Matemática - Livro 1-322-324

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MATEMÁTICA Capítulo 3 Teoria das proporções geométricas322
17 A imagem a seguir mostra um terreno ABCD, em for-
mato de trapézio, no qual será construída uma casa.
A região sombreada na figura indica a localização da
casa no terreno.
D M C
16 m
16 m
16 m
A N
45 m
P B
As linhas horizontais que determinam a localização da
casa dividem os lados AD e BC em três partes iguais.
Se o triângulo MNP é equilátero e seu lado mede
45 m, quanto deve medir o perímetro da região onde
a casa será construída?
18 A parede da sala de brinquedos de uma escola infantil
foi pintada de modo a tentar representar, em perspecti-
va, um tabuleiro como o do xadrez, mas com apenas 16
casas. Embora os prolongamentos das linhas não ho-
rizontais interceptem-se corretamente em um mesmo
ponto, conhecido na teoria da perspectiva como ponto
de fuga, o fato de as linhas paralelas horizontais terem
sido desenhadas igualmente afastadas umas das ou-
tras não está de acordo com a perspectiva correta, que
transmite a ideia de que as casas do tabuleiro são equi-
valentes entre si.
C
E
F
B D
A
x
Sabendo que, entre as linhas não horizontais, ape-
nas a primeira da esquerda para a direita é vertical,
de acordo com as características dessa pintura, se
os segmentos AB e CD medem 1 m e 2 m, respec-
tivamente, então a medida x, em centímetros, do
segmento EF é tal que:
A 20 < x < 33
b 33 < x < 50
C 50 < x < 62
d 62 < x < 75
E 75 < x < 100
19 UEG 2011 O formato dos papéis que utilizamos, tais
como A0, A1, A2, A3, A4, ..., A10, tem uma relação
muito interessante, conforme descreveremos a se-
guir. Partindo do papel A0, obtém-se o papel A1 do
seguinte modo: o menor lado do papel A1 é a me-
tade do maior lado do papel A0, e o maior lado do
papel A1 é igual ao menor lado do A0. Do mesmo
modo, a folha do papel A2 é obtida da folha A1, a
folha do papel A3 é obtida da folha de papel A2 e
assim sucessivamente. Considerando que as folhas
de papel descritas acima são retangulares e que os
papéis como A0, A1, A2, A3, A4, ..., A10 são seme-
lhantes, então a razão entre o maior e o menor lado
do papel A4 é igual a:
A 2
b 2
C
1
2
d
2
2
20 Um cálice de cristal com a forma de um cone contém
exatamente 5 mL de água.
h/4
h
Sabendo que a água no interior do cálice atinge ape
nas um quarto de sua altura, determine:
a) a razão de semelhança entre os cones de água
e de cristal;
) a razão entre os volumes do cone de água e de
cristal;
c) o volume de água necessário para se completar a
capacidade total do cálice.
21 No triângulo ABC, o segmento AD divide o ângulo in-
terno de vértice A em dois outros ângulos de medidas
α = 130° e β = 25°. Sabendo que BD mede 10 cm e
que AB mede o triplo de AD, determine a medida do
segmento CD .
A
βα
D CB
F
R
E
N
T
E
 3
323
22 A flâmula de um clube tem a forma de um triângulo
isósceles ABC, com AB = AC = 40 cm e BC = 20 cm.
As três cores do clube ocupam regiões triangulares
no interior da flâmula, como mostra a figura.
B C
D
E
A
Em relação às medidas angulares, sabemos que:
y med ADE med BDE ( ) = ( )
y med BAC med CBD
� ( ) = ( ).
y med BCD med BDC ( ) = ( ).
Assim, determine os comprimentos dos segmentos:
a) CD .
) BE .
23 Um engenheiro percebeu que os dois cabos, AB e AC ,
usados para sustentar o trecho BC de uma ponte es-
taiada não eram suficientes e resolveu instalar mais
um cabo AD para reforçar a sustentação. A figura a
seguir mostra os comprimentos dos cabos AB e AC
e as distâncias dos pontos B e C até a coluna vertical
onde eles estão presos.
