TEOREMA DE TALES

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TEOREMA DE TALES
9ANO GEOMETRIA
O Teorema de Tales é uma teoria aplicada na geometria acerca do conceito relacionado 
entre retas paralelas e transversais.
O teorema foi desenvolvido pelo filósofo, astrônomo e matemático grego Tales de Mileto 
(624 a.C.- 558 a.C.) e, por isso, recebe esse nome.
O experimento de Tales foi realizado através da observação de uma sombra da pirâmide. 
A partir disso, ele conseguiu calcular a altura da pirâmide Quéops, no Egito, com base na 
sombra que ela projetava.
Considerado o “Pai da Geometria Descritiva”, Tales contribuiu para o avanço dos estudos 
de razão e proporção, que até os dias de hoje são utilizados para calcular distâncias
https://www.google.com/url?q=https://www.todamateria.com.br/razao-e-proporcao/&sa=D&ust=1605722819393000&usg=AOvVaw3HGm9DKYFqTO8tGc8SIa45
“a interseção entre duas 
retas paralelas e 
transversais formam 
segmentos proporcionais.”
Para compreender melhor o teorema de tales, 
observe a figura abaixo:
Na figura acima as retas transversais u e v interceptam 
as retas paralelas r, s e t. Os pontos pertencentes na 
reta u são: A, B e C; e na reta v, os pontos: M, N e O. 
Logo, de acordo com o Teorema de Tales:
Lê-se: AB está para BC, assim como DE está para EF.
https://www.google.com/url?q=https://www.todamateria.com.br/retas-paralelas/&sa=D&ust=1605722820114000&usg=AOvVaw1XTNtOrT6XSQ7akItw4Oef
Teorema de Tales nos 
Triângulos
O teorema de Tales também é aplicado em 
situações que envolvem triângulos. Veja 
abaixo um exemplo em que se aplica o 
teorema:
De acordo com a semelhança de triângulos podemos afirmar que: o 
triângulo ABC é semelhante ao triângulo AED. É representado da 
seguinte forma:
Δ ABC ~ Δ AED
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Exercícios Resolvidos
Determine o valor de x nas figuras abaixo:
1) Considere a figura em que
1) Para encontrar o valor do x, iremos aplicar o teorema de 
Tales. O cálculo será feito utilizando a seguinte proporção:
2) Calcule o valor de x, sabendo que as retas “e” “f” e “a” 
são paralelas
2) O teorema de Tales garante a seguinte 
proporcionalidade:
x = 60
 25 40
40x = 60. 25
40x = 1500 
x = 1500
 40
x = 37,5 cm
Teorema de Tales 
e os Triângulos
O Teorema de Tales pode ser aplicado nos 
triângulos quando traçamos uma reta paralela a 
um dos lados do triângulo, como mostra a figura 
ao lado – nesse caso, ao lado BC.
toda reta paralela a um lado de um triângulo, que 
encontra os outros dois lados em pontos 
distintos, determina, sobre esses dois lados, 
segmentos que são proporcionais.
No triângulo ABC da figura abaixo, tem-se DE / / BC . 
Calcule as medidas dos lados AB e AC do triângulo.
Teorema da bissetriz interna 
de um triângulo
 Na figura, o segmento AD é a bissetriz do 
ângulo Â. Determine a medida x indicada.
Desafio da pirâmide Quéops
Hás muitas histórias sobre os feitos de Tales. Por 
exemplo, desafiado pelos escribas de um faraó, 
durante sua passagem pelo Egito Antigo, Tales 
determinou a altura da pirâmide Quéops, com a 
ajuda da luz do Sol.
O teorema de Pitágoras é uma expressão que pode ser aplicada em 
qualquer triângulo retângulo (triângulo que tem um ângulo de 90°).
a = hipotenusa
b=cateto
c=cateto
O teorema de Pitágoras diz que o quadrado da 
hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos 
catetos.
a2 = b2 + c2
A hipotenusa é o maior lado de um triângulo retângulo e o 
lado oposto ao ângulo reto. Os outros dois lados são os 
catetos. O ângulo formado por esses dois lados tem 
medida igual a 90º (ângulo reto).
Se um triângulo retângulo apresenta 3 cm e 4 cm 
como medidas dos catetos, qual a hipotenusa 
desse triângulo?
Determine a medida de um cateto que faz parte de um 
triângulo retângulo, cuja hipotenusa é 20 cm e o outro 
cateto mede 16 cm.
Um triângulo apresenta os lados com medidas 5 cm, 12 cm e 13 
cm. Como saber se é um triângulo retângulo?
Para provar que um triângulo retângulo é verdadeiro as medidas 
dos seus lados devem obedecer ao Teorema de Pitágoras.
Triângulo Pitagórico
Quando as medidas dos lados de um triângulo retângulo são números 
inteiros positivos, o triângulo é chamado de triângulo pitagórico.
Neste caso, os catetos e a hipotenusa são denominados de “terno 
pitagórico” ou “trio pitagórico”. Para verificar se três números formam 
um trio pitagórico, usamos a relação a2 = b2 + c2.
