Resoluções das Provas de Avaliação Intercalar-09042022

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4 Prova de Matemática de 09/04/2022
4.1 Grupo I
1.(Caṕıtulo 7) Considere a função f , real de variável real, definida por:
f(x) =
√
3x+ 1− 2
O conjunto-solução da equação f(x) = 1− x é
(A) C.S. = { } (B) C.S. = {1}
(C) C.S. = {8} (D) C.S. = {1, 8}
Resolução: A opção certa é a (B):
f(x) = 1− x⇔
√
3x+ 1− 2 = 1− x⇔
√
3x+ 1 = 3− x⇒ 3x+ 1 = (3− x)2
⇔ 3x+ 1 = 9− 6x+ x2 ⇔ x2 − 9x+ 8 = 0⇔ x = 9±
√
81−32
2
⇔ x = 8 ∨ x = 1
V erificação :

x = 1⇒
√
3 + 1− 2 = 1− 1⇔ 0 = 0 → proposição verdadeira
x = 8⇒
√
24 + 1− 2 = 1− 8⇔ 3 = −7 → proposição falsa
Nota: Como a pergunta era de escolha múltipla bastava veficar que:
x = 1⇒
√
3 + 1− 2 = 1− 1⇔ 0 = 0 → proposição verdadeira
x = 8⇒
√
24 + 1− 2 = 1− 8⇔ 3 = −7 → proposição falsa
e concluir que, das soluções apresentadas, só x = 1 conduz a uma proposição verdadeira.
2.(Caṕıtulo 8) Considere as seguintes afirmações:
I) Existe um ângulo α tal que cos(α) = 1
3
e sen(α) = 2
3
.
II) 1 + tg2(α) = 1
1−sen2(α) , sendo α um ângulo agudo.
(A) As afirmações I e II são falsas. (B) A afirmação I é falsa.
(C) As afirmações I e II são verdadeiras. (D) A afirmação II é falsa.
Resolução: A opção certa é a (B) porque:
1 + tg2(α) =
1
1− sen2(α)
⇔ 1 + tg2(α) = 1
cos2(α)
, ∀α ∈
]
0,
π
2
[
28
cos (α) = 1
3
sen (α) = 2
3
⇒ cos2 (α) + sen2 (α) =
(
1
3
)2
+
(
2
3
)2
=
1
9
+
4
9
=
5
9
6= 1
3.(Caṕıtulo 11) Considere a função f , de domı́nio R, definida por f(x) = 2x2 + x − 5. A
equação reduzida da reta tangente ao gráfico da função f no ponto de abcissa 2 é:
(A) y = 9x− 13 (B) y = 4x− 3
(C) y = 9x− 43 (D) y = 5x+ 5
Resolução: A opção certa é a (A) porque:
f ′ (x) = 4x+ 1⇒ f ′ (2) = 4× 2 + 1 = 9 = mt
f (2) = 2× 22 + 2− 5 = 5⇒ T (2, 5)
 t : y = 9x+ b⇒ 5 = 18 + b
⇔ b = −13⇔ t : y = 9x− 13
4.(Caṕıtulo 10) Seja f a função definida por f(x) =

kx2 + 1 se x < 1
x+ 2k se x ≥ 1
, k ∈ R .
Para que valor de k a função é cont́ınua em 1?
(A) k = −1 (B) k = 1
(C) k = 0 (D) k = 2
3
Resolução: A opção certa é (C) porque:
lim
x→1−
(kx2 + 1) = k + 1
lim
x→1+
(x+ 2k) = 1 + 2k
f (1) = 1 + 2k

