Aula_02_-_Geometria_Plana_III_-_ESA_2024_enemconcursosgaucheallfree

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ESA 
2024 
AULA 02 
Geometria Plana III 
 
 
 
Prof. Ismael Santos 
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AULA 02 – GEOMETRIA PLANA III 
 
Sumário 
APRESENTAÇÃO 4 
1.0 – QUADRILÁTEROS NOTÁVEIS 4 
1.1 – TRAPÉZIO 5 
1.1.1 – DEFINIÇÃO 5 
1.1.2 – PROPRIEDADES 6 
1.2 – PARALELOGRAMO 9 
1.2.1 – DEFINIÇÃO 9 
1.2.2 – PROPRIEDADES 9 
1.3 – RETÂNGULO 11 
1.3.1 – DEFINIÇÃO 11 
1.3.2 – PROPRIEDADES 11 
1.4 – LOSANGO 12 
1.4.1 – DEFINIÇÃO 12 
1.4.2 – PROPRIEDADES 13 
1.5 – QUADRADO 14 
1.5.1 – DEFINIÇÃO 14 
1.5.2 – PROPRIEDADES 14 
2.0 – CÍRCULO E CIRCUNFERÊNCIA 30 
2.1 – CONCEITOS INICIAIS 30 
2.1.1 – NOTAÇÃO 30 
2.1.2 – ELEMENTOS 31 
2.1.3 – CÁLCULO DA FLECHA 33 
2.2 – POSIÇÃO ENTRE RETAS E CIRCUNFERÊNCIAS 34 
2.2.1 – CLASSIFICAÇÃO 34 
2.2.2 – PROPRIEDADE DA TANGENTE 35 
2.3 – ÂNGULOS NA CIRCUNFERÊNCIA 36 
2.3.1 – ÂNGULO CENTRAL 36 
2.3.2 – ÂNGULO INSCRITO 36 
2.3.3 – ÂNGULO EX-INSCRITO 37 
2.4. – QUADRILÁTERO E CIRCUNFERÊNCIA 38 
2.4.1 – QUADRILÁTERO INSCRITÍVEL 38 
2.4.2 – QUADRILÁTERO CIRCUNSCRITÍVEL 39 
2.4.3 – TEOREMA DE PITOT 40 
2.4.4 – TEOREMA DE PTOLOMEU 42 
2.5 – POTÊNCIA DE PONTO 45 
2.5.1 – DEFINIÇÃO 45 
3.0 – LISTA DE QUESTÕES – NÍVEL 1 57 
3.1 – GABARITO 66 
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3.0 – LISTA DE QUESTÕES COMENTADAS – NÍVEL 1 67 
4.0 – LISTA DE QUESTÕES – NÍVEL 2 88 
4.1 – GABARITO 103 
5.0 – LISTA DE QUESTÕES COMENTADAS – NÍVEL 2 104 
6.0 – REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 136 
7.0 – CONSIDERAÇÕES FINAIS 136 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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APRESENTAÇÃO 
Olá, 
Nessa aula, vamos estudar quadriláteros e círculos. No capítulo de quadriláteros, veremos algumas 
propriedades válidas para cada tipo de quadrilátero e no capítulo de círculos, estudaremos os elementos 
presentes no círculo e alguns teoremas e propriedades válidas para essa figura geométrica. 
Os exercícios ao longo da teoria dessa aula exploram melhor o conhecimento do aluno e, por isso, 
você poderá ter dificuldades em resolver algumas. Mas, tenha calma. Caso isso ocorra, leia a resolução e 
tente entender o raciocínio por trás da questão. 
Lembre-se, só leia as resoluções ou comentários das questões se você tiver alguma dúvida ou não 
souber como resolver. Se você acha que já tem um bom conhecimento dos tópicos dessa aula, vá direto 
para as listas de questões, resolva e verifique se acertou no gabarito. 
 
 
1.0 – QUADRILÁTEROS NOTÁVEIS 
Um quadrilátero é formado pela união de 4 pontos distintos do plano e três desses pontos não 
podem ser colineares. Vejamos os dois tipos de quadriláteros abaixo: 
 
Os segmentos 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ e 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ são as diagonais dos quadriláteros acima. A soma dos ângulos internos do 
quadrilátero é igual a 360° e a soma dos ângulos externos também é igual a 360°. Basta notar que o 
quadrilátero é formado pela união de dois triângulos, por exemplo, no caso do quadrilátero convexo, temos 
a união dos triângulos 𝐴𝐵𝐷 e 𝐶𝐵𝐷. 
Para nossa prova, vamos estudar apenas os quadriláteros convexos. Os principais que podem ser 
cobrados na prova são: trapézio, paralelogramo, retângulo, losango e quadrado. 
 
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1.1 – TRAPÉZIO 
1.1.1 – DEFINIÇÃO 
Um quadrilátero plano convexo é um trapézio se possui dois lados paralelos entre si. Chamamos 
esses lados de base do trapézio. Essa figura geométrica pode receber a seguinte classificação dependendo 
dos lados adjacentes às bases: 
1) Trapézio Escaleno: os lados adjacentes não são congruentes. 
 
2) Trapézio Isósceles: os lados adjacentes são congruentes. 
 
3) Trapézio Retângulo: um dos lados adjacentes forma dois ângulos retos com as bases. 
 
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1.1.2 – PROPRIEDADES 
P1) Ângulo Interno 
 
Sendo 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ e 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , segmentos transversais às bases paralelas 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ e 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ , temos: 
�̂� + �̂� = 180° 
�̂� + �̂� = 180° 
𝑨 + 𝑫 = 𝑩+ 𝑪 = 𝟏𝟖𝟎° 
 
P2) Base Média 
 
A base média de um trapézio de bases 𝑎 e 𝑏 possui a seguinte relação: 
𝑴𝑵 =
𝒂 + 𝒃
𝟐
 
Demonstração: 
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Traçamos o segmento de reta 𝑃𝐷̅̅ ̅̅ paralelo à 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ . De acordo com a figura, temos: 
Δ𝑀𝑄𝐷~Δ𝐴𝑃𝐷 ⇒
𝑀𝐷
𝐴𝐷
=
𝑀𝑄
𝐴𝑃
⇒
𝑙
2𝑙
=
𝑥
𝑏 − 𝑎
⇒ 𝑥 =
𝑏 − 𝑎
2
 
𝑀𝑁 = 𝑥 + 𝑎 ⇒ 𝑀𝑁 =
𝑏 − 𝑎
2
+ 𝑎 
∴ 𝑀𝑁 =
𝑎 + 𝑏
2
 
 
P3) Base que intercepta o encontro das diagonais 
 
Sejam 𝑃, 𝑄, 𝑅 pontos do trapézio tal que 𝑄 é o ponto de encontro das diagonais e 𝑃𝑅 é paralelo às 
bases 𝐴𝐵e 𝐶𝐷, então: 
𝑷𝑸 = 𝑸𝑹 =
𝒂𝒃
𝒂 + 𝒃
 
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𝑷𝑹 =
𝟐𝒂𝒃
𝒂 + 𝒃
 
Demonstração: 
 
Sejam ℎ e 𝐻 as alturas dos triângulos 𝑃𝑄𝐷 e 𝐴𝐵𝐷, respectivamente. Então, aplicando a semelhança 
de triângulos, temos: 
Δ𝑃𝑄𝐷~Δ𝐴𝐵𝐷 ⇒
𝑥
𝑏
=
ℎ
ℎ + 𝐻
 (𝐼) 
Δ𝑃𝑄𝐴~Δ𝐷𝐶𝐴 ⇒
𝑥
𝑎
=
𝐻
ℎ + 𝐻
 (𝐼𝐼) 
Dividindo (𝐼) por (𝐼𝐼): 
𝑎
𝑏
=
ℎ
𝐻
 (𝐼𝐼𝐼) 
Isolando ℎ/𝐻 em (𝐼): 
𝑥ℎ + 𝑥𝐻 = 𝑏ℎ ⇒ 𝑥𝐻 = ℎ(𝑏 − 𝑥) ⇒
ℎ
𝐻
=
𝑥
𝑏 − 𝑥
 (𝐼𝑉) 
Igualando (𝐼𝐼𝐼) e (𝐼𝑉): 
𝑎
𝑏
=
𝑥
𝑏 − 𝑥
⇒ 𝑎𝑏 − 𝑎𝑥 = 𝑏𝑥 ⇒ 𝑥 =
𝑎𝑏
𝑎 + 𝑏
 
Analogamente, para os triângulos 𝐵𝑄𝑅 e 𝐵𝐷𝐶: 
Δ𝐵𝑄𝑅~Δ𝐵𝐷𝐶 ⇒
𝑦
𝑎
=
𝐻
ℎ + 𝐻
⇒ 𝑦ℎ + 𝑦𝐻 = 𝑎𝐻 ⇒ 𝑦ℎ = 𝐻(𝑦 − 𝑎) ⇒
ℎ
𝐻
=
𝑦 − 𝑎
𝑦
 
Usando a relação (𝐼𝐼𝐼): 
𝑎
𝑏
=
𝑦 − 𝑎
𝑦
⇒ 𝑎𝑦 = 𝑏𝑦 − 𝑎𝑏 ⇒ 𝑦 =
𝑎𝑏
𝑎 + 𝑏
 
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∴ 𝑃𝑄 = 𝑄𝑅 =
𝑎𝑏
𝑎 + 𝑏
 
∴ 𝑃𝑅 =
2𝑎𝑏
𝑎 + 𝑏
 
1.2 – PARALELOGRAMO 
1.2.1 – DEFINIÇÃO 
Um quadrilátero plano convexo é classificado como paralelogramo quando seus lados opostos são 
paralelos. 
 
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ //𝐶𝐷̅̅ ̅̅ e 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ //𝐵𝐶̅̅ ̅̅ 
 
1.2.2 – PROPRIEDADES 
P1) Lados opostos congruentes 
Traçando-se a diagonal 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ , temos pela propriedade das retas paralelas: 
 
Pelo critério de congruência ALA, temos Δ𝐴𝐵𝐷 ≡ Δ𝐶𝐷𝐵, então: 
𝐴𝐷̅̅ ̅̅ = 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ e 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ 
 
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P2) Ângulos opostos congruentes 
 
Note que �̂� = 𝛼 + 𝛽 e �̂� = 𝛼 + 𝛽, logo: 
�̂� ≡ �̂� 
Analogamente para �̂� e �̂�: 
�̂� ≡ �̂� 
 
 P3) As diagonais se interceptam nos respectivos pontos médios 
 
Se 𝐴𝐵𝐶𝐷 é um paralelogramo, então: 
𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 
𝐴�̂�𝐷 ≡ 𝐵�̂�𝐶 e 𝐵�̂�𝐶 ≡ 𝐷�̂�𝐴 
Pelo critério de congruência ALA, temos: 
Δ𝐴𝑀𝐵 ≡ Δ𝐶𝑀𝐷 
Logo: 
𝑀𝐷 = 𝑀𝐵 e 𝐴𝑀 = 𝐶𝑀 
Portanto, 𝑀 é ponto médio das diagonais. 
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1.3 – RETÂNGULO 
1.3.1 – DEFINIÇÃO 
Se um quadrilátero plano convexo é equiângulo, então, ele é um retângulo. 
 
 
1.3.2 – PROPRIEDADES 
 P1) Todo retângulo é paralelogramo 
Pela definição de ângulos opostos congruentes do paralelogramo, como todos os ângulos internos 
do retângulo são congruentes, temos que todo retângulo é paralelogramo. Logo, todas as propriedades do 
paralelogramo são válidas para o retângulo. 
 
 P2) Diagonais congruentes 
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Sabendo que todo retângulo é um paralelogramo, então, 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 e 𝐴𝐷 = 𝐵𝐶. Usando o critério 
de congruência LAL: 
𝐴𝐷 = 𝐵𝐶, �̂� ≡ �̂� e 𝐴𝐵 = 𝐴𝐵 ⇒ Δ𝐴𝐵𝐷 ≡ Δ𝐵𝐴𝐶 ⇒ 𝐴𝐶 = 𝐵𝐷 
Uma consequência dessa propriedade é que se 𝑀 é oponto de cruzamento das diagonais do 
retângulo, temos: 
𝐴𝑀 = 𝑀𝐶 = 𝐷𝑀 = 𝑀𝐵 
 
 
1.4 – LOSANGO 
1.4.1 – DEFINIÇÃO 
Um quadrilátero plano convexo é equilátero, então, ele é um losango. 
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1.4.2 – PROPRIEDADES 
P1) Todo losango é um paralelogramo. 
Todas as propriedades do paralelogramo são válidas para o losango. 
 
P2) As diagonais são bissetrizes e mediatrizes. 
Como o losango é equilátero, temos: 
 
Os triângulos 𝐴𝐶𝐷 e 𝐴𝐶𝐵 são isósceles, então, como 𝐴𝐷 = 𝐶𝐷 = 𝐴𝐵 = 𝐶𝐵 e 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ é um segmento 
em comum: 
𝐷�̂�𝐶 ≡ 𝐷�̂�𝐴 ≡ 𝐵�̂�𝐶 ≡ 𝐵�̂�𝐴 
Logo, a diagonal 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ é bissetriz do losango. Analogamente, podemos provar que 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ também é 
bissetriz. 
Assim, os ângulos opostos são congruentes, portanto, um losango também é um paralelogramo. 
Seja 𝑀 o ponto de intersecção das diagonais: 
 
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Como 𝐴𝐵𝐶𝐷 também é um paralelogramo, temos que 𝑀 divide as diagonais ao meio. Então: 
𝐴𝑀 = 𝑀𝐶 e 𝐷𝑀 = 𝑀𝐵 
Usando o critério de congruência LLL, temos: 
Δ𝑀𝐴𝐷 ≡ Δ𝑀𝐴𝐵 ≡ Δ𝑀𝐶𝐵 ≡ Δ𝑀𝐶𝐷 ⇒ 𝐴�̂�𝐷 ≡ 𝐴�̂�𝐵 ≡ 𝐶�̂�𝐵 ≡ 𝐶�̂�𝐷 = 𝜃 
𝜃 + 𝜃 + 𝜃 + 𝜃 = 360° ⇒ 𝜃 = 90° 
Desse modo, as diagonais são perpendiculares entre si e 𝑀 é o ponto médio deles, portanto, as 
diagonais também são mediatrizes. 
 
 
1.5 – QUADRADO 
1.5.1 – DEFINIÇÃO 
Um quadrilátero convexo plano é um quadrado quando é equilátero e equiângulo. 
 
 
1.5.2 – PROPRIEDADES 
Todo quadrado é um retângulo e losango. 
Todas as propriedades do retângulo e losango são válidas para o quadrado. 
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1. Considere um quadrilátero 𝑨𝑩𝑪𝑫 e sejam 𝑴,𝑵,𝑷 e 𝑸 os pontos médios dos lados 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ , 𝑩𝑪̅̅ ̅̅ , 𝑪𝑫̅̅ ̅̅ e 𝑫𝑨̅̅ ̅̅ . 
a) Demonstrar que 𝑴𝑵𝑷𝑸 é um paralelogramo. 
b) Em quais condições 𝑴𝑵𝑷𝑸 é um retângulo, losango e quadrado? 
 
