4 - Deformação e Limites de Carga

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Resistência dos 
Materiais Aplicada 
à Arquitetura
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Prof. Me. Ricardo Alferes
Revisão Textual:
Prof.ª Dr.ª Selma Aparecida Cesarin
Deformação e Limites de Carga
• Introdução;
• Gráfico Tensão x Deformação;
• Elasticidade e Rigidez;
• Múltiplos de Unidade de Medida;
• Cargas Limite;
• Ruptura Dúctil x Ruptura Frágil.
• Estudar o conceito de deformação em sólidos;
• Apresentar a Lei de Hooke e os gráfi cos de tensão x deformação;
• Apresentar os métodos para verifi cação de cargas limite. 
OBJETIVOS DE APRENDIZADO
Deformação e Limites de Carga
Orientações de estudo
Para que o conteúdo desta Disciplina seja bem 
aproveitado e haja maior aplicabilidade na sua 
formação acadêmica e atuação profissional, siga 
algumas recomendações básicas: 
Assim:
Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte 
da sua rotina. Por exemplo, você poderá determinar um dia e 
horário fixos como seu “momento do estudo”;
Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar; lembre-se de que uma 
alimentação saudável pode proporcionar melhor aproveitamento do estudo;
No material de cada Unidade, há leituras indicadas e, entre elas, artigos científicos, livros, vídeos 
e sites para aprofundar os conhecimentos adquiridos ao longo da Unidade. Além disso, você tam-
bém encontrará sugestões de conteúdo extra no item Material Complementar, que ampliarão sua 
interpretação e auxiliarão no pleno entendimento dos temas abordados;
Após o contato com o conteúdo proposto, participe dos debates mediados em fóruns de discus-
são, pois irão auxiliar a verificar o quanto você absorveu de conhecimento, além de propiciar o 
contato com seus colegas e tutores, o que se apresenta como rico espaço de troca de ideias e de 
aprendizagem.
Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte 
Mantenha o foco! 
Evite se distrair com 
as redes sociais.
Mantenha o foco! 
Evite se distrair com 
as redes sociais.
Determine um 
horário fixo 
para estudar.
Aproveite as 
indicações 
de Material 
Complementar.
Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar; lembre-se de que uma 
Não se esqueça 
de se alimentar 
e de se manter 
hidratado.
Aproveite as 
Conserve seu 
material e local de 
estudos sempre 
organizados.
Procure manter 
contato com seus 
colegas e tutores 
para trocar ideias! 
Isso amplia a 
aprendizagem.
Seja original! 
Nunca plagie 
trabalhos.
UNIDADE Deformação e Limites de Carga
Introdução
Nesta Unidade, abordaremos, a princípio, o conceito de deformação nos materiais.
Deformação, para a resistência dos materiais, é uma alteração nas dimensões ou 
no formato de um material quando submetido a um esforço.
Compare, por exemplo, o que acontece quando sentamos em uma cadeira 
de madeira maciça (ou um banco de praça feito de concreto), e quando opta-
mos por sentar em uma cadeira de plástico, daquelas simples. O esforço (peso 
de quem senta) é o mesmo, o que muda é o material e, consequentemente, a 
deformação ocorrida.
Assim, a melhor forma de começar a falar sobre o conceito de deformação é 
observando o comportamento dos materiais. Como boa parte dos materiais utiliza-
dos nas estruturas das edificações é, em geral, bastante rígido, não é fácil observar 
a deformação em peças de aço ou concreto, por exemplo. Por isso, vamos tomar 
como exemplo materiais mais deformáveis. 
Pegue alguns elásticos novos, daqueles que geralmente são utilizados para di-
nheiro ou figurinhas. Com eles vamos observar como se comporta um material 
sob tensão.
Figura 1
Fonte: Getty Images
Corte o elástico em um ponto, para que ele deixe de ter um formato circular 
e possa ser utilizado como uma linha. Depois, meça o comprimento do elástico 
aberto, sem esticar.
Prenda uma das pontas a uma superfície firme e prenda a outra ponta a um 
peso conhecido, mas não algo tão pesado que possa romper o elástico.
Você vai notar que o elástico aumenta de tamanho quando o peso é aplicado. 
Meça o comprimento do elástico esticado e veja o quanto ele aumentou de tama-
nho com o peso.
