20 unidades/real.
C 2 unidades/real.
D 12 unidades/real.
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Parabéns! A alternativa C está correta.
Considere e reais. Assim, temos:
e
Portanto, a taxa média de variação da quantidade ofertada , nesse intervalo, será dada por:
Questão 5
Quando uma função associa o custo de produção de certa utilidade à sua quantidade produzida q,
ela é denominada função custo total dessa utilidade. A taxa de variação do custo total em relação à
quantidade produzida, isto é, considerando uma variação de 0 a quantidades produzidas, é denominada
custo variável médio de produção e é dada por , em que 
é o custo total para a produção de unidades dessa utilidade.
Se a função custo total de uma utilidade é dada por , qual será o custo
variável médio para a produção de 200 unidades? Considere em unidades e em reais.
E 31 reais/unidade.
p1 = 150 p2 = 180
S1 = 2 ⋅ 150 − 240 = 300 − 240 = 60
S2 = 2 ⋅ 180 − 240 = 360 − 240 = 120
S
ΔS
Δp
= S2−S1
p2−p1
=
120−60
180−150
=
60
30
=   2 unidades/real.
CT
CVM(q) =
CT(q)−C(0)
q−0
=
CT(q)−C(0)
q
CT(q)
q
CT(q) = 2.000 + q + 0, 1q
2
q CT
A 20 reais/unidade.
B 21 reais/unidade.
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Parabéns! A alternativa B está correta.
O custo variável médio para é a taxa de variação de para o intervalo e é dado,
nesse caso, por:
como
e
21 unidades/real.
Questão 6
A população de uma cidade cresce ao ano. Em 2010, eram 40 mil habitantes. O seu tamanho, 
anos após 2010, pode ser calculado pela expressão .
A taxa média de crescimento (aproximada) dessa população entre os anos de 2012 e 2019 é:
C 18 reais/unidade.
D 16 reais/unidade.
E 56 reais/unidade.
q = 200 CT 0 ≤ q ≤ 200
CVM(200) = CT(200)−C(0)200
C(200) = 2.000 + 200 + 0, 1 ⋅ 2002 = 2.000 + 200 + 4.000 = 6.200 reais 
C(0) = 2.000 + 0 + 0, 1 ⋅ 02 = 2.000 reais, 
CVM(200) =
6.200 − 2.000
200
=
4.200
200
=
y 5% x
y = 40.000 ⋅ (1 + 0, 05)x
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Parabéns! A alternativa C está correta.
Para 2012, temos e, em 2019, anos. Então:
e
Portanto, a taxa média de variação da população dessa cidade, de 2012 a 2019, foi de,
aproximadamente:
2565 hab/ano.
A 1.875 hab/ano.
B 2.125 hab/ano.
C 2.565 hab/ano.
D 2.955 hab/ano.
E 3.150 hab/ano.
x1 = 2 x2 = 9
y1 = 40.000 ⋅ (1 + 0, 05)
2 = 40.000 ⋅ 1, 052 = 40.000 ⋅ 1, 1025 = 44.100hab
y2 = 40.000 ⋅ (1 + 0, 05)9 = 40.000 ⋅ 1, 05
9 ≅40.000 ⋅ 1, 5513 = 62.052hab
Δy
Δx =
62.052−44.100
9−2
=
17.952
7
≅
_black
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Teoria na prática
Uma taxa de variação média à qual você certamente já se referiu diversas vezes é a velocidade média. Ela
corresponde à taxa média de variação da posição de um objeto em relação ao tempo. Considere, por
exemplo, um objeto que se desloca de acordo com a equação (função horária) em que s corresponde à sua
posição, em metros, no instante segundos.
Para determinar sua velocidade média em determinado intervalo de tempo , basta calcular a variação
média de sua posição nesse intervalo.
Veja como é o movimento desse objeto no vídeo a seguir, no qual vamos calcular sua velocidade média entre
os instantes 1 e 5 segundos.
Carro em movimento
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
t
s(t) = −t2 + 10t
(Δt)

Mostrar solução
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Questão 1
A taxa de variação média de em relação a , em determinado intervalo, representa:
Parabéns! A alternativa A está correta.
A taxa de variação de uma variável em relação à outra variável indica quantas unidades 
aumentam ou diminuem, em média, cada vez que a variável é aumentada em uma unidade.
Questão 2
Se a taxa de variação média de uma função com variando de 1 a 6 é igual a 10, então é correto
concluir que:
y x
A
Quantas unidades varia,em média, para cada aumento de uma unidade em nesse
intervalo.
y x
B Quantas unidades variou no intervalo considerado.x
C Qual o percentual de aumento de nesse intervalo.y
D Qual o percentual de aumento de nesse intervalo.x
E
Quantas unidades varia, em média, para cada aumento de uma unidade em nesse
intervalo.
x x
y x y
x
f(x) x
A f(1) = 10
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Parabéns! A alternativa D está correta.
Então, .
2 - Taxas de variação em grá�cos
B f(6) = f(1) + 10
C f(6) − f(1) = 10
D f(6) − f(1) = 50
E f(6) = 10
f(6)−f(1)
6−1
= 10
f(6) − f(1) = 10 ⋅ (6 − 1) = 50
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Ao �nal deste módulo, você será capaz de relacionar as taxas de variação em grá�cos com
períodos de crescimento e decrescimento.
Vamos começar!
Representando Funções em Grá�cos
Neste vídeo, o especialista aborda os principais conceitos e aspectos sobre a representação de funções em
gráficos. Vamos lá!
Análises grá�cas e representações geométricas
Já vimos, no módulo anterior, como determinar a taxa de variação, isto é, de crescimento ou decrescimento
de uma variável em relação à outra por meio dos valores calculados a partir das funções que as relacionam.
No entanto, toda função matemática pode ser representada graficamente e, por conseguinte, a análise da
taxa de variação também.
Veremos como é possível examinar a variação de uma variável em relação à outra com base em análises
gráficas e como representá-la geometricamente.
Considere uma função e um intervalo no qual ela está definida.
A próxima imagem mostra a variação de e a variação de para o intervalo dado.
Os pontos A e B têm coordenadas e , respectivamente.

y = f(x) a ≤ x ≤ b
y(Δy) x(Δx)
(a, f(a)) (b, f(b))
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A reta que passa por esses pontos tem inclinação que muda de acordo com a taxa de variação média da
função em relação a no intervalo .
Seu coeficiente angular corresponde a essa taxa de variação. Se a taxa de variação aumentar, por
exemplo, a reta apresentará inclinação mais acentuada.
Taxa de variação média: interpretação gráfica.
Para determinar se um gráfico apresenta tendência de crescimento ou decrescimento em um intervalo dado,
basta calcular a taxa de variação média nesse intervalo ou verificar se a reta que une os dois pontos
correspondentes ao intervalo é crescente (coeficiente angular positivo) ou decrescente (coeficiente angular
negativo).
Exemplo 1
Considere o gráfico abaixo.
Vamos determinar a taxa de variação média de em relação a , inicialmente, para o intervalo 
Temos, nesse caso, e .
Logo, a taxa de variação média é:
f(x) x a ≤ x ≤ b
y x 2 ≤ x ≤ 6.
Δx = 6 − 2 = 4 Δy = 6 − 4 = 2
Δy
Δx =
2
4 = 0, 5
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Rotacione a tela. 
Observe que, se considerarmos outro intervalo qualquer, como, por exemplo, , a taxa de variação
média permanecerá igual, pois se trata de um gráfico com comportamento linear.
Para esse último intervalo, temos e .
Portanto, a taxa de variação média é:
Rotacione a tela. 
Exemplo 2
Vamos calcular as taxas médias de variação apresentadas pelo gráfico a seguir para os intervalos
 e .
Considerando e , teremos e . Portanto, a taxa média de variação de em
relação a será dada por:
Rotacione a tela. 
Agora, se considerarmos e , teremos e . Portanto, a taxa média de
variação de em relação a será dada por:
2 ≤ x ≤ 4
Δx = 4 − 2 = 2 Δy = 5 − 4 = 1
Δy
Δx =
1
2 = 0, 5
1 ≤ x ≤ 3 −1 ≤ x ≤ 2
x1 = 1 x2 = 3 y1 = 2 y2 = 6 y
x
Δy
Δx
=
y2 − y1
x2 − x1
=
6 − 2
3 − 1
=
4
2
= 2
x1 = −1 x2 = 2 y1 = −2 y2 = 1
y x
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Rotacione a tela. 
Mão na massa
Questão 1
No gráfico apresentado, a taxa de variação de quando varia de —2 a 4 é:
Δy
Δx
=
y2 − y1
x2 − x1
=
1 − (−2)
2 − (−1)
=
3
3
= 1

y x
A -3,5
B -2,3
C -1,5
D -1,2
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Parabéns! A alternativa C está correta.
Para , temos e para , temos .
Portanto:
Questão 2
A taxa de variação da função, representada pelo gráfico, para variando de 2 a 5 é:
E -0,7
x1 = −2 y1 = 4 x2 = 4 y2 = −5
Δy
Δx
= y2−y1
x2−x1
=
−5−4
4−(−2)
=
−9
6
= −1, 5
x
A 0,5
B -0,4
C -0,25
D -0,5
E
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Parabéns! A alternativa B está correta.
Para , temos e para , temos .
Portanto:
.
Questão 3
A taxa de variação da função representada pelo gráfico acima para variando de -4 a -3 é:
0
x1 = 2 y1 = 1, 2 x2 = 5 y2 = 0
Δy
Δx
= y2−y1
x2−x1
=
0−1,2
5−2 =
−1,2
3
= −0, 4
x
A -2,4
B 1,25
C -3,2
D -4,8
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Parabéns! A alternativa A está correta.
Para , temos e para , temos .
Portanto:
.
Questão 4
No gráfico, considere os intervalos —1 ≤ ≤ 2 e 0 ≤ ≤ 3.
Suas taxas médias de crescimento são, respectivamente:
E 0
x1 = −4 y1 = −1 x2 = −3 y2 = −3, 4
Δy
Δx =
y2−y1
x2−x1
=
−3,4+1
−3+4 =
−2,4
1
= −2, 4
x x
A 2 e 2
B 3 e 2
C 2 e 3
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Parabéns! A alternativa A está correta.
Para analisarmos a maior taxa média de crescimento, uma das formas é traçar as retas passando pelos
pontos definidos pelos intervalos, como mostrado no gráfico a seguir. Porém, observe que,
aparentemente, não há diferença nas inclinações dessas retas.
Para termos certeza de que há ou não diferença, determinaremos as taxas de variação nesses dois
casos. Para o intervalo —1 ≤ ≤ 2, temos:
 e .
A taxa de variação média é, portanto:
.
Para o intervalo 0 ≤ ≤ 3, temos:
 e .
A taxa de variação média é, portanto:
.
D 3 e 3
E 8 e 7
x
x1 = −1;x2 = 2; y1 = 3 y2 = 9
Δy
Δx =
9−3
2−(−1)
=
6
3 = 2
x
x1 = 0;x2 = 3; y1 = 1 y2 = 7
Δy
Δx
= 7−1
3−0
=
6
3
= 2
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Questão 5
O gráfico representa a produção de aço de uma mineradora no período de 2013 a 2019.
A taxa média de variação aproximada na produção de aço nesse período é:
Parabéns! A alternativa D está correta.
Em 2013, podemos considerar uma produção de 4,5 toneladas. Em 2019, ela passa a ser de 5 toneladas.
Sendo assim, a taxa média de variação nesse período é dada por:
 0,083 ton/ano.
A 0,75 ton/ano.
B -0,025 ton/ano.
C 0,097 ton/ano.
D 0,083 ton/ano.
E 0,5 ton/ano.
5,0 ton −4,5 ton 
(2019−2013) anos 
=
5,0 ton −4,5 ton 
6 anos 
≅
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Questão 6
O gráfico mostra a evolução do consumo de certo cereal entre os anos de 2010 e 2015 em uma grande
região.
Sabe-se que, de 2015 a 2019, houve uma redução de 20% na taxa média de consumo, se comparada ao
período 2010-2015. Sendo assim, qual foi a quantidade consumida desse cereal em 2019?
Parabéns! A alternativa B está correta.
Vemos que, de 2010 a 2015, houve um aumento de 0,75 ton no consumo desse cereal. Como o período é
de 5 anos, concluímos que a taxa média de variação é:
 0,15 ton/ano.
A 1,87 ton.
B 2,98 ton.
C 3,15 ton.
D 3,75 ton.
E 2,00 ton.
0,75 ton 
5 anos 
=
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Como, no período entre 2015 e 2019, houve diminuição da taxa média de variação em 20%, concluímosque essa taxa foi de:
 ton ano.
Teoria na prática
O cálculo da taxa média de variação é utilizado em diversas situações das mais diversas áreas. Inclusive, já
vimos algumas dessas aplicações.
No campo da Economia e das Finanças, um conceito bastante utilizado é o de custo marginal, que consiste
na mudança no custo total de produção resultante da variação em uma unidade da quantidade produzida.
Para melhor compreensão, apresentaremos, adiante, uma situação de análise de custos.
Quando se produz certa utilidade, é importante analisar os custos de produção e a receita gerada pela sua
comercialização. Dessa forma, torna-se possível a avaliação dos lucros obtidos em tal processo. Dois dos
principais conceitos que devem ser considerados nessa análise são: custo variável médio e custo marginal.
Em situações em que se conhece a função que modela o custo de produção, utilizamos um conceito que
foge ao escopo desse texto, que é o de derivada de uma função para definir e obter o custo marginal. Porém,
quando os custos são analisados com base em tabelas que os relacionam com a quantidade produzida,
esse conceito remete ao uso da taxa de variação média.
Quantidade de garrafas Custo total (R$)
0 5.000,00
1.000 11.000,00
1.500 12.000,00
1.800 14.000,00
(1 − 0, 20) ⋅ 0, 15 = 0, 80 ⋅ 0, 15 = 0, 12 /
_black
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Quantidade de garrafas Custo total (R$)
2.000 17.000,00
O gráfico a seguir representa os dados dessa tabela.
Como seria o cálculo do custo fixo, custo variável médio e custo marginal médio?
Quantidade de
garrafas
Custo total (R$) Custo marginal Custo médio (R$)
C
m
0 5.000 - - -
1.000 11.000 6.000 6,00 6
1.500 12.000 1.000 0,67 2
1.800 14.000 2.000 1,11 6
2.000 17.000 3.000 1,50 1
Note que, quando aumentamos a quantidade produzida de 1.000 para 1.500 unidades, o custo total varia
R$1.000,00, ou seja, cada unidade produzida a mais, nesse intervalo, gera um aumento de R$2,00 no custo
total.
Esse é o custo marginal médio do intervalo, e é o menor dos valores apresentados. Entretanto, quando a
produção passa de 1.800 para 2.000 unidades, o custo marginal é demasiadamente grande.
Mostrar solução
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Isso indica que o cenário é mais favorável à produção quando a quantidade produzida gira em torno de
1.500 unidades, e menos favorável quando ela se aproxima de 2.000 unidades.
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Considerando dois pontos e em um gráfico, a taxa de variação média de 
para o intervalo é dada por:
Parabéns! A alternativa C está correta.
A = (x1, y1) B = (x2, y2) y
x1 ≤ x ≤ x2
A
y2
y1
B
y2
x2
C
y2−y1
x2−x1
D
x2−x1
y2−y1
E
y2−x2
y1−x1
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A taxa de variação de uma variável em relação à outra variável indica quantas unidades 
aumentam ou diminuem, em média, cada vez que a variável é aumentada em uma unidade. Portanto,
ela será dada por:
.
Questão 2
Considere o gráfico a seguir, que mostra os custos totais de produção de certa utilidade para
determinadas quantidades produzidas.
O custo variável médio quando são produzidos 40kg dessa utilidade é:
Parabéns! A alternativa B está correta.
y x y
x
y2−y1
x2−x1
A 180 R$/kg.
B 160 R$/kg.
C 72,00 R$/kg.
D 32,50 R$/kg.
E 175 R$/kg.
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O custo variável médio para certa quantidade é a taxa de variação do custo total quando a produção
varia de 0 a essa quantidade. Portanto, a solução será dada por:
3 - Funções custo, receita e lucro
Ao �nal deste módulo, você será capaz de analisar as funções custo, receita e lucro, bem
como seu grá�cos.
Vamos começar!
Funções Matemáticas Aplicadas à Área Financeira
7.200−800
40−0
= 6.400
40
= 160R$/kg. 

03/12/2022 10:14 Aplicações de funções
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Neste vídeo, o especialista aborda os principais conceitos e aspectos sobre as funções matemáticas
aplicadas à área financeira. Vamos lá!
Funções custo, receita e lucro totais
As funções matemáticas, das mais elementares às mais complexas, são utilizadas nas análises de variação
de duas grandezas, uma em relação à outra, em vários cenários e têm uma infinidade de aplicações práticas.
Neste módulo, serão abordadas as funções custo, receita e lucro totais.
Elas são largamente utilizadas na Administração, Economia, nas Ciências Contábeis e em áreas afins.
A função custo total de uma utilidade relaciona o seu custo total de produção com a quantidade
produzida que é dada pela soma dos custos fixos e dos custos variáveis , como a seguir:
Os custos variáveis, geralmente, são obtidos pela multiplicação do custo unitário pela quantidade
produzida q. Dessa forma, a função custo total pode ser expressa por:
Função custo total 
CT
CF CV
CT = CF + CV
c
CT = CF + c ⋅ q
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Observe que esse é o formato de uma função de primeiro grau. Apesar de poder assumir outras
formas, a função custo total geralmente apresenta esse tipo de comportamento linear.
Os custos fixos são aqueles que não estão diretamente relacionados à produção. Eles são
compostos, por exemplo, pelo aluguel que a empresa paga pela instalação, pelos salários de seus
colaboradores etc. Mesmo que, em determinado período, não seja produzida nenhuma unidade do
produto, o custo fixo ocorre. Já o custo variável é aquele que tende a variar de forma direta à
quantidade produzida: quanto mais se produz, maior é o custo variável (total). Se nenhuma unidade
for produzida, o custo variável será nulo.
A função receita total de uma utilidade relaciona o valor total recebido pela comercialização de 
unidades dessa utilidade e é expressa pelo produto entre o seu preço unitário e a quantidade
comercializada, como a seguir:
Apesar de expressa em relação a duas variáveis (preço e quantidade), conseguimos representá-la
com função apenas da variável . Isso porque o preço pode ser fixado ou expresso em relação à
quantidade. Quando o preço é fixo, a função receita tem comportamento linear. Porém, quando o
preço se relaciona com a quantidade (por meio de uma função de demanda, como veremos no
próximo módulo), assume outras formas, como, por exemplo, a de uma função quadrática, cujo
gráfico é uma parábola.
O ponto no qual o custo se iguala à receita é denominado ponto de nivelamento. Ele é importante na
determinação da meta de produção e venda, pois, a partir dele, começa-se a verificar a ocorrência de
lucro.
A função denominada função lucro total associa, a cada quantidade q produzida e
comercializada, a diferença entre as respectivas funções receita total e o custo total. Sua forma é:
Função receita total 
RT q
p
RT = p ⋅ q
q
p
Função lucro total 
(LT)
LT = RT − CT
03/12/2022 10:14 Aplicações de funções
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Ela fornece o lucro obtido com a produção e comercialização de q unidades de uma utilidade,
podendo assumir valores negativos (prejuízo), positivos (lucro), ou até mesmo ser nula. Neste último
caso, consideramos que custo e receita se igualam.
Exemplo
Para produzir certa utilidade, uma fábrica gasta R$10,00 por unidade, além de uma despesa fixa (que
independe da quantidade produzida) de R$800,00. Cada unidade produzida é vendida por R$14,00.Temos:
Custo fixo: = R$800,00.
Custo unitário: = R$10,00.
Preço unitário de venda: = R$14,00.
Para expressar o custo total em relação à quantidade produzida , colocamos esses valores na
expressão:
Rotacione a tela. Assim, temos:
Rotacione a tela. 
A função receita total tem a forma:
Rotacione a tela. 
Nesse caso, ela é expressa por:
Rotacione a tela. 
CF
c
p
CT q
CT = CF + c ⋅ q
CT = 800 + 10 ⋅ q
RT = p ⋅ q
RT = 14 ⋅ q
03/12/2022 10:14 Aplicações de funções
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O ponto de nivelamento é aquele em que custos e receita se igualam. Para determiná-lo, começamos
resolvendo a equação:
Rotacione a tela. 
Concluímos, portanto, que, quando são produzidas e comercializadas 200 unidades, não há lucro nem
prejuízo, pois receita e custo assumem o mesmo valor.
Para determinar esse valor, basta substituir q por 200 na função custo ou receita.
Veja:
Rotacione a tela. 
ou
Rotacione a tela. 
Logo, o ponto de nivelamento será dado por (200, 2.800).
A seguir, veja o gráfico com as funções custo e receita e com o ponto de nivelamento.
RT = CT
14q = 800 + 10q
14q − 10q = 800
4q = 800
q =
800
4
q = 200
CT(200) = 800 + 10 ⋅ 200 = 800 + 2.000 = 2.800 reais 
RT(200) = 14 ⋅ 200 = 2.800 reais 
03/12/2022 10:14 Aplicações de funções
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Observe, no gráfico, que o encontro dos segmentos que representam as funções custo e receita ocorre
quando . À esquerda desse ponto, o custo supera a receita, indicando, portanto, que, para 
(quantidades inferiores a 200 unidades), ocorre prejuízo. À direita, é a receita que supera o custo, indicando
que, para , ocorre lucro.
A função lucro total pode ser obtida considerando:
Rotacione a tela. 
Daí, temos:
Rotacione a tela. 
Rotacione a tela. 
Rotacione a tela. 
Inserindo a representação dessa função no mesmo gráfico em que estão representadas as funções custo
total e receita total, podemos comparar as variações dessas três funções. Veja a seguir:
Note que o segmento que representa a função lucro total intercepta o eixo horizontal no valor = 200 (isso
significa que o lucro é igual a zero quando a quantidade é igual a 200), que é a mesma quantidade do ponto
de nivelamento, pois, quando receita e custo se igualam, o lucro é nulo.
A função lucro total pode ser utilizada para estimar o lucro obtido com a venda de certa quantidade q dessa
utilidade e para determinar qual quantidade deve ser produzida e vendida para que determinada meta de
lucro seja alcançada. Por exemplo, se queremos determinar o lucro quando são produzidas e
comercializadas 500 unidades, fazemos:
q = 200 q < 200
q > 200
LT
LT = RT − CT
LT = 14q − (800 + 10q)
LT = 14q − 800 − 10q
LT = 4q − 800
q
03/12/2022 10:14 Aplicações de funções
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Rotacione a tela. 
Agora, se pretendemos determinar qual quantidade deve ser produzida para que o lucro seja de, por exemplo,
R$3.000,00, devemos resolver a equação:
Rotacione a tela. 
Isto é:
Rotacione a tela. 
Rotacione a tela. 
Rotacione a tela. 
Rotacione a tela. 
Rotacione a tela. 
Mão na massa
Questão 1
Para certa utilidade, a função custo total, em reais, para uma quantidade produzida q, em quilogramas, é
dada por C(q) = 3.000 + 50q.
LT(500) = 4.500 − 800 = 2.000 − 800 = 1.200 reais 
LT(q) = 3.000
4q − 800 = 3.000
4q = 3.000 + 800
4q = 3.800
q = 3.8004
q = 950

03/12/2022 10:14 Aplicações de funções
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Analise os gráficos a seguir e marque a alternativa com o gráfico que representa essa função no
intervalo 0 ≤ q ≤ 200 é:
A Imagem 1
B Imagem 2
C Imagem 3
D Imagem 4
E Imagem 5
03/12/2022 10:14 Aplicações de funções
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Parabéns! A alternativa A está correta.
Como a função é de primeiro grau, seu gráfico é parte de uma reta. Portanto, basta tomarmos dois
pontos para traçá-lo. Vamos considerar, para obtê-los, as quantidades limites 0 e 200.
 reais
 reais
Considerando os pontos obtidos anteriormente, temos:
Questão 2
As funções custo total e receita total referentes a certo componente eletrônico são:
e
O seu ponto de nivelamento é:
q = 0 → C(0) = 3.000 + 50 ⋅ 0 = 3.000
q = 200 → C(200) = 3.000 + 50 ⋅ 200 = 3.000 + 10.000 = 13.000
CT = 4.000 + 12q
RT = 20q
A (125; 2.500)
B (600; 12.000)
03/12/2022 10:14 Aplicações de funções
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Parabéns! A alternativa D está correta.
O ponto de nivelamento é aquele em que . Portanto, obtemos a quantidade (q) desse ponto
resolvendo a equação abaixo:
.
Substituindo esse valor na função receita total (pode ser também na função custo total), chegamos a:
 reais.
Logo, o ponto de nivelamento será dado por: (500; 10.000).
Questão 3
O gráfico representa a função custo total referente a certo bem.
O custo fixo de produção desse bem e o seu custo unitário (variável) são, respectivamente:
C (600; 12.000)
D (500; 10.000)
E (125,1.500)
RT = CT
RT = CT
20q = 4.000 + 12q
8q = 4.000
q = 500
RT(500) = 20.500 = 10.000
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Parabéns! A alternativa C está correta.
O custo fixo corresponde ao valor do custo total quando . Observe, no gráfico, que esse valor é
R$1.000,00 (valor do eixo vertical).
Já o custo variável unitário é a taxa de variação média (quando a função é de primeiro grau) do custo
para q variando de 0 até qualquer outro valor positivo. Observe, no gráfico, que, quando , temos
 reais e, quando , temos reais. Portanto, a taxa de variação será dada
por:
A R$1.000,00 e R$50,00.