⇒
f continua
1 + 2k = k + 1⇔ 2k − k = 1− 1⇔ k = 0
5.(Caṕıtulo 7) São zeros de f(x) = x
2+3x−4
x+2
:
(A) x = 1 (B) x = −2 ∨ x = 1
(C) x = −2 (D) não tem zeros
29
Resolução: A opção certa é a (A) porque x = −2 não pertence ao domı́nio de f e também
não é zero do numerador:
f(x) = 0⇔ x2+3x−4
x+2
= 0⇔ x2 + 3x− 4 = 0 ∧ x+ 2 6= 0
⇔ x = −3±
√
9+16
2
∧ x 6= −2⇔ x = −3±5
2
∧ x 6= −2⇔ (x = 1 ∨ x = −4) ∧ x 6= −2
6.(Caṕıtulo 9) Sabendo que loga b = 4, então o valor de loga
(√
a
b2
)
é:
(A) 0 (B) 1
(C) 1
2
(D) −15
2
Resolução: A opção certa é a (D) porque:
loga
(√
a
b2
)
= loga
(√
a
)
−loga
(
b2
)
= loga
(
a
1
2
)
−2 loga b =
1
2
loga a−2×4 =
1
2
×1−2×4 = −15
2
7.(Caṕıtulo 7 e 11) Na figura estão representados parte dos gráficos das funções f e g de
domı́nio R.
Qual das afirmações seguintes é verdadeira?
(A) f pode ser a função derivada da função g (B) A função g é monótona.
(C) A função f tem um máximo relativo. (D) A função f é monótona.
Resolução: A opção certa deve ser a (D) porque:
(A) Como o gráfico de g parece ser uma parábola, o gráfico da derivada, gráfico de f , de-
veria ser uma reta.
(B) A função g é monótona decrescente em ]−∞, 0] e monótona crescente em [0,+∞[.
(C) A função f não tem extremos.
(D) A função f é monótona crescente em R.
30
4.2 Grupo II
1.(Caṕıtulo 7) Resolva, em , a equação: |x− 3| = |2x+ 5|
Resolução: Considere-se a seguinte representação gráfica:
De acordo com a representação gráfica conclui-se que:
|x− 3| = |2x+ 5| ⇔