8
9
P
L L
LFinal
�L
Figura 2
Corte mais um elástico. Dessa vez, corte um pedaço menor do que anterior. Por 
exemplo, se o primeiro elástico tinha 20 centímetros quando aberto, sem esticar, 
corte agora um pedaço de 10 centímetros. 
Aplique o mesmo peso e meça o quanto ele aumenta de tamanho esticando.
P
L/2 L/2
L /2Final
�L/2
Figura 3
Se você comparar os dois resultados, já poderá notar que o elástico mais curto, 
mesmo sendo do mesmo material do anterior, submetido ao mesmo peso P, au-
menta menos de tamanho. 
Provavelmente, o elástico mais curto, que tinha metade do comprimento quando 
aberto, também teve metade do ganho no comprimento, ou seja, a deformação de 
um mesmo material, com o mesmo peso, é diretamente proporcional ao compri-
mento inicial da peça.
Sendo assim, futuramente, nesta Unidade, quando estivermos descrevendo a 
deformação em um material, estaremos nos referindo à deformação específica 
(ε), que é justamente uma forma de levar em consideração esse comprimento total:
� �
�L
L
onde L é o comprimento inicial do material, antes da aplicação da força, e ∆L é a 
variação no comprimento de um material, ou seja, o comprimento esticado menos 
o comprimento inicial:
9
UNIDADE Deformação e Limites de Carga
�L L Lfinal� �
Agora, corte mais um pedaço do tamanho do primeiro (o mais comprido). Pen-
dure ao lado do primeiro elástico e coloque exatamente o dobro do peso.
Observe que, como já era esperado, com mais peso, o elástico se deforma mais. 
Meça essa deformação. Se você não colocou peso demais (algo perto do limite do 
elástico), a deformação medida deverá ser o dobro daquela obtida no primeiro teste:
P
P
L L
2�L
LFinal
Figura 4
Disso, podemos observar também que a deformação de um material é direta-
mente proporcional ao peso aplicado.
E agora, para a última variação no experimento de observação sobre deforma-
ção nos materiais, o ideal seria ter um elástico com maior seção transversal, ou 
seja, um elástico “mais grosso”. 
Caso não seja possível, corte outras duas peças do mesmo elástico e as use lado 
a lado, como se fosse um elástico com o dobro da área:
Figura 5
Com esse elástico duplo (ou um elástico mais grosso), cortado no mesmo com-
primento do teste anterior, aplique o mesmo peso que foi aplicado no primeiro 
teste . E, mais uma vez, compare os resultados obtidos com a medição da deforma-
ção do primeiro teste:
10
11
Figura 6
Se você usou os dois elásticos juntos, como se fossem um só, irá notar que a de-
formação anotada foi, provavelmente, a metade da deformação do elástico sozinho. 
Caso tenha utilizado um elástico mais espesso, notará que a deformação, ainda 
assim, foi menor, talvez numa proporção diferente.
A partir desse terceiro resultado, concluímos, também, que a deformação de um 
material é inversamente proporcional à área da seção transversal, isto é, a deforma-
ção aumenta com o acréscimo de peso e diminui com o acréscimo na área. 
Se observarmos o conceito anterior, de tensão, onde � � F A/ , quanto maior a 
tensão aplicada, maior a deformação.
Gráfico Tensão x Deformação
Tendo as medidas da área transversal do elástico, você poderá calcular a tensão 
de tração aplicada para cada peso pendurado. 
Se você fizer um gráfico apontando os dados para cada tensão aplicada e a de-
formação específica medida em cada caso, notará que o gráfico tende a apresentar 
um formato retilíneo.
Figura 7
11
UNIDADE Deformação e Limites de Carga
Isso significa que, até certo ponto, o comportamento desse elástico vai ser cons-
tante, a deformação vai crescer em relação à tensão, com a mesma proporção. 
Se você aplicar peso demais, chegando próximo ao limite do elástico, provavel-
mente, esse gráfico sofrerá distorções. Diversos materiais sólidos também apresen-
tam esse comportamento de constância quando sob ação de forças.
Quando um material apresenta esse comportamento de constância na propor-
cionalidade entrea tensão aplicada e a deformação, diz-se que ele está obedecendo 
à Lei de Hooke. 
Outra forma de dizer isso é que ele apresenta um comportamento elástico, pois, 
ao cessar a força aplicada, o material volta ao formato inicial, que estava antes da 
aplicação da força.
