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E aí, pessoal!
O cálculo de limites e derivadas é fundamental em matemática aplicada,
engenharia, física e outras áreas. Hoje, vamos começar a estudar funções de uma
variável real.
Não se preocupem com a palavra "cálculo", vamos desmistificar esse assunto e
torná-lo tão interessante quanto uma conversa de café.
1. 2. 3 e... vamos nessa!
Aula 1  Desvendando os Limites das Funções - Parte I
Aula 2  Desvendando os Limites das Funções - Parte II
Cálculo: Limites e Derivadas - Unidade I
AULA 1 DE 2
Aula 1 - Desvendando os Limites das Funções
- Parte I
Começando bem do início
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Começando bem do início
O que é uma função? 
CONTINUAR
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De forma simples
Uma função é uma relação entre duas variáveis, sendo que uma
delas, chamada de variável independente, determina o valor da
outra variável, chamada de variável dependente.
CONTINUAR
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Por Exemplo:
A função que relaciona a altura de uma pessoa com sua idade é
uma função de uma variável real. Para cada idade, existe um
único valor de altura associado.
CONTINUAR
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As funções de uma variável real são muito importantes em
diversas áreas da matemática, da f ísica, da química, da
engenharia, etc. 
CONTINUAR
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Continue End of Scenario
Elas são usadas para modelar fenômenos do mundo real, para
resolver equações, e também para realizar cálculos.
RECOMEÇAR

Videoaula 1 - Substituição Direta nos Limites - O
Caminho para Desbravar Expressões Indeterminadas!
Mergulhe na técnica de substituição direta para entender limites! 📚 Esta videoaula é um
guia completo para compreender a substituição direta como uma técnica inicial na
avaliação de limites. Você vai praticar com expressões simples e explorar casos especiais,
desenvolvendo uma base sólida para lidar com situações mais complexas de limites. Esta
aula é ideal para quem está começando com cálculo ou precisa fortalecer seu
entendimento sobre limites. 
Aperte o play e prepare-se para desvendar os mistérios dos limites matemáticos! ▶
00:02
Uma função é como uma máquina mágica matemática que transforma um número em
outro. 
Se tivermos uma  função f(x) , ela pega um número x , faz
alguns truques nos bastidores e produz um novo número, que
chamaremos de f(x) .
Formalmente, uma função de uma variável real é uma relação entre dois conjuntos, um
conjunto de entrada, chamado domínio, e um conjunto de saída, chamado contradomínio. A
função associa a cada elemento do domínio um único elemento do contradomínio.
f : D → C
f  -> é o nome da função;
D -> é o domínio;
C -> é o contradomínio.
Confira a imagem a seguir:
 Definição de uma Função
Em outras palavras, uma função f(x) ,   de uma variável real é
uma regra que associa a cada número real x exatamente um
número real f(x) .
f : R → R
Essa notação chique significa que f(x) opera de um
conjunto de números reais R para outro conjunto de
números reais R.
Por exemplo:
f(x)=2x + 1
Aqui, f(x) está pegando cada número real x, multiplicando por
2, adicionando 1 e nos dando o resultado. 
Simples, né? 🤓
Uma maneira de visualizar uma função é através de seu gráfico. O gráfico de uma função é
o conjunto de pontos no plano cartesiano que satisfazem a relação da função. 
No exemplo ant erior, se desenharmos o gráfico da função:
f(x) = 2x + 1, veremos uma linha reta inclinada para cima. Cada
ponto no eixo x tem um correspondente ponto no eixo y  de
acordo com nossa regra mágica.
Confira a imagem a seguir:
Visualizando as Funções
Os Diferentes Tipos de Funções
Existem muitos tipos de funções de uma variável real. Alguns dos tipos mais comuns são:
Funções Constantes
São funções que associam a cada valor da variável independente
o mesmo valor da variável dependente.
f (x) = c
Onde c é uma constante. 
 
Veja o exemplo onde f (x) =3
Funções Lineares
São funções que associam a cada valor da variável independente
um valor que é uma combinação linear de x e 1.
f (x) = ax + b
Onde a e b são constantes.
Veja o exemplo onde f (x) = 2x+3
Funções Quadráticas
São funções que associam a cada valor da variável independente
um valor que é uma combinação quadrática de x.
f (x) =ax2+bx + c
Onde a, b e c são constantes.
 
Veja o exemplo onde f (x) =4x2+2x - 8 
Funções Exponenciais
São funções que associam a cada valor da variável independente
um valor que é uma potência de x.
f (x) = ax
Onde a é uma constante.
Veja o exemplo onde f (x) =4x 
Funções Logarítmicas
São funções que associam a cada valor da variável independente
o logaritmo de x.
f (x) = x
Confira a imagem a seguir:
A continuidade é uma propriedade importante das funções. Uma função é contínua se ela
não apresenta saltos ou buracos. Podemos imaginar uma função como uma trilha. Se
podemos desenhar a trilha sem levantar o lápis, a função é contínua. A função flui sem
interrupções, como uma música sem pausas.
Continuidade em Funções
Se queremos garantir que uma função é contínua em um intervalo inteiro, ela deve ser
contínua em todos os pontos desse intervalo. É como uma trilha de música sem notas
faltando.
É isso que buscamos!
Leitura direto da fonte
Capa do livro
Cálculo Dif erencial
Para quem deseja desbravar o mundo do cálculo diferencial e explorar os limites de
funções, o Capítulo 2 do livro "Cálculo Diferencial" organizado por Daniela Barude
Fernandes é um ponto de partida excepcional. 📘🔢Localizado na página 41, este
capítulo não é apenas uma coleção de números e equações, mas uma verdadeira
aventura matemática. Você será guiado através dos conceitos de limites de funções,
essenciais para entender a matemática avançada. 🚀🧮O capítulo promete
transformar o estudo do cálculo diferencial em uma jornada de autodescoberta
intelectual, desafiando as barreiras da compreensão e convidando você a decifrar os
enigmas das abstrações matemáticas. 
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onde você conquistará novos horizontes do conhecimento matemático.📚
Acesso ao Livro na Bibliot eca Virt ual UniFECAF
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Sintonia do Saber
🎧📚 Este podcast explora não apenas a história fascinante de como o cálculo foi criado por
gênios como Newton e Leibniz, mas também sua importância fundamental no
desenvolvimento de tecnologias em várias áreas, incluindo mecânica, computação e
inteligência artificial. 🧮🌐Entender o contexto histórico e as aplicações práticas do cálculo,
como na otimização, modelagem de sistemas e análise de dados, é crucial para os alunos
de engenharia. Isso lhes permite aplicar seus conhecimentos de forma mais criativa e
eficiente, contribuindo significativamente para o avanço tecnológico e o progresso da
sociedade. 
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História do Cálculo Diferencial e Integral;
A Importância do Cálculo na Engenharia - Aulas Univesp;
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Explore o artigo "A importância da disciplina eletiva de pré-cálculo no ensino médio, com
ênfase em limites e derivadas de funções polinomiais" de M. R. Silva, que aborda a
necessidade de um curso de pré-cálculo para alunos do ensino médio visando cursos de
exatas. 📚🔢 Baseado em dados de reprovação em cálculo nas universidades, o artigo
analisa como essa preparação pode impactar positivamente a formação de futuros
estudantes de exatas. Uma leitura crucial para educadores e estudantes.🔗
Artigo - A importância da disciplina eletiva de pré-
cálculo no ensino médio, com ênf ase em limites e
derivadas de f unções polinomiais..pdf
1.4 MB
Referência bibliográfica do art igo
SILVA, M. R., A importância da disciplina eletiva de pré-cálculo no ensino médio, com ênfase
em limites e derivadas de funções polinomiais. 2023. 37 f. Trabalho de Conclusão de Curso
(Licenciatura em Matemática) – Instituto de Matemática, Universidade Federal de Alagoas,
Maceió, 2022.
F ina l iz a r L iç ã o 🔢
https://articulateusercontent.com/rise/courses/u_WwAy0Cx2l0dmmVFAtzfiULTFtD7Dvk/W_0QGHM0GQHETsUx-Artigo%2520-%2520A%2520import%25C3%25A2ncia%2520da%2520disciplina%2520eletiva%2520de%2520pr%25C3%25A9-c%25C3%25A1lculo%2520no%2520ensino%2520m%25C3%25A9dio%252C%2520com%2520%25C3%25AAnfase%2520em%2520limites%2520e%2520derivadas%2520de%2520fun%25C3%25A7%25C3%25B5es%2520polinomiais..pdf
Aproveitando o exemplo anterior, se ao desenhar a função, seu lápis faz uma pula-pula,
pulando de um ponto para outro, isso indica uma descontinuidade.
Descontinuidades podem se manifestar de diversas formas: 
saltos, 
buracos, 
comportamentos malucos. 
Se algo “estranho” (não suave) acontece, é sinal de que nossa
função não é contínua.
AULA 2 DE 2
Aula 2 - Desvendando os Limites das Funções
- Parte II
Descontinuidade em Funções
Videoaula 2 - Nem tudo é o que parece: Revelando os
Limites Laterais em Funções Descontínuas!
Desvende o mundo dos limites laterais em funções descontínuas! 🎓 Esta videoaula foca em
entender os limites laterais, especialmente em contextos de funções descontínuas. Você vai
aprender técnicas específicas para calcular esses limites e analisar o comportamento das
funções em torno de pontos de descontinuidade. Além disso, a aula aborda a interpretação
geométrica dos limites laterais. Ideal para quem busca compreender a fundo o cálculo de
limites e suas nuances. 