B R$5.000,00 e R$10,00.
C R$1.000,00 e R$25,00.
D R$5.000,00 e R$50,00.
E R$0,00 e R$30,00.
q = 0
q = 0
CT = 1.000 q = 200 CT = 6.000
ΔCT
Δq =
6.000−1.000
200−0 =
5.000
200
=
03/12/2022 10:14 Aplicações de funções
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25 reais/unidade.
Questão 4
Dadas as funções custo total e receita total e , o gráfico de sua
função lucro total no intervalo é:
CT = 2.500 + 150q RT = 280q
0 ≤ q ≤ 100
A Imagem 1
B Imagem 2
C Imagem 3
D
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Parabéns! A alternativa C está correta.
Primeiro, vamos obter a expressão que fornece o lucro total desse produto em relação à sua quantidade
produzida e vendida. Temos:
.
Escolhendo valores arbitrários para , tais como e , temos:
 reais
e
 reais.
Localizando esses dois pontos no gráfico e traçando um segmento por eles, obtemos o gráfico a seguir:
Questão 5
Imagem 4
E Imagem 5
LT = RT − CT
LT = 280q − (2.500 + 150q)
LT = 280q − 2.500 − 150q
LT = 130q − 2.500
q q = 0 q = 100
LT(0) = 130 ⋅ 0 − 2.500 = 0 − 2.500 = −2.500
LT(1.000) = 130 ⋅ 100 − 2.500 = 13.000 − 2.500 = 10.500
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Uma empresa fabrica apenas um modelo de camiseta e sabe-se que, no mês em que são fabricadas 500
camisetas, o custo total de produção é de R$22.000,00. Já no mês em que são fabricadas 1.000
camisetas, esse custo passa a ser de R$30.000,00.
Considerando que o custo total é representado por uma função de primeiro grau, é correto concluir que o
custo fixo de produção desse modelo de camiseta é:
Parabéns! A alternativa A está correta.
O custo total tem a forma . Como a função é de primeiro grau, temos . , e o
custo unitário , nesse caso, é dado pela taxa de variação média do custo total para qualquer intervalo.
Considerando o intervalo , temos:
Agora, considerando, por exemplo, que o custo total para produzir 500 camisetas foi de R$22.000,00,
temos:
A R$14.000,00
B R$22.000,00
C R$12.000,00
D R$8.000,00
E R$16.000,00
CT = CF + CV CV = c q
c
500 ≤ q ≤ 1.000
C = ΔCTΔq =
30.000−22.000
1.000−500 =
8.000
500
= 16
CF + 16 ⋅ 500 = 22.000
CF + 8.000 = 22.000
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 reais.
Questão 6
As funções custo total e receita total, dadas em reais, para determinado bem são, respectivamente:
 e 
Onde (em toneladas) é a quantidade produzida e comercializada. Qual deve ser a quantidade
(aproximada) produzida e comercializada desse bem para que o lucro seja igual a R$60.000?
Parabéns! A alternativa A está correta.
Para determinarmos a função lucro desse bem, devemos subtrair o custo da receita:
CF = 14.000
C = 50.000 + 400q R = 700q
q
A 367 ton.
B 350 ton.
C 338 ton.
D 383 ton.
E 393 ton.
L = R − C
L = 700q − (50.000 + 400q)
L = 700q − 50.000 − 400q
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.
Igualando-se o lucro a R$60.000 e resolvendo a equação resultante, chegamos ao valor solicitado:
 ton (aprox.).
Teoria na prática
Os custos de produção são avaliados em diversas situações, como, por exemplo, no estudo da viabilidade de
instalação de produção em determinadas filiais ou regiões. Assim, as funções custo e receita são primordiais
nesse tipo de estudo.
(Exame Nacional de Desempenho dos Estudantes – 2012 – Administração – Questão 13) As decisões sobre
a localização de empresas são estratégicas e integram o planejamento global do negócio. Considerando que
o preço de venda da grande maioria dos bens produzidos é estabelecido pelo mercado, é preciso que as
empresas conheçam em detalhes os custos nos quais incorrerão em determinada localidade. O modelo
padrão custo-volume-lucro é útil na decisão de localização. A figura a seguir apresenta, em um único gráfico,
as curvas de custo total versus a quantidade produzida mensalmente para as cidades de Brasília, São Paulo
e Goiânia, as quais foram previamente selecionadas para receber uma nova fábrica de brinquedos. Sabe-se
que a receita total é a mesma para as três localidades e que a decisão com base no lucro esperado em cada
localidade varia com a quantidade produzida.
A análise do modelo de custo-volume-lucro apresentado no gráfico revela que:
L = 300q − 50.000
300q − 50.000 = 60.000
300q = 110.000
q = 367
_black
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A) São Paulo é a localidade que proporcionará maior lucro para a nova fábrica, se a quantidade mensal a ser
produzida variar entre 5.000 e 10.000 unidades, considerando a estrutura de custos apresentada.
B) São Paulo é a cidade na qual deve ser instalada a nova unidade produtiva, se a quantidade a ser
produzida mensalmente for maior que 7.500 unidades, pois, a partir desse volume de produção, é a
localidade que proporcionará maior lucro.
C) Brasília é a localidade mais indicada para receber a nova fábrica para volumes de produção mensal
inferiores a 5.000 unidades, pois é a cidade que viabilizará maior lucro.
D) Goiânia deve receber a instalação da nova fábrica, se a quantidade produzida mensalmente for superior a
10.000 unidades, tendo em vista que, nas condições apresentadas, é a cidade que poderá dar maior lucro.
E) Tanto Goiânia quanto Brasília podem receber a nova fábrica, se o objetivo é produzir uma quantidade
mensal exatamente igual a 5.000 unidades, considerando que o lucro será o mesmo nas duas localidades.
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
(Enade 2015 – Tecnologia em Gestão da Qualidade – adaptada) Suponha que uma empresa – cujo
faturamento anual é de R$840 milhões, o custo unitário do produto é de R$350,00 e o preço de venda é
de R$420,00 por unidade – esteja estudando alterar o processo de gestão de qualidade a fim de gerar
um aumento de 10% na quantidade de produtos vendidos. Considerando esse novo cenário de vendas, o
incremento no valor do lucro final é de:
Mostrar solução
A R$2 milhões
B R$14 milhões
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Parabéns! A alternativa B está correta.