O nome da Lei de Hooke, sobre a deformação dos Materiais foi dado em ho-
menagem ao cientista Robert Hooke, que descreveu as primeiras teorias sobre 
propriedades elásticas da matéria. 
Segundo ele, a deformação que um material sofreria dependeria da força aplica-
da e de uma propriedade específica daquele material. É como imaginar diferentes 
tipos de mola. Algumas serão mais fáceis de deformar do que outras.
Sobre quem foi Robert Hooke, acesse: http://bit.ly/2MwwHVN
Ex
pl
or
Elasticidade e Rigidez
Vamos imaginar, por exemplo, dois materiais diferentes: A e B. Se aplicássemos 
diferentes valores de tensão, σ1, σ2 e σ3 crescentes, e anotássemos a deformação 
específica ε1, ε2 e ε3 ocorrida em cada material, os resultados seriam duas retas 
distintas, uma para cada material, de forma genérica, similar à imagem a seguir:
Figura 8
12
13
Imagine, por exemplo, que os materiais A e B sejam dois elásticos, feitos com 
matérias-primas diferentes. 
Quando aplicamos a mesma tensão σ1 nos dois materiais, os dois elásticos so-
frem uma deformação específica ε1, porém, para a mesma tensão aplicada, o elás-
tico B apresentou uma deformação maior do que o elástico A.
Considerando que os dois materiais estejam no comportamento elástico (obe-
decendo à Lei de Hooke), dobramos a tensão aplicada até uma tensão σ2, e os 
materiais dobram as deformações específicas para um valor ε2.
Por esse gráfico, podemos observar que, independente da tensão aplicada, o 
elástico B sempre se deforma mais do que o elástico A. 
Diz-se que o elástico A é mais rígido que o B, ou seja, para um mesmo valor 
de tensão, um material menos rígido irá apresentar menos deformação do que um 
mais rígido.
Dessa forma, teremos uma propriedade chamada Módulo de Elasticidade, ou 
Módulo de Young. 
Essa propriedade é a relação entre a tensão aplicada e a deformação específica 
ocorrida num material. Quanto maior o módulo de elasticidade, maior terá de ser a 
tensão aplicada para se exercer uma deformação, isto é, mais rígido será o material.
E � �
�
onde:
• E: Módulo de elasticidade, geralmente, medido em múltiplos do Pascal (Pa);
• σ: Tensão aplicada, geralmente medida em múltiplos de Pascal (Pa);
• ε: Deformação específica, adimensional.
O nome Módulo de Young é uma homenagem ao físico, médico e egiptólogo Thomas Young. 
Saiba mais sobre a história dele em: http://bit.ly/2ZqcggDEx
pl
or
O módulo de elasticidade é uma propriedade intrínseca da matéria. Para alguns 
materiais, pode variar de acordo com a resistência, modo de produção e algumas 
características mecânicas; porém, no geral, cada material apresenta um valor mé-
dio para o módulo, ou seja, é possível observar de antemão quais materiais pro-
vavelmente serão mais ou menos rígidos do que outros quando se busca alguma 
aplicação prática, estrutural ou não.
Observe um gráfico σ x ε (Tensão x Deformação) de um material qualquer “X”. 
Você terá um valor de tensão (σx) e um valor equivalente de deformação (εx) e uma 
inclinação (α) para a reta do gráfico a seguir.
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UNIDADE Deformação e Limites de Carga
�x
x
X
�
�
� �
Figura 9
Se observarmos o ângulo entre a reta no gráfico e o eixo horizontal (eixo da 
deformação), o cálculo da tangente do ângulo é dado pela equação:
tg Catetooposto
Catetoadjacente
�� � � �
�
que, nesse caso, resulta na fórmula:
tg Ex
x
x�
�
�
� � � �
isto é, a tangente do ângulo de inclinação de uma reta no gráfico tensão x deforma-
ção equivale ao módulo de elasticidade do material em questão. 
Quanto mais inclinada a reta (sabendo que ela estará compreendida num ângulo 
de inclinação entre 0° e 90°), mais rígido é aquele material.
