Matemática - Livro 3-241-243

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F
R
E
N
T
E
 3
241
Resolução:
Sendo S o valor da área da superfície do cubo menor
e K a razão de semelhança entre os cubos:
k
2 S
S
k 2 k 2
2 2= ⋅ ⇒ = ⇒ =
Portanto, a razão entre as capacidades dessas caixas
é k 2 2 2
3
3( )= = .
Alternativa: b
Fórmulas básicas para o cálculo de
volumes
A capacidade de avaliar corretamente volumes de fi
guras espaciais cercadas por superfícies planas pode ser
desenvolvida a partir da memorização de um número ra-
zoável de fórmulas algébricas, como as que expressam os
volumes de prismas e pirâmides.
Entre os sólidos que chamamos de prismas estão os
paralelepípedos (ou prismas quadrangulares) e, entre estes,
estão os cubos
Volume do cubo
Cercados por seis quadrados congruentes, oito vér-
tices triédricos e trirretângulos e doze arestas de mesmo
comprimento que coincidem com as medidas de suas três
dimensões (largura, profundidade e altura), os cubos podem
ser considerados paralelepípedos ou até mesmo prismas, de
acordo com as definições dessas figuras.
G
H
D A
F



B
altura
profundidade
largura
E
C
Seu formato caracteriza, ainda, um dos cinco únicos
tipos de poliedros regulares pela definição de Platão, se-
gundo a qual, por apresentarem exatamente seis faces,
os cubos também são chamados de hexaedros regulares.
Entretanto, mais importante do que sua denominação
é o fato de que os cubos são as formas geométricas que
usamos como unidade de volume Desse modo, se as
arestas de um cubo possuírem exatamente uma unidade
de comprimento, o espaço cercado pelas faces dele terá
exatamente uma unidade de volume.
• Aresta do cubo = 1 km ⇔ Volume do cubo = 1 km3
• Aresta do cubo = 1 m ⇔ Volume do cubo = 1 m3
• Aresta do cubo = 1 dm ⇔ Volume do cubo = 1 dm3
(capacidade de 1 litro)
• Aresta do cubo = 1 cm ⇔ Volume do cubo = 1 cm3
Dividindo o comprimetol das arestas de um cubo qualquer
pelo comprimento da aresta de um cubo unitário, obtém-se
uma razão de semelhança entre eles igual a
=k
1
.
Assim, sendo V o volume de um cubo de aresta l, pelo
teorema da razão de semelhança, tem-se =V
1
k
3 .
Substituindo k na última expressão:
=




V
1 1
3
.
Logo, conclui-se que a fórmula para o volume de um
cubo em função do comprimento de suas arestas é a fór-
mula mais básica para o cálculo de volumes:
VCubo = l
3
Perceba que até o modo como nos referimos à terceira
potência deriva da forma de se calcular o volume desse
sólido geométrico.
Exercícios resolvidos
14 Enem (Adapt.) Um porta-lápis de madeira foi construí-
do no formato cúbico, seguindo o modelo ilustrado a
seguir O cubo de dentro é vazio. A aresta do cubo
maior mede 12 cm e a do cubo menor, que é interno,
mede 8 cm
O volume de madeira utilizado na confecção desse ob-
jeto foi de:
A 12 cm3
b 64 cm3
C 96 cm3
d 1 216 cm3
E 1 728 cm3
Resolução:
O volume do cubo maior é: V = 12
3 = 1 728 cm3.
O volume do cubo menor é: V' = 8
3 = 512 cm3.
O volume de madeira no porta-lápis é:
V – V' = 1 728 – 512 = 1216 cm3
Alternativa: d
15 PUC Rio 2017 Um cubo de aresta a tem volume 24.
Assinale o valor do volume de um cubo de aresta
a
3
A
8
9
b
9
3
C 8
d 24
E 72
MATEMÁTICA Capítulo 12 Paralelepípedos242
Resolução:
O volume do primeiro cubo citado é: V a 24
3= = .
Já o volume do segundo cubo é:
V'
a
3
a
3
24
27
8
9
3
3
3
=




