Matemática - Livro 3-310-312

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MATEMÁTICA Capítulo 13 Poliedros310
16 Fuvest 2015 O sólido da figura é formado pela pirâmi-
de SABCD sobre o paralelepípedo reto ABCDEFGH.
Sabe-se que S pertence à reta determinada por A e E
e que AE = 2 cm, AD= 4 cm e AB = 5 cm. A medida do 
segmento que faz com que o volume do sólido seja
igual a
4
3
 do volume da pirâmide SEFGH é
A 2 cm
b 4 cm
C 6 cm
 8 cm
E 10 cm
17 Fuvest 2013 No paralelepípedo reto retângulo ABCDE
FGH da figura, tem-se AB = 2, AD = 3 e AE = 4.
a) Qual é a área do triângulo ABD?
) Qual é o volume do tetraedro ABDE?
c) Qual é área do triângulo BDE?
d) Sendo Q o ponto do triângulo BDE mais próximo do
ponto A, quanto vale AQ?
18 Fuvest 2012
A base do tetraedro PABCD é o quadrado ABCD de
lado  , contido no plano a Sabe-se que a projeção or
togonal do vértice P no plano a está no semiplano de
a determinado pela reta
� 
BC e que não contém o lado
AD Além disso, a face BPC é um triângulo isósceles
de base BC cuja altura forma, com o planoa, um ângu-
lo q, em que 0
2
< q < p Sendo

PB
2
2
= , determine,
em função de  e θ,
a) o volume do tetraedro PABCD;
) a altura do triângulo APB relativa ao lado AB ;
c) a altura do triângulo APD relativa ao lado AD.
19 Enem Um artesão construiu peças de artesanato inter-
ceptando uma pirâmide de base quadrada com um
plano. Após fazer um estudo das diferentes peças que
poderia obter, ele concluiu que uma delas poderia ter
uma das faces pentagonal.
Qual dos argumentos a seguir  justica a conclusão 
do artesão?
A Uma pirâmide de base quadrada tem 4 arestas
laterais e a interseção de um plano com a pirâmi-
de intercepta suas arestas laterais. Assim, esses
pontos formam um polígono de 4 lados.
b Uma pirâmide de base quadrada tem 4 faces
triangulares e, quando um plano intercepta essa
pirâmide, divide cada face em um triângulo e um
trapézio. Logo, um dos polígonos tem 4 lados.
C Uma pirâmide de base quadrada tem 5 faces e
a interseção de uma face com um plano é um
segmento de reta Assim, se o plano interceptar
todas as faces, o polígono obtido nessa interse-
ção tem 5 lados
 O número de lados de qualquer polígono obtido
como interseção de uma pirâmide com um plano
é igual ao número de faces da pirâmide. Como
a pirâmide tem 5 faces, o polígono tem 5 lados
E O número de lados de qualquer polígono obtido
interceptando-se uma pirâmide por um plano é
igual ao número de arestas laterais da pirâmide.
Como a pirâmide tem 4 arestas laterais, o polígo-
no tem 4 lados.
20 Fuvest Uma pirâmide tem como base um quadrado de
lado 1, e cada uma de suas faces laterais é um triân-
gulo equilátero. Então, a área do quadrado, que tem
como vértices os baricentros de cada uma das faces
laterais, é igual a
A
5
9
b
4
9
C
1
3