Múltiplos de Unidade de Medida
Antes de apresentar os valores médios de Módulo de Elasticidade dos materiais 
mais comuns, é imprescindível entender como vão funcionar os múltiplos das uni-
dades de medida, pois, por exemplo, sendo a unidade básica de medida do módulo 
de elasticidade o Pascal (Pa), seria muito pouco prático dizer que, por exemplo, o 
módulo de elasticidade do aço é 210000000000 Pa. 
Embora essa seja o número exato, é fácil notar que é um número muito alto, o 
que dificulta a leitura. Por causa disso, é natural que lidemos com múltiplos e sub-
múltiplos de várias unidades de medida.
14
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Algumas já estão naturalmente integradas ao nosso dia a dia. Por exemplo, 
sabemos que em rodovias ao longo do país é comum encontrarmos um limite de 
velocidade de “oitenta quilômetros por hora (80km/h)”. Você já viu alguém falando 
“oitenta mil metros por hora (80000m/h)”?
No outro oposto, temos os submúltiplos. Observe um catálogo de tubulações de 
PVC para residências. Se não estiver referido como polegadas, você poderá obser-
var tubos de “quarenta milímetros (40mm)”, por exemplo. 
Será que alguém ofereceria a você um tubo de “zero vírgula zero quatro metros 
(0,04m)”?
Por isso, quando formos lidar com unidades de medida muito maiores ou muito 
menores que uma unidade básica (nos exemplos acima, a unidade básica é o me-
tro), iremos utilizar os múltiplos e os submúltiplos. 
Veja a Tabela a seguir. Ela traz diversos múltiplos e submúltiplos utilizados:
Tabela 1
Nome Símbolo Fator de multiplicação
tera T 1012 = 1 000 000 000 000
giga G 109 = 1 000 000 000
mega M 106 = 1 000 000
quilo k 103 = 1 000
– – –
centi c 10-2 = 0,01
mili m 10-3 = 0,001
micro μ 10-6 = 0,000 001
nano n 10-9 = 0,000 000 001
Para lidar com esses múltiplos, basta dividir a unidade base pelo fator de multi-
plicação que estamos querendo utilizar.
Veja os exemplos a seguir:
2600
2600
1000
2 6gramas grama� � , quilo
0 025
0 025
0 001
25,
,
,
metros metros� � mili
50000000000
50000000000
1000000000
50bytes bytes� � giga
Isso é essencial para o estudo de resistência dos materiais, pois as unidades 
de medida em geral são muito altas, a resistência da maioria dos materiais é 
medida em megapascal (MPa) e as unidades de módulo de elasticidade em gi-
gapascal (GPa).
15
UNIDADE Deformação e Limites de Carga
Agora que já foram apresentados os múltiplos das unidades de medida, veja 
uma Tabela com valores de módulos de elasticidade médios para alguns materiais 
comuns. Esses valores são próprios para cada material e às vezes podem variar de 
acordo com algumas características, como porosidade, no caso do concreto, ou 
composição, no caso da fibra de carbono.
Tabela 2
Material Módulo de elasticidade (GPa)
Borracha sintética 0,004 – 0,075
Nylon 2,8
Concreto 30
Vidro 70
Cobre 110
Aço 200 - 210
Fibra de Carbono 400
Exemplo Prático 1
Você tem uma tira de borracha, com uma seção transversal de 2cm x 2cm e 1m 
de comprimento e pendura um saco de 5kg. 
Considerando que o módulo de elasticidade dessa borracha é 0,05 GPa, qual é 
o comprimento final da borracha ao deformar?
Vamos iniciar pela fórmula do módulo de elasticidade:
E � �
�
Como o objetivo é analisar a deformação, temos que:
�
�
�
E
Para o cálculo da tensão, utilizamos a fórmula:
� �
F
A
A força aplicada na borracha vem do peso de um saco de 5kg, ou seja, é uma 
força de 50N:
F N= 50
16
17
A área de aplicação da força é uma seção quadrada de 2cm x 2cm, ou seja: 
0,02m x 0,02m
A x m= =0 02 0 02 0 0004, , , ²
Para o cálculo da tensão, utilizamos a fórmula:
� � � �
F
A
Pa50
0 0004
125000
,
Utilizando as conversões para múltiplos e submúltiplos:
125000 125 0 125 0 000125Pa kPa MPa GPa= = =, ,
Voltando à fórmula da deformação:
�
�
� � �
E
0 000125
0 05
0 0025
,
,
,
Essa é a deformação específica na tira, e a fórmula para deformação específica:
� �
�L
L
onde L é o comprimento inicial, ou seja:
� � � � � � �
� �
�
L
L
L
m
L x m m0 0025
2
0 0025 2 0 005, , ,
Dessa forma, a tira de borracha descrita teria um alongamento de 0,005m, re-
sultandonum comprimento alongado de 2,005m após a aplicação do peso do saco 
de 5kg.