= = =
Alternativa: A
16 Quanto mede a aresta de um cubo com volume de2 2 m
3?
A 2 m
b 2 23 m
C 26 m
d 23 m
E 2 m
Resolução:
Sendo l a medida, em metros, da aresta do cubo:
2 2 2 2
3 3
 = ⇒ =
Como 2 2
2( )= , por substituição tem-se:
2 2 2 2 2 2 m
3
2
3
3
3 ( ) ( )= = = =
Alternativa: E
Volume do paralelepípedo retangular e
reto
Paralelepípedos são sólidos geométricos cercados
por três pares de faces paralelas. Quando essas faces são
compostas de seis retângulos, o volume dessas formas geo-
métricas tridimensionais equivale ao produto das medidas
de suas três dimensões.
H G
C
B
F
A a
b
c
E
D
Um paralelepípedo como o mostrado na imagem será
retangular se suas bases ABCD e EFGH forem retângulos
congruentes entre si. Ele também será denominado reto se
suas arestas laterais AE, BF, CG e DE forem perpendiculares
aos planos das bases.
Caso seja retangular e reto, todos os vértices do pa
ralelepípedo serão triedros trirretângulos. Nesse caso, o
paralelepípedo poderá ser completamente preenchido por
determinada quantidade de cubos. Assim, a soma dos volu-
mes desses cubos será igual ao volume do paralelepípedo.
Considere que as dimensões do paralelepípedo sejam
representadas pelos números inteiros a, b e c, em alguma
unidade de comprimento Então, pode-se dizer que a é a
quantidade de cubos unitários que podem ser dispostos den-
tro do paralelepípedo, lado a lado, e sobre o comprimento
da aresta AB, por exemplo.
BA
A soma dos volumes dos cubos colocados no interior
do paralelepípedo, em unidades de volume, é
�  
+ + + + + + = ⋅ =1 1 1 1 ... 1 1 1 a a
a parcelas
Do mesmo modo, pode-se dizer que b é a quantidade
de cubos unitários que podem ser dispostos dentro do pa-
ralelepípedo, lado a lado, mas agora sobre o comprimento
da aresta BC, por exemplo.
B
C
A a
b
Logo, o produto a ⋅ b representa a quantidade de cubos
unitários que podem ser dispostos dentro do paralelepípe
do, lado a lado, sobre sua base ABCD.
B
C
A a
b
D
Assim, a soma dos volumes dos cubos colocados
no interior do paralelepípedo, em unidades de volume, é
�  
+ + + + + + = ⋅a a a a ... a a a b
b parcelas
.
Também pode-se dizer que c é a quantidade de cubos
unitários que podem ser dispostos dentro do paralelepípedo,
lado a lado, mas agora sobre o comprimento da aresta CG,
por exemplo.
F
R
E
N
T
E
 3
243
B
C
G
c
D
A a
b
Caso seja colocada uma quantidade c de camadas
formadas por uma quantidade a ⋅ b de pequenos cubos
unitários dentro do paralelepípedo, o volume dele ficará
completamente preenchido. Nesse caso, a soma dos vo-
lumes dos cubos colocados no interior do paralelepípedo,
em unidades de volume, será o próprio volume do para-
lelepípedo:
�  
= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅V a b a b a b a b a b a b
Paralelepípedo
c parcelas
Portanto, a fórmula para o cálculo do volume de um
paralelepípedo em função das medidas de suas dimensões
a, b e c é:
VParalelepípedo = a ⋅ b ⋅ c
Nos próximos capítulos, em que estudaremos o princí
pio de Cavalieri no espaço, veremos demonstrações dessa
relação que contemplam outros formatos de paralelepí
pedo, como os oblíquos, e casos em que as dimensões
do paralelepípedo não podem ser expressas por números
inteiros em nenhuma unidade de medida.
Exercícios resolvidos
17 Um paralelepípedo retangular e reto tem 12 cm de lar-
gura e suas outras dimensões diferem apenas 2 cm
uma da outra. Sabendo que o volume desse parale-
lepípedo é de 420 cm
3
, pode-se concluir que a soma
de suas dimensões, em centímetros, é igual a:
A 28 cm
b 24 cm
C 20 cm
d 14 cm
E 12 cm
Resolução:
Sendo x e (x – 2) as outras dimensões do paralelepí-
pedo, temos:
12 ⋅ x ⋅ (x – 2) = 420⇔ 12x2 – 24x – 420 = 0
Dividindo a equação por 12 e resolvendo-a, obtemos:
x 2x 35 0
2 4 1 35 4 140 144
x
2 144
2 1
2 12
2
2
2
− − =
= ( ) ⋅ ⋅ ( ) = + =
=
( ) ±
⋅
=
±
=
∆
��

x
x não convém
=
=
7
5' ( )
Portanto, as dimensões do paralelepípedo são 12 cm,
7 cm e 5 cm, cuja soma é 24 cm
Alternativa: b
18 Enem 2016 O recinto das provas de natação olímpica
utiliza a mais avançada tecnologia para proporcionar
aos nadadores condições ideais. Isso passa por reduzir o
impacto da ondulação e das correntes provocadas pelos
nadadores no seu deslocamento. Para conseguir isso, a
piscina de competição tem uma profundidade uniforme
de 3 m, que ajuda a diminuir a “reflexão” da água (o
movimento contra uma superfície e o regresso no sentido
contrário, atingindo os nadadores), além dos já tradicio-
nais 50 m de comprimento e 25 m de largura. Um clube
deseja reformarsua piscina de 50 m de comprimento, 20 m
de largura e 2 m de profundidade de forma que passe a
ter as mesmas dimensões das piscinas olímpicas.
Disponível em: <http://desporto.publico.pt>. Acesso em: 6 ago. 2012.
Após a reforma, a capacidade dessa piscina superará
a capacidade da piscina original em um valor mais pró-
ximo de:
A 20%
b 25%
C 47%
d 50%
E 88%
Resolução:
O volume atual da piscina do clube em metros cúbi-
cos é V = 50 ⋅ 20 ⋅ 2 = 2 000 m3.
O volume que a piscina passará a ter após a reforma
será V' = 50 ⋅ 25 ⋅ 3 = 3 750 m
3
.
O aumento no volume será V' – V = 3 750 – 2 000 =
= 1 750 m
3
.
Portanto, a taxa de aumento será igual a
= =
1 750
2000
0,875 87,5%.
Alternativa: E
19 Enem 2014 Um carpinteiro fabrica portas retangulares
maciças, feitas de um mesmo material Por ter rece-
bido de seus clientes pedidos de portas mais altas,
aumentou sua altura em
1
8
, preservando suas espes-
suras A fim de manter o custo com o material de cada
porta, precisou reduzir a largura.
 A razão entre a largura da nova porta e a largura da
porta anterior é:
A
1
8
b
7
8
C
8
7
d
8
9
E
9
8
Resolução:
Como o custo com o material é proporcional ao volu-
me das portas, para mantê-lo é necessário que a nova
porta tenha o mesmo volume da porta anterior.
Sendo x, y e z as medidas da altura, largura e espes-
sura da porta anterior, tem se que:
I A altura da nova porta é igual a x
x
8
9x
8
+ =
II. A espessura da nova porta também é igual a z.
Então, sendo y’ a largura da nova porta, da igualdade
entre os volumes, tem-se que:
9x
8
y' z x y z
y'
y
8
9
⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇔ =