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Prof. Ismael Santos
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Geometria Analítica
Elipse
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o Conceito de Elipse
A elipse é o lugar geométrico dos pontos 𝑃 ,
pertencentes a um plano 𝛼, cuja soma das distâncias a
dois pontos fixos, 𝐹1 e 𝐹2, é constante. Chamamos
esses pontos fixos de focos da elipse ou pontos focais
e o ponto médio do segmento que liga esses focos é o
centro da elipse. Assim, a definição de Elipse é:
𝑃𝐹1 + 𝑃𝐹1 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑙
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o Elementos da Elipse
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o Relação Fundamental da Elipse
𝑃𝐹1 + 𝑃𝐹1 = 2𝑎
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o Excentricidade da Elipse
A excentricidade da
elipse, indicada por 𝑒, é um
número real positivo dado
pela razão entre a metade
da distância focal e a
metade da medida do eixo
maior, ou seja,
𝑒 =
𝑐
𝑎
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o Equação Reduzida da Elipse
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o Equação Reduzida da Elipse
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o Elipse NÃO centrada na origem
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o Elipse NÃO centrada na origem
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✓ Ex.:
A distância focal da elipse que passa pelos pontos
𝐵1(−6, 0), 𝐵2(6, 0) e 𝐴1(0, −10) 𝑒 𝐴2(0, 10) é de:
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✓ Ex.:
As coordenadas do foco da elipse, que possui a equação a seguir, são:
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✓ Ex.:
Qual é a excentricidade da elipse 4𝑥² + 25𝑦² = 100 :
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✓ Ex.:
A equação da elipse com o centro na origem do plano cartesiano e que 
passa pelos pontos 𝐴1 (5, 0), 𝐴2(−5, 0) e 𝐵1 (0,−4) é:
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✓ Ex.:
A equação da elipse a seguir é:
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✓ Ex.:
Uma elipse possui eixo maior contido no eixo 𝑂𝑦, seu centro é igual à
origem do plano cartesiano, e a distância do eixo menor é 12. Além
disso, a distância entre os focos é de 20 unidades. Sendo assim, a
distância focal dessa elipse é de:
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✓ Ex.:
Sabendo que a diferença entre o comprimento do eixo maior e o seu
eixo focal é igual a 4 e que o eixo menor mede 8 unidades, então o
comprimento do maior eixo é igual a:
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o Posição relativa entre Ponto e Elipse
1ª forma: substituição
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o Posição relativa entre Ponto e Elipse
2ª forma: distância entre pontos
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o Posição relativa entre Reta e Elipse
Reta Secante ⟹
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o Posição relativa entre Reta e Elipse
Reta Externa ⟹
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o Posição relativa entre Reta e Elipse
Reta Tangente ⟹
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o Posição relativa entre Reta e Elipse
Reta Tangente
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o Posição relativa entre Reta e Elipse
