Laboratório de Simulação - Atividade 3 N1

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Universidade Anhembi Morumbi 
Curso de Graduação em Estatística 
Disciplina Laboratório de Simulação 
 
Atividade N1 3 
 
Questão 
Uma série infinita é definida como a soma dos infinitos termos de uma sequência. 
Usualmente, denotamos uma série infinita por onde é denominado o termo geral da 
série. No estudo de séries infinitas, estamos mais interessados em estudar a 
convergência da série em vez de determinar o valor de sua soma. Isso acontece devido 
ao fato de que, muitas vezes, não conseguimos determinar este valor. Contudo, 
determinar a convergência da série é bem mais simples. Com relação à convergência 
de uma série, estudamos vários testes para esta finalidade, como o Teste da 
Comparação, o Teste da Razão e o Teste da Integral. 
Utilize um dos testes citados para mostrar que a série é absolutamente convergente. 
 
Resposta: 
Para mostrar que a série ∑(n=1 até ∞) 1/n^2 é absolutamente convergente, 
podemos usar o Teste da Comparação com uma série conhecida que sabemos 
ser convergente. 
O Teste da Comparação afirma que, se 0 ≤ a_n ≤ b_n para todos os n e a série 
∑ b_n é convergente, então a série ∑ a_n também é convergente. Além disso, 
se 0 ≤ b_n ≤ a_n para todos os n e a série ∑ b_n é divergente, então a série ∑ 
a_n também é divergente. 
Neste caso, queremos mostrar a convergência absoluta da série ∑(n=1 até ∞) 
1/n^2. Podemos fazer isso comparando essa série com a série harmônica 
∑(n=1 até ∞) 1/n, que é bem conhecida por ser divergente. 
Aqui está a comparação: 
Para todo n, temos 0 ≤ 1/n^2 ≤ 1/n. 
A série ∑(n=1 até ∞) 1/n é a série harmônica, que sabemos ser divergente. 
Portanto, pelo Teste da Comparação, se 0 ≤ 1/n^2 ≤ 1/n para todos os n e a 
série ∑ 1/n é divergente, então a série ∑ 1/n^2 também é convergente. 
Assim, a série ∑ 1/n^2 é absolutamente convergente, o que significa que tanto 
a série original quanto a série dos seus valores absolutos convergem. Isso é 
um resultado importante, conhecido como a série de Basileia, que foi provado 
por Leonhard Euler no século XVIII.