Se o preço de venda é de e o faturamento (receita total) é de R$$40.000.000,00, então a
quantidade vendida é igual a 2. unidades ao ano. Com um aumento de 
nessa quantidade, a empresa espera vender unidades, o que proporcionará um aumento de
 também no faturamento, que deverá ir para R$924.000.000,00.
Antes, o custo variável era de 350 ∙ 2.000.000 = 700.000.000 reais.
Ocorrendo o aumento esperado de 10% na quantidade vendida (e produzida), o custo variável irá para
350∙2.200.000 = 770.000.000 reais.
Observe que se espera um incremento de 84 milhões no faturamento e de 70 milhões no custo. No lucro,
portanto, o incremento será de 14 milhões.
Questão 2
(Enade 2006 – Administração – Questão 32 – adaptada)
A figura a seguir representa os custos de diferentes formas de processos de produção (celular,
automatizada e intermitente) e a receita de vendas de determinado produto.
C R$16,8 milhões
D R$70 milhões
E R$84 milhões
R$420, 00
840.000.000
420 = 000. 000 10%
2.200.000
10%
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Considerando a figura, analise as afirmações a seguir:
I. Se for esperado um volume de produção abaixo de 10.000, a manufatura intermitente é a preferível;
entre 10.000 e 43.000, a manufatura celular é a preferível; acima de 43.000, a manufatura automatizada
é a preferível.
Porque
II. Os pontos de equilíbrio (quantidade/valor para os quais as receitas igualam os custos) são de 27.000,
30.000 e 40.000, respectivamente, para as manufaturas celular, automatizada e intermitente. A respeito
das informações anteriores, conclui-se que:
Parabéns! A alternativa B está correta.
A primeira afirmação é correta, pois podemos notar que, para cada um dos intervalos citados, as formas
de produção que geram menor custo são aquelas cujos gráficos de custo estão abaixo dos demais, o
que significa que geram maior lucro (já que a função receita independe, nesse caso, da forma de
produção).
A segunda também está correta, pois os pontos de equilíbrio para as diferentes formas de produção são
aqueles em que os gráficos das respectivas funções custo interceptam o gráfico da função receita.
No entanto, a segunda afirmativa não justifica a primeira, porque os pontos de equilíbrio comparam
cada modelo de produção com a receita e não entre si.
A As duas afirmações são verdadeiras, e a segunda justifica a primeira.
B As duas afirmações são verdadeiras, e a segunda não justifica a primeira.
C A primeira afirmação é verdadeira, e a segunda é falsa.
D A primeira afirmação é falsa, e a segunda é verdadeira.
E Ambas as afirmações são falsas.
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4 - Demanda e a oferta de produtos
Ao �nal deste módulo, você será capaz de analisar, por meio de funções, a demanda e a
oferta de produtos a partir do preço praticado.
Vamos começar!
De�nições das Funções: Demanda, Oferta e Preço de
Equilíbrio
Neste vídeo, o especialista aborda os principais conceitos e aspectos sobre as definições das funções:
demanda, oferta e preço de equilíbrio. Vamos lá!

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Análise das funções demanda e oferta
Duas funções matemáticas largamente utilizadas no campo da Economia são a demanda e a oferta. Delas
deriva o preço de equilíbrio de mercado, que é peça fundamental em diversas análises econômicas.
Demanda ou quantidade demandada 
A demanda ou quantidade demandada de certa utilidade (bem ou serviço) a um preço unitário é a
soma das quantidades que todos os compradores do mercado desejam e estão aptos a adquirir a esse preço
em certo período.
A função matemática que relaciona as variáveis e de uma utilidade é denominada função demanda
dessa utilidade.A tendência que, geralmente, se observa é que, se o preço aumenta, a quantidade demandada cai, pois o
produto torna-se menos interessante para o consumidor.
QD
QD P
QD P
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Porém, se o preço cai, a demanda tende a subir.
Oferta e preço são grandezas que costumam variar no mesmo sentido.
Oferta ou quantidade ofertada 
A oferta ou quantidade ofertada de uma utilidade (bem ou serviço) a um preço unitário é a soma das
quantidades que todos os fornecedores ou produtores estão aptos e dispostos a vender desse produto ao
preço em certo período.
A função matemática que relaciona as variáveis e é denominada função oferta dessa utilidade.
Com relação ao estudo da quantidade ofertada e do preço, a tendência que geralmente se observa é que, se o
preço aumenta, a quantidade ofertada aumenta, pois o produto torna-se mais atrativo para quem o fornece.
Porém, se o preço cai, a oferta também tende a cair.
Preço 
O preço P de uma utilidade para a qual as quantidades demandada e ofertada se igualam é denominado
preço de equilíbrio de mercado ou, simplesmente, preço de equilíbrio.
Preço superior ao de equilíbrio
Se o preço praticado for superior ao de equilibrio, a demanda será inferior à oferta e, dessa forma, haverá
sobra do produto no mercado.
QO
Q0 P
P
Q0 P
P
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Preço inferior ao de equilibrio
Se o preço praticado for inferior ao de equilíbrio, a oferta será maior que a demanda, provocando falta ou
escassez do produto no mercado.
Por tais motivos, é desejável um preço que se aproxime do preço de equilíbrio.
Representação grá�ca
Recorrer à representação gráfica das funções demanda e oferta é bastante útil para facilitar suas análises e
a do ponto de equilíbrio. O gráfico a seguir mostra uma situação genérica que representa tais elementos.
Exemplo
Certo produto tem sua quantidade demanda e sua quantidade ofertada dadas, respectivamente, por:
Rotacione a tela. 
e
Rotacione a tela. 
 é o preço unitário de venda e varia de 100 a 500 reais.
Nesse caso, as duas funções são de primeiro grau, isto é, são representadas graficamente por um segmento
de reta no intervalo designado. Portanto, para traçá-las, podemos tomar apenas dois pontos de cada.
QD Q0
QD = 10.000 − 15p
Q0 = −1.200 + 25p
P
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Vamos considerar os preços R$100 e R$500, que são os extremos do intervalo considerado, para calcular os
valores apresentados na tabela a seguir.
Preço (R$) Quantidade Demandada Quantidade Ofertada
100 8.500 1.300
500 2.500 11.300
Tabela: Preço / Quantidade demandada / Quantidade ofertada.
André Luís Corte Brochi.
Outro ponto que já podemos localizar no gráfico é o ponto de equilíbrio. Para obtê-lo algebricamente, basta
resolver a equação a seguir:
Rotacione a tela. 
Rotacione a tela. 
Rotacione a tela. 
Rotacione a tela. 
Rotacione a tela. 
Rotacione a tela. 