Resolução: 
a) Vamos desenhar um quadrilátero qualquer 𝐴𝐵𝐶𝐷: 
 
 Traçamos as diagonais 𝐴𝐶 e 𝐵𝐷 do quadrilátero 𝐴𝐵𝐶𝐷. Note que 𝑀𝑄 é base média do 
triângulo 𝐴𝐵𝐷, logo, 𝑀𝑄//𝐵𝐷 e 𝑀𝑄 = 𝐵𝐷/2. Analogamente, para o triângulo 𝐵𝐶𝐷, temos 
𝑁𝑃//𝐵𝐷 e 𝑁𝑃 = 𝐵𝐷/2. Portanto, 𝑁𝑃 = 𝑀𝑄 e 𝑁𝑃//𝑀𝑄. 
 Para a diagonal 𝐴𝐶, temos do triângulo 𝐴𝐵𝐶 que 𝑀𝑁 é sua base média, logo, 𝑀𝑁//𝐴𝐶 e 𝑀𝑁 =
𝐴𝐶/2. Analogamente, para o triângulo 𝐴𝐷𝐶, temos 𝑃𝑄//𝐴𝐶 e 𝑃𝑄 = 𝐴𝐶/2. Portanto, 𝑀𝑁//𝑃𝑄 e 
𝑀𝑁 = 𝑃𝑄. 
 Assim, o quadrilátero 𝑀𝑁𝑃𝑄 é um paralelogramo. 
 
b) Vamos dividir o problema em cada caso: 
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 Caso 1) 𝑀𝑁𝑃𝑄 é retângulo: 
 Como 𝑀𝑁𝑃𝑄 é um retângulo e seus lados são paralelos às diagonais do quadrilátero 𝐴𝐵𝐶𝐷, 
temos que a condição para isso é 𝐴𝐵𝐶𝐷 possuir diagonais ortogonais entre si. 
 
 Caso 2) 𝑀𝑁𝑃𝑄 é losango: 
 Vimos no item a que 𝑀𝑄 = 𝑁𝑃 = 𝐵𝐷/2 e 𝑀𝑁 = 𝑃𝑄 = 𝐴𝐶/2. Sabemos que o losango deve 
possuir todos os lados equiláteros, logo: 
𝑀𝑄 = 𝑁𝑃 = 𝑀𝑁 = 𝑃𝑄 ⇒
𝐵𝐷
2
=
𝐴𝐶
2
⇒ 𝐵𝐷 = 𝐴𝐶 
 Portanto, uma condição é as diagonais do quadrilátero 𝐴𝐵𝐶𝐷 devem possuir a mesma medida. 
 Caso 3) 𝑀𝑁𝑃𝑄 é quadrado: 
 Para 𝑀𝑁𝑃𝑄 ser um quadrado, ele deve satisfazer as condições de um losango e de um 
retângulo. Logo, 𝐴𝐵𝐶𝐷 deve possuir diagonais congruentes e ortogonais. 
Gabarito: Demonstração 
2. 𝑨𝑩𝑪𝑫 e 𝑨𝑬𝑪𝑭 são dois retângulos que possuem uma diagonal comum 𝑨𝑪. Demonstrar que o 
quadrilátero 𝑩𝑬𝑫𝑭 também é um retângulo. 
 
Resolução: 
 De acordo com o enunciado da questão, temos: 
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 Queremos provar que 𝐵𝐸𝐷𝐹 é retângulo, então, devemos mostrar que seus ângulos internos 
são todos retos. Note que os triângulos 𝐴𝐸𝐶, 𝐴𝐵𝐶, 𝐴𝐷𝐶 e 𝐴𝐹𝐶 são todos retângulos e possuem a 
mesma hipotenusa, logo, eles estão inscritos numa mesma circunferência: 
 
 Podemos usar as propriedades do arco capaz. Note que 𝐵�̂�𝐶 ≡ 𝐵�̂�𝐶, pois enxergam o mesmo 
arco 𝐵𝐶. Analogamente, 𝐴�̂�𝐷 ≡ 𝐴�̂�𝐷. Como 𝐴𝐷 = 𝐵𝐶, temos que 𝐵�̂�𝐶 ≡ 𝐵�̂�𝐶 ≡ 𝐴�̂�𝐷 ≡
𝐴�̂�𝐷. 
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 Da mesma forma, como 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷, temos 𝐴𝐹𝐵 ≡ 𝐶𝐸𝐷: 
 
 Como 𝐴�̂�𝐶 é ângulo do retângulo 𝐴𝐸𝐶𝐹, temos 𝛼 + 𝛽 = 90°. Logo, 𝐵�̂�𝐷 e 𝐵�̂�𝐷 são ângulos 
retos. 
 Sendo 𝐴𝐸 = 𝐶𝐹, temos 𝐸�̂�𝐴 ≡ 𝐶�̂�𝐹: 
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 Do retângulo 𝐴𝐵𝐶𝐷, temos 𝜃 + 𝛾 = 90°, logo, 𝐸�̂�𝐹 também é ângulo reto. Como a soma dos 
ângulos internos de um quadrilátero é igual a 360°, temos que todos os ângulos internos do 
quadrilátero 𝐵𝐷𝐸𝐹 são congruentes e iguais a 90°. Portanto, esse quadrilátero é retângulo. 
Gabarito: Demonstração 
3. 𝑨𝑩𝑪𝑫 é um losango no qual �̂� = 𝟏𝟎𝟖° e 𝑪𝑨𝑷𝑸 é um outro losango cujo vértice 𝑷 está no 
prolongamento de 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ . Achar os ângulos formados por 𝑨𝑸̅̅ ̅̅ e 𝑩𝑪̅̅ ̅̅ . 
 
Resolução: 
 
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 Vamos usar as propriedades do losango. Inicialmente, vamos encontrar os ângulos dos 
losangos. Como �̂� = 108°, temos �̂� = 108°. Sabendo que um losango também é um 
paralelogramo, temos que os ângulos �̂� e �̂� são suplementares de 108°, logo, �̂� = �̂� = 72°. 
 Sendo 𝐶𝐴𝑃𝑄 um losango, temos que 𝐴𝑄 é sua bissetriz. Como 𝐵Â𝐶 = 36° (bissetriz de 𝐴𝐵𝐶𝐷), 
temos 𝐶Â𝑄 = 𝑃Â𝑄 = 18°. 
 
 Como 𝛽 é ângulo externo do triângulo 𝐴𝐵𝑀, os ângulos formados por 𝐴𝑄̅̅ ̅̅ e 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ são dados por: 
𝛽 = 18° + 108° ⇒ 𝛽 = 126° 
𝛼 + 𝛽 = 180° ⇒ 𝛼 = 54° 
Gabarito: 𝟓𝟒° e 𝟏𝟐𝟔° 
4. 𝑨𝑩𝑪𝑫 é um retângulo cujas diagonais se cortam em 𝑶 e 𝑨𝑶𝑴 é um triângulo equilátero construído 
no semi-plano dos determinados por 𝑨𝑪̅̅ ̅̅ que contém 𝑩. Sabendo que 𝑨�̂�𝑫 = 𝟐𝟓°, calcular os ângulos 
do 𝚫𝑨𝑩𝑴. 
 
Resolução: 
 Vamos desenhar a figura do enunciado: 
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 Como 𝐴�̂�𝐷 = 25°, temos 𝐶Â𝐵 = 𝐴�̂�𝐷 = 25°. Sendo Δ𝑂𝐶𝐵 isósceles, temos 𝑂�̂�𝐶 = 𝑂�̂�𝐵 =
65° (�̂� é ângulo reto do retângulo) e, assim, 𝐵Ô𝐶 = 50°. 
 Vamos completar os ângulos da figura: 
 
 Δ𝑂𝐵𝑀 é isósceles e o ângulo 𝐵�̂�𝑀 = 70° (ângulo raso), assim, 𝑂�̂�𝑀 = 𝑂�̂�𝐵 = 55°. Logo, 
𝑀�̂�𝐴 = 30°: 
 
 Os ângulos internos do Δ𝐴𝐵𝑀 são 30°, 35° e 115°. 
Gabarito: 𝟑𝟓°, 𝟑𝟎° 𝐞 𝟏𝟏𝟓° 
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5. Sobre o lado 𝑪𝑫̅̅ ̅̅ de um quadrado 𝑨𝑩𝑪𝑫, contrói-se internamente um triângulo equilátero 𝑪𝑬𝑫 e 
sobre o lado 𝑩𝑪̅̅ ̅̅ constrói-se externamente um triângulo equilátero 𝑩𝑪𝑭. Mostrar que 𝑨, 𝑬 e 𝑭 estão 
alinhados. 
 
Resolução: 
 De acordo com os dados da questão: 
 
 Vamos construir os triângulos 𝐴𝐸𝐷, 𝐸𝐵𝐶 e 𝐶𝐸𝐹: 
 
 Note que esses triângulos são isósceles. Vamos completar os ângulos da figura: 
 
 Como o vértice 𝐶 e 𝐷 dos triângulos isósceles 𝐸𝐶𝐵 e 𝐴𝐷𝐸 são iguais a 30°, os ângulos de suas 
bases são iguais a 75°. Sendo 𝐸�̂�𝐹 = 90° e Δ𝐸𝐶𝐹 isósceles, temos 𝐶�̂�𝐹 = 𝐶�̂�𝐸 = 45°. 
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 Analisando a figura, vemos que 𝐴�̂�𝐷 + 𝐷�̂�𝐶 + 𝐶�̂�𝐹 = 75° + 60° + 45° = 180°. Logo, 𝐴�̂�𝐹 
é um ângulo raso e, portanto, 𝐴,𝐸 e 𝐹 estão alinhados. 
Gabarito: Demonstração 
6. Na figura a seguir temos o quadrado 𝑨𝑩𝑪𝑫 de lado 1. O segmento 𝑬𝑭̅̅ ̅̅ mede 1. Determine a equação 
cuja raiz seja a medida do segmento 𝑬𝑨̅̅ ̅̅ . 
7. 
 
Resolução: 
 Fazendo 𝐶𝐹 = 𝑦, temos: 
 
 Note que os triângulos retângulos 𝐶𝐹𝐷 e 𝐸𝐹𝐴 são semelhantes, logo: 
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𝑦
1
=
1
𝑥
⇒ 𝑦 =
1
𝑥
 
 Aplicando o teorema de Pitágoras no Δ𝐵𝐶𝐸: 
(1 +
1
𝑥
)
2
= (1 + 𝑥)2 + 12 
𝑥2 + 2𝑥 + 1
𝑥2
= 𝑥2 + 2𝑥 + 1 + 1 
𝑥2 + 2𝑥 + 1 = 𝑥4 + 2𝑥3 + 2𝑥2 
𝑥4 + 2𝑥3 + 𝑥2 − 2𝑥 − 1 = 0 
Gabarito: 𝒙𝟒 + 𝟐𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟏 = 𝟎 
8. Determinar o ângulo formado pela diagonal e pela base de um trapézio isósceles, sabendo que a altura 
é igual a base média. 
 
Resolução: 
 
 Queremos calcular o valor do ângulo 𝛼. 
 De acordo com o enunciado, temos que a altura possui mesma medida da base média do 
trapézio isósceles, logo: 
ℎ =
𝑎 + 𝑏
2
 
 Aplicando a lei dos cossenos nos triângulos 𝐴𝐵𝐷 e 𝐵𝐷𝐶: 
Δ𝐴𝐵𝐷 ⇒ 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑑2 − 2𝑎𝑑𝑐𝑜𝑠𝛼 (𝐼) 
Δ𝐵𝐷𝐶 ⇒ 𝑐2 = 𝑏2 + 𝑑2 − 2𝑏𝑑𝑐𝑜𝑠𝛼 (𝐼𝐼) 
 Fazendo (𝐼) − (𝐼𝐼): 
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0 = 𝑎2 − 𝑏2 − 2𝑑𝑐𝑜𝑠𝛼(𝑎 − 𝑏) 
𝑐𝑜𝑠𝛼 =
𝑎2 − 𝑏2
2𝑑(𝑎 − 𝑏)
⇒ 𝑐𝑜𝑠𝛼 =
𝑎 + 𝑏
2𝑑
 (𝐼𝐼𝐼) 
 No triângulo retângulo 𝐵𝐻𝐷: 
𝑠𝑒𝑛𝛼 =
ℎ
𝑑
⇒ 𝑑 =
𝑎 + 𝑏
2
𝑠𝑒𝑛𝛼
⇒ 𝑑 =
𝑎 + 𝑏
2𝑠𝑒𝑛𝛼
 
 Substituindo em (𝐼𝐼𝐼): 
𝑐𝑜𝑠𝛼 =
𝑎 + 𝑏
2(𝑎 + 𝑏)
2𝑠𝑒𝑛𝛼
⇒ 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝑠𝑒𝑛𝛼 ⇒ 𝛼 = 45° 
Gabarito: 𝟒𝟓° 
9. 𝑨𝑩𝑪𝑫 é um paralelogramo com triângulos equiláteros 𝑨𝑩𝑭 e 𝑨𝑫𝑬 desenhados externamente ao 
paralelogramo. Prove que o triângulo 𝑭𝑪𝑬 é equilátero. 
 
Resolução: 
 
 Os triângulos 𝐴𝐵𝐹 e 𝐴𝐷𝐸 são equiláteros, logo, 𝐸Â𝐷 = 𝐹Â𝐵 = 60°. Assim, como esses 
ângulos possuem a mesma medida, esses ângulos são opostos pelo vértice. Portanto, 𝐹, 𝐴, 𝐷 estão 
alinhados. Vamos completar os ângulos: 
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 Usando as propriedades do paralelogramo, temos 𝐴𝐷𝐶 = 𝐴𝐵𝐶 = 60°. 
 
