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Equações polinomiais
Execicios
1. 
A correta manipulação das operações algébricas requer
o conhecimento de suas propriedades para se evitar
 inconvenientes e resultados controversos.
Assinale a alternativa que contém uma igualdade correta:
Resposta correta.
D. 
( 2 x - 2 y ) 3 = ( 2 x ) 3 - 3 ( 2 x ) 2 ⋅  2 y + 3 ⋅ 2 x ( 2 y ) 2 - ( 2 y ) 3. 
A correta manipulação algébrica das expressões é dada por: 
(2x - 2y)3 = (2x)3 - 3(2x)2 ⋅ 2y + 3 ⋅ 2x(2y)2 - (2y)3
(5x - y)3 = (5x)3 - 3(5x)2y + 3 ⋅ 5xy2 - y3
(x- 2y)3 = x3 - 3x2 ⋅ 2y + 3x(2y)2 - (2y)3
2. 
Considere o polinômio de grau quatro p(x) = x4 - 2x3 + kx2 + 4. Além disso, considere g(x) = x - 2. Por sua vez, a divisão de p(x) por g(x) resulta em quociente q(x) = x3 + 3x + 6 e resto igual a m.
Determine o valor de m + k e, em seguida, assinale a alternativa correta:
C. 
19.
Aplicando o dispositivo de Briot-Ruffini, tem-se:
Pelo resultado anterior, tem-se como quociente q(x) = 
 x 3 + kx + 2k e resto 4k + 4 . Considerando o enunciado, tem-se que q(x) = x 3 + 3x + 6 ; logo, k = 3 . Além disso, o resto é igual a m; a ssim, m = 4k + 4 = 4 ∙3 + 4 = 16 . Dessa forma: k + m = 3 + 16 = 19.
3. 
O algoritmo de Briot-Ruffini é uma importante ferramenta matemática na realização de divisões de polinômios. Nesse contexto, julgue as afirmações que seguem e marque (V) para as verdadeiras e (F) para as falsas:
( ) Seja p(x) um polinômio de grau n, se este é divisível por g(x) = x - a, então f(a) = 0.
( ) O polinômio f(x) = 5x5 - 4x4 - 3x3 - x2 - x + 4 é divisível por g(x) = x - 1.
( ) O polinômio f(x) = 3x3 - 5x2 - 3x - 2 tem divisão exata por g(x) = x - 2.
( ) Se f(x) é um polinômio de grau n, então o resto da divisão de f(x) por g(x) = x - a é igual ao valor numérico de f(a).
Assinale a alternativa que contém a sequência correta:
D. 
V, V, F, V.
Considere o seguinte teorema:
Seja f(x) = a0xn + a1xn-1+ a2xn-2 + ... + an-1x + an um polinômio de grau n, portanto, a0 ≠ 0. Além disso, considere g(x) = x - a. O resto da divisão de f(x) por g(x) é igual ao valor numérico de f(x) em a.
Além disso, considere também o teorema de D’Alembert: se o polinômio
f(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 +...+ an-1 x + an de grau n, portanto, a0 ≠ 0, é divisível por g(x) = x - a se, e somente se, a é raiz de f(x). Por esses dois teoremas, tem-se que a primeira e a última afirmações são verdadeiras.
Agora, avaliando o polinômio
f(x) = 5x5 - 4x4 - 3x3 - x2 - x + 4 em x = 1, tem-sef(1) = 5(1)5- 4(1)4- 3(1)3- (1)2- (1) + 4 = 5 - 4 - 3 - 1 - 1 + 4 = 9 - 9 = 0, ⇒ f(1) = 0. Logo, g(x) = x - 1 divide de forma exata f(x). Por sua vez, avaliando o polinômio f(x) = 3x3 - 5x2 - 3x -2 em x = 1, tem-se f(2) = 323 - 522- 3 ∙2 - 2 = -4, portanto g(x) = x - 2 não divide de forma exata f(x).
4. 
As equações de segundo grau podem ser resolvidas por inúmeros métodos, desde um robusto método numérico, quando apresentam coeficientes de difícil manipulação algébrica, tais como , até, nos casos mais simples, utilizando o método de Bhaskara. Nesse contexto, julgue as asserções que seguem e a relação proposta entre elas:
I – A equação 2x2 - 3x + 1 = 0 tem uma única raiz real.
PORQUE
II – O valor de ∆ = b2 - 4ac = 0, logo, r1 = r2 - b/2a.
A respeito dessas asserções, assinale a alternativa correta .
E. 
As asserções I e II são proposições falsas.
5. 
As equações de segundo grau são importantes ferramentas matemáticas para a modelagem de inúmeros problemas. Entre tantos, pode-se citar o perfil de temperatura em uma placa plana com uma fonte interna de calor e condições de contorno do tipo Dirichlet. Nesse contexto, julgue as afirmações que seguem:
I – A forma geral para uma equação de segundo grau é ax2 + bx + c = 0, a, bc ∈ R e a ≠ 0.
II – Se r1 e r2 são raízes de ax2 + bx + c = 0, então a(x - r1) ∙(x - r2) = ax2 + bx + c = 0.
III – Se r1 e r2 são raízes de ax2 + bx + c = 0, então r1 ∙ r2 = -b/a.
Está correto apenas o que se afirma em:
D. 
I e II.

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