Matemática - Livro 3-022-024

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MATEMÁTICA Capítulo 9 Funções circulares22
1 Se < <
π
∈R0 x
2
 e a, b
+
* , com a > b, calcule sen x, sabendo que =
−
cotgx
a b
2ab
.
2 2
2 ITA A expressão trigonométrica:
( ) ( )
1
cos x sen x
4tg x
1 tg x
2 2
2
2
2
2
para ∈
π




 ≠
π
x 0,
2
 e x
4
, é igual a:
A sen2x  cos2x C 1 d zero E sec x
3 Simplificar as expressões:
a)
π



⋅ π




⋅ π









sen
3
2
x cos
3
2
x (senx) 1 sen
3
2
x
b)
π +




+1 cos 3
2
x senx
c)
π



π +









 ⋅
π +




⋅ π




cos
3
2
x sen
2
x 2 cos
3
2
x sen
2
x
2
) [sen (p – x) – cos (p + x)]2 2sen (2p x) · cos (p + x)
4 UEM 2018 Sobre trigonometria, assinale o que for correto.
01 Se um mastro de navio está preso no seu topo, por um cabo de 10 m de comprimento, ao convés, a uma distância
de 5 m, então o ângulo do cabo com o convés é de 60°.
02 + = +(1 tg(x))(1 tg(x)) ( 2 sec(x))( 2 sec(x)), para todo x nos domínios das funções.
04 A função = +f(x) 3 sen (x) 2 cos (x)2 2 é crescente no intervalo π





0,
2
08 A solução da equação 3 2 2 3 2 32 3cos ( x)sen( x) sen ( x)+ = é R Z= ∈ =
π
+ π ∈






S x / x
4
k , k .
16 Em uma pequena cidade há um aeroporto com uma pista de 1 km, ao final da qual há um prédio de 30 m de altura.
Um monomotor precisa de 650 m para ganhar velocidade a fim de decolar, e a altura de segurança entre o avião
e o prédio é de no mínimo 220 m. Assim, se o monomotor decolar a um ângulo de 30o, ele estará seguro
Soma:
5 Da relação




=
tga
senx
tgb
tgx
tg a tg b,
2
2 2 deduzir que =cosx
tgb
tga
6 Simplificar a expressão:
2 sen x sen x
3 cos x
2 4
2
.
7 ITA Eliminando θ nas equações:
⋅ θ + ⋅ θ = θ
⋅ θ − ⋅ θ = θ >



x sen y cos 2a sen
x cos y sen acos ; a 0, temos:
A ( ) ( ) ( )+ = +x y x y 2a x y
2
3
2
3
2
 ( ) ( ) ( )+ + = +x y x y x y a
2 2
C ( ) ( )+ + =x y x y 2a
2
3
2
3
2
3
d impossível eliminar θ.
E n.d.a.
Exercícios complementares
F
R
E
N
T
E
 1
23
8 Determinar cos
3
x + sen3x, sabendo que:
+ =senx cosx
5
4
.
9 AFA Sabendo-se que < α < β <
p
0
2
, sen α = a e sen β =
= b, então o valor da expressão sen (p + α) cos(2p – β)
será igual a:
a +a 1 b2
b - + -a 1 b2
c - -a 1 b2
d a 1 b
2
e -a 1 b2
10 Se sen x + cos x = a, tal que sen x ≠ cos x, calcule o
valor da expressão
-sen x cos x
sen x cosx
3 3
 em função de a.
11 Fuvest Na figura, a reta r passa pelo ponto T = (0; 1) e
é paralela ao eixo Ox. A semirreta Ot forma um ângulo
α com o semieixo Ox (0° < a < 90°) e intercepta a cir-
cunferência trigonométrica e a reta r nos pontos A e B,
respectivamente.
t
y
x
r
α
B
O
A
T
A área do TAB, como função de α, é dada por:
a
α
⋅ α
1 sen
2
cos
b
α
⋅ α
1 cos
2
sen
c
α
⋅ α
1 sen
2
tg
d
- α
⋅ α
1 sen
2
cotg
e
α
⋅ α
1 sen
2
sen
12 Unifesp 2019 De acordo com a norma brasileira de re-
gulamentação de acessibilidade, o rebaixamento de
calçadas para travessia de pedestres deve ter inclina
ção constante e não superior a 8,33% (1 : 12) em relação
à horizontal. Observe o seguinte projeto de rebaixa-
mento de uma calçada cuja guia tem altura BC = 10 cm
) Calcule a medida de AB na situação limite da
regulamentação.
) Calcule o comprimento de AC na situação em que
a inclinação da rampa é de 5%. Deixe a resposta
final com raiz quadrada
13 Famerp 2019 Duas equipes de escavação vão perfu-
rar um túnel AB em uma montanha, sendo que uma
delas partirá de A e a outra de B, a fim de se encontra-
rem Para cavar nas direções corretas os engenheiros
precisam determinar as medidas dos ângulos α e β,
indicados na figura, que essa direção forma com as
retas perpendiculares
� 
AC e
� 
BC, respectivamente.
Dados:
x 63,4° 68,2° 71,6° 74° 76°
tg x 2 2,5 3 3,5 4
De acordo com o projeto e com os dados fornecidos,
α e β são, respectivamente, iguais a
a 18,4° e 71,6°.
b 21,8° e 68,2°.
c 14° e 76°.
d 26,6° e 63,4°.
e 16° e 74°.
MATEMÁTICA Capítulo 9 Funções circulares24
14 Para obter a altura H de uma chaminé, um engenheiro,
com um aparelho especial, estabeleceu a horizontal
AB e mediu os ângulos α e β, tendo a seguir medido
=BC h. Determinar a altura da chaminé
β
α
D
B
h
HA
C
15 Determinar a hipotenusa de um triângulo retângulo se
os catetos são: b = 2(1 + sen x) + cos x e c = 2(1 + cos x) + 
+ sen x.
16 ITA Seja a função f: R→ R definida por:
( ) =
+ π




