Matemática - Livro 1-304-306

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MATEMÁTICA Capítulo 3 Teoria das proporções geométricas304
Então, como a potência de um ponto em relação a
uma circunferência é constante:
TP TR TS TQ
TQ
TQ
TQ
⋅ = ⋅
⋅ = ⋅
= ⋅
= =
2 6 4
12 4
12
4
3
22 Por um ponto A, situado a 16 cm de distância de
uma circunferência, passa uma reta que tangencia
essa circunferência em um ponto B. Se o raio da cir-
cunferência mede 10 cm, qual é o comprimento do
segmento AB?
Resolução:
Sendo CD o diâmetro da circunferência determinado
pela reta AO, de acordo com o enunciado, podemos
representar a seguinte gura:
B
t
A
C
O
10 cm
10 cm
16 cm
D
Na reta secante AO: Pot A AC AD( ) = ⋅ .
Na reta tangente AB: Pot A AB( ) = 2.
Então, como a potência de um ponto em relação a
uma circunferência é constante:
AB AC AD
AB
AB
AB
AB
AB cm
2
2
2
16 16 10 10
16 36
16 36
4 6
24
= ⋅
= ⋅ + +( )
= ⋅
= ⋅
= ⋅
=
Relações métricas no triângulo retângulo
Traçando a altura relativa à hipotenusa de um triângulo
retângulo, obtemos dois segmentos denominados proje-
ções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa.
h
A
c
B
Hp
b
q C

 

No triângulo ABC da figura:
y A medida da hipotenusa é BC = a.
y As medidas dos catetos são AB = c e AC = b.
y A altura relativa à hipotenusa desse triângulo é AH = h.
y As medidas das projeções dos catetos sobre a hipo-
tenusa são BH = p e CH = q.
BH é a projeção do cateto AB .
CH é a projeção do cateto AC .
Observe, ainda, que a medida da hipotenusa é a soma
das medidas das projeções, ou seja, a = p + q.
Teoremas:
1 O produto da medida da altura pela medida da hipo-
tenusa equivale ao produto das medidas dos catetos
a h b c⋅ = ⋅
2. O quadrado da medida de um cateto equivale ao pro-
duto das medidas da hipotenusa pela projeção desse
cateto sobre a hipotenusa.
b a q c a p
2 2= ⋅ = ⋅
3. O quadrado da medida da altura relativa à hipotenusa
equivale ao produto das medidas das projeções dos
catetos sobre a hipotenusa.
h p q
2 = ⋅
demonstração:
Se θ = ( )med B , pela soma dos ângulos internos do
triângulo ABH, temos quemed BAH( ) = ° −90 θ.
Então, como BÂC é um ângulo reto:
med HAC med BAH
med HAC
med HAC
 


( ) = ° ( )
( ) = ° °( )
( ) = °
90
90 90
90
θ
990° +
( ) =
θ
θmed HAC
h
A
c
B
Hp
b
q C
a
θ
θ
Como os triângulos ABC, HBA e HAC são todos re
tângulos e possuem um ângulo interno de medida θ,
concluímos que os três triângulos são semelhantes pelo
caso AA
∆ ∆
∆ ∆
ABC HAC
AB
HA
BC
AC
c
h
a
b
ABC HAC
AC
HC
BC
a h b c