A
8 m
B
4 m 14 m
16 m
C
A gura seguinte mostra que o cabo AD será insta-
lado de modo que os ângulos DAB e DAC tenham a
mesma medida.
A
B D C
Nessas condições, a distância do ponto D até a colu-
na vertical onde os cabos estão presos deverá ser de:
A 1 m.
b 1,5 m.
C 2 m.
d 2,5 m.
E 3 m.
24 Na figura a seguir, ABCD é um trapézio isósceles e P
e Q são os pontos médios dos lados não paralelos
AB e CD .
A D
P
B C
Q
Sabe-se ainda que AD = 85 mm, PQ = 6 cm e
CQ = 0,2 dm. Determine as medidas, em centímetros,
dos segmentos:
a) AB .
) BC .
25 IFCE Sabendo-se que, em um trapézio, a soma da
base média com a mediana de Euler é igual a 12 cm
e que a razão entre as bases do trapézio é 2, a base
menor desse trapézio mede:
A 5 cm.
b 6 cm.
C 7 cm.
d 8 cm.
E 9 cm.
26 FGV 2012 As cordas AB e CD de um círculo são per
pendiculares no ponto P, sendo que AP = 6, PB = 4 e
CP = 2 O raio desse círculo mede:
A
P
D
B
C
A 5
b 6
C 3 3
d 4 2
E 5 2
MATEMÁTICA Capítulo 3 Teoria das proporções geométricas324
27 Fuvest 2012 (Adapt.) Na figura, a circunferência de cen-
tro O é tangente à reta CD no ponto D, o qual pertence
à reta AO. Além disso, A e B são pontos da circunfe-
rência, AB = 6 3 e BC = 2 3 .
B
C
DOA
Nessas condições, determine:
a) a medida do segmento CD .
) a medida do raio da circunferência.
28 ITA Seja E um ponto externo a uma circunferência. Os
segmentos EA e ED interceptam essa circunferência
nos pontos B e A e C e D, respectivamente. A corda
AF da circunferência intercepta o segmento ED no
ponto G.
Se EB = 5, BA = 7, EC = 4, GD = 3 e AG = 6, então GF vale:
A 1
b 2
C 3
d 4
E 5
29 UFSC 2016 Em relação às proposições a seguir, é cor
reto afirmar que:
01 Se duas retas paralelas são cortadas por uma reta
transversal, formando ângulos alternos externos cujas
medidas, em graus, são representadas por (3x + 4°) e
(4x 37°), então a soma desses ângulos é 254°
02 Na figura da circunferência de centro O, se o ân-
gulo agudo  mede 27° e o arco AB mede 156°,
então a medida do ângulo indicado por x é igual
a 105°
B
x
A O
156º
27º
04 Se o quadrilátero a seguir representa a planta
de um terreno plano, então sua área é igual a
242 1 2
2+( )m .


C
D
A B
22 m
22 m
135º
22 m
08 No triângulo ABC, retângulo em B, DE é per-
pendicular à AC. Se AC mede 6 cm e CE tem
a mesma medida do cateto AB , 4 cm, então AD
mede 2 cm.
A
E
D
B C
16 Num triângulo retângulo, a hipotenusa mede 9 cm e
o menor cateto mede 6 cm. Então, a altura relativa
à hipotenusa mede 2 5 cm.
Soma:
30 Unifesp Na figura, o segmento AC é perpendicular à
reta r. Sabe se que o ângulo AO B, com O sendo um
ponto da reta r, será máximo quando O for o ponto
onde r tangencia uma circunferência que passa por
A e B.
A
B
C
r
O
Se AB representa uma estátua de 3,6 m sobre um pe-
destal BC de 6,4 m, a distância OC, para que o ângulo
AOB de visão da estátua seja máximo, é:
A 10 m.
b 8,2 m
C 8 m
d 7,8 m
E 4,6 m