Aula 03- Tratamento e Avaliacao dos resultados 2

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1
Profª. Leane Nunes
Tratamento e Avaliação estatística 
de dados 
2
Distribuição normal: função matemática que descreve a distribuição da
população em termos de frequência dos resultados frente ao seu valor
numérico
Admite-se que os erros indeterminados ou aleatórios 
seguem a lei da distribuição normal (Distribuição de Gauss)
Histograma
Modelo de distribuição normal
3
μ
Localiza o centro da 
distribuição
σ Mede a largura da distribuição
O gráfico apresenta uma região central com frequência maior e as 
extremidades com frequência menor
Histograma
4
Réplica Volume Réplica Volume Réplica Volume Réplica Volume
1 9,988 14 9,971 27 9,982 40 9,978
2 9,973 15 9,982 28 9,991 41 9,986
3 9,986 16 9,983 29 9,981 42 9,982
4 9,980 17 9,988 30 9,969 43 9,977
5 9,975 18 9,975 31 9,985 44 9,977
6 9,982 19 9,980 32 9,977 45 9,986
7 9,986 20 9,994 33 9,976 46 9,978
8 9,982 21 9,992 34 9,983 47 9,983
9 9,981 22 9,984 35 9,976 48 9,980
10 9,990 23 9,981 36 9,990 49 9,984
11 9,980 24 9,987 37 9,988 50 9,979
12 9,989 25 9,978 38 9,971
13 9,978 26 9,983 39 9,986
Réplicas de dados de calibração de uma pipeta de 10 mL
Não podemos usar as medidas individuais, mas sim a média do conjunto de medidas
Como construir um histograma?
5
Intervalo de volume Número de intervalos % intervalo
1 9,969-9,971 3 6
2 9,972-9,974 1 2
3 9,975-9,977 7 14
4 9,978-9,980 9 18
5 9,981-9,983 13 26
6 9,984-9,986 7 14
7 9,987-9,989 5 10
8 9,990-9,992 4 8
9 9,993-9,995 1 2
Total = 50 Total = 100%
ü Construir intervalos regulares
ü Contar quantas medidas estão em cada intervalo
Como construir um histograma?
6
Fr
eq
uê
nc
ia
 r
el
at
iv
a
Intervalo de valores medidos, mL
9,969
9,971
9,972
9,974
9,975
9,977
9,978
9,980
9,981
9,983
9,984
9,986
9,987
9,989
9,990
9,992
9,993
9,995
A
B
0
4
8
12
16
24
20
28
Histograma (A) para os dados da calibração da pipeta e curva 
gaussiana (B) para os mesmos dados
Como construir um histograma?
7
População x Amostra
População: Corresponde a um número elevado de medidas
Amostra: subconjunto de medidas selecionadas a partir de uma população
8
Exemplo
Determinação de glicose no sangue de uma pessoa
A amostra deve ser suficientemente representativa para permitir fazer 
inferências válidas sobre a população
População: todo o sangue do indivíduo
Amostra: volume de sangue coletado
População x Amostra
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Cuidado!!!
Não confunda amostra estatística com amostra analítica
Três amostras analíticas analisadas no laboratório 
representa uma única amostra estatística
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Intervalo de confiança (IC)
É a faixa de valores entre os
quais se espera que a média da população m 
esteja contida com uma certa probabilidade
O Teor de K em uma amostra 
mineral é 7,25% ± 0,15% com 99,7% 
de probabilidade
11
IC quando σ é conhecido ou s → σ
683,0
2
1
1
22
== ò
+
-
-
dzeárea
z
p
üAproximadamente 68,3 % dos valores estão compreendidos no intervalo µ ± 1s
Intervalo de confiança (IC)
12
954,0
2
2
2
22
== ò
+
-
-
dzeárea
z
p
997,0
2
3
3
22
== ò
+
-
-
dzeárea
z
p
95,4 % dos valores estão compreendidos 
no intervalo µ ± 2s
99,7 % dos valores estão compreendidos 
no intervalo µ ± 3s
Intervalo de confiança (IC)
13
üQuando σ é conhecido, o teste z é adequado para avaliação :
N
zx sµ ±=
µ= Intervalo de confiança
"𝒙= média amostral
σ= desvio padrão populacional 
N = número de observações
Z = valor tabelado de Z
14
Nível de confiança (%) Valor de z
50,0 0,67
68,0 1,00
80,0 1,28
90,0 1,64
95,0 1,96
95,4 2,00
99,0 2,58
99,7 3,00
99,9 3,29
Níveis de confiança para vários valores de z