Reta Tangente
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o Inequação Quadrática com duas variáveis 
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o Inequação Quadrática com duas variáveis 
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o Inequação Quadrática com duas variáveis 
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o Inequação Quadrática com duas variáveis 
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o Inequação Quadrática com duas variáveis 
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o Equação do 2° grau com duas incógnitas 
𝑬𝒏𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒆 𝒂 𝒆𝒍𝒊𝒑𝒔𝒆 𝒅𝒆 𝒆𝒒𝒖𝒂çã𝒐 𝒙𝟐 + 𝟒𝒚𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟖𝒚 + 𝟏 = 𝟎
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o Equação do 2° grau com duas incógnitas 
𝑬𝒏𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒆 𝒂 𝒆𝒍𝒊𝒑𝒔𝒆 𝒅𝒆 𝒆𝒒𝒖𝒂çã𝒐 𝒙𝟐 + 𝟗𝒚𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 + 𝟕𝟐𝒚 + 𝟏𝟔𝟎 = 𝟎
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o Exercícios de Fixação
𝟏) 𝑫𝒂𝒅𝒂 𝒂 𝒆𝒒𝒖𝒂çã𝒐 𝒅𝒂 𝒆𝒍𝒊𝒑𝒔𝒆
𝒙𝟐
𝟗
+
𝒚𝟐
𝟒
= 𝟏 , 𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒆:
𝒂) 𝒂𝒔 𝒄𝒐𝒐𝒓𝒅𝒆𝒏𝒂𝒅𝒂𝒔 𝒅𝒐𝒔 𝒗é𝒓𝒕𝒊𝒄𝒆𝒔 𝒆 𝒅𝒐𝒔 𝒇𝒐𝒄𝒐𝒔
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o Exercícios de Fixação
𝟏) 𝑫𝒂𝒅𝒂 𝒂 𝒆𝒒𝒖𝒂çã𝒐 𝒅𝒂 𝒆𝒍𝒊𝒑𝒔𝒆
𝒙𝟐
𝟗
+
𝒚𝟐
𝟒
= 𝟏 , 𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒆:
𝒃) 𝒐 𝒄𝒐𝒎𝒑𝒓𝒊𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒐 𝒆𝒊𝒙𝒐𝒎𝒂𝒊𝒐𝒓 𝒆𝒎𝒆𝒏𝒐𝒓
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o Exercícios de Fixação
𝟏) 𝑫𝒂𝒅𝒂 𝒂 𝒆𝒒𝒖𝒂çã𝒐 𝒅𝒂 𝒆𝒍𝒊𝒑𝒔𝒆
𝒙𝟐
𝟗
+
𝒚𝟐
𝟒
= 𝟏 , 𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒆:
𝒄) 𝒂 𝒆𝒙𝒄𝒆𝒏𝒕𝒓𝒊𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆
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o Exercícios de Fixação
𝟏) 𝑫𝒂𝒅𝒂 𝒂 𝒆𝒒𝒖𝒂çã𝒐 𝒅𝒂 𝒆𝒍𝒊𝒑𝒔𝒆
𝒙𝟐
𝟗
+
𝒚𝟐
𝟒
= 𝟏 , 𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒆:
𝒅) 𝒂 𝒔𝒖𝒂 𝒆𝒒𝒖𝒂çã𝒐 𝒈𝒆𝒓𝒂𝒍
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o Exercícios de Fixação
𝟐) 𝑸𝒖𝒂𝒍 𝒂 𝒆𝒒𝒖𝒂çã𝒐 𝒅𝒂 𝒆𝒍𝒊𝒑𝒔𝒆 𝒅𝒆 𝒇𝒐𝒄𝒐𝒔 𝑭𝟏 𝟎;−𝟑 𝒆 𝑭𝟐 𝟎; 𝟑 .
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o Exercícios de Fixação
𝟑) 𝑪𝒐𝒏𝒔𝒊𝒅𝒆𝒓𝒆 𝒂 𝒆𝒒𝒖𝒂çã𝒐 𝟒𝒙𝟐 + 𝟐𝟓𝒚𝟐 = 𝟏𝟎𝟎.𝑫𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒆:
𝒂) 𝒂𝒔 𝒄𝒐𝒐𝒓𝒅𝒆𝒏𝒂𝒅𝒂𝒔 𝒅𝒐𝒔 𝒗é𝒓𝒕𝒊𝒄𝒆𝒔
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o Exercícios de Fixação
𝟑) 𝑪𝒐𝒏𝒔𝒊𝒅𝒆𝒓𝒆 𝒂 𝒆𝒒𝒖𝒂çã𝒐 𝟒𝒙𝟐 + 𝟐𝟓𝒚𝟐 = 𝟏𝟎𝟎.𝑫𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒆:
𝒃) 𝒂𝒔 𝒄𝒐𝒐𝒓𝒅𝒆𝒏𝒂𝒅𝒂𝒔 𝒅𝒐𝒔 𝒇𝒐𝒄𝒐𝒔
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o Exercícios de Fixação
𝟑) 𝑪𝒐𝒏𝒔𝒊𝒅𝒆𝒓𝒆 𝒂 𝒆𝒒𝒖𝒂çã𝒐 𝟒𝒙𝟐 + 𝟐𝟓𝒚𝟐 = 𝟏𝟎𝟎.𝑫𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒆:
𝒄) 𝒂 𝒆𝒒𝒖𝒂çã𝒐 𝒓𝒆𝒅𝒖𝒛𝒊𝒅𝒂
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o Exercícios de Fixação
𝟑) 𝑪𝒐𝒏𝒔𝒊𝒅𝒆𝒓𝒆 𝒂 𝒆𝒒𝒖𝒂çã𝒐 𝟒𝒙𝟐 + 𝟐𝟓𝒚𝟐 = 𝟏𝟎𝟎.𝑫𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒆:
𝒅) 𝒂 𝒆𝒙𝒄𝒆𝒏𝒕𝒓𝒊𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆
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o Exercícios de Fixação
𝟑) 𝑪𝒐𝒏𝒔𝒊𝒅𝒆𝒓𝒆 𝒂 𝒆𝒒𝒖𝒂çã𝒐 𝟒𝒙𝟐 + 𝟐𝟓𝒚𝟐 = 𝟏𝟎𝟎.𝑫𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒆:
𝒆) 𝒂 𝒑𝒐𝒔𝒊çã𝒐 𝒅𝒐 𝒑𝒐𝒏𝒕𝒐 𝑷 −𝟏; 𝟑
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o Exercícios de Fixação
𝟒) 𝑭𝒂ç𝒂 𝒐 𝒆𝒔𝒕𝒖𝒅𝒐 𝒄𝒐𝒎𝒑𝒍𝒆𝒕𝒐 𝒅𝒂 𝒆𝒍𝒊𝒑𝒔𝒆