Esse é, portanto, o preço de equilíbrio.
A quantidade de equilíbrio pode ser obtida substituindo esse valor em qualquer uma das funções, demanda
ou oferta. Substituindo-o na função demanda, temos:
Qo = QD
−1.200 + 25p = 10.000 − 15p
25p + 15p = 10.000 + 1.200
40p = 11.200
p = 11.20040
p = 280 reais
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Rotacione a tela. 
Logo, o ponto de equilíbrio é a interseção entre 280 e 5.800. Esse ponto, bem como as funções demanda e
oferta, é apresentado no gráfico a seguir.
Pela análise do gráfico, podemos concluir que:
Falta
À medida que os preços vão se afastando de R$280,00 para valores menores, a tendência é que haja falta do
produto no mercado, já que a demanda superará a oferta.
Sobra
No caso de preços maiores que o preço de equilíbrio, a oferta deverá superar a demanda, portanto haverá
sobra desse produto no mercado.
QD = 10.000 − 15.280 = 10.000 − 4.200 = 5.800 unidades 
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As funções demanda nem sempre são representadas por segmentos de reta. Elas podem ser de outros tipos,
como quadráticas, exponenciais, logarítmicas, entre outros formatos. Contudo, o tipo de análise gráfica que
fizemos há pouco pode ser realizado quaisquer que sejam os tipos de funções que caracterizam essas duas
variáveis em relação ao preço.
Na prática, diferentemente das funções custo, receita e lucro que vimos no módulo anterior, as funções
demanda e oferta são obtidas por meio de processos estatísticos. Esses, por sua vez, obtêm equações
relacionando duas variáveis a partir de levantamentos, para, assim, obter valores associados dessas
variáveis.
Mão na massa
Questão 1
1. A função demanda , em toneladas, de certo produto é dada por , em que é o
seu preço por tonelada. O seu preço atual proporciona demanda de 80 toneladas. O valor de :
Parabéns! A alternativa D está correta.

QD QD = 200 − 3p p
pO pO
A é menor do que R$30,00.
B é maior do que R$50,00.
C está entre R$32,00 e R$37,00.
D está entre R$39,00 e R$45,00.
E está entre R$30,00 e R$32,00.
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Igualando a demanda a 80 toneladas, temos:
.
Questão 2
As funções demanda e oferta de certo bem são dadas, respectivamente, por:
e
O ponto de equilíbrio desse produto é:
Parabéns! A alternativa A está correta.
Igualando a demanda e a oferta, o preço de equilíbrio pode ser obtido da seguinte forma:
200 − 3p = 80
−3p = −120
p = −120−3
p = 40
QD = 3.600 − 28p
QO = 20p − 1.200
A (100; 800)
B (120; 560)
C (800; 100)
D (560; 120)
E (560; 120)
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.
A quantidade de equilíbrio pode ser dada pelo valor da demanda ou da oferta quando .
Substituindo esse valor na função oferta, temos:
Portanto, o ponto de equilíbrio será: (100; 800).
Questão 3
A demanda de um produto é de 1.300 unidades quando seu preço é de R$42,00. Sabe-se que a função
que relaciona sua quantidade demanda com seu preço é do primeiro grau. Além disso, cada aumento de
R$1,00 em seu preço unitário causa uma queda de 25 unidades na sua demanda. Denotando por D sua
quantidade demandada e por p seu preço unitário de venda, a função que representa corretamente a
relação entre essas duas variáveis é:
QO = QD
20p − 1.200 = 3.600 − 28p
20p + 28p = 3.600 + 1.200
48p = 4.800
p = 100
p = 100
Q0 = 20 ⋅ 100 − 1.200 = 2.000 − 1.200 = 800
A D = −p + 1.300
B D = −25p + 2.350
C D = 25p − 2.350
D D = p − 1.300
E D = 21p + 6.500
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Parabéns! A alternativa B está correta.
.
Nessa forma, a é seu coeficiente angular e , seu intercepto. Como a função cai 25 unidades para cada
aumento de R$1,00 no preço, então . Além disso, sabe-se que quando .
Então:
.
Logo, a função procurada é: .
Questão 4
A relação entre a quantidade vendida de certo produto relaciona-se com seu preço de forma linear. Sabe-
se que a redução no preço de R$50,00 para R$40,00 aumenta a quantidade vendida de 200 para 250
unidades. Se denotarmos por a quantidade vendida e por o preço do produto, a expressão que
relaciona corretamente essas variáveis é:
D = ap + b
b
a = −25 D = 1.300 p = 42
1.300 = −25 ⋅ 42 + b
1.300 = −25 ⋅ 42 + b
1.300 + 1.050 = b
b = 2.350
D = −25p + 2.350
q p
A q = −10p + 50
B q = 5p − 450
C q = 10p − 50
D q = −5p + 450
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Parabéns! A alternativa D está correta.O coeficiente angular dessa reta (função do primeiro grau) é a taxa de variação da quantidade em
relação ao preço. Então:
.
Como a equação dessa reta tem a forma , com e considerando que é um
de seus pontos, podemos escrever:
.
A expressão que relaciona corretamente as variáveis (p) e (q) para esse produto é, portanto:
.
Questão 5
As funções demanda e oferta de certo bem são dadas, respectivamente, por:
e
Considerando que as quantidades e são positivas, os valores de preço para os quais haverá sobra
desse bem no mercado será dado pelo intervalo:
E q = 10p + 450
a
a = 250−200
40−50
=
50
−10
= −5
q = ap + b a = −5 (40, 250)
250 = −5.40 + b
250 = −200 + b
b = 450
q = −5p + 450
D S
D = 80 − 5p
S = 3p − 18
D S
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Parabéns! A alternativa C está correta.
Igualando as funções dadas, temos:
.
Para que a demanda seja positiva, o preço tem de ser menor que 16. Sendo assim, o intervalo para
o qual haverá sobra desse bem no mercado (a demanda será menor que a oferta), a ponto de as duas
funções, e , serem positivas é .
Questão 6
Dadas (demanda) e (oferta), o preço de equilíbrio é igual a:
A (0 < p < 16)
B (12,25 ≤ p < 16)
C (0 < p < 12,25)
D (3 < p < 5).
E (0 < p < 3)
3p − 18 = 80 − 5p
8p = 98
p = 12, 25
D p
D S (12, 25 ≤ p < 16)
D = −p2 − 2p + 80 S = 7p − 10
A 4
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Parabéns! A alternativa C está correta.
Para determinar o preço de equilíbrio, devemos igualar as funções oferta e demanda:
.