15
Replicatas Concentração de glicose (mg/L)
1 1.108
2 1.122
3 1.075
4 1.099
5 1.115
6 1.083
7 1.100
Em um estudo experimental para controle da glicemia de pacientes diabéticos,
7 pacientes foram submetidos a uma dieta para redução controle da glicemia, o
valor médio para o primeiro mês foi de 1.100,3 mg/L Considere s = 19 como
uma boa estimativa de σ. Determine:
16
Determinar os intervalos de confiança de 80% e 95% para:
(a) O primeiro registro
(b) O valor médio (1.100,3)
Lmg /3,24108.1
1
19*28,1 1.108 IC 80% ±=±=
Lmg /2,37108.1
1
19*96,1 1.108 IC %59 ±=±=
Lmg /2,93,100.1
7
19*28,1 1.100,3 IC 80% ±=±=
Lmg /1,143,100.1
7
19*96,1 1.100,3 IC %59 ±=±=
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ü Aplica-se o grau de confiança médio de Student (t)
IC quando σ não for conhecido 
William Sealy Gosset 
(1876 – 1937)
Test T de Student
𝜇 = �̅� ±
𝑡𝑠
𝑛
18
Graus de liberdade (N-1) 80% 90% 95% 99% 99,9%
1 3,08 6,31 12,7 63,7 637
2 1,89 2,92 4,30 9,92 31,6
3 1,64 2,35 3,18 5,84 12,9
4 1,53 2,13 2,78 4,60 8,61
5 1,48 2,02 2,57 4,03 6,87
6 1,44 1,94 2,45 3,71 5,96
7 1,42 1,90 2,36 3,50 5,41
8 1,40 1,86 2,31 3,36 5,04
9 1,38 1,83 2,26 3,25 4,78
10 1,37 1,81 2,23 3,17 4,59
15 1,34 1,75 2,13 2,95 4,07
20 1,32 1,73 2,09 2,84 3,85
40 1,30 1,68 2,02 2,70 3,55
60 1,30 1,67 2,00 2,62 3,46
∞ 1,28 1,64 1,96 2,58 3,29
Valores de Tcrítico para cálculos de intervalo de confiança
Test T de Student
19
Teste de hipóteses
ü Utiliza-se testes de hipóteses para tirar conclusões sobre a média
da população e sua proximidade do valor conhecido (µ0)
Hipótese nula (H0) è considera que as quantidades numéricas
que estão sendo comparadas são iguais
µ=µ0
Hipótese alternativa (HA) è considera que as quantidades
numéricas que estão sendo comparadas são contraditórias
µ≠µ0 µ>µ0 µ<µ0 
µ é a média populacional associada aos experimentos
µ0 é o valor verdadeiro na ausência de erros sistemáticos 
20
Teste t para uma Amostra Pequena
Teste T
21
Um químico obteve os seguintes dados para o teor alcoólico
de uma amostra de sangue:
Replicatas % C2H5OH
1 0,084
2 0,089
3 0,079
Calcule o intervalo de confiança a 95% para a média, considerando, que
os três resultados obtidos são a única indicação da precisão do método.
22
1. Calcule a média:
2. Calcule o desvio padrão
�̅� =
∑! 𝑥!
𝑛
𝑠 =
∑!(�̅�−𝑥!)"
𝑛 − 1
𝑥 = 0,084 + 0,089 + 0,079
3 𝑥 = 0,084
𝑠 =
0,084 − 0,084 2 + 0,084 − 0,089 2 + 0,084 − 0,079 2
3 − 1
𝑠 =
0 + 0,000025 + 0,000025
2
𝑠 =
0,00005
2 𝑠 = 0,005
23
IC(95%) = 0,084 ± ",$% . %,%%'
$
IC(95%) = 0,084 ± 0,012 % de C2H5OH
Significa que existe uma chance de 95% de que a média real, 𝝁, esteja 
no intervalo de 𝟎, 𝟎𝟖𝟒 ± 𝟎, 𝟎𝟏𝟐 (0,072 a 0,096)
24
Comparação de média experimental com valor verdadeiro
Comparação entre duas médias experimentais
Comparação de diferenças individuais (Dados pareados)
Teste T
25
1) Comparação de média experimental com valor verdadeiro
ü O teste T pode ser utilizado para comparar um grupo de medidas
com outro, visando decidir se são ou não “diferentes”
Hipótese nula: os valores medidos de dois conjuntos de medidas são
iguais
ü A hipótese nula é rejeitada se existe uma chance menor que 5% de
que a diferença observada surja devido a um erro aleatório
ü Assim, há uma chance de 95% de que uma conclusão esteja correta
Teste T
Uma amostra de carvão foi adquirida como sendo um material padrão
de referencia, certificado pelo instituto nacional de Padrões e
Tecnologia (NIST) dos EUA, contendo 3,19% de enxofre.
Visando validar um método para analise de enxofre, um químico
analisou diferentes amostras deste material e obteve os seguintes
resultados: 3,29; 3,22; 3,30 e 3,23 de enxofre. O método
desenvolvido é válido?