Exemplo Prático 2
Considere um tubo de plástico, com 1m de comprimento, seção transversal de 
0,0025m² e módulo de elasticidade de 5GPa. Qual a força necessária que deverá 
ser aplicada nesse tubo para que ele deforme até ter 1,010m de comprimento? 
Partindo da fórmula do módulo de elasticidade, temos:
E E� � ��
�
� �.
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UNIDADE Deformação e Limites de Carga
Um comprimento final L mfinal =1 10, de um comprimento inicial L m=1 000, 
compreende um �L m� � �1 010 1 0 010, ,
Logo, temos: 
� � � �
�L
L
0 010
1
0 010
,
,
Voltando à fórmula inicial para tensão:
� �� � � �E Pa MPa. . ,5000000000 0 01 50000000 50
ou seja, para alongar os 0,010 metros (10 milímetros) apontados, seria necessária 
uma tensão de 50 MPa aplicada neste plástico. 
Aplicada essa tensão, um tubo de inicialmente 1 metro se alongaria 10 milíme-
tros; porém, uma das características principais de análise da resistência dos mate-
riais diz respeito à tensão máxima a que um material resiste.
E se esse plástico não for capaz de suportar uma tensão de 50MPa?
Cargas Limite
Até agora, da forma como se falou sobre deformação dos materiais, aplica-se 
uma tensão e o material é deformado. No entanto, há, para cada material, um limi-
te de tensão que pode ser aplicada antes que haja alguma consequência, no geral, 
uma ruptura.
Em várias oportunidades do dia a dia, nós nos deparamos com uma possibili-
dade de escolher materiais diferentes para uma mesma aplicação. Por exemplo, 
podemos escolher entre uma cadeira de madeira, plástico ou aço, ou comer em um 
prato de louça, plástico ou papel.
Desconsiderando-se as especificidades em relação à conforto da cadeira ou hi-
gienização dos pratos, muito do que consideramos nas nossas decisões em relação 
aos materiais leva em consideração a resistência dos materiais envolvidos.
De forma simplificada, podemos dizer que a carga limite de um material é o 
valor máximo suportado para determinado esforço antes da ocorrência da ruptura, 
ou seja, no nosso dia a dia, a carga limite nos é apresentada, por exemplo, quando 
num elevador se observa uma placa informando “Peso máximo: 700 kg”. 
Claro que, na prática, se colocarmos 701kg isso não significa que os cabos do 
elevador irão romper e causar uma queda. No dia a dia dos projetos, incorporamos 
coeficientes para garantir uma margem de segurança.
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Outro fator que deve ser levado em consideração é que entre peças idênticas do 
mesmo material podemos encontrar variação de resistência. Alguns materiais terão 
variação maior, principalmente, devido à sua natureza. Madeira, por exemplo, é um 
material altamente influenciado pelas condições.
No entanto, para um estudo inicial sobre carga máxima (ou carga limite, tensão 
limite), vamos assumir a hipótese de que os valores de resistência apontados são o 
limite de cada material, sem variações entre peças semelhantes.
Ao falar em ruptura, uma das coisas essenciais a se esclarecer é como há di-
ferentes formas de ruptura entre os materiais. Veja por exemplo, um gráfico de 
tensão x deformação de uma amostra comum de concreto:
max
max
A
C
B
�
�
� �
ax
Figura 10
Dentro desse gráfico, podemos estabelecer pelo menos três pontos distintos: 
• O ponto A representa o momento no qual não foi aplicada ainda nenhuma 
carga, o concreto não sofreu nenhuma deformação. Iniciado o carregamento 
da amostra, o concreto segue o comportamento previsto na Lei de Hooke até 
o ponto B, ou seja, há um acréscimo na tensão seguido de um acréscimo pro-
porcional na deformação;
• A partir do ponto B, o concreto começa a apresentar pequenas fissuras cres-
centes, o acréscimo de carga continua, porém, a deformação medida já não 
é mais proporcional, ou seja, o material já não apresenta o comportamento 
elástico descrito na Lei de Hooke;
• Ao chegar no ponto C, o concreto finalmente rompe. Nesse momento, é possí-
vel que se observe qual foi a deformação específica máxima obtida no material, 
bem como a tensão limite do material, ou seja, a tensão máxima que o concre-
to foi capaz de suportar no teste.