 Pelo critério de congruência 𝐿𝐴𝐿, temos que os triângulos 𝐸𝐶𝐷 e 𝐶𝐵𝐹 são congruentes. Logo, 
𝐸𝐶 ≡ 𝐹𝐶. Fazendo 𝐸𝐶𝐷 = 𝐶𝐹𝐵 = 𝑥, temos: 
 
 Completando os ângulos do triângulo 𝐵𝐹𝐶: 
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 Sendo 𝐵�̂�𝐷 oposto de 𝐵�̂�𝐷 do paralelogramo, temos 𝐵�̂�𝐷 = 120°, então, 𝐹�̂�𝐸 = 60°: 
 
 Sendo 𝐹�̂�𝐸 = 60° e Δ𝐹𝐶𝐸 isósceles, temos que os ângulos da base também são iguais a 60°. 
Portanto Δ𝐹𝐶𝐸 é equilátero. 
Gabarito: Demonstração 
10. Na figura a seguir 𝑨𝑩𝑪𝑫 e 𝑪𝑬𝑭𝑮 são quadrados, os segmentos 𝑩𝑬̅̅ ̅̅ e 𝑬𝑪̅̅ ̅̅ são perpendiculares entre si, 
𝑩𝑬̅̅ ̅̅ = 𝟏𝟎 e 𝑬𝑪̅̅ ̅̅ = 𝟕. Determine a medida do segmento 𝑨𝑭̅̅ ̅̅ . 
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Resolução: 
 Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo 𝐵𝐸𝐶, temos: 
𝐵𝐶2 = 102 + 72 ⇒ 𝐵𝐶 = √149 
 
 Vamos aplicar a lei dos cossenos no triângulo 𝐴𝐵𝐹: 
𝑥2 = √1492 + 172 − 2 ⋅ 17 ⋅ √149 ⋅ cos(90° + 𝜃) 
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𝑥 = √149 + 289 + 34√149𝑠𝑒𝑛(𝜃) 
 Do triângulo 𝐵𝐸𝐶: 
𝑠𝑒𝑛𝜃 =
7
√149
 
𝑥 = √149 + 289 + 34√149
7
√149
⇒ 𝑥 = √676 ⇒ 𝑥 = 26 
Gabarito: 𝑨𝑭 = 𝟐𝟔 
11. No paralelogramo 𝑨𝑩𝑪𝑫, 𝑬 está em 𝑩𝑪̅̅ ̅̅ . 𝑨𝑬 corta a diagonal 𝑩𝑫̅̅̅̅̅ em 𝑮 e 𝑫𝑪̅̅ ̅̅ em 𝑭, como mostra a 
figura. Se 𝑨𝑮 = 𝟔 e 𝑮𝑬 = 𝟒, calcule 𝑬𝑭. 
 
Resolução: 
 Vamos inserir as variáveis na figura: 
 
 Usando semelhança de triângulos: 
Δ𝐸𝐶𝐹~Δ𝐴𝐷𝐹 ⇒
𝑥
10 + 𝑥
=
𝑦
𝑏
⇒ 𝑦 =
𝑏𝑥
10 + 𝑥
 
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Δ𝐵𝐺𝐸~Δ𝐷𝐺𝐴 ⇒
4
6
=
𝑏 − 𝑦
𝑏
⇒ 4𝑏 = 6𝑏 − 6𝑦 ⇒ 𝑦 =
𝑏
3
 
 Igualando as duas identidades: 
𝑏
3
=
𝑏𝑥
10 + 𝑥
⇒ 10 + 𝑥 = 3𝑥 ⇒ 𝑥 = 5 
Gabarito: 𝑬𝑭 = 𝟓 
 
2.0 – CÍRCULO E CIRCUNFERÊNCIA 
2.1 – CONCEITOS INICIAIS 
2.1.1 – NOTAÇÃO 
É comum confundir os termos círculo e circunferência. A diferença entre eles é que o primeiro pode 
ser considerado um disco enquanto o segundo é apenas um anel. Em termos matemáticos, se 𝜆1 é uma 
circunferência e 𝜆2 é um círculo, então para um ponto 𝑃 pertencente a um plano 𝛼: 
𝜆1 = {𝑃 ∈ 𝛼|𝑑𝑃,𝑂 = 𝑟} 
𝜆2 = {𝑃 ∈ 𝛼|𝑑𝑃,𝑂 ≤ 𝑟} 
𝑟 é uma distância fixa do plano e é chamado de raio. 
𝑑𝑃,𝑂 é a distância do ponto 𝑃 a um ponto 𝑂 fixo do plano, este ponto é chamado de centro da 
circunferência ou do círculo. 
 
 
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Chamamos de exterior o conjunto de pontos que distam 𝑥 > 𝑟 em relação ao centro 𝑂. Todos os 
pontos que distam 𝑥 < 𝑟 em relação ao centro 𝑂 são chamados de pontos do interior. 
Podemos usar a seguinte notação para definir uma circunferência ou círculo de raio 𝑟 e centro 𝑂: 
𝜆(𝑂, 𝑟) 
Também podemos definir uma circunferência usando 3 pontos distintos no plano, seja 𝐴, 𝐵, 𝐶 
pontos distintos: 
𝜆(𝐴; 𝐵; 𝐶) 
 
2.1.2 – ELEMENTOS 
Os elementos presentes em uma circunferência são: centro, raio, diâmetro, arco, corda e flecha. 
Vejamos a definição de cada um deles: 
Centro: ponto interno que equidista de todos os pontos da circunferência. 
Raio: é a distância do centro a qualquer ponto da circunferência. 
Diâmetro: é o comprimento do segmento de reta que passa pelo centro e toca dois pontos da 
circunferência. Também podemos dizer que ele é igual a 2 raios. 
Arco: é o conjunto de pontos entre dois pontos distintos da circunferência. Esses dois pontos 
dividem a circunferência em arco maior e arco menor. Normalmente, usamos o arco menor. 
Corda: é o segmento de reta que une as extremidades de um arco. 
Flecha: é o segmento de reta compreendido entre a corda e o arco e pertence à mediatriz dessa 
corda. 
Observe a figura abaixo os elementos da circunferência: 
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Flecha: 𝑀𝑁̅̅ ̅̅ ̅ 
Arco: 𝐴�̂� 
Diâmetro: 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ 
Corda: 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ 
Note que a maior corda é o diâmetro. Veja: 
 
Se aplicarmos a desigualdade triangular no Δ𝐴𝑂𝐵, encontramos: 
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𝑅 − 𝑅 < 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ < 𝑅 + 𝑅 ⇒ 0 < 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ < 2𝑅 
∴ 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ < 2𝑅 
2𝑅 é a medida da diagonal de uma circunferência, logo, a maior corda é o diâmetro. 
 
2.1.3 – CÁLCULO DA FLECHA 
Podemos calcular a medida da flecha em função da medida do raio e da corda dada. Seja 𝑎 a medida 
da corda 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ e 𝑅 o raio da circunferência, assim, temos: 
 
Perceba que Δ𝐴𝑀𝐶~Δ𝑁𝑀𝐴, desse modo: 
𝑀𝐶
𝐴𝑀
=
𝐴𝑀
𝑁𝑀
⇒
2𝑅 − 𝑥
𝑎
2
=
𝑎
2
𝑥
⇒ 2𝑅𝑥 − 𝑥2 =
𝑎2
4
⇒ 4𝑥2 − 8𝑅𝑥 + 𝑎2 = 0 
Encontrando as raízes: 
𝑥 =
4𝑅 ± √16𝑅2 − 4𝑎2
4
= 𝑅 ±
√4𝑅2 − 𝑎2
2
 
𝒙𝟏 = 𝑹 −
√𝟒𝑹𝟐 − 𝒂𝟐
𝟐
 𝐞 𝒙𝟐 = 𝑹 +
√𝟒𝑹𝟐 − 𝒂𝟐
𝟐
 
 
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2.2 – POSIÇÃO ENTRE RETAS E CIRCUNFERÊNCIAS 
2.2.1 – CLASSIFICAÇÃO 
Podemos classificar as retas de acordo com sua posição em relação à circunferência. Temos três 
classificações: 
1) Reta secante 
Uma reta é secante quando cruza a circunferência em dois pontos distintos, seja 𝑠 uma reta secante 
à circunferência 𝜆 de raio 𝑅 e 𝑑 a distância da reta em relação ao centro 𝑂, então: 
𝑠 ∩ 𝜆 = {𝐴, 𝐵} 
𝑑 < 𝑅 
 
 
2) Reta tangenteUma reta é tangente quando intercepta a circunferência em um único ponto. Seja 𝑡 uma reta 
tangente à circunferência 𝜆 de raio 𝑅 e 𝑑 a distância da reta em relação ao centro 𝑂: 
𝑡 ∩ 𝜆 = {𝑇} 
𝑑 = 𝑅 
 
3) Reta exterior 
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Uma reta é exterior à circunferência quando não intercepta a circunferência. Seja 𝑒 a reta exterior 
à circunferência 𝜆 de raio 𝑅 e 𝑑 a distância da reta em relação ao centro 𝑂: 
𝑒 ∩ 𝜆 = ∅ 
𝑑 > 𝑅 
 
 
2.2.2 – PROPRIEDADE DA TANGENTE 
Sejam 𝑡1 e 𝑡2 as retas tangentes à circunferência 𝜆 e que passam pelo mesmo ponto 𝑃: 
 
Note que os triângulos 𝑂𝑇1𝑃 e 𝑂𝑇2𝑃 são retângulos, então, podemos aplicar o teorema de 
Pitágoras: 
Δ𝑂𝑇1𝑃 ⇒ 𝑂𝑃
2 = 𝑂𝑇1
2 + 𝑃𝑇1
2 ⇒ 𝑃𝑇1 = √𝑂𝑃2 − 𝑅2 
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Δ𝑂𝑇2𝑃 ⇒ 𝑂𝑃
2 = 𝑂𝑇2
2 + 𝑃𝑇2
2 ⇒ 𝑃𝑇2 = √𝑂𝑃2 − 𝑅2 
⇒ 𝑷𝑻𝟏 = 𝑷𝑻𝟐 
Pelo critério de congruência LLL, temos Δ𝑂𝑇1𝑃 ≡ Δ𝑂𝑇2𝑃, então: 
𝑂�̂�𝑇1 ≡ 𝑂�̂�𝑇2 ⇒ 𝑶𝑷̅̅ ̅̅ é bissetriz 
 
2.3 – ÂNGULOS NA CIRCUNFERÊNCIA 
Já estudamos alguns conceitos de ângulos na circunferência. Vamos relembrá-los. 
2.3.1 – ÂNGULO CENTRAL 
Chamamos de ângulo central o ângulo que possui seu vértice no centro da circunferência: 
 
A medida do ângulo central 𝛼 é dada por: 
𝜶 = 𝑨�̂� 
 
2.3.2 – ÂNGULO INSCRITO 
Um ângulo é inscrito a uma circunferência quando possui seu vértice na circunferência: 
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A medida do ângulo inscrito é dada por: 
𝜶 =
𝑨�̂�
𝟐
 
 
2.3.3 – ÂNGULO EX-INSCRITO 
Ângulo ex-inscrito é o menor ângulo entre a reta tangente e a reta secante que passa pelo ponto 
de tangência: 
 
A medida do ângulo ex-inscrito é igual à medida do ângulo inscrito que enxerga o segmento 𝐴𝑇: 
𝜶 =
𝑨�̂�
𝟐
 
 
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2.4. – QUADRILÁTERO E CIRCUNFERÊNCIA 
2.4.1 – QUADRILÁTERO INSCRITÍVEL 
Um quadrilátero convexo é inscritível se, e somente se, seus quatro vértices pertencem à 
circunferência. 
Exemplo: 
 
Teorema: Um quadrilátero convexo é inscritível se, e somente se, seus ângulos opostos são 
suplementares. 
Demonstração: 
Vamos provar a primeira parte: 
𝐴𝐵𝐶𝐷 é inscritível ⇒ {�̂� + �̂� = 180°
�̂� + �̂� = 180°
 
 
Como �̂� e �̂� são ângulos inscritos à circunferência, temos: 
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�̂� =
𝐴𝐷�̂�
2
 
�̂� =
𝐴𝐵�̂�
2
 
Sabendo que 𝐴𝐷�̂� + 𝐴𝐵�̂� = 360°: 
�̂� + �̂� =
𝐴𝐷�̂� + 𝐴𝐵�̂�
2
=
360°
2
= 180° 
Como a soma dos ângulos internos do quadrilátero é igual a 360°: 
�̂� + �̂� + �̂� + �̂�⏟ 
180°
= 360° ⇒ �̂� + �̂� = 180° 
Para a segunda parte: 
{�̂� + �̂� = 180°
�̂� + �̂� = 180°
⇒ 𝐴𝐵𝐶𝐷 é inscritível 
Supondo que 𝐴𝐵𝐶𝐷 seja um quadrilátero convexo não inscritível à circunferência 𝜆 com 𝐷 ∉ 𝜆, 
então, existe um ponto 𝐸 pertencente à 𝜆 tal que 𝐴𝐵𝐶𝐸 é inscritível: 
 
𝐴𝐵𝐶𝐸 é inscritível por construção, logo, �̂� + �̂� = 180°. Como 𝐸 é um ângulo externo ao triângulo 
𝐷𝐸𝐶, temos pelo teorema do ângulo externo que �̂� > �̂�. Pela hipótese temos �̂� + �̂� = 180°, então, �̂� ≡
�̂�. O que é um absurdo! Portanto, se os ângulos opostos são suplementares, o quadrilátero é inscritível. 
 
2.4.2 – QUADRILÁTERO CIRCUNSCRITÍVEL 
Um quadrilátero convexo é circunscritível se, e somente se, seus quatro lados são tangentes à 
circunferência. 
Exemplo: 
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Com base nesses conceitos, temos dois teoremas que são bastante úteis para resolver questões de 
geometria plana envolvendo quadriláteros. Vamos estudá-los. 
 
2.4.3 – TEOREMA DE PITOT 
Um quadrilátero é circunscritível se, e somente se, a soma dos lados opostos forem iguais. 
 
𝑨𝑩 + 𝑪𝑫 = 𝑨𝑫 + 𝑩𝑪 
Demonstração: 
Para a primeira parte: 
𝐴𝐵𝐶𝐷 é circunscritível ⇒ 𝐴𝐵 + 𝐶𝐷 = 𝐴𝐷 + 𝐵𝐶 
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Seja 𝐴𝐵𝐶𝐷 o quadrilátero circunscritível representado abaixo, usando a propriedade das retas 
tangentes à circunferência, temos: 
 
Analisando a figura, podemos escrever: 
𝐴𝐵 + 𝐶𝐷 = (𝑥 + 𝑦) + (𝑧 + 𝑤) = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑤 
𝐴𝐷 + 𝐵𝐶 = (𝑥 + 𝑤) + (𝑦 + 𝑧) = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑤 
∴ 𝐴𝐵 + 𝐶𝐷 = 𝐴𝐷 + 𝐵𝐶 
Para a segunda parte: 
𝐴𝐵 + 𝐶𝐷 = 𝐴𝐷 + 𝐵𝐶 ⇒ 𝐴𝐵𝐶𝐷 é circunscritível 
Supondo que 𝐴𝐵𝐶𝐷 seja não circunscritível à circunferência 𝜆 com 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ ∩ 𝜆 = ∅, então, podemos 
construir o quadrilátero 𝐴𝐵𝐶𝐸 tal que 𝐶𝐸̅̅ ̅̅ tangencia a circunferência 𝜆: 
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Como 𝐴𝐵𝐶𝐸 é circunscritível, podemos escrever: 
𝐴𝐸 + 𝐵𝐶 = 𝐴𝐵 + 𝐶𝐸 (𝐼) 
Pela hipótese: 
𝐴𝐵 + 𝐶𝐷 = 𝐴𝐷 + 𝐵𝐶 (𝐼𝐼) 
Somando as expressões (𝐼) e (𝐼𝐼): 
𝐴𝐸 + 𝐵𝐶 + 𝐴𝐵 + 𝐶𝐷 = 𝐴𝐵 + 𝐶𝐸 + 𝐴𝐷 + 𝐵𝐶 
𝐴𝐸 + 𝐶𝐷 = 𝐶𝐸 + 𝐴𝐷 ⇒ 𝐴𝐸 + 𝐶𝐷 = 𝐶𝐸 + 𝐴𝐸 + 𝐸𝐷 
⇒ 𝐶𝐷 = 𝐶𝐸 + 𝐸𝐷 
Como 𝐶𝐸𝐷 é um triângulo, temos pela desigualdade triangular: 
𝐶𝐷 < 𝐶𝐸 + 𝐸𝐷 
Logo, chegamos a um absurdo! Portanto: 
𝐴𝐵 + 𝐶𝐷 = 𝐴𝐷 + 𝐵𝐶 ⇒ 𝐴𝐵𝐶𝐷 é circunscritível 
 
2.4.4 – TEOREMA DE PTOLOMEU 
Se o quadrilátero convexo 𝑨𝑩𝑪𝑫 é inscritível, então, o produto de suas diagonais é igual à soma 
dos produtos dos lados opostos. 
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𝑨𝑪 ⋅ 𝑩𝑫 = 𝑨𝑩 ⋅ 𝑪𝑫 + 𝑨𝑫 ⋅ 𝑩𝑪 
Demonstração: 
Seja 𝐴𝐵𝐶𝐷 um quadrilátero convexo inscritível. Podemos prolongar o lado 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ tal que 𝐵�̂�𝐸 ≡ 𝐷�̂�𝐴 
e 𝐸 é o prolongamento do lado 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ : 
 
Como 𝐴𝐵𝐶𝐷 é inscritível, temos 𝛽 + 𝛾 = 180°. Perceba que no vértice 𝐵, 𝐶�̂�𝐸 é suplementar de 
𝐴�̂�𝐶, então, 𝐶�̂�𝐸 = 𝛽. 
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Assim, podemos ver que Δ𝐴𝐷𝐶~Δ𝐸𝐵𝐶, então, temos: 
𝐶𝐷
𝐵𝐶
=
𝐴𝐷
𝐵𝐸
⇒ 𝐴𝐷 ∙ 𝐵𝐶 = 𝐶𝐷 ∙ 𝐵𝐸 (𝐼) 
Os ângulos inscritos 𝐵�̂�𝐶 e 𝐵�̂�𝐶 enxergam o mesmo arco 𝐵�̂�, então, 𝐵�̂�𝐶 ≡ 𝐵�̂�𝐶. Note que 
𝐷�̂�𝐵 ≡ 𝐴�̂�𝐸, pois 𝐴�̂�𝐵 é um ângulo em comum entre eles. Desse modo: 
 
Δ𝐷𝐶𝐵~Δ𝐴𝐶𝐸 ⇒
𝐶𝐷
𝐴𝐶
=
𝐵𝐷
𝐴𝐸
⇒ 𝐴𝐸 ⋅ 𝐶𝐷 = 𝐵𝐷 ⋅ 𝐴𝐶 (𝐼𝐼) 
Podemos ver pela figura que 𝐴𝐸 = 𝐴𝐵 + 𝐵𝐸, substituindo essa relação em (𝐼𝐼): 
(𝐴𝐵 + 𝐵𝐸) ⋅ 𝐶𝐷 = 𝐵𝐷 ⋅ 𝐴𝐶 ⇒ 𝐴𝐵 ⋅ 𝐶𝐷 + 𝐵𝐸 ⋅ 𝐶𝐷 = 𝐴𝐶 ⋅ 𝐵𝐷 
Usando a relação (𝐼), encontramos: 
𝐴𝐶 ⋅ 𝐵𝐷 = 𝐴𝐵 ⋅ 𝐶𝐷 + 𝐴𝐷 ⋅ 𝐵𝐶 
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2.5 – POTÊNCIA DE PONTO 
2.5.1 – DEFINIÇÃO 
Para finalizar o capítulo de circunferência, vamos estudar o que é a potência de um ponto 𝑃 em 
relação a uma circunferência 𝜆. Podemos ter dois casos possíveis: 
1) 𝑃 está no interior da circunferência. 
 
2) 𝑃 está no exterior da circunferência. 
 
Para qualquer um desses casos, temos pela definição de potência de ponto: 
𝑃𝑜𝑡𝜆
𝑃 = 𝑃𝐴 ⋅ 𝑃𝐵 
Lê-se potência do ponto 𝑃 em relação à circunferência 𝜆. 
Vamos ver sua aplicação. Passando por 𝑃 duas retas concorrentes tal que essas retas interceptam 
a circunferência nos pontos 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, temos: 
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Analisando as figuras, podemos ver que: 
Caso 1) 
Δ𝑃𝐵𝐷~Δ𝑃𝐶𝐴 ⇒
𝑃𝐵
𝑃𝐶
=
𝑃𝐷
𝑃𝐴
⇒ 𝑃𝐴 ⋅ 𝑃𝐵 = 𝑃𝐶 ⋅ 𝑃𝐷 
Caso 2) 
Δ𝑃𝐵𝐶~Δ𝑃𝐷𝐴 ⇒
𝑃𝐵𝑃𝐷
=
𝑃𝐶
𝑃𝐴
⇒ 𝑃𝐴 ⋅ 𝑃𝐵 = 𝑃𝐶 ⋅ 𝑃𝐷 
𝑷𝒐𝒕𝝀
𝑷 = 𝑷𝑨 ⋅ 𝑷𝑩 = 𝑷𝑪 ⋅ 𝑷𝑫 
 
12. Demonstre que um quadrilátero é circunscritível se e somente se a soma dos lados opostos são iguais. 
 
Resolução: 
 Esse é o teorema de Pitot, caso não se lembre, veja a demonstração na aula teórica. 
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Gabarito: Demonstração 
13. Demonstre que num quadrilátero inscritível, o produto das diagonais é igual à soma dos produtos dos 
lados opostos. 
 
Resolução: 
 Esse é o teorema de Ptolomeu, caso não se lembre, veja a demonstração na aula teórica. 
Gabarito: Demonstração 
14. Num triângulo 𝑨𝑩𝑪, sejam 𝑫 e 𝑬 respectivamente os pés da mediana e da bissetriz baixadas de 𝑨. A 
circunferência circunscrita ao triângulo 𝑨𝑫𝑬 encontra 𝑨𝑩 em 𝑩′ e 𝑨𝑪 em 𝑪′. Demonstrar que 𝑩𝑩′ =
𝑪𝑪′. 
 
Resolução: 
 
 Usando o teorema da bissetriz interna, temos: 
𝐵𝐴
𝐵𝐸
=
𝐶𝐴
𝐶𝐸
 (𝐼) 
 Como 𝐷 é mediana: 
𝐵𝐷 = 𝐶𝐷 (𝐼𝐼) 
Pela potência do ponto 𝐵 e 𝐶: 
𝐵𝐵′ ⋅ 𝐵𝐴 = 𝐵𝐸 ⋅ 𝐵𝐷 ⇒
𝐵𝐴
𝐵𝐸
=
𝐵𝐷
𝐵𝐵′
 (𝐼𝐼𝐼) 
𝐶𝐶′ ⋅ 𝐶𝐴 = 𝐶𝐷 ⋅ 𝐶𝐸 ⇒
𝐶𝐴
𝐶𝐸
=
𝐶𝐷
𝐶𝐶′
 (𝐼𝑉) 
 Usando a relação (𝐼), temos de (𝐼𝐼𝐼) e (𝐼𝑉): 
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𝐵𝐷
𝐵𝐵′
=
𝐶𝐷
𝐶𝐶′
 
 Da relação (𝐼𝐼), podemos concluir: 
𝐵𝐵′ = 𝐶𝐶′ 
Gabarito: Demonstração 
15. Num quadrilátero 𝑨𝑩𝑪𝑫, inscrito em uma circunferência, o lado 𝑨𝑫 é um diâmetro. Demonstrar que 
subsiste entre as medidas 𝒂, 𝒃, 𝒄 e 𝒅 dos lados desse quadrilátero a relação: 
(𝒅𝟐 − 𝒂𝟐 − 𝒃𝟐 − 𝒄𝟐) ⋅ 𝒅 = 𝟐𝒂𝒃𝒄 
 
Resolução: 
 Como 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ é a diagonal da circunferência, se ligarmos os pontos 𝐴 com 𝐶 e 𝐵 com 𝐷, formamos 
os triângulos retângulos 𝐴𝐵𝐷 e 𝐴𝐶𝐷. 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ e 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ são diagonais do quadrilátero. Desse modo, temos: 
 
 Sendo o quadrilátero inscritível, podemos aplicar o teorema de Ptolomeu: 
𝑥𝑦 = 𝑎𝑐 + 𝑏𝑑 (𝐼) 
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 Aplicando o teorema de Pitágoras nos triângulos retângulos: 
𝑑2 = 𝑥2 + 𝑐2 ⇒ 𝑥 = √𝑑2 − 𝑐2 (𝐼𝐼) 
𝑑2 = 𝑦2 + 𝑎2 ⇒ 𝑦 = √𝑑2 − 𝑎2 (𝐼𝐼𝐼) 
 Substituindo (𝐼𝐼) e (𝐼𝐼𝐼) em (𝐼): 
√(𝑑2 − 𝑐2)(𝑑2 − 𝑎2) = 𝑎𝑐 + 𝑏𝑑 
 Elevando a equação acima ao quadrado: 
𝑑4 − 𝑎2𝑑2 − 𝑐2𝑑2 + 𝑎2𝑐2 = 𝑎2𝑐2 + 𝑏2𝑑2 + 2𝑎𝑏𝑐𝑑 
⇒ 𝑑4 − 𝑎2𝑑2 − 𝑏2𝑑2 − 𝑐2𝑑2 = 2𝑎𝑏𝑐𝑑 
⇒ 𝑑3 − 𝑎2𝑑 − 𝑏2𝑑 − 𝑐2𝑑 = 2𝑎𝑏𝑐 
∴ (𝑑2 − 𝑎2 − 𝑏2 − 𝑐2)𝑑 = 2𝑎𝑏𝑐 
Gabarito: Demonstração 
16. Calcular as diagonais de um quadrilátero inscrito numa circunferência cujos lados são: 𝑨𝑩 = 𝟓;𝑩𝑪 =
𝟖; 𝑪𝑫 = 𝟏𝟐 𝐞 𝑫𝑨 = 𝟐𝟎. 
 
Resolução: 
 
 Como o quadrilátero é inscritível, podemos aplicar o teorema de Ptolomeu: 
(𝑥 + 𝑦)(𝑧 + 𝑤) = 8 ⋅ 20 + 5 ⋅ 12 = 220 (𝐼) 
 Usando o critério de semelhança AA, temos: 
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Δ𝐴𝐵𝑃~Δ𝐷𝐶𝑃 ⇒
𝑥
𝑧
=
𝑤
𝑦
=
5
12
 (𝐼𝐼) 
Δ𝐵𝑃𝐶~Δ𝐴𝑃𝐷 ⇒
𝑥
𝑤
=
𝑧
𝑦
=
8
20
 (𝐼𝐼𝐼) 
 Vamos colocar as variáveis em função de 𝑤. De (𝐼𝐼): 
𝑦 =
12
5
𝑤 
𝑧 =
12
5
𝑥 
De (𝐼𝐼𝐼): 
𝑥 =
8
20
𝑤 ⇒ 𝑥 =
2
5
𝑤 
𝑧 =
12
5
⋅
8
20
𝑤 ⇒ 𝑧 =
24
25
𝑤 
 Substituindo as identidades em (𝐼): 
(
2
5
𝑤 +
12
5
𝑤) (
24
25
𝑤 + 𝑤) = 220 ⇒
14
5
⋅
49
25
⋅ 𝑤2 = 220 ⇒ 𝑤 =
5
7
√
550
7
≅ 6,33 
 Substituindo o valor de 𝑤 nas outras variáveis: 
𝑥 ≅ 2,53 
𝑦 ≅ 15,20 
𝑧 ≅ 6,08 
 Assim, as diagonais são dadas por: 
𝑥 + 𝑦 ≅ 17,73 
𝑧 + 𝑤 ≅ 12,41 
Gabarito: 𝟏𝟐, 𝟒𝟏 𝐞 𝟏𝟕, 𝟕𝟑 
17. Prove que o produto das bases de um trapézio isósceles circunscrito a um círculo é igual ao quadrado 
do diâmetro do círculo. 
 
Resolução: 
 Vamos desenhar a figura da questão e inserir as variáveis: 
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 Queremos provar que 𝑎𝑏 = 4𝑅2. Sendo o trapézio circunscritível, podemos aplicar o teorema 
de Pitot: 
𝑎 + 𝑏 = 𝑐 + 𝑐 ⇒ 𝑐 =
𝑎+𝑏
2
 
 Como o trapézio é isósceles, temos dois triângulos retângulos congruentes dentro dele: 
 
 Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo 𝐴𝐴′𝐷, encontramos: 
(
𝑎 + 𝑏
2
)
2
= (
𝑏 − 𝑎
2
)
2
+ 4𝑅2 ⇒ (
𝑎 + 𝑏
2
)
2
− (
𝑏 − 𝑎
2
)
2
= 4𝑅2 
⇒
1
4
(𝑎 + 𝑏 + 𝑏 − 𝑎)(𝑎 + 𝑏 − 𝑏 + 𝑎) = 4𝑅2 ⇒
1
4
(2𝑏)(2𝑎) = 4𝑅2 
∴ 𝑎𝑏 = 4𝑅2 
Gabarito: Demonstração 
18. Calcular o raio de 4 circunferências iguais, tangentes duas a duas, e tangentes internamente a uma 
circunferência de raio 𝟓𝒎. 
 
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Resolução: 
 
 Os centros das circunferências maiores formam um quadrado de lado 2𝑅 e a diagonal desse 
quadrado contém o centro da circunferência menor. Podemos aplicar o seno no triângulo 
retângulo acima: 
𝑠𝑒𝑛45° =
2𝑅
2𝑅 + 2𝑟
⇒
√2
2
(𝑅 + 𝑟) = 𝑅 ⇒
𝑟√2
2
= 𝑅 (1 −
√2
2
) ⇒ 𝑟 = 𝑅(√2 − 1) 
 O enunciado afirma que as circunferências tangenciam internamente uma circunferência de 
raio 5𝑚, desse modo, temos: 
2𝑅 + 𝑟 = 5 ⇒ 2𝑅 + 𝑅(√2 − 1) = 5 ⇒ 𝑅 =
5
√2 + 1
⇒ 𝑅 = 5(√2 − 1)𝑚 
Gabarito: 𝟓(√𝟐 − 𝟏)𝒎 
19. Um triângulo retângulo isósceles 𝑨𝑩𝑪 está inscrito numa circunferência de raio 𝑹. Determinar o raio 
da circunferência que é tangente à primeira e aos catetos 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ e 𝑨𝑪̅̅ ̅̅ do triângulo 𝑨𝑩𝑪. 
 
Resolução: 
 Temos a seguinte figura: 
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 𝑂1 é o centro da circunferência maior e 𝑂2 é o centro da circunferência menor. Assim, temos 
𝑂1𝑂2 = 𝑅 − 𝑟. 
𝑂1𝐷 é a altura do triângulo retângulo 𝐴𝐶𝑂1, sendo 𝑂1𝐶 = 𝑅, temos: 
𝑂1𝐶 ⋅ cos(45°) = 𝑂1𝐷 ⇒ 𝑂1𝐷 =
𝑅√2
2
 
𝐸 é o ponto de tangência da circunferência menor, temos 𝑂2𝐸 = 𝑟. 
𝑂2𝑁 é cateto do triângulo retângulo isósceles 𝑂1𝑂2𝑁, logo: 
𝑂2𝑁 = (𝑅 − 𝑟) cos 45° ⇒ 𝑂2𝑁 =
(𝑅 − 𝑟)√2
2
 
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 Note que 𝑂1𝐷 = 𝑁𝐸, desse modo, temos: 
𝑂2𝐸 = 𝑂2𝑁 + 𝑁𝐸 ⇒ 𝑟 =
(𝑅 − 𝑟)√2
2
+
𝑅√2
2
⇒ 2𝑟 = 2𝑅√2 − 𝑟√2 
𝑟 =
𝑅(2√2)
2 + √2
⇒ 𝑟 = 2𝑅(√2 − 1) 
Gabarito: 𝟐𝑹(√𝟐 − 𝟏) 
20. Determine 𝒙 nas figuras abaixo. 
a) 
 
b) 
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c) 
 
Resolução: 
a) De acordo com a figura, a potência do ponto 𝑃 é dada por: 
𝑃𝐴 ⋅ 𝑃𝐵 = 𝑃𝐶 ⋅ 𝑃𝐷 ⇒ (4𝑥 − 1)𝑥 = 3𝑥(𝑥 + 1) ⇒ 4𝑥2 − 𝑥 = 3𝑥2 + 3𝑥 
𝑥2 − 4𝑥 = 0 ⇒ 𝑥(𝑥 − 4) = 0 ⇒ 𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑥 = 4 
 Como 𝑥 ≠ 0, a solução é 𝑥 = 4. 
 
b) Nesse caso, note que 𝑂𝐴 = 𝑂𝐵 = 4 + 𝑥. Desse modo: 
𝑃𝐴 ⋅ 𝑃𝐵 = 𝑃𝐶 ⋅ 𝑃𝐷 ⇒ 𝑥 ⋅ (4 + 4 + 𝑥) = 8 ⋅ 6 ⇒ 𝑥2 + 8𝑥 − 48 = 0 
 Raízes: 
𝑥 = −4 ± √64 ⇒ 𝑥 = −12 𝑜𝑢 4 
∴ 𝑥 = 4 
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c) Redesenhando a figura: 
 
𝑃𝐵 ⋅ 𝑃𝐶 = (𝑃𝐴)2 ⇒ 2 ⋅ (2 + 2𝑥) = 𝑥2 ⇒ 4+ 4𝑥 = 𝑥2 ⇒ 𝑥2 − 4𝑥 − 4 = 0 
 Raízes: 
𝑥 = 2 ± √8 ⇒ 𝑥 = 2 ± 2√2 
∴ 𝑥 = 2 + 2√2 
Gabarito: a) 𝒙 = 𝟒 b) 𝒙 = 𝟒 c) 𝒙 = 𝟐 + 𝟐√𝟐 
 
 
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3.0 – LISTA DE QUESTÕES – NÍVEL 1 
1. (FN 2003) Duas circunferências se tangenciam externamente. Se o raio de uma é 3/5 do raio da outra 
e a distância entre os centros é 16 cm, qual é o raio da MENOR? 
a) 𝟔 𝐜𝐦 
b) 𝟕 𝐜𝐦 
c) 𝟖 𝐜𝐦 
d) 𝟏𝟑 𝐜𝐦 
 
2. (FN 2008) O perímetro de um quadrado inscrito numa circunferência é 40 cm. Então, o raio da 
circunferência mede: 
a) 5 cm 
b) 5 √𝟐 cmc) 5 √𝟑 cm 
d) 10√𝟐 cm 
e) 10 √𝟑 cm 
 
3. (FN 2008) Qual a medida do comprimento de uma circunferência cujo raio mede 3 cm? 
a) 18,84 cm 
b) 19,68 cm 
c) 32,00 cm 
d) 38,56 cm 
e) 47,14 cm 
 
4. (FN 2011) Uma pessoa percorreu 5 voltas ao redor de uma praça circular que tem um raio de 12m. 
Sendo 3,14 = , essa pessoa percorreu, em metros, aproximadamente: 
a) 124,2 
b) 188,4 
c) 376,8 
d) 753,6 
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e) 766,6 
 
5. (FN 2011) Calcule a área aproximada, em m², da região sombreada da figura abaixo, sendo 3,14 = e 
assinale a opção correta. 
 
a) 6,24 
b) 5,66 
c) 5,33 
d) 4,34 
e) 3,44 
 
6. (FN 2012) Três cidades Itataba, Ocatiba e Opateba formam um triângulo equilátero no mapa. A 
distância entre cada duas delas é de 54 Km. Certo dia, houve um terremoto de pequenas proporções 
na região, apresentando um epicentro coincidente com o baricentro do triângulo. A única residência 
destruída estava localizada na outra extremidade do apótema, entre Ocatiba e Opateba. A que distância 
essa residência estava do epicentro do terremoto? 
(como os terremotos se propagam em linhas circulares, temos um triângulo equilátero inscrito na 
circunferência, dado por 3r= e 
2
r
a = ) 
a) 9 Km 
b) 9 √𝟑 Km 
c) 18 √𝟐 Km 
d) 18 √𝟑 Km 
e) 27 √𝟐 Km 
 
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7. (FN 2012) Na figura abaixo, calcule o valor de x , sabendo que a circunferência tem 5 cm de raio. 
(OBS: o triângulo é retângulo) 
 
a) 5 cm 
b) 5√𝟐 cm 
c) 5√𝟑cm 
d) 10 cm 
e) 10√𝟑 cm 
 
8. (FN 2013) 
 
A figura acima mostra o trajeto percorrido por um ciclista para ir do ponto A ao ponto D. Sabendo que 
AB = BC = CD = 9 km, determine quantos quilômetros esse ciclista percorreu ao realizar o trajeto. 
a) 18,2 km 
b) 27,3 km 
c) 28,3 km 
d) 37,3 km 
e) 65,5 km 
 
9. (FN 2014) Calcule a medida do apótema de um triângulo equilátero inscrito numa circunferência de 8 
cm de raio. 
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a) 2 2 
b) 4 
c) 4 3 
d) 8 2 
e) 8 
 
10. (FN 2016) A hipotenusa de um triângulo inscrito em uma semicircunferência mede 42 cm. Determine 
o raio desta semicircunferência. 
a) 17 cm. 
b) 21 cm. 
c) 27 cm. 
d) 31 cm. 
e) 37 cm. 
 
11. (FN 2017) Na figura seguinte, a região hachurada recebe o nome de Coroa Circular. Calcule a área da 
região hachurada na figura. 
 
a) 195,36 cm² 
b) 196,85 cm² 
c) 197,00 cm² 
d) 197,82 cm² 
e) 198,00 cm² 
 
12. (FN 2017) Na figura abaixo, o triângulo ABC está inscrito na circunferência de centro O. Sabendo que 
4AB = cm e 2 5AC = cm, determine a medida do comprimento da circunferência. 
(Use 3,14 = ). 
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a) 18,84 cm 
b) 12,05 cm 
c) 10,16 cm 
d) 9 cm 
e) 3 cm 
 
13. (FN 2018) A roda de um carro tem 0,80 m de diâmetro. Nessas condições, determine o comprimento 
do contorno da circunferência externa dessa roda e quantas voltas completas a roda dá ao percorrer a 
distância de 8792 m. 
a) 2,512 m e 3500 voltas 
b) 5,024 m e 1750 voltas 
c) 1,6 m e 5495 voltas 
d) 0,8 m e 10990 voltas 
e) 1,256 m e 7000 voltas 
 
14. (FN 2019) O diâmetro da roda de um caminhão é 1 metro. Para evitar um acidente, trafegando a 60 
Km/h, sabe-se que o caminhão percorre 157 metros até parar. Quantas voltas completas a roda do 
caminhão dará nessa situação? 
Considere 3,14 = . 
a) 50 
b) 60 
c) 80 
d) 100 
e) 150 
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15. (Estratégia Militares - CFN 2021 – Prof. Ismael Santos) Um círculo tem área igual a 𝟏𝟔𝝅 cm². Se 
aumentarmos seu raio em 50%, consequentemente, sua área irá aumentar em: 
a) 50% 
b) 75% 
c) 100% 
d) 125% 
e) 150% 
 
16. (EAM 2006) O lado de um losango mede 2 5 cm. A diagonal menor é a metade da maior. Qual o valor 
da soma das diagonais em centímetros? 
a) 3 
b) 6 
c) 10 
d) 12 
e) 6 2 
 
17. (EAM 2009) 
 
Observe a representação acima. 
No paralelogramo PQRS, PS ST= , e o ângulo PQR mede 56°, conforme mostra a figura. A medida do 
ângulo STP , em graus, é: 
a) 59 
b) 60 
c) 61 
d) 62 
e) 64 
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18. (EAM 2011) Observe a figura. 
 
Na figura acima, observa-se a representação de três níveis da grade de uma cerca quadriculada, cujos 
quadradinhos têm lados de 10 cm. No total, esta cerca, é composta de 20 níveis iguais aos que foram 
representados acima. Qual a altura aproximada, em metros, dessa cerca de 20 níveis? 
Dados: Se necessário, utilize 2 1,4; 3 1,7= = . 
a) 3,4 
b) 3,1 
c) 2,8 
d) 2,5 
e) 2,2 
 
19. (EAM 2018) Analise as afirmativas abaixo: 
I – Todo quadrado é um losango. 
II – Todo quadrado é um retângulo. 
III – Todo retângulo é um paralelogramo. 
IV – Todo triângulo equilátero é isósceles. 
 
Assinale a opção correta. 
a) Apenas a afirmativa I é verdadeira. 
b) As afirmativas I, II, III e IV são verdadeiras. 
c) Apenas as afirmativas I, II e III são verdadeiras. 
d) Apenas as afirmativas III e IV são verdadeiras. 
e) Apenas a afirmativa II é verdadeira. 
 
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20. (EAM 2011) Analise a representação a seguir. 
 
Na figura acima, 6AD CF= = cm são diâmetros de círculos que tangenciam os segmentos de reta BC 
e DE, nesta ordem. A área da figura acinzentada, em cm², é: 
a) 36 12− 
b) 36 9− 
c) 18 12− 
d) 18 9− 
e) 9 − 
 
21. (EAM 2011) Uma bicicleta tem a roda da frente com 1 m de raio, enquanto a roda da traseira tem a 
metade do raio da outra. Quando a menor percorrer 1 km, a maior percorrerá 
a) 1,0 km 
b) 0,8 km 
c) 0,7 km 
d) 0,6 km 
e) 0,5 km 
 
22. (EAM 2012) A figura apresenta duas circunferências concêntricas. 
 
Sendo o raio da menor igual a 2 cm e o raio da maior igual a 0,4 dm, quanto mede a área da coroa 
circular sombreada? 
a) 12 cm² 
b) 15 cm² 
c) 17 cm² 
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d) 19 cm² 
e) 21 cm² 
 
23. (EAM 2013) Sabendo que um prato, de forma circular, possua um raio igual a 12 cm, qual é o 
comprimento, em centímetros, de circunferência desse prato? 
Dado: 3,1 = 
a) 37,20 
b) 44,64 
c) 64,40 
d) 74,40 
e) 80,40 
 
24. (EAM 2015) Em uma circunferência de diâmetro 40 cm, é traçada uma corda de 24 cm de comprimento. 
Logo, a distância do centro da circunferência à corda é de: 
a) 8 cm 
b) 12 cm 
c) 16 cm 
d) 20 cm 
e) 22 cm 
 
25. (EAM 2019) Sendo um hexágono regular inscrito em um círculo de raio 2, calcule a medida da diagonal 
maior desse hexágono e assinale a opção correta. 
a) 4 
b) 4 3 
c) 8 
d) 6 3 
e) 12 
 
 
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3.1 – GABARITO 
1. A. 
2. B 
3. A 
4. C 
5. E 
6. B 
7. A 
8. D 
9. B 
10. B 
11. D 
12. A 
13. A 
14. A 
15. D. 
16. D 
17. D 
18. C 
19. B 
20. B 
21. A 
22. A 
23. D 
24. C 
25. A 
 
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3.0 – LISTA DE QUESTÕES COMENTADAS – NÍVEL 1 
1. (FN 2003) Duas circunferências se tangenciam externamente. Se o raio de uma é 3/5 do raio da outra 
e a distância entre os centros é 16 cm, qual é o raio da MENOR? 
a) 𝟔 𝐜𝐦 
b) 𝟕 𝐜𝐦 
c) 𝟖 𝐜𝐦 
d) 𝟏𝟑 𝐜𝐦 
 
ComentáriosVamos chamar o raio da maior circunferência de 𝑹 e o raio da menor circunferência de 𝒓. Segundo 
o enunciado, temos que 𝒓 = 𝟑/𝟓 de 𝑹 e 𝑹 + 𝒓 = 𝟏𝟔 cm. Então: 
𝑹 + 𝒓 = 𝟏𝟔 
𝒓 =
𝟑𝑹
𝟓
 
𝑹 +
𝟑𝑹
𝟓
= 𝟏𝟔 
𝟓𝑹 + 𝟑𝑹
𝟓
=
𝟖𝟎
𝟓
 
𝟖𝑹 = 𝟖𝟎 
𝑹 =
𝟖𝟎
𝟖
 
𝑹 = 𝟏𝟎 
 
Descobrimos então o tamanho do raio da maior circunferência. Logo, podemos calcular o da 
menor: 
𝒓 =
𝟑𝑹
𝟓
 
𝒓 =
𝟑 ∙ 𝟏𝟎
𝟓
 
𝒓 =
𝟑𝟎
𝟓
 
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𝒓 = 𝟔 cm 
 
Gabarito: A. 
2. (FN 2008) O perímetro de um quadrado inscrito numa circunferência é 40 cm. Então, o raio da 
circunferência mede: 
a) 5 cm 
b) 5 √𝟐 cm 
c) 5 √𝟑 cm 
d) 10√𝟐 cm 
e) 10 √𝟑 cm 
 
Comentários 
Sabemos que um quadrado tem 4 lados. Logo, seu perímetro (𝑷𝒒) será a soma desses 4 lados. Ou 
seja: 
𝑷𝒒 = 𝟒𝒍 
 
Utilizando a informação do enunciado: 
𝟒𝒍 = 𝟒𝟎 
𝒍 =
𝟒𝟎
𝟒
 
𝒍 = 𝟏𝟎 
 
Como o quadrado está inscrito na circunferência, significa que a diagonal do quadrado (𝑫𝒒) 
representa o diâmetro da circunferência (𝒅𝒄). Então, vamos calcular qual a medida da diagonal 
desse quadrado e do diâmetro: 
𝑫𝒒 = 𝒍√𝟐 
𝑫𝒒 = 𝟏𝟎√𝟐 
𝑫𝒒 = 𝒅𝒄 
𝒅𝒄 = 𝟏𝟎√𝟐 
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O raio, como sabemos, é metade do diâmetro. Logo, sua medida é: 
𝒓 =
𝒅𝒄
𝟐
 