⇒ = ⇒ = ⇔
⇒ =
⋅ = ⋅
AAC
b
q
a
b
ABC HBA
AB
HB
BC
BA
c
p
a
c
b a q
c a p
⇒ = ⇔
⇒ = ⇒ = ⇔
= ⋅
= ⋅
2
2∆ ∆
∆∆ ∆HAC HBA HA
HB
HC
HA
h
p
q
h
h p q ⇒ = ⇒ = ⇔ = ⋅2
F
R
E
N
T
E
 3
305
Observe que a soma das relações = ⋅b a q2 e = ⋅c a p2
 produz outra possível demonstração para o teorema de
Pitágoras:
a q a p b c
a q p b c
a a b c
a b c
⋅ + ⋅ = +
⋅ +( ) = +
⋅ = +
= +
2 2
2 2
2 2
2 2 2
Exercícios resolvidos
23 Encontre a medida da altura relativa à hipotenusa de um
triângulo retângulo cujos catetos medem 3 dm e 4 dm.
A 2,4 cm.
b 6,2 cm
C 10 cm.
d 20 cm.
E 24 cm.
Resolução:
A partir do teorema de Pitágoras, vericamos que a hipote-
nusa do triângulo mede 5 dm = 50 cm.
Assim, como o produto da altura pela hipotenusa equi-
vale ao produto dos catetos, sendo h a medida dessa
altura em centímetros, temos:
⋅ = ⋅
=
=
h 50 30 40
h
1200
50
h 24 cm
Alternativa: E.
24 Determine as medidas x, y e z na figura a seguir:
x
y
z
32
Resolução:
Como o quadrado da altura relativa à hipotenusa equi-
vale ao produto das projeções dos catetos sobre a
hipotenusa, temos que y2 = 2 ⋅ 3, portanto, y = 6
Como o quadrado de cada cateto equivale ao produto
de sua projeção na hipotenusa pela própria hipote
nusa, temos x2 = 2 ⋅ (2 + 3) e z2 = 3 ⋅ (2 + 3) Assim,
x = 10 e z = 15
25 No retângulo ABCD de lados AB = 3 cm e BC = 7  cm,
o segmento AP é perpendicular à diagonal BD .
D
P
A B
C
O segmento BP mede, em centímetros:
A
9
2
b
7
4
C
9
4
d
3
4
E
5
4
Resolução:
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo BCD
temos BD2 = CD2 + BC2. Então, como CD = AB:
BD
BD
BD
BD cm
2 2
2
2
2
3 7
9 7
16
4
= + ( )
= +
=
=
No triângulo retângulo ABD, o segmento BP é a pro
jeção ortogonal do cateto AB sobre a hipotenusa BD
Assim, como o quadrado de um cateto equivale ao
produto de sua projeção pela hipotenusa:
AB BP BD
BP
BP cm
2
2
3 4
9
4
= ⋅
= ⋅
=
Alternativa: C.
Revisando
1 Considere cinco pontos colineares P, Q, R, S e T posi-
cionados nessa ordem sobre uma reta r tais que:
y Q seja ponto médio do segmento PR;
y R seja ponto médio do segmento PS;
y S seja ponto médio do segmento QT ;
y RS = 10 cm.
Faça uma gura que represente corretamente a situa-
ção apresentada e determine o comprimento de PT .
MATEMÁTICA Capítulo 3 Teoria das proporções geométricas306
2 Considere todos os pontos da reta que contém o
segmento AB tais que a distância de cada um deles
até uma das extremidades do segmento AB seja
2
5
 da
distância do mesmo ponto até a outra extremidade.
Agora, responda às seguintes perguntas:
a) Quantos pontos há nessas condições?
) Quantos segmentos de reta esses pontos deter-
minam?
Considerando AB = 42, determine:
c) Qual o comprimento do menor segmento de reta
que os pontos encontrados determinam?
) Qual o comprimento do maior segmento de reta
que os pontos encontrados determinam?
3 Três terrenos têm frente para a Rua A e para a Rua
B, como mostra a figura. As divisas laterais são per
pendiculares à Rua A. Quais as medidas das frentes
de cada lote para a Rua B, sabendo que a frente total
para essa rua tem 108 m?
Rua B
Rua A
40 m 30 m 20 m
A 48 m, 34 m e 26 m
b 48 m, 36 m e 24 m
C 46 m, 38 m e 24 m
d 44 m, 36 m e 28 m
E 46 m, 34 m e 28 m
4 IFMG 2014 Numa festa junina, além da tradicional brin-
cadeira de roubar bandeira no alto do pau de sebo,
quem descobrisse a sua altura ganharia um prêmio.
O ganhador do desafio fincou, paralelamente a esse
mastro, um bastão de 1 m. Medindo-se as sombras
projetadas no chão pelo bastão e pelo pau, ele en-
controu, respectivamente, 25 dm e 125 dm. Portanto,
a altura do pau de sebo, em metros, é
A 5,0
b 5,5
C 6,0
d 6,5
5 Em um triângulo ABC estão inscritos um retângulo e
um quadrado, como mostra a figura:
A
E
40 m
30 m
CFGB
D
Sabendo que os lados DG e EF do retângulo e os la
dos do quadrado têm a mesma medida, determine:
a) a medida do lado do quadrado
) a medida da base FG do retângulo.
c) a porcentagem da área do triângulo ABC ocupa
da pelo triângulo ADE