Oscillatore armonico quantistico

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OSCILLATORE ARMONICO quantistico 1dim
Hamiltoniana H In I maya
Eq Schrodinger indip del tempo IKEY
HI
È 44 Emuli41 1 E 4
Ridefiniamo qe uff e dj uff
9191 4 Fg 41 7 91P
a Ew hwa
II è 419 Inutili94 kwacha
l
of 9 27 4191
0 A
Cercheremo 9 e A che soddisfano l'ap A
eq diff lineare ordinarie del 2 ordine
due soluzioni indipendenti
a queste vanno imposte le condizioni di GIHbilità
l'ap differenziali che agisce su 4 è invariante
per qu 9 vale Vex
se Qq è soluzione allora anche 91 9 èsoluzione
relativa allo stesso autovalore 7 anche Ela 419 41 q
sono soluz relativeallo stesso 7 911 9 4 a
CIG sono duesoluzioni a parità definita
se troviamo le soluzioni a parita definita poi possiamo
esprimere le altre soluzioni come combinati lin di ghe
Cerchiamo le soluzioni a Parità definita
Tra le soluz dell'eqdiff consideriamo accettabili quelle
che sono POLINOMIALMENTE LIMITATE a q lo
Riscriviamo A in modo chesia evidentequalisiano termini
iii iiidominanti a quatro
iii
Fff 9 7 9 71 2 919
aeroff 9 tg 9 44
Asintoticamente a q tra l'equazione diventa
data eff9 919
0 Abbiamo scartati
termini trascurabili
a q In
L'andam asintotico della soluz di A si trova
risolvendo
Ida 9 data 0 adf.gl gatta
Mafia e
972
noi ACCETTEREMO solo le soluz con andamento asintotico è9
Esplicitiamo ato andamento cercando soluzioni dellaforma
419 QQ è942
Vediamo quale 4 Ola deve soddisfare affinché le a soddisfi t
inseriamo A in A
f detta 27 è 0cal
di fette f a è a
del o è 0 è dj f a è e
e l 0 ato gl I ge dj
è dà è 0 27 0
Edai 29g 1 27 04 o
Affinché 919 è 04 sia a paritàdefinitaanche019
lo deve essere
Lesoluzioni di un'eq diff deltipo A ha una soluz Analitica
espandiamo quindi 0 a in serie
a 9 Easy qsq a.to
rette se reffshapolate
Mettendo Ola in A troviamo quali as permettono alla
serie di risolvere l'equazione Calcoliamo
9 Èas 2 strgastricaIas 2strkzstr.plgesti 2
Itastati 25hr119 2Iaas zar q
1 271Ioa Est o
ursifEsamiglin
ao r r 11 9 I as 2s rt 2 Istvan ops
FILA 2str q Ip 27 as q o
dover 11g f astrtallstralast 21254 1 27 a 9
Una serie si annulla se sono zero tutti i suoicoefficienti
r r 11 o r 0 1
an istinti
condizione iterativa che permette di calcolare
tutti gli as una volta scelto a
Es reo A 12 ao
92 5 a CIELI a
a a
tutti gli as sono proporzionali ad ao overallnormalization
a 9 IIII la serie risolvere all 1
Verifichiamo se la serie converge pergrandis
III E sene converge
Infatti la serie ha lo stesso comportamento asintotico di
È'Ia s
O lo ha audan asintoto e 9
Alate Ala a 9 ha anda
III eè
Sommare tutti gli infiniti termini non bulli produce
un andamento asintotico non_accettabile
L'unicomodoperavere un andamento asintotico polinomiale diOla
che non rovini 4 è9 è che la Serie sia TRONCATA
in atomodo 04 diventa una somma finita di potente
cioè un Polinomio
Iii
Se 7 un valore di s diciamo senti tic il corrispondente
coefficiente è nullo cioè anti 0 allora as 0 µ S N
Se 7 è un generico numero reale gto non è possibile Quali esiste
una soluzione ACCETTABILE di A solo per i 7 t.c.IN per
cui Ana O
anti O Anto 4N 28 1 2 Info
Amr e rt 2N 12
reo 1
NE IN
FEIN E ha A
Ene ut E ho
Cautovalori dell'energia dell'oscillatore Armonico
Perogni valore possibile di E 7 vedi4 c'è una autofunz
associata accettabile della forma
9m q do è
912È a gare
Funzione e IR
SONO STATI FISICI
VAN
A rt 2N E
atte a IEITIEYa.ie
4 a
iii iii
4 intesi
POLINOMI di HERMITE
Possiamo così calcolare tutte le autofunzioni di
sono parametrizzata da ME IN
Pa qui a Eikolat Un x
neo N o r o martan
9 è ao 4 x a è
k 1
STATO FONDAMENTALE Cnmin
dell oscillatore armonico
Ato pacchetto d'onda Gaussiano antifona PARIiI
Ape FI DXAp E
non evolveper
untoscillatorearmonico
a diff_della particella libera
MI N O re 1
4 è a a Unix a futile
PRIMO livello eccitati
DISPARI
Est hw
Le autofunzioni con m Pari Dispari sono puntoni
PARI DISPARI µ x X
Extra Oscillatore Armonico 2dimensionale
Prendiamo un oscillatore armonico 2 am Esso ha Hamiltoniana
He Pity Email x y Hx thyosformiumidim
Eq Sch indip dal tempo cioè epagliantualoni parti
H th 4elx.is EYE his
Isolation
del tipo le his Umidi
1 9 d alti d E 90
Se Un è autofunt di te con autovalore En
e Am tti Em
allora Undm è aut di te con antonelan E Eaten
Enim kw htm 1 Spettro Ex 4W K 1
KENintitatori degeneri
E io ha degenerazione di Eh
Eoin Eno 24W
Eon E E 34
pie di interi positivi la
cui somma è K
KM
Questo è un esempio in cui Non c'è una corrispondenza
1 a 1 tra livelli energetici e autostati dell'energia
1
4
Rappresentato così
È
il
Nell'atomo di Idrogeno
livellicu sono i possibilivalori dell'energia degani
autostati sono gli orbitali Atomici
Em E 13.6 ev
f
Fà