Inicie esta jornada de conhecimento, aperte o play! ▶
00:02
Vejamos a seguir alguns tipos de descontinuidades mais
comuns na matemática.
 Descontinuidade Removível
A descont inuidade removível é como se fosse um hiato na música, que podemos
preencher com uma nova nota.
Uma descontinuidade removível ocorre quando há uma "falha"
ou um "buraco" na função em um determinado ponto, mas essa
falha pode ser  "removida"  ajustando ou redefinindo a função
naquele ponto específico. Matematicamente, isso se traduz na
existência de um limite bem-definido naquele ponto.
Not em o seguint e exemplo:
P AR A A F U N Ç ÃO :
Temos um denominador na função. 
Como na matemática não existe divisão por zero, a função não
existe no x = 1, pois nesse ponto o valor do denominador será zero.
Então a função na totalidade é descontínua em x = 1 (não está
definida). No entanto, se simplificarmos a expressão, descobrimos
que f(x)=x+1 para   x ≠ 1. Portanto, podemos  "remover"  essa
descontinuidade redefinindo a função naquele ponto, por
exemplo f(1) = 2. A função agora existe no ponto x = 1 e vale 2.
Descontinuidade Não Removível
A descont inuidade não removível seria mais parecida com um solo de bateria fora de
lugar - não tem jeito de consertar com apenas uma nota. Um caso é quando a
descontinuidade é infinita, ou seja, quando, para algum ponto, a função simplesmente
dispara para valores infinitos.
Not em o seguint e exemplo: 
P AR A A F U N Ç ÃO :
Esta função explode para infinito quando x se aproxima de zero.
Neste caso, não podemos apenas definir um valor para a função
no ponto x = 0 porque todos os valores nos limites de zero
também estão o infinito. Em outras palavras, o limite da função
pode não existir no ponto de descontinuidade.
Descontinuidade de Salto
A descontinuidade de salto, também conhecida como descontinuidade de salto finito, é um
tipo específico de descontinuidade em funções de uma variável real. Ela ocorre quando o
limite da função à esquerda de um determinado ponto é diferente do limite à direita desse
ponto, resultando em um "salt o" ou diferença abrupta nos valores da função. 
Suponha que t emos a seguint e função:
P AR A A F U N Ç ÃO :
Nesse caso, a função é contínua para todos os valores de x
exceto em x = 1. Ao se aproximar de x = 1 pela esquerda, a função
segue a linha 2x, mas ao se aproximar pela direita, a função
muda abruptamente para x2. Esse é um exemplo clássico de
descontinuidade de salto.
Agora, vamos falar sobre um conceito fundamental em Cálculo: o limit e de uma função.
Limites de Funções
O limite de uma função é uma noção que nos diz o que acontece
com uma função quando sua variável se aproxima de um valor
particular.
Por exemplo:
A função f(x) = x2 tem o limite no valor 4 quando x se aproxima
de 2. Isso significa que, quanto mais próximos de 2 forem os
valores de x, mais próximos de 4 serão os valores de f (x).
Imagine que você está acompanhando os valores de uma
função à medida que a variável se aproxima de um
determinado ponto. O limite é como descobrir para onde essa
função está tendendo, ou seja, qual é o valor num ponto em
especial.
A definição formal de limit e é a seguint e:
f (x) = L
Aqui,  f (x)  significa que estamos olhando para o
comportamento da função f (x) quando x está se aproximando
do valor específico a. Lê-se “o limite de f (x) é L quando x
tende a a”. 
É meio como espiar o que acontece quando você está prestes
a atingir um ponto específico.
Vamos ver alguns out ros exemplos de limit es:
A função f(x) = x tem um limite 0 quando x tende a 0.
A função f(x) = 1/x tem um limite infinito quando x tende a 0.
A função f(x) = cos(x) tem um limite 1 quando x tende a 0.
Então, usando o conceito de limites, podemos provar que uma função é contínua num ponto.
Em termos matemáticos, isso significa que o limite da função à medida que nos
aproximamos de um ponto é igual ao valor da função nesse ponto.
 f (x) = f (a)
Simples, não é?
Isso é o que chamamos de continuidade no ponto a.
Limites Laterais
Agora, o negócio fica mais interessante. Limites laterais são como a prévia do limite.
A notação f  significa que estamos olhando para o que acontece
com os valores de  f quando os valores de x estão se
aproximando de a pela esquerda, e de modo análogo f  o que
acontece com os valores de f quando os valores de x estão se
aproximando de a pela direita. 
Videoaula 3 - Uma Jornada Matemática de Ponta a
Ponta: Avaliação de Continuidade com Limites
Laterais!