𝒓 =
𝟏𝟎√𝟐
𝟐
 
𝒓 = 𝟓√𝟐 
 
Gabarito: B 
3. (FN 2008) Qual a medida do comprimento de uma circunferência cujo raio mede 3 cm? 
a) 18,84 cm 
b) 19,68 cm 
c) 32,00 cm 
d) 38,56 cm 
e) 47,14 cm 
 
Comentários 
Sabemos que a fórmula para calcularmos o comprimento de uma circunferência é 𝑪 = 𝟐𝝅𝒓. Com 
a informação do enunciado, vamos calcular: 
𝑪 = 𝟐𝝅𝒓 
𝑪 = 𝟐𝝅 ∙ 𝟑 
𝑪 = 𝟔𝝅 
 
Vamos considerar 𝝅 = 𝟑, 𝟏𝟒: 
𝑪 = 𝟔 ∙ 𝟑, 𝟏𝟒 
𝑪 = 𝟏𝟖, 𝟖𝟒 
 
Gabarito: A 
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4. (FN 2011) Uma pessoa percorreu 5 voltas ao redor de uma praça circular que tem um raio de 12m. 
Sendo 3,14 = , essa pessoa percorreu, em metros, aproximadamente: 
a) 124,2 
b) 188,4 
c) 376,8 
d) 753,6 
e) 766,6 
 
Comentários 
Vamos primeiro calcular qual o comprimento da praça. Sabemos que a fórmula para calcularmos 
o comprimento de uma circunferência é 𝑪 = 𝟐𝝅𝒓. Com a informação do enunciado, vamos 
calcular: 
𝑪 = 𝟐𝝅𝒓 
𝑪 = 𝟐 ∙ 𝟑, 𝟏𝟒 ∙ 𝟏𝟐 
𝑪 = 𝟕𝟓, 𝟑𝟔 
 
Já que a pessoa de 5 voltas, devemos multiplicar por 5: 
𝟕𝟓, 𝟑𝟔 ∙ 𝟓 
𝟑𝟕𝟔, 𝟖 
 
Gabarito: C 
5. (FN 2011) Calcule a área aproximada, em m², da região sombreada da figura abaixo, sendo 3,14 = e 
assinale a opção correta. 
 
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a) 6,24 
b) 5,66 
c) 5,33 
d) 4,34 
e) 3,44 
 
Comentários 
Para sabermos a área sombreada, devemos calcular a área do quadrado e subtrair a área do 
círculo. 
Vamos primeiro calcular a área do quadrado. Para calcularmos a área do quadrado, temos a 
fórmula 𝑨 = 𝒍𝟐. Então, usando a informação da figura: 
𝑨 = 𝒍𝟐 
𝑨 = 𝟒𝟐 
𝑨 = 𝟏𝟔 𝒎𝟐 
 
Vamos agora calcular a área do círculo. Para calcularmos a área do círculo, temos a fórmula 𝑨 =
𝝅𝒓𝟐. Analisando a figura, vemos que o diâmetro do círculo é 𝟒. Logo o raio é 2, visto que o raio é 
a metade do diâmetro. Então, vamos calcular: 
𝑨 = 𝝅𝒓𝟐 
𝑨 = 𝟑, 𝟏𝟒 ∙ 𝟐𝟐 
𝑨 = 𝟑, 𝟏𝟒 ∙ 𝟒 
𝑨 = 𝟏𝟐, 𝟓𝟔 𝒎𝟐 
 
Agora, vamos subtrair os valores para descobrir a área da área sombreada: 
𝟏𝟔 − 𝟏𝟐, 𝟓𝟔 
𝟑, 𝟒𝟒 𝒎𝟐 
 
Gabarito: E 
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6. (FN 2012) Três cidades Itataba, Ocatiba e Opateba formam um triângulo equilátero no mapa. A 
distância entre cada duas delas é de 54 Km. Certo dia, houve um terremoto de pequenas proporções 
na região, apresentando um epicentro coincidente com o baricentro do triângulo. A única residência 
destruída estava localizada na outra extremidade do apótema, entre Ocatiba e Opateba. A que distância 
essa residência estava do epicentro do terremoto? 
(como os terremotos se propagam em linhas circulares, temos um triângulo equilátero inscrito na 
circunferência, dado por 3r= e 
2
r
a = ) 
a) 9 Km 
b) 9 √𝟑 Km 
c) 18 √𝟐 Km 
d) 18 √𝟑 Km 
e) 27 √𝟐 Km 
 
Comentários 
A distância que o enunciado nos pede corresponde a medida do apótema do triângulo equilátero. 
Sabemos que o apótema corresponde a terça parte da medida da altura do triângulo equilátero. 
Vamos descobrir a altura: 
𝒉 =
𝒍√𝟑
𝟐
 
𝒉 = 𝟓𝟒
𝟓𝟒√𝟑
𝟐
 
𝒉 = 𝟐𝟕√𝟑 
Portanto, o apótema: 
𝒂 =
𝒉
𝟑
 
𝒂 =
𝟐𝟕√𝟑
𝟑
 
𝒂 = 𝟗√𝟑 
 
Gabarito: B 
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AULA 02 – GEOMETRIA PLANA III 
 
7. (FN 2012) Na figura abaixo, calcule o valor de x , sabendo que a circunferência tem 5 cm de raio. 
(OBS: o triângulo é retângulo) 
 
a) 5 cm 
b) 5√𝟐 cm 
c) 5√𝟑cm 
d) 10 cm 
e) 10√𝟑 cm 
 
Comentários 
Vemos na imagem e conforme nos diz o enunciado, o ângulo do lado direito vemos que é 𝟑𝟎°, o 
ângulo do lado esquerdo por consequência será 𝟔𝟎° e o ângulo de cima será 𝟗𝟎°, logo a 
hipotenusa será 𝟓 𝒄𝒎 + 𝒙 e o cateto oposto ao ângulo 𝟑𝟎° será 𝟓 𝒄𝒎. Então, vamos calcular o 
valor de 𝒙, sabendo que 𝒔𝒆𝒏𝟑𝟎° = 𝟎, 𝟓: 
𝒔𝒆𝒏𝟑𝟎° =
𝒄𝒐
𝒉𝒊𝒑
 
𝟎, 𝟓 =
𝟓
𝟓 + 𝒙
 
𝟎, 𝟓(𝟓 + 𝒙) = 𝟓 
𝟐, 𝟓 + 𝟎, 𝟓𝒙 = 𝟓 
𝟎, 𝟓𝒙 = 𝟓 − 𝟐, 𝟓 
𝒙 =
𝟐, 𝟓
𝟎, 𝟓
 
𝒙 = 𝟓 𝒄𝒎 
 
Gabarito: A 
8. (FN 2013) 
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AULA 02 – GEOMETRIA PLANA III 
 
 
A figura acima mostra o trajeto percorrido por um ciclista para ir do ponto A ao ponto D. Sabendo que 
AB = BC = CD = 9 km, determine quantos quilômetros esse ciclista percorreu ao realizar o trajeto. 
a) 18,2 km 
b) 27,3 km 
c) 28,3 km 
d) 37,3 km 
e) 65,5 km 
 
Comentários 
Vemos na figura que se juntarmos o arco formado por 𝑨𝑩 e 𝑪𝑫 formaremos um círculo com o 
diâmetro de 𝟗 𝒌𝒎, já que 𝑨𝑩 = 𝑪𝑫 = 𝟗 𝒌𝒎. Então, vamos calcular o comprimento. O raio é 
𝟒, 𝟓 𝒌𝒎, já que o diâmetro é 𝟗 e o raio é a metade do diâmetro. Para calcularmos o comprimento, 
temos a fórmula 𝑪 = 𝟐𝝅𝒓, logo: 
𝑪 = 𝟐𝝅𝒓 
𝑪 = 𝟐𝝅 ∙ 𝟒, 𝟓 
𝑪 = 𝟗𝝅 
Vamos considerar 𝝅 = 𝟑, 𝟏𝟒: 
𝑪 = 𝟗 ∙ 𝟑, 𝟏𝟒 
𝑪 = 𝟐𝟖, 𝟐𝟔 
 
Agora devemos somar 𝑩𝑪, visto que o ciclista também percorreu esse trecho: 
𝟐𝟖, 𝟐𝟔 + 𝟗 
𝟑𝟕, 𝟐𝟔 
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AULA 02 – GEOMETRIA PLANA III 
 
 
Arredondando: 
𝟑𝟕, 𝟐𝟔 → 𝟑𝟕, 𝟑 𝒌𝒎 
 
Gabarito: D 
9. (FN 2014) Calcule a medida do apótema de um triângulo equilátero inscrito numa circunferência de 8 
cm de raio. 
a) 2 2 
b) 4 
c) 4 3 
d) 8 2 
e) 8 
 
Comentários 
Sabemos que a apótema do triângulo equilátero inscrito é: 
𝒓
𝟐
→
𝟖
𝟐
→ 𝟒 
 
Gabarito: B 
10. (FN 2016) A hipotenusa de um triângulo inscrito em uma semicircunferência mede 42 cm. Determine 
o raio desta semicircunferência. 
a) 17 cm. 
b) 21 cm. 
c) 27 cm. 
d) 31 cm. 
e) 37 cm. 
 
Comentários 
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Quando um triângulo retângulo está inscrito em uma semicircunferência, necessariamente sua 
hipotenusa será igual ao diâmetro dessa semicircunferência. Portanto, o diâmetro dessa 
circunferência será 𝟒𝟐 cm. Logo o raio será 𝟐𝟏 cm, visto que o raio é a metade do diâmetro. 
 
Gabarito: B 
11. (FN 2017) Na figura seguinte, a região hachurada recebe o nome de Coroa Circular. Calcule a área da 
região hachurada na figura. 
 
a) 195,36 cm² 
b) 196,85 cm²c) 197,00 cm² 
d) 197,82 cm² 
e) 198,00 cm² 
 
Comentários 
Para calcularmos a área da coroa circular temos a fórmula 𝑨 = 𝝅(𝑹𝟐 − 𝒓𝟐), sendo 𝑹 o raio maior 
e 𝒓 o raio menor. Então, resolvendo: 
𝑨 = 𝝅(𝑹𝟐 − 𝒓𝟐) 
𝑨 = 𝝅(𝟏𝟐𝟐 − 𝟗𝟐) 
𝑨 = 𝝅(𝟏𝟒𝟒 − 𝟖𝟏) 
𝑨 = 𝝅 ∙ 𝟔𝟑 
 
Vamos considerar 𝝅 = 𝟑, 𝟏𝟒: 
𝑨 = 𝟑, 𝟏𝟒 ∙ 𝟔𝟑 
𝑨 = 𝟏𝟗𝟕, 𝟖𝟐 𝒄𝒎𝟐 
Gabarito: D 
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12. (FN 2017) Na figura abaixo, o triângulo ABC está inscrito na circunferência de centro O. Sabendo que 
4AB = cm e 2 5AC = cm, determine a medida do comprimento da circunferência. 
(Use 3,14 = ). 
 
a) 18,84 cm 
b) 12,05 cm 
c) 10,16 cm 
d) 9 cm 
e) 3 cm 
 
Comentários 
Vemos na figura que o triângulo ABC é retângulo, sendo AB e AC os catetos e BC a hipotenusa. 
Sabemos pelo teorema de Pitágoras que 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 = 𝒄𝟐, sendo 𝒂 e 𝒃 os catetos e 𝒄 a hipotenusa. 
Com as informações do enunciado, vamos calcular: 
𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 = 𝒄𝟐 
𝟒𝟐 + (𝟐√𝟓)
𝟐
= 𝒄𝟐 
𝟏𝟔 + (𝟒 ∙ 𝟓) = 𝒄𝟐 
𝟏𝟔 + 𝟐𝟎 = 𝒄𝟐 
𝒄𝟐 = 𝟑𝟔 
√𝒄𝟐 = √𝟑𝟔 
𝒄 = ±𝟔 
 
Como estamos falando de uma figura geométrica, o −𝟔 não faz sentido nesse caso. Descobrimos 
então que o valor da hipotenusa é 𝟔 cm. Analisando a figura, vemos que a hipotenusa também é 
o diâmetro da circunferência. Logo, o raio é 𝟑 cm, já que o raio é a metade do diâmetro. 
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Para calcularmos o comprimento do círculo, temos a fórmula 𝑪 = 𝟐𝝅𝐫. Vamos resolver: 
𝑪 = 𝟐𝝅𝐫 
𝑪 = 𝟐 ∙ 𝟑, 𝟏𝟒 ∙ 𝟑 
𝑪 = 𝟏𝟖, 𝟖𝟒 𝒄𝒎 
 
Gabarito: A 
13. (FN 2018) A roda de um carro tem 0,80 m de diâmetro. Nessas condições, determine o comprimento 
do contorno da circunferência externa dessa roda e quantas voltas completas a roda dá ao percorrer a 
distância de 8792 m. 
a) 2,512 m e 3500 voltas 
b) 5,024 m e 1750 voltas 
c) 1,6 m e 5495 voltas 
d) 0,8 m e 10990 voltas 
e) 1,256 m e 7000 voltas 
 
Comentários 
Vamos primeiro calcular o comprimento do contorno da circunferência dessa roda. Para calcular 
o comprimento, usamos a fórmula 𝑪 = 𝟐𝝅𝒓. O raio da roda é 0,40 m, já que o raio é metade do 
diâmetro. Vamos calcular: 
𝑪 = 𝟐𝝅𝒓 
𝑪 = 𝟐𝝅 ∙ 𝟎, 𝟒 
𝑪 = 𝟎, 𝟖𝝅 
Vamos considerar 𝝅 = 𝟑, 𝟏𝟒: 
𝑪 = 𝟐, 𝟓𝟏𝟐 𝒎 
 
Para sabermos quantas voltas completas a roda dá, precisamos dividir 𝟖𝟕𝟗𝟐 por 𝟐, 𝟓𝟏𝟐: 
𝟖𝟕𝟗𝟐 ÷ 𝟐, 𝟓𝟏𝟐 
𝟑𝟓𝟎𝟎 voltas 
Gabarito: A 
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14. (FN 2019) O diâmetro da roda de um caminhão é 1 metro. Para evitar um acidente, trafegando a 60 
Km/h, sabe-se que o caminhão percorre 157 metros até parar. Quantas voltas completas a roda do 
caminhão dará nessa situação? 
Considere 3,14 = . 
a) 50 
b) 60 
c) 80 
d) 100 
e) 150 
 
Comentários 
Vamos primeiro calcular o comprimento da roda. Para calcular o comprimento, usamos a fórmula 
𝑪 = 𝟐𝝅𝒓. O raio da roda é 0,5 m, já que o raio é metade do diâmetro. Vamos calcular: 
𝑪 = 𝟐𝝅𝒓 
𝑪 = 𝟐 ∙ 𝟑, 𝟏𝟒 ∙ 𝟎, 𝟓 
𝑪 = 𝟑, 𝟏𝟒 𝒎 
 