Teste T
27
ü Calculando o valor de T
𝑡()*(+*),- =
�̅� − 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑛ℎ𝑒𝑐𝑖𝑑𝑜
𝑠
𝑛
𝑆𝑒 𝑡!"#!$#"%&˂ 𝑡'"()#"%& , " %+,)-).ç" .ã& é 2+3.+,+!"'+4"
𝑆𝑒 𝑡!"#!$#"%& ˃ 𝑡'"()#"%& , " %+,)-).ç" é 2+3.+,+!"'+4"
TTab= (95%= 3,18)
Teste T
28
2) Comparação entre duas médias experimentais
ü Uma diferença nas médias de dois conjuntos de dados é verdadeira
ou é o resultado de erros sistemáticos?
ü Os resultados das análises de dois materiais permite afirmar se
eles são diferentes ou idênticos?
ü Resultados gerados por dois métodos analíticos diferentes para o
mesmo analito permite compará-los?
Teste T
29
2) Comparaçãoentre duas médias experimentais
𝑡!"#!$#"%& =
�̅�' − �̅�(
𝑠'( 𝑛' − 1 + 𝑠(( 𝑛( − 1
𝑛' + 𝑛( − 2
𝑛'. 𝑛(
𝑛' + 𝑛(
SCombinado
�̅�' = 𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜 𝑚é𝑡𝑜𝑑𝑜
�̅�( = 𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑚é𝑡𝑜𝑑𝑜
𝑠'( = 𝑣𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑒𝑚𝑖𝑟𝑜 𝑚é𝑡𝑜𝑑𝑜
𝑠(( = 𝑉𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑚é𝑡𝑜𝑑𝑜
𝑛'𝑒 𝑛()( = 𝑑𝑜𝑖𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑑𝑎𝑑𝑜𝑠, 𝑜 𝑔𝑟𝑎𝑢 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑏𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒 é 𝑛 − 2
Onde:
Resultados obtidos de formas diferentes 
para uma mesma situação è os desvios 
padrão de ambos devem ser similares!
Teste T
30
Dois barris de vinho foram analisados quanto ao seu teor de álcool para se
determinar se eles eram provenientes de fontes distintas. Com base em seis
análises, o teor médio do primeiro barril foi estabelecido como 12,61% de
etanol. Quatro análises do segundo barril forneceram uma média de 12,53% de
álcool. As dez análises geraram um desvio padrão combinado scomb de 0,070%.
Os dados indicam uma diferença entre os vinhos em um NC de 95%?
Teste T
31
ü É utilizado para analisar pares de dados coletados da mesma
amostra com concentrações diferentes do analito, utilizando-se dois
métodos distintos
3) Comparação de diferenças individuais (Dados pareados)
𝑡!"#!$#"%& =
�̅�
𝑠𝑑
𝑛
𝑡!"#!$#"%& =
�̅�
∑(𝑑' − �̅�)(
𝑛 − 1
𝑛
�̅� = 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛ç𝑎 𝑑𝑎𝑠 𝑚é𝑑𝑖𝑎𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑚é𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠
𝑑!= valor individual da diferença entre os métodos
Sd=desvio padrão das diferenças
ü É conveniente construir uma tabela com os dados dos dois métodos e
realizar os cálculos para cada par de medidas
Teste T
32
Cada amostra possui um teor diferente de colesterol
Amostra Método A Método B Diferença individual
Paciente 1 1,46 1,42 0,04
Paciente 2 2,22 2,38 -0,16
Paciente 3 2,84 2,67 0,17
Paciente 4 1,97 1,80 0,17
Paciente 5 1,13 1,09 0,04
Paciente 6 2,35 2,25 0,10
Media das 
diferenças (d) Média= 1,995 Média=1,935 A-B =0,06
Considere o teor de colesterol em seis grupos de plasma de sangue
humano medidos por duas técnicas diferentes:
Os resultados que seguem confirmam uma diferença entre os dois
métodos em um nível de confiança de 95%?
Teste T
33
Onde:
�̅� = 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛ç𝑎 𝑑𝑎𝑠 𝑚é𝑑𝑖𝑎𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑚é𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠
𝑑!= valor individual da diferença entre os métodos
(0,04-0,06)2 + (-0,16-0,06) 2 + (0,17- 0,06)2 + (0,17- 0,06)2 +(0,04- 0,06)2 + (0,10- 0,06)2 
6−1𝑠𝑑=
𝑡!"#!$#"%& =
�̅�
∑(𝑑' − �̅�)(
𝑛 − 1
𝑛
𝑡()*(+*),- =
%,%.
%,/0
6=1,22
𝑆𝑒 𝑡()*(+*),-(/,00)˂ 𝑡3)45*),-(0,'6) , ) ,!75859ç) 9ã- é =!>9!7!()3!?)