Explore a continuidade de funções através dos limites laterais! 📈 Esta videoaula é dedicada
a compreender o conceito de continuidade e como avaliar a presença de
descontinuidades usando limites laterais. Você aprenderá a aplicar estes conceitos, na
prática, desenvolvendo habilidades para avaliar a continuidade em pontos específicos de
uma função e identificar diferentes tipos de descontinuidades. Essencial para estudantes
avançados de matemática e áreas relacionadas, esta aula é um passo fundamental no
estudo de funções. 
Aperte o play para uma imersão no mundo da continuidade e limites! ▶
00:02
Porque se a função for descontínua com um salto, os valores de f tenderam para
valores diferentes dependendo do lado que se aproxima os valores de x.
Por exemplo, no caso da função descontínua:
f(x)= {1,   x < 1   2,   x ≥1
Vemos pelo seu gráfico que o f (x) = 1  enquanto o f (x) = 2 . Deste
modo, quando não conhecemos o comportamento da função
em um ponto, usamos a noção de limites para avaliar este
comportamento.
Limites Infinitos
Às vezes,as coisas ficam malucas e as funções voam para o infinito. Se f(x) fica maior e
maior à medida que x se aproxima de um ponto, dizemos que o limite é infinito.
Neste caso, quando x se aproxima de 0 pela direita, a função 1
dispara para o infinito positivo.                                                                  
                   -
                                                                                                                      x
P O R E XE M P L O :
 Limites no Infinito
Agora, e se for o x que estiver indo para o infinito? 
Isso também é coisa de matemática. Se f(x) se aproxima de um valor constante quando x
vai para o infinito, temos um limit e no infinit o.
Essa função    1
                              -
                              x 
fica cada vez menor à medida que x vai para o infinito, se aproximando de zero.
Surpreendent e, não é?
N O M E S M O E XE M P L O :
Videoaula 4 - Além dos Números: Desvendando
Mistérios no Infinito.
Entenda os limites quando a variável se aproxima do infinito! 🌌 Esta videoaula aborda o
conceito de limites no infinito, ensinando como interpretá-los e identificar diferentes
comportamentos de funções. Você aprenderá estratégias eficazes para calcular esses
limites, incluindo a simplificação e análise de termos dominantes, além de resolver
indeterminações comuns. Essencial para estudantes de matemática e engenharia, esta aula
expandirá sua visão sobre o fascinante mundo dos limites no infinito. 
Aperte o play para uma aventura matemática! ▶
00:02
Calculando Limites com suas Propriedades
Para calcular limites, geralmente utilizamos algumas técnicas. Uma delas é a propriedade
dos limites, que basicamente diz que se temos duas funções e seus limites existem, então
podemos somar, subtrair, multiplicar ou dividir essas funções e o limite resultante será a
soma, subtração, multiplicação ou divisão dos limites das funções originais. 
As principais propriedades são as seguint es:
Propriedade da constante
Propriedade da multiplicação por uma constante
Propriedade da adição ou subtração
Propriedade da multiplicação
Propriedade geral
Para a função f(x) = x², podemos calcular o limite de f(x) quando x
se aproxima de 3 substituindo x por 3, obtendo assim o valor 9.
Outra técnica comum é a substituição direta. Já
vimos essa técnica nos capítulos anteriores, mas
agora vamos usá-la, na prática. Ela nos permite
determinar alguns limites simplesmente substituindo
o valor em que a variável está se aproximando na
função.
P O R E XE M P L O :
Saiba mais
Pense na matemática como uma estrada cheia de curvas e bifurcações, onde cada
conceito leva a descobertas inesperadas. Ao entender a continuidade e a descontinuidade,
você não só decifra teorias abstratas, mas também compreende o comportamento
dinâmico das funções. 🚀🌌Para mergulhar nessas ideias, comece com o livro "O Homem
que Calculava" de Malba Tahan. Embora não seja um livro técnico, suas histórias cativantes
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Concluímos nossa aula sobre continuidade e limites
de funções. Espero que vocês tenham compreendido
esse conceito fundamental do cálculo. Continuem
praticando e fazendo perguntas. Na próxima aula,
exploraremos outros segredos matemáticos.
Até lá, bons estudos!
"Uma Mente Brilhante" - A história de John Nash e suas contribuições à teoria dos jogos.
"O Jogo da Imitação" - A história de Alan Turing e seu trabalho em criptografia.
"The Big Bang Theory" - Uma série de comédia recheada de conceitos matemáticos.
Esses recursos são perfeitos para ver como a matemática pode ser aplicada de maneiras
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Para mergulhar no assunto
Mergulhe na prática do cálculo de limites de funções na engenharia com recursos
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de limites para inovação e solução de problemas.
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