O mais conhecido trio pitagórico é representado pelos números: 3, 4, 
5. Sendo a hipotenusa igual a 5, o cateto maior igual a 4 e o cateto 
menor igual a 3.
https://www.google.com/url?q=https://www.todamateria.com.br/triangulo-retangulo/&sa=D&ust=1605722828892000&usg=AOvVaw3G07gSUSRu3SmRID0X7uL4
Teorema da Bissetriz Interna
O teorema da bissetriz interna diz que: uma bissetriz 
interna de um triângulo divide o lado oposto em 
segmentos proporcionais aos lados adjacentes.
Determine o valor de x no triângulo abaixo sabendo que AP é bissetriz do ângulo 
A.
Calcule a medida do lado AC do triângulo abaixo, 
sabendo que AG é bissetriz do ângulo A.
Relações Métricas no 
Triângulo 
Retângulo
a: medida da hipotenusa (lado 
oposto ao ângulo de 90º)
b: cateto
c: cateto
h: altura relativa à hipotenusa
m: projeção do cateto c sobre a 
hipotenusa
n: projeção do cateto b sobre a 
hipotenusa
 As relações métricas relacionam as medidas dos elementos de um triângulo 
retângulo (triângulo com um ângulo de 90º).
Semelhança e relações métricas
Para encontrar as relações métricas, utilizaremos semelhança de 
triângulos
https://www.google.com/url?q=https://www.todamateria.com.br/semelhanca-de-triangulos/&sa=D&ust=1605722831685000&usg=AOvVaw1gxKL8dhV3cD7XSmOWWwhg
https://www.google.com/url?q=https://www.todamateria.com.br/semelhanca-de-triangulos/&sa=D&ust=1605722831685000&usg=AOvVaw1gxKL8dhV3cD7XSmOWWwhg
1) Encontre o valor de x e de y na figura abaixo:
Primeiro calcularemos o valor da 
hipotenusa, que na figura está 
representado por y.
Usando a relação: a = m + n
y = 9 + 3
y = 12
Para encontrar o valor de x, 
usaremos a relação b2 = a.n, assim:
x2 = 12 . 3 = 36 
A medida da altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo é 12 cm e uma das 
projeções mede 9 cm. Calcular a medida dos catetos desse triângulo.
Primeiro vamos encontrar o valor da outra projeção usando a relação: h2 = m . n
Vamos encontrar o valor da hipotenusa, usando a relação a = m + n
a = 16 + 9 = 25
Agora é possível calcular o valor dos catetos usando as relações b2 = a . 
n e c2 = a . m b2=a.n
 c2=25.9 
c2=225
 c=rais 225
 c=15 b2=400
 b=rais 400
 b=20
1) Num triângulo retângulo, a hipotenusa mede 10 cm e um dos catetos mede 8 cm. 
Nessas condições, determine:
a) a medida da altura relativa à hipotenusa
b) a área do triângulo
2) Determine a medida das projeções em um triângulo 
retângulo cuja hipotenusa mede 13 cm e um dos catetos 5
3)Sendo a hipotenusa 5 e um dos quadrados 3, defina o 
valor do outro cateto.
a2=b2+c2 
52 = 32 + c2
25 = 9 + c2
c2 = 16
c = 4
 3)Se a hipotenusa vale 10 e sua projeção m 6, quanto vale a 
projeção n?
a = m + n
10 = 6 + n
n = 4
4)Se um triângulo possui duas projeções que valem 20 e 
45, quanto mede sua altura?
h2 = m * n
h2 = 20 * 45
h2 = 900
h = 30
5)Se a hipotenusa mede 40 e a projeção n mede 10, calcule o 
valor do cateto b.
b2 = a * n
b2 = 40 * 10
b2 = 400
b = 20
6) Se os catetos b e c medem 
respectivamente 4 e 6 e a hipotenusa 
mede 8, calcule o valor da altura deste 
triângulo retângulo.
a* h = b * c
8 * h = 6 * 4
h = 24 / 8
h = 3
A trigonometria é a parte da matemáticaque 
estuda as relações existentes entre os lados e 
os ângulos dos triângulos.
Funções Trigonométricas
As funções trigonométricas são as funções relacionadas 
aos triângulos retângulos, que possuem um ângulo de 90°. 
São elas: seno, cosseno e tangente.
As funções trigonométricas estão 
baseadas nas razões existentes 
entre dois lados do triângulo em 
função de um ângulo.