−x+ 3 = −2x− 5
ou
2x+ 5 = −x+ 3
⇔

x− 2x = 5 + 3
ou
2x+ x = −5 + 3
⇔

−x = 8
ou
3x = −2
⇔

x = −8
ou
x = −2
3
2.(Caṕıtulo 9 e 10) Num determinado dia, um grupo de amigos decidiu constituir uma
associação desportiva. Admita que, t dias após a constituição da associação, o número de
sócios é dado, aproximadamente, por:
N(t) =
3000
1 + 299e−0,01t
, t ≥ 0
2.1 Determine N(0) e lim
t→+∞
N(t). Interprete os valores obtidos.
Resolução:
N(0) = 3000
1+299×e−0,01×0 =
3000
1+299×e0 =
3000
1+299×1 =
3000
300
= 10
lim
t→+∞
N(t) = lim
t→+∞
3000
1+299×e−0,01×t =
3000
1+299×e−0,01×(+∞)
= 3000
1+299×e−∞ =
3000
1+299×0 =
3000
1
= 3000
N(0) = 10 significa que o número de sócios fundadadores é 10.
lim
t→+∞
N(t) = 3000 significa que com o decorrer do tempo o número de sócios tende a aproximar-
se dos 3000.
31
2.2 Ao fim de quantos dias se comemorou a inscrição do sócio número 1000?
Resolução:
N(t) = 1000⇔ 3000
1+299×e−0,01×t = 1000⇔
3
1+299×e−0,01×t = 1
⇔ 1 + 299× e−0,01×t = 3⇔ 299× e−0,01×t = 2⇔ e−0,01×t = 2
299
⇔ −0, 01× t = ln
(
2
299
)
⇔ t ' −5,007−0,01 ' 501 dias
3.(Caṕıtulo 8) Na figura estão representados em referencial o.n. Oxy a circunferência trigo-
nométrica e o lado extremidade, ȮA de um ângulo de amplitude θ. Sabe-se que a abcissa do
ponto A é −2
3
.
Determine o valor exato da seguinte expressão:
cos (π + θ)− sen (π + θ) + tg (−θ)
Resolução:
cos (θ) = −2
3
θ∈2oQ⇒
sen2θ+cos2(θ)=1
sen (θ) =
√
1−
(
−2
3
)2
=
√
5
9
=
√
5
3
⇒ tg (θ) = sen(θ)
cos(θ)
=
√
5
3
− 2
3
= −
√
5
2
cos (π + θ)− sen (π + θ) + tg (−θ) = − cos (θ)− [−sen (θ)]− tg (θ)
= − cos (θ) + sen (θ)− tg (θ) = −
(
−2
3
)
+
√
5
3
−
(
−
√
5
2
)
= 2
3
+
√
5
3
+
√
5
2
= 2
3
×2
+
√
5
3
×2
+
√
5
2
×3
= 4
6
+ 2
√
5
6
+ 3
√
5
6
= 4+2
√
5+3
√
5
6
= 4+5
√
5
6
4.(Caṕıtulo 11) Considere a função real de variável real f definida por:
f(x) =
x3 − 1
x2 − x
4.1 Determine o domı́nio da função.
32
Resolução:
Df =
{
x ∈ R : x2 − x 6= 0
}
=
x2−x=0⇔x(x−1)=0⇔x=0∨x=1
R\ {0, 1}
4.2 Determine a expressão de f ′(x).
Resolução:
f ′(x) =
(
x3−1
x2−x
)′
=
(x3−1)
′
×(x2−x)−(x3−1)×(x2−x)
′
(x2−x)2
=
3x2×(x2−x)−(x3−1)×(2x−1)
(x2−x)2 =
3x4−3x3−2x4+x3+2x−1
(x2−x)2 =
x4−2x3+2x−1
(x2−x)2
5.(Caṕıtulo 9) Considere as funções reais de variável real, f e g, definidas por f(x) =
1− log3(x) e g(x) = log3(x+ 2)
Na figura estão representados parcialmente os gráficos das funções f e g, bem como o triângulo
[ABC].
Sabe-se que:
• O ponto A coincide com a origem do referencial.
• O ponto B é a interseção dos gráficos das funções f e g.
• O ponto C é o ponto de interseção do gráfico de f com o eixo das abcissas.
5.1 Mostre que o ponto B tem coordenadas (1,1).
Resolução:
B = Gf ∩Gg ⇔ f(x) = g(x)⇔ 1− log3(x) = log3(x+ 2)
⇔ log3(x+ 2) + log3(x) = 1⇔ log3 [x(x+ 2)] = 1⇔ x(x+ 2) = 31
⇔ x2 + 2x− 3 = 0⇔ x = −2±
√
22−4×(−3)
2
= −2±4
2
⇔ x = 1 ∨ x = −3
/∈Domin io
x = 1⇒ f(1) = 1− log3(1) = 1 ∧ g(1) = log3(1 + 2) = 1⇒ B ∼ (1, 1)
33
5.2 Determine a área do triângulo [ABC].
Resolução:
A[ABC] =
base×altura
2
= 3×1
2
= 3
2
u.a. porque :
altura = ordenada de B = 1
base = AC = abcissa de C = zero de f(x)
f(x) = 0⇔ 1− log3(x) = 0⇔ log3(x) = 1⇔ x = 31 = 3
6.(Caṕıtulo 11) Seja h uma função, de domı́nio R, cuja derivada, h′, de domı́nio R, é dada
por
h′ (x) = (x+ 1)2 e2x+1
Estude a função h quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e à existência de pontos
de inflexão.
Resolução: Para estudar a concavidade e pontos de inflexão calculemos a segunda derivada
de h:
h′′ (x) =
[
(x+ 1)2e2x+1
]′
=
[
(x+ 1)2
]′ × e2x+1 + (x+ 1)2 × (e2x+1)′
= 2 (x+ 1)× (x+ 1)′ × e2x+1 + (x+ 1)2 × e2x+1 × (2x+ 1)′
= 2 (x+ 1) e2x+1 + (x+ 1)2 × e2x+1 × 2 = 2 (x+ 1) e2x+1 [1 + (x+ 1)] = 2 (x+ 1) (x+ 2) e2x+1
A segunda derivada anula-se em:
h′′(x) = 0⇔ 2 (x+ 1) (x+ 2) e2x+1 = 0 ⇔
e2x+1>0
x = −1 ∨ x = −2
Através dos zeros da segundo derivada constrúımos o seguinte quadro:
x −∞ −2 −1 +∞
(x + 1) (x + 2) + 0 − 0 +
2e2x+1 + + + + +
h′′ + 0 − 0 +
h ∪ PI ∩ PI ∪
Assim se conclui que a função h tem dois pontos de inflexão, um em x = −2 e outro em x = −1.
A concavidade é voltada para cima em ]−∞,−2[ e em ]−1,+∞[ e voltada para baixo em
]−2, −1[.
7.(Caṕıtulo 10) Considere a função f , real de variável real, definida por
f(x) =