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UNIDADE Deformação e Limites de Carga
Veja agora como é um gráfico tensão x deformação que representa o compor-
tamento de certas ligas de aço (lembre-se de que os gráficos aqui apresentados são 
simplificados em relação aos gráficos reais obtidos em medições de Laboratório 
que, em geral, apresentam mais variações e curvas ao longo do ensaio):
maxA
B C
D
�
�
�
�
max
�
escoamento
Figura 11
Notam-se os seguintes pontos:
• Entre os pontos A e B, há o comportamento elástico no aço, seguindo a Lei de 
Hooke, no qual o aumento de deformação obedece a uma proporcionalidade 
ao aumento de tensão;
• A partir do ponto B, o trecho BC é conhecido como escoamento do aço. Nes-
sa etapa, há um acréscimo da deformação do aço sem acréscimo do aumento 
da tensão. Entenda esse fenômeno como semelhante àquele momento em que 
esticamos tanto uma mola que percebemos que ela começa a deformar além 
da capacidade e “estragamos” a mola;
• Ao fim da etapa de escoamento, entre os pontos C e D, nota-se que o aço 
volta a apresentar um aumento na tensão resistente aplicada, seguido de uma 
ruptura, no ponto D.
Em geral, para o caso de lidarmos com peças e estruturas de aço que tenham 
um comportamento semelhante ao indicado nesse gráfico, a tensão que conside-
ramos como máxima se refere à tensão na qual se inicia o escoamento, apesar de 
ser inferior à tensão máxima suportada pelo material, pois isso garante que não 
teremos uma deformação específica muito alta na nossa estrutura.
Ruptura Dúctil x Ruptura Frágil
Da mesma forma que cada material apresenta uma elasticidade distinta, a ruptu-
ra também será diferente entre tipos diferentes de materiais.
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21
Você já viu como acontece a ruptura de uma placa de vidro comum? Um vidro 
de janela, por exemplo? 
Se sim, provavelmente notou que o vidro, ao quebrar, tem um comportamento 
brusco, isto é, de repente há a ruptura, sem que desse para perceber alguma de-
formação.
Se em vez de vidro houvesse uma placa plástica, seria uma ruptura tão brusca? 
Vários plásticos, assim como algumas ligas metálicas e borrachas, antes de rom-
per, apresentam um valor alto de deformação específica e, por causa disso, é possí-
vel notar que aquele material está provavelmente chegando ao seu limite de ruptura.
A
B
�
�
 
Figura 12
Veja o gráfico acima, representando dois materiais quaisquer: A e B. Por esse 
gráfico, podemos afirmar que o material A apresentou uma tensão máxima (σmáx) 
superior à do material B, mostrando-se mais resistente; porém, o material B apre-
sentou maior deformação antes da ruptura.
O que isso significa?
Significa que, caso os dois materiais estivessem sendo submetidos a um esforço 
crescente, apesar de o material A requerer uma tensão maior, sua ruptura seria 
brusca e com menos aviso, enquanto o material B, mesmo requerendo uma tensão 
menor, teria uma ruptura mais pronunciada, por apresentar uma deformação espe-
cífica maior, servido de “aviso”.
Esse processo de ruptura pronunciada é imprescindível quando se fala sobre 
segurança das estruturas, pois caso haja alguma falha estrutural, uma estrutura 
que apresente ruptura brusca poderia vir a cair e ainda por cima afetar um número 
elevado de vítimas, ao passo que uma estrutura com um processo de ruptura lento 
e pronunciado abre a possibilidade de uma intervenção para recuperação estrutural 
e/ou um processo de evacuação das pessoas presentes.
Mas como uma estrutura “avisa” que algo está errado? 
21
UNIDADE Deformação e Limites de Carga
Geralmente, as estruturas vão apresentar fissurações em diversos pontos. Além 
disso, a abertura de fissuras em estruturas de concreto armado, geralmente, é acom-
panhada por sons característicos e o desprendimento gradual de diversas partícu-
las, como as camadas de revestimento e parte do próprio concreto se desprende.