= 0,12
𝑡!"#!$#"%& =
�̅�
𝑠𝑑
𝑛
𝑡#$%#&%$'( =
�̅�
𝑠𝑑
𝑛
Teste T
34
ü É utilizado para avaliar a variância ou o desvio padrão
ü O teste estatístico F é definido como a razão entre duas variâncias
𝐹!"#!$#"%& =
𝑠56
𝑠66
ü O desvio padrão maior é sempre o numerador de modo que 𝐹 ≥ 1
𝐻%: 𝜎/0 = 𝜎00
𝐻): 𝜎/0 ≠ 𝜎00
𝐻): 𝜎/0 > 𝜎00
𝐻): 𝜎/0 < 𝜎00
Test F- Comparação da precisão 
35
Graus de liberdade
(Denominador) 2 3 4 5 6 10 12 20 ∞
2 19,00 19,16 19,25 19,30 19,33 19,40 19,41 19,45 19,50
3 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,79 8,74 8,66 8,53
4 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 5,96 5,91 5,80 5,63
5 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,74 4,68 4,56 4,36
6 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,06 4,00 3,87 3,67
10 4,10 3,71 3,48 3,33 3,22 2,98 2,91 2,77 2,54
12 3,89 3,49 3,26 3,11 3,00 2,75 2,69 2,54 2,30
20 3,49 3,10 2,87 2,71 2,60 2,35 2,28 2,12 1,84
∞ 3,00 2,60 2,37 2,21 2,10 1,83 1,75 1,57 1,00
Graus de liberdade (numerador)
Tabela 3 : Valores de Fcrítico para cálculos de intervalo de confiança
Para 5 determinações
5-1= 4
Para 5 determinações
5-1= 4
Test F- Comparação da precisão 
36
ü Se 𝐹#$%#&%$'( > 𝐹)$*+%$'( então a diferença é significativa, rejeita-se
a igualdade das variâncias e os dois resultados são considerados
diferentes
ü Se 𝐹#$%#&%$'(˂ 𝐹)$*+%$'( a diferença não é significativa, aceita-se a
igualdade das variâncias
𝐹!"#!$#"%& > 𝐹*"+,#"%& então os desvios padrão são diferentes
Test F- Comparação da precisão 
37
O Diretor de um Laboratório de Certificação de Análises, está decidindo se
deve ou não contratar um estagiário recentemente introduzido na Empresa.
Para decidir a contratação, optou por aplicar um teste, determinando que o
estagiário e um Analista Sênior, desenvolvessem um trabalho analítico,
analisando o teor de potássio em uma mesma amostra de tecido orgânico,
seguindo o mesmo procedimento analítico e empregando a mesma
instrumentação e acessórios.
Determinação Analista Sênior Estagiário
1 1,38 1,28
2 1,33 1,36
3 1,34 1,35
4 1,35 1,40
5 1,30 1,31
Há diferenças significativas, quanto à precisão, nos resultados obtidos pelos
dois analistas?
Para 5 determinações
5-1= 4
Test F- Comparação da precisão 
38
Usado para decidir se um resultado suspeito deve ser 
mantido ou rejeitado
𝑄()*(+*),- =
𝑥@ − 𝑥A
𝑓
valormenorvalormaior
próximomaisvalorsuspeitovalor
Qcalc -
-
=
|
xq é o resultado questionado
xp é o vizinho mais próximo
f é a faixa de valores dos resultados
Test Q- Detecção de erros grosseiros 
39
Q crítico (Qcrit) è depende do nível de confiança adotado
Número de Observações 90% de confiança 95% de confiança 99% de confiança
3 0,941 0,970 0,994
4 0,765 0,829 0,926
5 0,642 0,710 0,821
6 0,560 0,625 0,740
7 0,507 0,568 0,680
8 0,468 0,526 0,634
9 0,437 0,493 0,598
10 0,412 0,466 0,568
Test Q- Detecção de erros grosseiros 
40
Considere 5 resultados: 12,53; 12,56; 12,47; 12,67; 12,48. O valor
12,67 é um valor ruim?
12,47 12,48 12,53 12,56 12,67
Variação=0,11
Intervalo=0,20
𝑄()*(+*),- =
%,//
%,0%
=0,55
𝑆𝑒 𝑄#$%#&%$'(˂ 𝑄)$*+%$'( , ( -$%(. +/ 0&+1)ã( 3('+ 1+. /$4)!'(
No de observações Q90%
3 0,94
4 0,76
5 0,64
6 0,56
7 0,51
8 0,47
9 0,44
10 0,41
valormenorvalormaior
próximomaisvalorsuspeitovalor
Qcalc -
-
=
|
Test Q- Detecção de erros grosseiros