Assim, chegaremos à equação de segundo grau que possui as raízes — 15 e 6:
.
Como só nos interessa a raiz positiva, pois ela indicará o preço do produto, então o preço de equilíbrio é
igual a 6.
Teoria na prática
No módulo anterior, você estudou a função receita referente à venda de certa utilidade dada em relação à sua
quantidade vendida. Essa função pode ser expressa na forma:
Em que:
B 5
C 6
D 7
E 8
7p − 10 = −p2 − 2p + 80
p2 + 9p − 90 = 0
_black
RT = p ⋅ q
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 é o seu preço de venda unitário.
 é a quantidade comercializada.
Vejamos, a seguir, alguns pontos importantes para a análise:
Quando o preço p é fixo, como já vimos, o gráfico dessa função será representado por uma semirreta. Nesse
caso, quanto maior for a quantidade vendida, maior será o lucro. E, se a função custo dessa utilidade
também for de primeiro grau, podemos concluir que, quanto maior for a quantidade produzida e vendida,
maior será o lucro obtido.
Nem sempre o preço é fixo; na maior parte dos casos, o preço do produto varia. Essa variação geralmente
pode ser expressa por uma função demanda. Nesse caso, você sabe que, geralmente, as variáveis preço e
quantidade variam em sentidos inversos. Se a demanda está abaixo do esperado para um produto, seus
fornecedores tendem a diminuir seu preço, a fim de que o número de consumidores dispostos a consumi-lo
aumente. De modo semelhante, se a demanda está alta, pode ser que que haja aumento no preço.
A variação do preço logicamente interferirá na receita da empresa. Podemos pensar que o aumento do preço,
por exemplo, aumentará a receita. Porém, se a quantidade demandada do produto diminuir, o que garantirá o
aumento da receita? Da mesma forma, a diminuição do preço poderia nos levar a concluir pela diminuição
da receita. No entanto, se o aumento da quantidade vendida resultante dessa queda no preço tiver mais peso
sobre a receita, o que podemos concluir?
Isso mostra que nem sempre o lucro aumentará se a quantidade produzida e vendida também aumentar. Se
o aumento do preço provoca diminuição na quantidade vendida, é preciso avaliar esse tipo de relação
matematicamente para obter as conclusões corretas. Nesse caso, podemos utilizar a função demanda para
obter a função receita de uma utilidade.
Vamos considerar o exemplo a seguir para ilustrar como ocorre esse tipo de análise e qual sua importância
na determinação de um nível de produção e venda que pode levar ao maior lucro possível.
Considere um produto que tenha custo fixo de R$6.000,00 e custo variável unitário de R$80,00. A sua
quantidade demanda q, em unidades, relaciona-se com seu preço de venda unitário p, em reais, através da
função demanda:
Com as informações dadas, podemos escrever sua função custo total na forma:
Com relação à função receita total RT, como não temos um preço fixo, vamos obtê-lo a partir da sua relação
com a quantidade q dada pela função demanda. Tomando essa função, podemos isolar a variável p, isto é,
escrever p em função de q. Assim, teremos:
p
q
q = 400 − p
CT = 6.000 + 80q
q + p = 400
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Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
A função de demanda para certo produto é , onde caixas são demandadas quando é
o preço por caixa.
A receita gerada pela venda de 200 caixas é igual a:
Parabéns! A alternativa A está correta.
Para obter a função receita total em função da quantidade , devemos, em primeiro lugar, escrever a
função demanda isolando a variável .
Mostrar solução
q = 8.000 − p q p
A R$1.560.000
B R$720.000
C R$1.980.000
D R$875.000
E R$8.000
q
p
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Temos, então:
.
Substituindo essa expressão na função (receita total) e aplicando a propriedade distributiva,
temos:
.
Para uma quantidade igual a 200 caixas, temos a receita dada por:
 reais.
Questão 2
O lucro referente à produção e venda de unidades de certo produto é dado por 
 reais, para variando entre 0 e 80 unidades. Segundo tal função, o valor máximo de lucro que
pode ser obtido é:
p = 8.000 − q
R = p ⋅ q
R = (8.000 − q) ⋅ q
R = 8.000q − q2
R = 8.000 ⋅ 200 − 2002 = 1.560.000
q L(q) = −q2 + 150q−
3.000 q
A R$2.000,00
B R$2.625,00
C R$3.000,00
D R$3.775,00
E R$4.250,00
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Parabéns! A alternativa B está correta.
Como o lucro é expresso por uma função quadrática com , ou seja, seu gráfico é uma parábola
com concavidade voltada para baixo , seu valor máximo é a coordenada do vértice . Portanto,
o lucro máximo pode ser obtido da seguinte forma:
Considerações �nais
Entender taxas de variação é uma importante habilidade de qualquer profissional, em especial daqueles em
cargo de gestão. Essas taxas nos ajudam a estimar o que acontece com uma grandeza quando outra
grandeza relacionada varia. Podemos reconhecer os períodos de crescimento ou decrescimento de uma
grandeza que acompanhamos. Em especial para os gestores, podemos descrever inúmeras situações onde
esse conhecimento é aplicado. Neste estudo, vimos a aplicação direta nas situações com custo de produção,
receita e lucro (algo bem presente na vida de muitos profissionais!). Também vimos a aplicação direta na
relação de oferta de demanda, onde, para cada preço, temos uma demanda.
Essas são algumas das aplicações desses conceitos fundamentais da Matemática, mas existem muitas
outras! O importante é que, utilizando esses conhecimentos como ferramentas, podemos tomar decisões
mais acertadas em situações futuras.
Podcast
a < 0
(∩) y (yv)
yv =
−Δ
4a
=
−
b2 − 4ac
4a
−
1502 − 4 ⋅ (−1) ⋅ (−3.000)
4 ⋅ (−1)
=  2.625 reais.

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Para encerrar, ouça um breve resumo dos principais tópicos que foram abordados ao longo dos módulos.
Referências
GOLDSTEIN, L. J.; LAY, D. C.; SCHNEIDER, D. I. Matemática aplicada. 10. ed. Porto Alegre: Bookman,2006.
LEITE, A. Aplicações da matemática. São Paulo: Cengage Learning, 2008.
SILVA, S. M. da; SILVA, E. M. da; SILVA, E. M. da. Matemática: para os cursos de Economia, Administração e
Ciências Contábeis. São Paulo: Atlas, 1997.
TAN, S. T. Aplicada à administração e economia. 2. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2012.
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Se quiser gerar gráficos como usamos neste estudo, veja o software Geogebra, um dos mais simples e mais
usados em matemática.