e2x−2−1
x−1 se x < 1
2 se x = 1
x−1√
x−1 se x > 1
34
Mostre que a função f é cont́ınua em x = 1 usando a definição.
Resolução: A função é cont́ınua em x = 1 dado que:
f(1) = lim
x→1−
f(x) = lim
x→1+
f(x) = 2 :
f(1) = 2
lim
x→1−
f(x) = lim
x→1−
e2x−2−1
x−1 = limx→1−
e2(x−1)−1
x−1 = 2 limx→1−
e2(x−1)−1
2(x−1) =y=2(x−1)
2 lim
y→0−
ey−1
y
= 2× 1 = 2
lim
x→1+
f(x) = lim
x→1+
x−1√
x−1 = limx→1+
(x−1)×(
√
x+1)
(
√
x−1)×(
√
x+1)
= lim
x→1+
(x−1)×(
√
x+1)
(x−1) = limx→1+
(
√
x+ 1) = 2
8.(Caṕıtulo 8)
A figura ao lado ilustra uma viga [AB] presa a uma parede vertical.
Sabendo que:
• O ângulo QÂP é um ângulo reto.
• AQ = 2QB
• AB = AP = 6 m
Determine a amplitude do ângulo AQ̂P presente o resultado em graus arredondado às uni-
dades).
Resolução: De acordo com os dados e tendo em conta que:
AQ = 2QB
AQ+QB = 6
⇔ 3QB = 6⇔ QB = 2, temos:
tg
(
AQ̂P
)
=
6
4
=
3
2
⇔ AQ̂P = tg−1
(
3
2
)
' 56o
9.(Caṕıtulo 9) Considere a função f , real de variável real, definida por:
f(x) = 2 log3
(√
3x
)
− log3 (x− 2)
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9.1 Determine o domı́nio de f .
Resolução:
Df =
{
x ∈ R :
√
3x > 0 ∧ x− 2 > 0
}
= ]0,+∞[ ∩ ]2,+∞[ = ]2,+∞[
9.2 Determine o conjunto dos números reais que verificam a seguinte condição: f(x) ≥ 3
Resolução:
f(x) ≥ 3⇔ 2 log3
(√
3x
)
− log3 (x− 2) ≥ 3⇔ log3
(√
3x
)2 − log3 (x− 2) ≥ 3
⇔ log3
[
(
√
3x)
2
x−2
]
≥ 3⇔ log3
[
3x2
x−2
]
≥ 3 ⇔
log3x função crescente
3x2
x−2 ≥ 3
3 ⇔ 3x2
x−2 − 27 ≥ 0
⇔ 3x2−27x+54
x−2 ≥ 0⇔
x2−9x+18
x−2 ≥ 0⇔
(x−3)(x−6)
x−2 ≥ 0
x 2 3 6 +∞
(x − 3) (x − 6) + 0 − 0 +
x − 2 + + + + +
Sinal do quociente + 0 − 0 +
CS = ]2, 3] ∪ [6,+∞[
9.3 Indique, justificando, se o gráfico de f interseta o eixo Ox.
Resolução: Não, porque:
f(x) = 0⇔ 2log3
(√
3x
)
− log3 (x− 2) = 0⇔ log3
(√
3x
)2 − log3 (x− 2) = 0
⇔ log3
(√
3x
)2
= log3 (x− 2) ⇔
log3x função injetiva
3x2 = x− 2⇔ 3x2 − x+ 2 =
∆=1−24<0
0 Imposśıvel
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