𝒙 − 𝟒 𝟐
𝟐𝟓
+
𝒙 + 𝟑 𝟐
𝟏𝟔
= 𝟏:
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o Exercícios de Fixação
𝟓) 𝑭𝒂ç𝒂 𝒐 𝒆𝒔𝒕𝒖𝒅𝒐 𝒄𝒐𝒎𝒑𝒍𝒆𝒕𝒐 𝒅𝒂 𝒆𝒍𝒊𝒑𝒔𝒆 𝟗𝒙𝟐 + 𝟓𝒚𝟐 + 𝟓𝟒𝒙 − 𝟒𝟎𝒚 − 𝟏𝟗 = 𝟎
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o Exercícios de Fixação
𝟔) 𝑭𝒂ç𝒂 𝒐 𝒆𝒔𝒕𝒖𝒅𝒐 𝒄𝒐𝒎𝒑𝒍𝒆𝒕𝒐 𝒅𝒂 𝒔𝒐𝒍𝒖çã𝒐 𝟗𝒙𝟐 + 𝟒𝒚𝟐 − 𝟓𝟒𝒙 − 𝟑𝟐𝒚 + 𝟏𝟎𝟗 ≤ 𝟎
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Prof. Ismael Santos
Obrigado
Prof. Nome do Professor
FÉ NA MISSÃO
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Geometria Analítica
Parábola
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o Conceito de Parábola
Dada uma reta d (reta diretriz) e um ponto F
(focos) tal que 𝐹 ∉ 𝑑, o lugar geométrico chamado de
parábola é a figura formada por todos os pontos que
equidistam de F e de d, isto é, se P é um ponto da
parábola λ, então:
𝑃 ∈ 𝜆 ⟺ 𝑑𝑃𝐹 = 𝑑𝑃,𝑑
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o Elementos da Parábola
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o Distância do foco à d / Eixo de Simetria 
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o Equação Reduzida da Parábola
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o Equação Reduzida da Parábola
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o Equação Reduzida da Parábola
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o Equação Reduzida da Parábola
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o Parábola NÃO centrada na origem
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o Parábola NÃO centrada na origem
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o Parábola NÃO centrada na origem
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o Parábola NÃO centrada na origem
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o Posição relativa entre Ponto e Parábola
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o Posição relativa entre Reta e Parábola
Reta Secante ⟹
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o Posição relativa entre Reta e Parábola
Reta Externa ⟹
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o Posição relativa entre Reta e Parábola
Reta Tangente ⟹
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o Posição relativa entre Reta e Parábola
Reta Tangente
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o Posição relativa entre Reta e Parábola
Reta Tangente
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o Inequação Quadrática com duas variáveis 
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o Inequação Quadrática com duas variáveis 
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o Inequação Quadrática com duas variáveis 
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o Inequação Quadrática com duas variáveis 
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o Equação do 2° grau com duas incógnitas 
𝑬𝒏𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒆 𝒂 𝒑𝒂𝒓á𝒃𝒐𝒍𝒂 𝒅𝒆 𝒆𝒒𝒖𝒂çã𝒐 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟒𝒚 − 𝟏𝟓 = 𝟎
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o Exercícios de Fixação
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o Exercícios de Fixação
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o Exercícios de Fixação
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Obrigado
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Geometria Analítica