Para sabermos quantas voltas completas a roda dá, precisamos dividir 𝟏𝟓𝟕 por 𝟑, 𝟏𝟒: 
𝟏𝟓𝟕 ÷ 𝟑, 𝟏𝟒 
𝟓𝟎 voltas 
 
Gabarito: A 
15. (Estratégia Militares - CFN 2021 – Prof. Ismael Santos) Um círculo tem área igual a 𝟏𝟔𝝅 cm². Se 
aumentarmos seu raio em 50%, consequentemente, sua área irá aumentar em: 
a) 50% 
b) 75% 
c) 100% 
d) 125% 
e) 150% 
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Comentário: 
Temos a relação entre raios e áreas: 
(
𝑟1
𝑟2
)
2
=
𝐴1
𝐴2
 
Se 𝑟2 = 1,5 ⋅ 𝑟1, isto é, teve seu raio aumentado em 50%, para as áreas: 
(
1
1,5
)
2
=
𝐴1
𝐴2
⇒ 𝐴2 = 2,25 ⋅ 𝐴1 
Logo, o aumento foi de 125%. 
Gabarito: D. 
16. (EAM 2006) O lado de um losango mede 2 5 cm. A diagonal menor é a metade da maior. Qual o valor 
da soma das diagonais em centímetros? 
a) 3 
b) 6 
c) 10 
d) 12 
e) 6 2 
 
Comentário 
Perceba o losango, com diagonais 4𝑎 e 2𝑎: 
 
Basta aplicar Pitágoras: 
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AULA 02 – GEOMETRIA PLANA III 
 
(2√5)
2
= 𝑎2 + (2𝑎)2 
20 = 𝑎2 + 4𝑎2 →
20
5
= 𝑎2 → 𝑎2 = 4 
𝑎 = 2 
Assim, a soma das diagonais é de: 
𝑆𝑜𝑚𝑎 = 4𝑎 + 2𝑎 = 6𝑎 = 6𝑥2 = 12 
 
Gabarito: D 
17. (EAM 2009) 
 
Observe a representação acima. 
No paralelogramo PQRS, PS ST= , e o ângulo PQR mede 56°, conforme mostra a figura. A medida do 
ângulo STP , em graus, é: 
a) 59 
b) 60 
c) 61 
d) 62 
e) 64 
 
Comentário: 
Se o ângulo PQR vale 56o, por se tratar de um paralelogramo, implica no ângulo PST também valer 
56o. Se o triângulo PST é isósceles com PS=PT, então: 
𝑆𝑇𝑃 = 𝑆𝑃𝑇 =
180𝑜 − 𝑃𝑆𝑇
2
=
180 − 56
2
= 62𝑜 
 
Gabarito: D 
18. (EAM 2011) Observe a figura. 
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Na figura acima, observa-se a representação de três níveis da grade de uma cerca quadriculada, cujos 
quadradinhos têm lados de 10 cm. No total, esta cerca, é composta de 20 níveis iguais aos que foram 
representados acima. Qual a altura aproximada, em metros, dessa cerca de 20 níveis? 
Dados: Se necessário, utilize 2 1,4; 3 1,7= = . 
a) 3,4 
b) 3,1 
c) 2,8 
d) 2,5 
e) 2,2 
 
Comentário: 
Precisamos calcular a altura de cada nível. A altura de um nível é igual a diagonal de um 
quadradinho. Assim: 
ℎ = 𝑎√2 = 10√2 
Como temos 20 níveis, temos uma altura de 20h: 
20ℎ = 20.10√2 = 200.1,4 = 280𝑐𝑚 = 2,8𝑚 
 
Gabarito: C 
19. (EAM 2018) Analise as afirmativas abaixo: 
I – Todo quadrado é um losango. 
II – Todo quadrado é um retângulo. 
III – Todo retângulo é um paralelogramo. 
IV – Todo triângulo equilátero é isósceles. 
 
Assinale a opção correta. 
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a) Apenas a afirmativa I é verdadeira. 
b) As afirmativas I, II, III e IV são verdadeiras. 
c) Apenas as afirmativas I, II e III são verdadeiras. 
d) Apenas as afirmativas III e IV são verdadeiras. 
e) Apenas a afirmativa II é verdadeira. 
 
Comentário: 
l – 
Verdadeiro. Losangos possuem lados opostos paralelos e de mesma medida. Todo quadrado 
atende a tais características. 
ll – 
Verdadeiro. Retângulos possuem 4 ângulos de 90o. Todo quadrado atende tal característica. 
lll – 
Verdadeiro. Paralelogramo possuem lados opostos paralelos. Todo retângulo atende a isso. 
IV – 
Verdadeiro. Isósceles possuem 2 lados iguais. Equiláteros possuem 3 e, consequentemente, 2 
também. 
 
Gabarito: B 
20. (EAM 2011) Analise a representação a seguir. 
 
Na figura acima, 6AD CF= = cm são diâmetros de círculos que tangenciam os segmentos de reta BC 
e DE, nesta ordem. A área da figura acinzentada, em cm², é: 
a) 36 12− 
b) 36 9− 
c) 18 12− 
d) 18 9− 
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e) 9 − 
 
Comentário: 
Temos um retângulo ABFE de: 
𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝐴𝐵 =
6
2
= 3𝑐𝑚 
𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑡𝑜 𝐴𝐸 = 6.2 = 12𝑐𝑚 
Assim, a área da figura hachurada é igual à área do retângulo subtraindo a área dos 2 semicírculos: 
𝑆ℎ𝑎𝑐ℎ = 𝑆𝑟𝑒𝑡 − 2𝑆𝑠𝑒𝑚𝑖𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 
𝑆ℎ𝑎𝑐ℎ = 3𝑥12 − 2
𝜋(3)2
2
 
𝑆ℎ𝑎𝑐ℎ = 36 − 9𝜋 
Gabarito: B 
21. (EAM 2011) Uma bicicleta tem a roda da frente com 1 m de raio, enquanto a roda da traseira tem a 
metade do raio da outra. Quando a menor percorrer 1 km, a maior percorrerá 
a) 1,0 km 
b) 0,8 km 
c) 0,7 km 
d) 0,6 km 
e) 0,5 km 
 
Comentário: 
Ambas as rodas andam o mesmo tanto. Se andassem distâncias diferentes,elas se afastariam e 
não iriam compor uma bicicleta. A única diferença é que uma roda pode girar mais vezes que a 
outra para andar a mesma distância. 
 
Gabarito: A 
22. (EAM 2012) A figura apresenta duas circunferências concêntricas. 
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Sendo o raio da menor igual a 2 cm e o raio da maior igual a 0,4 dm, quanto mede a área da coroa 
circular sombreada? 
a) 12 cm² 
b) 15 cm² 
c) 17 cm² 
d) 19 cm² 
e) 21 cm² 
 
Comentário: 
O primeiro raio vale 2cm e o segundo 0,4dm=4cm 
A área da coroa vale a diferença das duas áreas: 
𝑆𝑐𝑜𝑟𝑜𝑎 = 𝑆𝑐𝑖𝑟𝑐1 − 𝑆𝑐𝑖𝑟𝑐2 
= 𝜋𝑟1
2 − 𝜋𝑟2
2 
= 𝜋(42 − 22) = 𝜋(16 − 4) 
𝑆𝑐𝑜𝑟𝑜𝑎 = 12𝜋 𝑐𝑚
2 
 
Gabarito: A 
23. (EAM 2013) Sabendo que um prato, de forma circular, possua um raio igual a 12 cm, qual é o 
comprimento, em centímetros, de circunferência desse prato? 
Dado: 3,1 = 
a) 37,20 
b) 44,64 
c) 64,40 
d) 74,40 
e) 80,40 
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Comentário: 
O comprimento de uma circunferência de raio r é dado por: 
C = 2πr 
Substituindo r=12cm: 
C = 2π(12) = 24π = 24.3,1 
C = 74,40cm 
 
Gabarito: D 
24. (EAM 2015) Em uma circunferência de diâmetro 40 cm, é traçada uma corda de 24 cm de 
comprimento. Logo, a distância do centro da circunferência à corda é de: 
a) 8 cm 
b) 12 cm 
c) 16 cm 
d) 20 cm 
e) 22 cm 
 
Comentário: 
Perceba: 
 
Basta aplicar Pitágoras para encontrar a distância x: 
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202 = 122 + 𝑥2 
𝑥 = 400 − 144 
𝑥2 = 256 
𝑥 = 16𝑐𝑚 
Gabarito: C 
25. (EAM 2019) Sendo um hexágono regular inscrito em um círculo de raio 2, calcule a medida da diagonal 
maior desse hexágono e assinale a opção correta. 
a) 4 
b) 4 3 
c) 8 
d) 6 3 
e) 12 
 
Comentário: 
 
Basta saber que a diagonal maior de um hexágono regular inscrito em um círculo é igual ao 
diâmetro desse círculo: 
 
𝐷𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 = 2𝑟 = 2𝑥2 = 4 
 
Gabarito: A 
 
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4.0 – LISTA DE QUESTÕES – NÍVEL 2 
1. (EEAR/2021.2) O ponto 𝑶𝑰 é o centro da circunferência I, que tem raio medindo 6 cm. O ponto 𝑶𝑰𝑰 é 
o centro da circunferência II, que tem raio medindo 2 cm. O segmento 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ é tangente à circunferência 
I, em A, e passa por 𝑶𝑰𝑰. Se 𝑶𝑰𝑶𝑰𝑰 = 𝟏𝟎 cm, então AB = ______ cm. 
 
a) 12 
b) 10 
c) 9 
d) 7 
 
2. (EEAR/2021) Os pontos O e P são centros de duas circunferências que possuem raios medindo, 
respectivamente, 8 cm e 3 cm, conforme a figura. Se 𝑶𝑷 = 𝟓√𝟑𝟕 cm e 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ é tangente a essas 
circunferências, em A e B, então AB = ____ cm. 
 
a) 28 
b) 29 
c) 30 
d) 31 
 
3. (EEAR/2019) O segmento 𝑨𝑻 é tangente, em 𝑻, à circunferência de centro 𝑶 e raio 𝑹 = 𝟖 𝒄𝒎. A 
potência de 𝑨 em relação à circunferência é igual a ___ 𝒄𝒎𝟐. 
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a) 𝟏𝟔 
b) 𝟔𝟒 
c) 𝟏𝟗𝟐 
d) 𝟐𝟓𝟔 
 
4. (EEAR/2019) Com um fio de arame, deseja-se cercar dois jardins: um circular, de raio 𝟑 𝒎, e o outro 
triangular, cujo perímetro é igual ao comprimento da circunferência do primeiro. Considerando 𝝅 =
𝟑, 𝟏𝟒, para cercar totalmente esses jardins, arredondando para inteiros, serão necessários ___ metros 
de arame. 
a) 𝟐𝟗 
b) 𝟑𝟎 
c) 𝟑𝟓 
d) 𝟑𝟖 
 
5. (EEAR/2018) Considere o quadrilátero 𝑨𝑩𝑪𝑶, de vértices 𝑨, 𝑩 e 𝑪 na circunferência e vértice 𝑶 no 
centro dela. Nessas condições 𝒙 mede 
 
a) 𝟑𝟎° 
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b) 𝟒𝟓° 
c) 𝟓𝟓° 
d) 𝟔𝟎° 
 
6. (EEAR/2018) Considere uma roda de 𝟐𝟎 𝒄𝒎 de raio que gira, completamente e sem interrupção, 𝟐𝟎 
vezes no solo. Assim, a distância que ela percorre é ___𝝅 𝒎. 
a) 𝟏𝟎𝟎 
b) 𝟖𝟎 
c) 𝟏𝟎 
d) 𝟖 
 
7. (EEAR/2018) Seja BDEF um losango de lado medindo 𝟐𝟒𝒄𝒎, inscrito no triângulo ABC. 
 
Se 𝑩𝑪 = 𝟔𝟎𝒄𝒎, então 𝑨𝑩 = ? 𝒄𝒎. 
a) 𝟑𝟔 
b) 𝟒𝟎 
c) 𝟒𝟐 
d) 𝟒𝟖 
 
8. (EEAR/2018) Seja 𝑨𝑩𝑪𝑫 um paralelogramo com 𝑨𝑩//𝑪𝑫 e 𝑩𝑪//𝑨𝑫. Se a interseção de 𝑨𝑪 e 𝑩𝑫 é 
o ponto O, sempre é possível garantir que 
a) 𝑨𝑶̅̅ ̅̅ = 𝑩𝑶̅̅̅̅̅ 
b) 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ = 𝑪𝑩̅̅ ̅̅ 
c) 𝑫𝑶̅̅̅̅̅ = 𝑩𝑶̅̅̅̅̅ 
d) 𝑨𝑫̅̅ ̅̅ = 𝑪𝑫̅̅ ̅̅ 
 
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9. (EEAR/2017) No trapézio ACDF abaixo, considere 𝑨𝑩 = 𝑩𝑪 e 𝑫𝑬 = 𝑬𝑭. 
 
Assim, o valor de 𝒙𝟐 é 
a)𝟏 
b) 𝟒 
c) 𝟗 
d) 𝟏𝟔 
 
10. (EEAR/2017) Se 𝑨, 𝑩, 𝑪 e 𝑫 são pontos da circunferência, o valor de 𝒙 é múltiplo de 
 
a) 𝟓 
b) 𝟔 
c) 𝟕 
d) 𝟖 
 
11. (EEAR/2016) Um carrinho de brinquedo que corre em uma pista circular completa 𝟖 voltas, 
percorrendo um total de 𝟒𝟖 𝒎. Desprezando a largura da pista e considerando 𝝅 = 𝟑, o seu raio é, em 
metros, igual a 
a) 𝟎, 𝟖 
b) 𝟏, 𝟎 
c) 𝟏, 𝟐 
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d) 𝟐, 𝟎 
 
12. (EEAR/2015) Um trapézio isósceles tem base maior e base menor medindo, respectivamente, 12 cm e 
6 cm. 
 
Se esse trapézio tem altura medindo 4 cm, então seu perímetro é ___cm. 
a) 22 
b) 26 
c) 28 
d) 30 
 
13. (EEAR/2013) Seja o paralelogramo 𝑨𝑩𝑪𝑫. Sabendo que 𝑨𝑷̅̅ ̅̅ e 𝑫𝑷̅̅̅̅̅ são bissetrizes dos ângulos internos 
D e A, respectivamente, o valor de 𝒙 é: 
 
a) 𝟓𝟓° 
b) 𝟒𝟓° 
c) 𝟑𝟎° 
d) 𝟏𝟓° 
 
14. (EEAR/2013) Seja ABCD o trapézio isóscele da figura. 
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A soma das medidas dos ângulos A e C é: 
a) 𝟗𝟎° 
b) 𝟏𝟐𝟎° 
c) 𝟏𝟓𝟎° 
d) 𝟏𝟖𝟎° 
 
15. (EEAR/2013) Utilizando a Potência do Ponto 𝑷 em relação à circunferência dada, calcula-se que o valor 
de 𝒙 é 
 
a) 𝟏 
b) 𝟐 
c) 𝟑 
d) 𝟒 
 
16. (EEAR/2012) Na figura, 𝑷𝑻 é tangente, em 𝑻, à circunferência de centro 𝑶 e raio 𝟔 𝒎. 
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Sabendo que 𝑷 está situado a 𝟏𝟎 𝒎 de 𝑶, então 𝑷𝑻 = ___ 𝒎. 
a) 𝟓 
b) 𝟔 
c) 𝟕 
d) 𝟖 
 
17. (EEAR/2012) Na figura, as circunferências 𝟏, 𝟐, 𝟑 e 𝟒 são congruentes entre si e cada uma delas 
tangencia duas das outras. 
 