A figura acima exemplifica uma estrutura numgrau avançado de fissuração. 
Esse tipo de situação nos permite observar que há um problema na estrutura antes 
que ela venha a ruir por completo.
Por isso, na etapa de escolha de 
um material para compor uma estru-
tura, devem ser levadas em conside-
ração diversas características neces-
sárias e/ou desejadas. 
O material ideal para compor uma 
estrutura deve apresentar resistência, 
rigidez e também a forma de ruptura 
necessária, além de combinar fatores 
como economia e impacto ambiental 
adequados à aplicação.
Exemplo Prático 3
Você quer dar um novo uso a um edifício antigo já construído e, para isso, de-
verá analisar qual a capacidade da estrutura existente. Para isso, considere a exis-
tência dos pilares que têm diâmetro de 30cm e o concreto com uma capacidade de 
tensão limite de 12MPa. 
Calcule o peso máximo que cada pilar suporta:
Figura 14
Começa-se pela fórmula inicial da tensão, focando no cálculo da força máxima 
suportada pelo pilar:
� �� � �
F
A
F A.
Figura 13
Fonte: Getty Images
22
23
Parte-se para o cálculo da área da seção circular:
A r� � . ²
Com diâmetro de 30cm, calcula-se o raio do pilar, em metros:
d cm r d� � �30 2/
r cm cm= =15 0 15,
A m= =3 14 0 15 0 07072 2, . , ,
Voltando-se para a fórmula de tensão:
� � �12 12000000MPa N m/ ²
F N kN= = =12000000 0 0707 848230 02 848 23. , , ,
ou seja, os pilares feitos com concreto de 12MPa e diâmetro de 30cm suportam até 
848,23kN cada (aproximadamente 84 toneladas).
Exemplo Prático 4
Considere que você está escolhendo o tamanho da barra de aço que deverá 
ser o suporte de um elevador de carga. O aço tem uma tensão de escoamento de 
200MPa, e deverá suportar uma carga de 1800 kg. 
Qual a área mínima necessária que a barra deverá ter para esse serviço?
Sabendo a área mínima, escolha uma seção quadrada para o suporte do elevador:
Figura 15
Partindo-se da fórmula de tensão, dessa vez focando na área mínima necessária:
�
�
� � �
F
A
A F�
23
UNIDADE Deformação e Limites de Carga
Calculando-se a força do peso, partindo da massa que deverá ser transportada:
F kg N= =1800 18000
� � �200 200000000MPa N m/ ²
A F m� � �
�
18000
200000000
0 00009, ²
Essa é a área mínima necessária para que o aço com a tensão descrita seja capaz 
de sustentar.
Como deverá ser especificada uma seção quadrada, cuja área é o produto dos 
lados, que são iguais, através da raiz da área, obtemos o valor mínimo do lado da 
barra, e o aproximamos para um valor inteiro, apenas a título de praticidade numa 
eventual escolha de um material:
A lado x lado= = 0 00009,
lado m cm cm� � � �0 00009 0 009487 0 9487 1, , ,
ou seja, uma barra de aço com resistência de 200MPa e seção transversal de 1cm 
x 1cm seria capaz de suportar os 1800kg do elevador descrito.
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Material Complementar
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
 Livros
Resistência dos materiais – Para entender e gostar
BOTELHO, M. H. C. Resistência dos materiais – Para entender e gostar. 4.ed. São 
Paulo: Blucher, 2017.
Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática
BEER, F. P. et al. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática. 9.ed. Porto Alegre: 
AMGH, 2012.
Estruturas Isostáticas
ALMEIDA, M. C. F. Estruturas Isostáticas. São Paulo: Oficina de Textos, 2009.
 Vídeos
Aula 10 – Tensão e deformação
https://youtu.be/dQQMV9Hz5y8
Comportamento Tensão-Deformação
https://youtu.be/tkp-Vk2OW9E
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UNIDADE Deformação e Limites de Carga
Referências
BEER, F. P. et al. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática. 9.ed. Porto 
Alegre: AMGH, 2012.
BOTELHO, M. H. C. Resistência dos materiais – Para entender e gostar. 4.ed. 
São Paulo: Blucher, 2017.
HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 7.ed. São Paulo: Pearson Prentice 
Hall, 2010.
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