Ela são formadas por dois catetos 
(oposto e adjacente) e a 
hipotenusa:
Durante o estudo dessas razões trigonométricas, surge o que 
chamamos de ângulos notáveis. Os ângulos notáveis são ângulos 
comuns em problemas matemáticos, e os valores do seno, cosseno 
e tangente devem ser conhecidos.
https://www.google.com/url?q=https://brasilescola.uol.com.br/videos/trigonometria-angulos-notaveis.htm&sa=D&ust=1605722835174000&usg=AOvVaw2FIJokuH058zpLlIN89sDC
1) Teodolito é um instrumento de precisão para medir ângulos horizontais e ângulos 
verticais, utilizado em trabalhos de construção. Uma empresa foi contratada para 
pintar um edifício de quatro andares. Para descobrir a área total a ser pintada, ela 
precisa descobrir a altura do edifício. Uma pessoa posiciona o instrumento a 1,65 m 
de altura, encontrando um ângulo de 30°, conforme mostra a figura. Supondo que o 
teodolito esteja distante 13√3 metros do edifício, qual a altura, em metros, do prédio 
a ser pintado
Agora, 13 + 1,65 = 14,65 metros 
de altura.
2)A figura abaixo representa um avião que decolou sob um ângulo constante de 40º e percorreu em 
linha reta 8000 m. Nesta situação, qual a altura que se encontrava o avião ao percorrer essa distância?
Considere:
sen 40º = 0,64
cos 40º = 0,77
tg 40º = 0,84
3) Para uma feira de ciências um grupo de estudantes resolveu construir uma maquete 
de uma casa, conforme esquema abaixo. O telhado será feito com uma placa de 
isopor de 1m de comprimento, que será dividida ao meio para fazer as duas partes do 
telhado. Sabendo que o telhado será feito segundo um ângulo de 55º, calcule a 
medida x da largura casa.
Considere:
sen 55º = 0,82
cos 55º = 0,57
tg 55º = 1,43
R3
Como o telhado da maquete será feito com uma placa de isopor de 1m de comprimento, ao dividir a 
placa ao meio, a medida de cada lado do telhado será igual a 0,5 m.
O ângulo de 55º é o ângulo formado entre a reta que representa o telhado e uma reta na direção 
horizontal. Se unirmos essas retas, formamos um triângulo isósceles (dois lados de mesma medida).
Vamos então traçar a altura deste triângulo. Como o triângulo é isósceles, essa altura divide a sua 
base em segmentos de mesma medida que chamamos de y, conforme figura abaixo:
R3
Como a largura da casa é igual a duas vezes essa medida, então temos:
largura da casa = 2. 0,285 = 0,57
Assim, a maquete da casa terá uma largura de 0,57 m ou 57 cm.
Medidas de Volume
A medida de volume no sistema internacional de unidades (SI) é o metro cúbico (m3). 
Sendo que 1 m3 corresponde ao espaço ocupado por um cubo de 1 m de aresta.
Neste caso, o volume é encontrado multiplicando-se o comprimento, a largura e a altura 
do cubo.
Conversão de unidades
As transformações entre os múltiplos e submúltiplos do m3 são feitas multiplicando-se ou 
dividindo-se por 1000.
Para transformar as unidades de volume, podemos utilizar a tabela abaixo:
Exemplos
1) Quantos centímetros cúbicos há em uma caixa que apresenta a forma de um 
cubo e que as medidas do seu comprimento, largura e altura são iguais a 0,3 m?
Solução
Como a caixa possui o formato cúbico, para encontrar seu volume, basta multiplicar suas 
dimensões. Assim, o volume será igual a:
V = 0,3 . 0,3 . 0,3 = 0,027 m3
Para transformar esse valor de m3 para cm3, devemos observar na tabela que 
será necessário multiplicar por 1000 duas vezes (primeiro passando de m3 
para dm3 e depois de dm3 para cm3). Assim, temos:
V = 0,027 . 1000 . 1000 = 27 000 cm3
2) Uma lata de tinta possui um volume de 24 dm3. Qual o volume desta lata em metros cúbicos?
Solução
Para transformar de dm3 para m3 é necessário, conforme vemos na tabela acima, dividir o 
valor por 1000. Assim, a lata possui:
V = 24 : 1000 = 0,024 m3
Medida de capacidade
As medidas de capacidade representam o volume interno dos recipientes. Desta forma, 
podemos muitas vezes conhecer o volume de um determinado corpo enchendo-o com um 
líquido de volume conhecido.
A unidade de medida padrão de capacidade é o litro, sendo ainda utilizados seus múltiplos (kl, hl e dal) 
e submúltiplos (dl,cl e ml).
Em algumas situações é necessário transformar a unidade de medida de capacidade para uma unidade 
de medida de volume ou vice versa. Nestes casos, podemos utilizar as seguintes relações:
● 1 m3 = 1 000 L
● 1 L = 1 dm3
Exemplo
A piscina, representada na imagem abaixo, possui as seguintes dimensões: 7 m de comprimento, 4 m de 
comprimento e 1,5 m de altura. Quantos litros de água serão necessários para que a esta piscina fique 
completamente cheia?
Solução
Primeiro, precisamos calcular o valor do volume desta piscina. Para isso, vamos multiplicar a área da 
base pela altura da piscina. Assim, temos:
V = 7 . 4 . 1,5 = 42 m3
Agora que conhecemos seu volume, podemos utilizar as relações para descobrir sua capacidade. Para 
isso, podemos fazer uma regra de três.
x = 42 . 1000 = 42 000
Portanto, a piscina ficará cheia quando estiver com 42 000 litros de água.