Se a circunferência 𝟓 tem apenas um ponto em comum com cada uma das outras quatro, é correto 
afirmar que 
a) a circunferência 𝟓 é secante às outras quatro circunferências. 
b) a circunferência 𝟓 é tangente exterior às outras quatro circunferências. 
c) todas as circunferências são tangentes interiores entre si. 
d) todas as circunferências são tangentes exteriores entre si. 
 
18. (EEAR/2012) Um trapézio de bases 𝒙 + 𝟑 e 𝟒𝒙 − 𝟑, tem base média 𝟐𝒙 + 𝟐. A menor base mede: 
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a) 𝟕 
b) 𝟖 
c) 𝟗 
d) 𝟏𝟎 
 
19. (EEAR/2011) Na figura, 𝑨𝑩 e 𝑪𝑫 são cordas tais que 𝑨𝑷 = 𝟐𝑷𝑩, 𝑪𝑫 = 𝟏𝟎 𝒄𝒎, e 
𝑪𝑷
𝟐
=
𝑷𝑫
𝟑
. 
 
A medida de 𝑨𝑩, em 𝒄𝒎, é 
a) 𝟔√𝟑 
b) 𝟕√𝟑 
c) 𝟖√𝟐 
d) 𝟗√𝟐 
 
20. (EEAR/2011) Na figura, 𝑶 é o centro da circunferência e 𝑷𝑨 é tangente a ela, em 𝑷. 
 
Se 𝑷𝑨𝑶 = 𝟑𝟎° e 𝑶𝑨 = 𝟏𝟐√𝟑 𝒄𝒎, então a medida do raio da circunferência, em 𝒄𝒎, é 
a) 𝟖√𝟑 
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b) 𝟖√𝟐 
c) 𝟔√𝟑 
d) 𝟔√𝟐 
 
21. (EEAR/2011)Para dar 𝟏𝟎 voltas completas em volta de um jardim circular, uma pessoa percorrerá 
𝟐𝟏𝟗𝟖 𝒎. Considerando 𝝅 = 𝟑, 𝟏𝟒, a medida, em metros, do diâmetro desse jardim é 
a) 𝟕𝟎. 
b) 𝟔𝟓. 
c) 𝟓𝟖. 
d) 𝟓𝟐. 
 
22. (EEAR/2010) Numa circunferência, a soma das medidas de dois arcos é 𝟑𝟏𝟓°. Se um desses arcos mede 
𝟏𝟏𝝅
𝟏𝟐
 rad, a medida do outro é 
a) 𝟏𝟓𝟎°. 
b) 𝟏𝟐𝟓°. 
c) 𝟏𝟎𝟎°. 
d) 𝟕𝟓°. 
 
23. (EEAR/2010) Na figura, 𝑷𝑨 é tangente à circunferência em 𝑨, e 𝑩 é ponto médio de 𝑷𝑪. 𝑷𝑪 mede, em 
𝒄𝒎, 
 
a) 𝟏𝟐√𝟐. 
b) 𝟏𝟒√𝟐. 
c) 𝟏𝟔. 
d) 𝟐𝟎. 
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24. (EEAR/2010) Um ângulo central 𝜶 determina, em uma circunferência de raio 𝒓, um arco de 
comprimento 𝒍 =
𝟐𝝅𝒓
𝟑
. A medida desse ângulo é: 
a) 150° 
b) 120° 
c) 100° 
d) 80° 
 
25. (EEAR/2010) Quando dadas em cm, as medidas dos lados do trapézio ABCD são expressas por números 
consecutivos. 
 
Assim, o valor de x é 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
 
26. (EEAR/2009) Os ângulos da base maior de um trapézio são complementares, e a diferença entre suas 
medidas é 𝟏𝟖°. O maior ângulo desse trapézio mede 
a) 𝟏𝟎𝟎° 
b) 𝟏𝟐𝟔° 
c) 𝟏𝟒𝟒° 
d) 𝟏𝟓𝟐° 
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27. (EEAR/2008) Dada uma circunferência de diâmetro 𝒂, o comprimento de um arco, cujo ângulo central 
correspondente é 𝟑𝟎°, é 
a) 
𝝅𝒂
𝟐
 
b) 
𝝅𝒂
𝟒
 
c) 
𝝅𝒂
𝟏𝟎
 
d) 
𝝅𝒂
𝟏𝟐
 
 
28. (EEAR/2008) Seja a circunferência e duas de suas cordas, 𝑨𝑩 e 𝑪𝑫. 
 
A medida de 𝑪𝑫, em 𝒄𝒎, é 
a) 𝟏𝟎. 
b) 𝟏𝟐. 
c) 𝟏𝟒. 
d) 𝟏𝟔. 
 
29. (EEAR/2008) Em um trapézio, a base média mede 𝟔, 𝟓𝒄𝒎 e a base maior, 𝟖𝒄𝒎. A base menor desse 
trapézio mede, em cm. 
a) 𝟒 
b) 𝟓 
c) 𝟔 
d) 𝟕 
 
30. (EEAR/2008) No paralelogramo 𝑨𝑩𝑪𝑫,𝑨𝑫 = 𝑫𝑬. A medida de 𝑫�̂�𝑨 é: 
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a) 𝟓𝟎°. 
b) 𝟓𝟓°. 
c) 𝟔𝟎°. 
d) 𝟔𝟓°. 
 
31. (EEAR/2007) Na figura, 𝒕 é tangente à circunferência em 𝑩. 
 
Se 𝑨𝑪 = 𝟖 𝒄𝒎 e 𝑪𝑫 = 𝟏𝟐 𝒄𝒎, então a medida de 𝑨𝑩, em 𝒄𝒎, é 
a) 𝟒√𝟏𝟎. 
b) 𝟐√𝟓. 
c) √𝟏𝟎. 
d) √𝟓. 
 
32. (EEAR/2006) Na figura, o valor de 𝒙 é 
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a) 𝟑𝟎°. 
b) 𝟑𝟓°. 
c) 𝟒𝟎°. 
d) 𝟒𝟓°. 
 
33. (EEAR/2006) Um trapézio retângulo está circunscrito a uma circunferência. Se as bases desse trapézio 
medem 𝟏𝟎 𝒄𝒎 e 𝟏𝟓 𝒄𝒎, e o lado oblíquo às bases mede 𝟏𝟑 𝒄𝒎, então o raio da circunferência, em 
𝒄𝒎, mede 
a) 𝟒, 𝟓. 
b) 𝟓. 
c) 𝟓, 𝟓. 
d) 𝟔. 
 
34. (EEAR/2006) Dois quadrados são tais que um deles tem como lado a diagonal do outro, que por sua 
vez tem o lado medindo 𝟏𝟎𝒄𝒎. O módulo da diferença entre as medidas de suas diagonais, em cm, é 
a) 𝟏𝟎(𝟐 − √𝟐) 
b) 𝟏𝟎(√𝟐 − 𝟏) 
c) 𝟓(𝟐 − √𝟐) 
d) 𝟓(√𝟐 − 𝟏) 
 
35. (EEAR/2006) Num trapézio isósceles 𝑨𝑩𝑪𝑫 as bases 𝑨𝑩 e 𝑪𝑫 medem, respectivamente, 𝟏𝟔𝒄𝒎 e 
𝟒𝒄𝒎. Traçando-se 𝑬𝑭 paralelo às bases, sendo 𝑬 ∈ 𝑨𝑫 e 𝑭 ∈ 𝑩𝑪 , obtêm-se os segmentos 𝑨𝑬 e 𝑫𝑬, 
de modo que 
𝑨𝑬
𝑫𝑬
=
𝟏
𝟓
. O comprimento de 𝑬𝑭, em cm, é: 
a) 8. 
b) 10. 
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c) 12. 
d) 14. 
 
36. (EEAR/2005) O trapézio 𝑨𝑩𝑪𝑫 é isósceles, e as medidas dos ângulos 𝑫�̂�𝑨 e 𝑫�̂�𝑩 são 𝟑𝟎° é 𝟒𝟓°, 
respectivamente: 
 
Se 𝑩𝑪 = 𝟏𝟐𝒄𝒎, então a medida de 𝑩𝑫, em cm, é: 
a) 𝟔√𝟐 
b) 𝟖√𝟐 
c) 𝟏𝟎√𝟐 
d) 𝟏𝟐√𝟐 
 
37. (EEAR/2005) Por um ponto 𝑷, distante 𝟏𝟖 𝒄𝒎 do centro de uma circunferência de raio 𝟏𝟐 𝒄𝒎, conduz-
se um “segmento secante” que determina na circunferência uma corda de 𝟖 𝒄𝒎. A medida da parte 
exterior desse segmento, em 𝒄𝒎, é 
a) 𝟏𝟖. 
b) 𝟏𝟎. 
c) 𝟖. 
d) 𝟔. 
 
38. (EEAR/2004) Observando-se a figura e considerando-se que as medidas são dadas em 𝒄𝒎, pode-se 
afirmar que a medida, em 𝒄𝒎, do raio da circunferência de centro 𝑶 é 
 
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a) 𝟏𝟏. 
b) 𝟏𝟐. 
c) 𝟏𝟑. 
d) 𝟏𝟒. 
 
39. (EEAR/2004) Sobre uma circunferência, num mesmo sentido de percurso, marcam-se os arcos 𝑴�̂� =
𝟖𝟎°, 𝑵�̂� = 𝟏𝟏𝟎° e 𝑷�̂� = 𝟏𝟐𝟎°. O maior dos ângulos formados pelas diagonais do quadrilátero 𝑴𝑵𝑷𝑸 
mede 
a) 𝟏𝟎°. 
b) 𝟏𝟎𝟓°. 
c) 𝟏𝟎𝟎°. 
d) 𝟖𝟎°. 
 
40. (EEAR/2004) É correto afirmar que: 
a) todo quadrilátero de lados congruentes é um quadrado. 
b) os ângulos opostos de qualquer paralelogramo são suplementares. 
c) as bissetrizes dos ângulos opostos de qualquer paralelogramo são perpendiculares entre si. 
d) os pontos médios dos lados consecutivos de todo quadrilátero convexo são vértices de um 
paralelogramo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4.1 – GABARITO 
1. B 
2. C 
3. C 
4. D 
5. D 
6. D 
7. B 
8. B 
9. B 
10. B 
11. B 
12. C 
13. B 
14. D 
15. D 
16. D 
17. B 
18. A 
19. A 
20. C 
21. A 
22. A 
23. C 
24. B 
25. C 
26. C 
27. D 
28. B 
29. B 
30. D 
31. A 
32. B 
33. D 
34. A 
35. D 
36. D 
37. B 
38. C 
39. C 
40. D 
 
 
 
 
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5.0 – LISTA DE QUESTÕES COMENTADAS – NÍVEL 2 
1. (EEAR/2021.2) O ponto 𝑶𝑰 é o centro da circunferência I, que tem raio medindo 6 cm. O ponto 𝑶𝑰𝑰 é 
o centro da circunferência II, que tem raio medindo 2 cm. O segmento 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ é tangente à circunferência 
I, em A, e passa por 𝑶𝑰𝑰. Se 𝑶𝑰𝑶𝑰𝑰 = 𝟏𝟎 cm, então AB = ______ cm. 
 
a) 12 
b) 10 
c) 9 
d) 7 
 
Comentários 
 Sendo tangente, temos a seguinte figura: 
 
 Podemos aplicar o teorema de Pitágoras: 
𝑂𝐼𝑂𝐼𝐼
2 = 𝐴𝑂𝐼
2 + 𝐴𝑂𝐼𝐼
2 
102 = 62 + 𝐴𝑂𝐼𝐼
2 
𝐴𝑂𝐼𝐼
2 = 100 − 36 = 64 ∴ 𝐴𝑂𝐼𝐼 = 8 
 Assim, temos: 
𝐴𝑂𝐼𝐼 = 𝐴𝐵 − 𝐵𝑂𝐼𝐼 ⇒ 𝐴𝐵 = 𝐴𝑂𝐼𝐼 + 𝐵𝑂𝐼𝐼 = 8 + 2 = 10 𝑐𝑚 
Gabarito: B 
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2. (EEAR/2021) Os pontos O e P são centros de duas circunferências que possuem raios medindo, 
respectivamente, 8 cm e 3 cm, conforme a figura. Se 𝑶𝑷 = 𝟓√𝟑𝟕 cm e 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ é tangente a essas 
circunferências, em A e B, então AB = ____ cm. 
 
a) 28 
b) 29 
c) 30 
d) 31 
 
Comentários 
 Como A e B são tangentes, temos a seguinte figura: 
 
 Assim, podemos aplicar o teorema de Pitágoras no Δ𝑂𝑃𝐴′: 
(5√37)
2
= 52 + 𝑥2 
𝑥2 = 52 ⋅ 37 − 52 = 52 ⋅ 36 = 52 ⋅ 62 
∴ 𝑥 = 5 ⋅ 6 = 30 cm 
Gabarito: C 
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3. (EEAR/2019) O segmento 𝑨𝑻 é tangente, em 𝑻, à circunferência de centro 𝑶 e raio 𝑹 = 𝟖 𝒄𝒎. A 
potência de 𝑨 em relação à circunferência é igual a ___ 𝒄𝒎𝟐. 
 
a) 𝟏𝟔 
b) 𝟔𝟒 
c) 𝟏𝟗𝟐 
d) 𝟐𝟓𝟔 
 
Comentário: 
 Dada uma corda qualquer ou um segmento tangente que passa por 𝐴 e corta a circunferência 
em dois pontos (não necessariamente distintos, como no caso de tangência) 𝐵 e 𝐶, a potência de 
𝐴 em relação a essa circunferência é definida como 𝑃𝑜𝑡𝜆(𝐴) = 𝐴𝐵 ⋅ 𝐴𝐶. 
 Tomando 𝐵 = 𝐶 = 𝑇, temos 𝑃𝑜𝑡𝜆(𝐴) = 𝐴𝑇 ⋅ 𝐴𝑇 = 𝐴𝑇
2. 
 Como o triângulo ∆𝐴𝑇𝑂 é retângulo no ponto de tangência 𝑇, temos que 
tg 𝑇Â𝑂 =
𝑂𝑇
𝐴𝑇
⇒ 𝐴𝑇 =
𝑂𝑇
tg 30°
=
8 𝑐𝑚
√3
3
= 8√3 𝑐𝑚 
 Logo, 
𝑃𝑜𝑡𝜆(𝐴) = (8√3 𝑐𝑚)
2
= 192 𝑐𝑚2. 
Gabarito: C 
4. (EEAR/2019) Com um fio de arame, deseja-se cercar