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Probabilidade e Estatística
Prof. Dr. Marcos A. S. de Jesus
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AULA 08
Correlação entre Variáveis
Correlação entre Variáveis
Introdução
Nos estudos estatísticos que envolvem o coeficiente de correlação de Pearson (r), que
também pode ser chamado de coeficiente de correlação produto-momento, mede a
relação que existe entre duas variáveis dentro de uma mesma escala métrica. A
finalidade do coeficiente de correlação é determinar qual é a intensidade da relação que
existe entre conjuntos de dados ou informações conhecidas sobre duas variáveis
expressas numericamente. O valor do coeficiente de correlação pode variar entre -1 e 1
e o resultado obtido define se a correlação é negativa ou positiva ou nula.
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Diagrama de Dispersão e o valor de r 
r é sempre um valor entre 1 e –1 ou seja: -1  r  1
Se r = 1 as duas variáveis relacionadas têm correlação perfeitamente positivas;
Se r = -1 as duas variáveis relacionadas têm correlação perfeitamente negativa;
É importante lembrar que os gráficos são suposições, o gráfico não é uma análise
confirmatória, ele é simplesmente uma análise exploratória, ou seja, podemos ter
uma ideia gráfica do comportamento das variáveis. Mas, quando temos uma
quantidade de dados muita elevada, nossa visão gráfica pode nos levar a uma
interpretação errônea.
Correlação Positiva
Nesse caso costumamos dizer que as variáveis andam juntas, ou seja, quando uma delas 
cresce a outra tende a crescer e quando decresce, a outra também tende a decrescer.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0 1 2 3 4 5 6
Série1
4
Nesse caso costumamos dizer que as variáveis andam em sentidos opostos, ou seja,
quando uma delas cresce a outra decresce e, quando uma delas decresce a outra tende
a crescer.
Correlação Negativa
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5 6
Série1
Correlação Nula 
Nesse caso, dizemos que há uma baixa relação entre as variáveis, ou não existe (muito
fraca) a relação. Veja que no gráfico a seguir, não é possível definir qual o
comportamento entre as variáveis.
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5 6 7
Série1
5
Entendendo Cálculo do Coeficiente de Correlação de Pearson 
Considere os dados contidos nas tabelas a seguir, construa um diagrama de dispersão
para as variáveis x e y e determine o valor do coeficiente de correlação.
X Y X2 Y2 X.Y
1 2 1 4 2
2 3 4 9 6
3 4 9 16 12
4 5 16 25 20
5 7 25 49 35
15 21 55 103 75
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0 1 2 3 4 5 6
Série1
Entendendo a Fórmula de Pearson 
𝒓 =
σ 𝒙𝒚−
σ 𝒙 σ 𝒚
𝒏
(σ 𝒙𝟐−
(σ 𝒙)𝟐)
𝒏
).(σ 𝒚𝟐−
(σ 𝒚)𝟐
𝒏
)
→ 𝒓 =
75−
15.21
5
55−
15 2
5
.(103−
21 2
5
)
r =
75−63
55−45 .(103−88,2)
→ r =
75−63
55−45 .(103−88,2)
r =
12
10 .(14,8)
r =
12
148
=
12
12,165525206
= 𝟎, 𝟗𝟖𝟔 (correlação positiva) 
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Saiba mais 
Considere os dados contidos nas tabelas a seguir, construa um diagrama de dispersão
para as variáveis x e y e determine o valor do coeficiente de correlação.
X Y X2 Y2 X.Y
1 10 1 100 10
2 8 4 64 16
3 6 9 36 18
4 5 16 25 20
5 1 25 1 5
15 30 55 226 69 0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5 6
Série1
Entenda melhor
𝒓 =
σ 𝒙𝒚−
σ 𝒙 σ 𝒚
𝒏
(σ 𝒙𝟐−
(σ 𝒙)𝟐)
𝒏
).(σ 𝒚𝟐−
(σ 𝒚)𝟐
𝒏
)
→ 𝒓 =
𝟔𝟗−
𝟏𝟓.𝟑𝟎
𝟓
𝟓𝟓−
𝟏𝟓 𝟐
𝟓
.(𝟐𝟐𝟔−
𝟑𝟎 𝟐
𝟓
)
𝒓 =
𝟔𝟗−𝟗𝟎
𝟓𝟓−𝟒𝟓 .(𝟐𝟐𝟔−𝟏𝟖𝟎)
→ 𝒓 =
−𝟐𝟏
𝟓𝟓−𝟒𝟓 .(𝟐𝟐𝟔−𝟏𝟖𝟎)
𝒓 =
−𝟐𝟏
𝟏𝟎 .(𝟒𝟔)
𝒓 =
−𝟐𝟏
𝟒𝟔𝟎
=
−𝟐𝟏
𝟐𝟏,𝟒𝟒𝟕𝟔𝟏𝟎𝟓𝟗
= − 𝟎, 𝟗𝟕𝟗 Correlação negativa 
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Teste “t” para significância da Correlação de Pearson
Introdução
O coeficiente de correlação de Pearson (r) varia de -1 até +1. Se o coeficiente
de correlação entre duas variáveis for igual à zero ou muito próximo desse
valor, dizemos que há ausência de correlação entre as variáveis. Mas se o
coeficiente de correlação linear entre as variáveis for igual a 0,48? Não se
pode julgar o valor desse coeficiente sem saber o tamanho da amostra.
Quando a amostra é muito pequena, mesmo coeficientes de correlação com
valores altos tem pouco significado.
Estabelecer o nível de significância (𝛼) e considerar 𝑛 o número de elementos da
amostra.
Seja 𝑟 = 0,75 para uma amostra com n = 20. Assim ficará:
Procedimentos para cálculo do teste “t”
𝑡 =
𝑟
1−𝑟2
𝑛 − 2
𝑡 =
0,75
1 − (0,75)2
20 − 2
𝑡 =
0,75
0,4375
18
𝑡 = 4,81
Para ∝= 5%, temos na Tabela (Anexo 1) com n – 2 =
20 – 2 = 18 graus de liberdade o valor de t é igual a 2,1.
Como o valor calculado em valor absoluto é igual 4,81,
nesse caso 4,81 > 2,10, então concluímos que a
correlação é significativa.
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Procedimentos para cálculo do teste “t”
Verificar se a correlação r = 0,38 é significativa calculada sobre uma amostra de
tamanho 40, para 𝛼 = 0,05.
𝑡 =
𝑟
1−𝑟2
𝑛 − 2
𝑡 =
0,38
1 − (0,38)2
40 − 2
𝑡 =
0,38
0,8556
38
𝑡 = 2,53
Para ∝= 5%, temos na Tabela (Anexo 1) com n – 2
= 40 – 2 = 38 graus de liberdade o valor de t é igual
a 2,04 (veja Tabela no anexo 1 Guia de Ensino).
Como o valor calculado em valor absoluto é igual
2,53, nesse caso 2,53 > 2,04, então concluímos que
a correlação é significativa.
“Os afetos podem, às vezes, somar-se. Subtrair-se, nunca
(Pitágoras, 580 – 497 a.C.)