2
9
E
1
9
F
R
E
N
T
E
 3
311
21 Fuvest O triângulo ACD é isósceles de base CD e o
segmento OA é perpendicular ao plano que contém
o triângulo OCD, conforme a figura:
Sabendo-se que AO = 3, AC = 5 e senOCD 1
3
= , então
a área do triângulo OCD vale
A 16
2
9
b 32
2
9
C 48
2
9
 64
2
9
E 80
2
9
22 Unesp 2018 Uma rampa, com a forma de prisma reto,
possui triângulos retângulos ADE e BCF nas bases do
prisma, e retângulos nas demais faces. Sabe-se que
AB = 20 m, BC = 15 m e CF = 5 m. Sobre a face ABFE
da rampa estão marcados os caminhos retilíneos AE ,
AG e AF , com G sendo um ponto deEF, como mostra
a figura
a) Calcule a medida do segmento AF . Em seguida,
assuma que a inclinação de subida (razão entre
vertical e horizontal) pelo caminho AG seja igual
a
1
4
 e calcule a medida do segmento EG .
) Considere os seguintes dados para responder a
este item:
a 7,1° 11,3° 14,0° 18,4°
tg a 0,125 0,200 0,250 0,333
Comparando-se o caminho AF com o caminho AE ,
nota-se que o ângulo de inclinação de AF e de
AE , em relação ao plano que contém o retângulo
ABCD, aumentou. Calcule a diferença aproximada,
em graus, desses ângulos.
23 UCPel 2017 A área de um quadrado de lado x cm au-
menta em 28 cm2 se o seu lado for aumentado em
2 cm. Considerando que a medida da aresta de um
tetraedro regular é igual ao lado x deste quadrado,
então a altura h deste tetraedro vale
A 2 6 cm
b 2 3 cm
C 2 2 cm
 3 2 cm
E 4 6 cm
24 Uece 2015 Se, em um tetraedro, três das faces que
possuem um vértice comum V, são limitadas por triân-
gulos retângulos e as medidas das arestas da face
oposta ao vértice V são, respectivamente, 8 cm, 10 cm
e 12 cm, então, as medidas, em cm, das outras três
arestas são
A 3 6, 10, 3 10
b 6, 5 3, 9.
C 2 5, 3 6, 8
 2 2, 10, 2 3.
25 Uerj 2017 Uma pirâmide com exatamente seis arestas
congruentes é denominada tetraedro regular. Admita
que a aresta do tetraedro regular ilustrado a seguir, de
vértices ABCD, mede 6 cm e que o ponto médio da
aresta BC é M.
O cosseno do ângulo AMD equivale a:
A
1
2
b
1
3
C
2
3

2
5
MATEMÁTICA Capítulo 13 Poliedros312
26 UFJF 2016 (Adapt.) Na figura abaixo, ABCD é um tetrae-
dro regular de lado l e N é um ponto sobre a aresta
AC tal que ⋅ =2 AN NC.
D
A
N




B
C
a) Calcule DN
) Calcule a área do triângulo BDN
27 Uma taça de sorvete e um aquário têm as respectivas
formas de uma pirâmide regular e um prisma regular,
como ilustrado a seguir. A altura da pirâmide e a do
prisma medem, respectivamente, a e 2a, e os lados
das bocas pentagonais, da taça e do aquário, medem
b e 3b, nesta ordem.
3b
2a
a
b
Um  garoto  quer  encher  o  aquário  que  ca  na  sala, 
transportando  a  água  da  pia,  que  ca  na  cozinha, 
usando uma única taça. Se a cada transporte, o garo-
to levar a taça completamente cheia e, sem derramar
uma gota no caminho, despejar toda água no aquário,
então o aquário irá transbordar quando o garoto des-
pejar a água pela:
A 19a vez.
b 28a vez.
C 35a vez.
 55a vez.
E 71a vez.
28 PUC Rio 2015 (Adapt.) O octaedro regular de aresta 4 é
cortado em 4 fatias da mesma espessura por planos pa
ralelos a um par de faces opostas, conforme a figura:
a) Esboce as interseções entre o sólido e cada um
dos planos. Calcule suas áreas. (Não utilize va-
lores aproximados).
) Calcule a distância entre dois planos de corte con-
secutivos.
29 As cúpulas geodésicas, ou domos geodésicos, são
construções que imitam calotas esféricas Essas
construções, concebidas pelo arquiteto americano Ri-
chard Buckminster Fuller,  apresentam extraordinária 
leveza e resistência Formados por barras de qual-
quer material, os domos geodésicos podem ser feitos
em qualquer tamanho, desde que os comprimentos
de suas barras sejam calculados corretamente
A gura a seguir representa uma construção geodé-
sica que apresenta 20 pontos como A, em que estão
presas quatro barras; 69 pontos como B, em que es-
tão presas seis barras; e mais 6 pontos como C, em
que estão presas cinco barras
A
B
C
O número total de barras necessárias para se cons-
truir um domo como esse é de:
A 262
b 323
C 464
 524
E 646
30 AFA 2019 Um objeto de decoração foi elaborado a par-
tir de sólidos utilizados na rotina de estudos de um
estudante de matemática.
Inicialmente, partiu-se de um cubo sólido de volume
igual a 19683 cm3.
Do interior desse cubo, retirou-se, sem perda de ma-
terial, um sólido formado por dois troncos de pirâmide
idênticos e um prisma reto, como mostra o esquema
da gura a seguir.
Sabe-se que:
• as bases maiores dos troncos estão contidas em fa-
ces opostas do cubo;
• as bases dos troncos são quadradas;