Matemática - Livro 4-013-015

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F
R
E
N
T
E
 1
13
Neste capítulo, utilizamos técnicas da análise combinatória para o cálculo do binômio (x + a)n, n ∈ N e x, a ∈ R.
Teorema binomial: ∑+ = 


⋅ ⋅−
=
(x a)
n
k
x a
n n k k
k 0
n
O número




n
k
 é o chamado coeficiente binomial, tal que




=
−
n
k
n!
k!(n k)!
.
O desenvolvimento do binômio é da forma:
+ =




⋅ +




⋅ ⋅ +




⋅ + +




⋅ ⋅ + +




− − −
(x a)
n
0
x
n
1
x a
n
2
x a ...
n
p
x a ...
n
n
a
n n n 1 n 2 2 n p p n
O termo




⋅−n
p
x a
n p p é o chamado termo geral e ocupa a posição (p + 1) (não se esqueça de que começamos com k = 0).
No desenvolvimento, se fizermos x = a = 1, teremos xn p = ap = 1, ou seja, a soma dos coeficientes do desenvolvimento:
=




+




+




+ +




(2)
n
0
n
1
n
2
...
n
n
n
PRENSA HIDRÁULICA: AUMENTO DA FORÇA
2
2 1
1
A
F F
A
=  
 
 
PRINCÍPIO DE PASCAL
Resumindo
Quer saber mais?
Livro
• GARBI, Gilberto Geraldo. A Rainha das Ciências: um passeio histórico pelo maravilhoso mundo da matemática. 5. ed. São Paulo: Livraria da
Física, 2010.
Site
• O triângulo de Pascal é de Pascal?
Disponível em: <www.mat.ufrgs.br/~portosil/histo2b.html>.
MATEMÁTICA Capítulo 13 Números binomiais, triângulo de Pascal e binômio de Newton14
1 Calcule o valor de ∑ 

=
10
p
.
p 2
9
2 Um estádio de futebol possui 23 portões, que po-
dem ser abertos um a um, dois a dois, ... ou todos
de uma só vez. De quantos modos pode ser aberto
o estádio?
3 Mackenzie 2019 Se S = {1, 2, 3, ..., 10}, o número de
pares ordenados distintos, (A, B), em que A e B são
subconjuntos, disjuntos, de S é:
A 310
 310 - 1
C 39
d 210 - 1
E 210
4 PUC-Minas O resultado de ∑ 

=
8
p
p 2
6
 é igual a:
A 216
 238
C 240
d 247
E 256
5 Mackenzie 2017 Sabendo que
n
p
256
p 0
n
∑ 


=
=
, então o
valor de n vale
A 8
 7
C 6
d 5
E 4
6 Uece 2017 O coeficiente de x6 no desenvolvimento de
2x
1
x
x
1
2x2
3
2
3
+




⋅ +




 é
A 18
 24
C 34
d 30
7 Uece 2020 O termo independente de x no desenvolvi
mento binomial de x x
1
x
3
3
13
⋅ +




 é:
A 725
 745
C 715
d 735
8 FGV-SP No desenvolvimento de x
k
x
10
+




, para que
o coeficiente do termo em x4 seja 15, k deve ser
igual a:
A
1
2
 2
C
1
3
d 3
E 4
9 FGV-SP 2017 O coeficiente de x12 na expansão de
(1 + x4 + x5)10 é igual a
A 120
 90
C 81
d 60
E 54
10 EsPCEx 2015 O termo independente de x no desenvol-
vimento de x
1
x
3
2
10
−




 é igual a:
A 110
 210
C 310
d 410
E 510
11 O coeficiente de x20 em (x2 + 3x)12 vale:
A 65  325
 70 214
C 40  095
d 427  229
E n.d.a.
12 Uece 2019 O número inteiro n, maior do que 3, para o
qual os números
n
1
,
n
2
e
n
3












 estão, nessa ordem,
em progressão aritmética é:
Observação:
n
p
n!
p!(n p)!




=
−
A n = 6
 n = 8
C n = 5
d n = 7
Exercícios complementares
F
R
E
N
T
E
 1
15
13 Uece 2016 No desenvolvimento de x(2x + 1)10 o coefi-
ciente de x3 é:
A 480
 320
C 260
d 180
14 A soma dos coeficientes do desenvolvimento de
3x
1
x
2
n
−




 é 1  024. O termo independente de x des
se desenvolvimento é:
A –1
 405
C 504
d –240
E 360
15 Sejam a e b números reais. Suponha que ao desen-
volvermos (ax + by)5 os coeficientes dos monômios
x4y e x3y2 sejam iguais a 240 e 720, respectivamen-
te. Nessas condições, assinale a opção que contém
o valor de α
β
.
A
1
2

3
2
C
1
3
d 3
E
2
3
16 ITA Podemos afirmar que ∑ ⋅ ⋅

=
2
10
k
k
k 0
10
 é igual a:
A 210
 210 1
C 310 – 1
d 310 + 1
E 310
17 ITA Qual o coeficiente de x17 no desenvolvimento de
(1 + x5 + x7)20?
A 0
 1  210
C 3 000
d 3  420
E 4 000
18 Unicamp A desigualdade (1 + x)n ≥ 1 + nx é válida para
x ≥ –1 e n inteiro positivo. Faça a demonstração dessa
desigualdade, apenas para o caso mais simples em
que x ≥ 0 e n é um inteiro positivo.
19 Determine os valores de x , x
2
k , k∈ ≠
π
+ π ∈R Z e de
n ∈ N para os quais a igualdade abaixo se verifica.
∑


− ⋅
+
=
+=
−n
i
(secx tgx)
1
(secx tgx)
255
(secx tgx)i 1
n
n i
i n
20 Resolva os sistemas.
a)
m
n
m
n 1
4
m
n
5
m
n 1




=
+








=
−











b)
x
y
x
y 2
x
2
66




=
+








=







c)
n
m
n
m 2
n
2
153




=
+








=







)
m
2
m
n 1
m!
(m 2)!
20




=
+




−
=






21 Resolva as equações.
a)












=
n
2
2
105
b)
n
2
3
12
n
2












=




22 Determine n de modo que os números:
(n 1)!
4
;
−
 n!; 23(n 1)!+ estejam em PG nessa ordem.
23 Calcule a soma dos coeficientes dos desenvolvimen-
tos dos seguintes binômios:
a) (2x + 3a)10
b) 3x
1
x
2
6
+




c) (a + b)n, n ∈ N*
) (a b)n, n ∈ N*
e) x
5
x
3
15
+




f)
x
4
x
6
2
5
−




g) ∑


−
=
8
i
(4x) (6)
8 i i
i 0
8
h)
m
i
a x m
m i i
i
m 



⋅ ⋅ ∈−
=
∗∑
0
( )¥
i)
n
i
x n
i n i
i
n 



⋅ − ⋅ ∈−
=
∗∑ ( ) ( )1
0
¥