π
π⋅ ≥ π






f x
a x
2
, se x <
2
2
a
x
senx, se x
2
onde a > 0 é uma constante.
Considere K = {y ∈ R; f(y) = 0}
Qual o valor de a, sabendo-se que f
2
K
π



∈ ?
A
4
p

2
p
C p
d
2
2p
E p2
17 ITA Os valores de α < α < π α ≠
π
; 0 e
2
, para os quais a
função f: R→ R dada por f (x) = 4x2 4x tg2α assu
me seu valor mínimo igual a 4 são:
A
4
 e
3
4
p p

5
 e
2
5
p p
C
3
 e
2
3
p p
d
7
 e
2
7
p p
E
2
5
 e
3
5
p p
18 UFSC 2019 É correto afirmar que:
01 A igualdade tg3x = tg x . sec2x – tg x é válida para
todo ≠
π
+ π ∈¢x
2
k ; k .
02 Em maio de 2018, os jornais noticiaram uma forte
manifestação dos caminhoneiros em todo o Brasil.
Dias antes do início do movimento, os postos de
combustíveis A e B vendiam o litro de gasolina a
R$ 3,70 e R$ 4,00, respectivamente. Alguns dias
depois do término da manifestação, esses preços
alcançaram os valores, na devida ordem, de R$ 4,43
e R$ 4,80. Admitindo que o PROCON (Programa de
Proteção e Defesa do Consumidor) considere que
aumentos acima de 20% são abusivos, então os dois
postos cometeram práticas abusivas
04 Um supermercado anuncia certo tipo de queijo em
duas opções de preço. Na primeira, o pacote de 150 g
custa R$ 3,00, enquanto que na segunda opção o
pacote de 400 g custa R$7,20. Nessas condições,
a segunda opção é mais vantajosa para o cliente
08 O valor numérico da expressão
a – b
a
2
+ ab +
b
2
2 2
2 2
para a = 5 184 e b = 3 888 é
1
14
Soma:
19 ITA Sejam a, b, c ∈ R* com a2 = b2 + c2 Se x, y e z
satisfazem o sistema:
⋅ + ⋅ =
⋅ + ⋅ =
⋅ + ⋅ =





c cos y b cos z a
c cos x a cos z b
b cos x a cos y c
então cos x + cos y + cos z é igual a:
A
a b
c

+a b
c
C
+b c
a
d
+c a
b
E
+b c
a
2 2
20 Sabendo que =
+
cosx
2m
m 1
,
2
 calcule tg x
21 Sabendo se que sen x + cos x = M, calcule o valor das
expressões a seguir
a) senx cosx
b) sen3 x + cos3 x
c) sen4 x + cos4 x
) sen5 x + cos5 x
22 Demonstrar que, se = =
a
senx
b
cosx
c
tgx
, temos:
a2(a2 + b2) = b2c2.
23 Verificar a identidade a seguir:
1
3
1
4
1
12
6 2
2
sen x sen x+( ) − −( ) =cos x cos x6 2
24 Verificar a identidade a seguir:
2cos8 x 2sen8 x + 3sen6 x 5cos6 x + 3cos4 x = sen2 x
25 Verificar a identidade a seguir:
1 1
2 2
cos cosx tg x senx x x senx+ ⋅ ⋅ +



cotg
1secx x
⋅
cossec
cosseecx x−




=
sec
1
26 Sendo sen x= a e tg x= b, demonstre que: (1 a2) ⋅ (1+ b2)= 1.
27 Sabendo que x é um arco do 2o quadrante e que
=cosx
5
13
, demonstre que:
( )
( )
( )
( )
° −
° +
+
° −
°
=
sen 180 x
sec 270 x
cos 360 x
cossec 270 x
119
169