Hipérbole
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o Conceito de Hipérbole
A hipérbole é o lugar geométrico formado pelos
pontos 𝑃 do plano cujo módulo da diferença a dois
pontos fixos, 𝐹1 e 𝐹2, é uma constante.
𝑃𝐹1 − 𝑃𝐹2 = 2𝑎
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o Elementos da Hipérbole
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o Relação Fundamental da Hipérbole
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o Excentricidade da Hipérbole
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o Equação Reduzida da Hipérbole
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o Equação Reduzida da Hipérbole
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o Equação Reduzida da Hipérbole
Se o centro da hipérbole não estiver na origem, basta usar o sistema de eixos transladados para encontrar a 
equação. Nesse caso, considerando como centro o ponto 𝐶(𝑥0,𝑦0), temos: 
(𝑥 − 𝑥0)
2
𝑎2
−
(𝑦 − 𝑦0)
2
𝑏2
= 1 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 
(𝑦 − 𝑦0)
2
𝑎2
−
(𝑥 − 𝑥0)
2
𝑏2
= 1 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 
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o Equação Reduzida da Hipérbole
Se o centro da hipérbole não estiver na origem, basta usar o sistema de eixos transladados para encontrar a 
equação. Nesse caso, considerando como centro o ponto 𝐶(𝑥0,𝑦0), temos: 
(𝑥 − 𝑥0)
2
𝑎2
−
(𝑦 − 𝑦0)
2
𝑏2
= 1 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 
(𝑦 − 𝑦0)
2
𝑎2
−
(𝑥 − 𝑥0)
2
𝑏2
= 1 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 
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o Assíntotas da Hipérbole
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o Posição relativa entre Ponto e Hipérbole
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o Posição relativa entre Reta e Hipérbole
Reta Secante ⟹
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o Posição relativa entre Reta e Hipérbole
Reta Externa ⟹
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o Posição relativa entre Reta e Hipérbole
Reta Tangente ⟹
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o Inequação Quadrática com duas variáveis 
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o Inequação Quadrática com duas variáveis 
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o Inequação Quadrática com duas variáveis 
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o Inequação Quadrática com duas variáveis 
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o Inequação Quadrática com duas variáveis 
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o Equação do 2° grau com duas incógnitas 
𝑬𝒏𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒆 𝒂 𝒉𝒊𝒑é𝒓𝒃𝒐𝒍𝒆 𝒅𝒆 𝒆𝒒𝒖𝒂çã𝒐 −𝒙𝟐 +𝒚𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟏 = 𝟎
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Obs.: Hipérbole Equilátera
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Obs.: Hipérbole Equilátera
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Obs.: Assíntota de Hipérbole não centrada
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Obs.: Assíntota de Hipérbole não centrada
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Reconhecimento de uma Cônica
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