Binômio de Newton

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MATEMÁTICA PARA OFICIALATO 
BINÔMIO DE NEWTON 
Prof. Wellington Nishio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
BINÔMIO DE NEWTON 
 
- Número Binomial 
Chama-se número binomial todo número definido por 
 
)!pn(!p
!n
p
n
−
=








 
 
Onde: 





pn
NpeNn
 
 
Sendo x  R, a  N e n  N, temos a fórmula do Binômio 
de Newton representada por: 
 
(𝒙 + 𝒂)𝒏 = (
𝒏
𝟎
) 𝒙𝒏 + (
𝒏
𝟏
) 𝒂𝟏𝒙𝒏 −𝟏 + (
𝒏
𝟐
) 𝒂𝟐𝒙𝒏 + … + (
𝒏
𝒏
) 𝒂𝒏 
 
 ou 
(𝒙 + 𝒂)𝒏 = ∑ (
𝒏
𝒑)
𝒏
𝒑 =𝟎
𝒂𝒑𝒙𝒏 − 𝒑 
 
Para obter (x - a)n, basta alternar os sinais, os termos 
de ordem ímpares são positivos e de ordem par são 
negativos. 
 
 (𝒙 − 𝒂)𝒏 = (−𝟏)𝟎 (
𝒏
𝟎
) 𝒙𝒏 + (−𝟏)𝟏 (
𝒏
𝟏
) 𝒂𝟏𝒙𝒏 −𝟏 
 +(−𝟏)𝟐 (
𝒏
𝟐
) 𝒂𝟐𝒙𝒏 − … + (−𝟏)𝒏 (
𝒏
𝒏
) 𝒂𝒏 
 
ou 
 
(𝒙 + 𝒂)𝒏 = ∑ (−𝟏)𝒑 (
𝒏
𝒑)𝒏
𝒑 =𝟎 𝒂𝒑𝒙𝒏 − 𝒑 
 
Observação: Os binômios ( )nax  apresentam n + 1 
termos. 
 
-Fórmula do Termo Geral 
 
𝑻𝒑+𝟏 = (
𝒏
𝒑
) 𝒂𝒑𝒙𝒏 −𝒑 
 
O termo acima é chamado geral, pois fazendo-se 
p = 0, 1, 2, ..., n obtemos todos os termos do 
desenvolvimento. 
 
-Triângulo de Pascal 
 
Esse triângulo é formado por coeficientes 
binomiais(números binomiais), a sua organização é 
feita da seguinte forma: 
• Todos os coeficientes de mesmo numerador são 
colocados na mesma linha 
• Todos os coeficientes de mesmo denominador são 
colocados na mesma coluna. 
 
Propriedades do Triângulo de Pascal 
a) Todos os elementos da 1ª coluna e da última linha 
são iguais a 1. 
b) Dois elementos de uma linha, equidistantes, são 
iguais: 








−
=








pn
n
p
n
 
 
c) Relação de Stiffel: Somando os elementos 
consecutivos de uma mesma linha obtém-se o 
elemento situado abaixo da última parcela. 
 
(
𝒏 + 𝟏
𝒑 + 𝟏
) = (
𝒏 
𝒑
) + (
𝒏
𝒑 + 𝟏
) 
 
d) A soma dos números binomiais de uma mesma linha 
é uma potência de base 2 cujo expoente é a ordem da 
linha dada pelo numerador. 
(
𝒏
𝟎
) + (
𝒏
𝟏
) + (
𝒏
𝟐
) + ⋯ + (
𝒏
𝒏 
) = 𝟐𝒏, 𝒏 ∈ ℕ 
 
e) A soma dos números binomiais de uma mesma 
coluna, iniciando do primeiro elemento e terminando 
em um elemento qualquer de uma mesma coluna, é 
igual ao número binomial que fica diagonalmente 
abaixo, à direita, do último número binomial da soma. 
 
(
𝒏
𝒏
) + (
𝒏 + 𝟏
𝒏
) + (
𝒏 + 𝟐
𝒏
) + ⋯ + (
𝒏 + 𝒑
𝒏
) = (
𝒏 + 𝒑 + 𝟏
𝒏 + 𝟏
) 
 
 
f) A soma dos números binomiais, situados na mesma 
diagonal, iniciando de um elemento na primeira coluna, 
é igual ao número binomial imediatamente abaixo do 
último elemento do somatório. 
 
(
𝒏
𝟎
) + (
𝒏 + 𝟏
𝟏
) + (
𝒏 + 𝟐
𝟐
) + ⋯ + (
𝒏 + 𝒑
𝒑
) = (
𝒏 + 𝒑 + 𝟏
𝒑
) 
 
-Expansão Multinomial 
De um modo geral, a expansão do polinômio 
( )nr21 x...xx +++ , com x1, x2 , ..., xr  R e n  N será: 
( )  







=+++ r21 n
r
n
2
n
1
r21
n
r21 x.....x.x
!n!...n!n
!n
x...xx 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) A soma dos coeficientes do polinômio (x2 + 3x - 3)50 
é 
a) 0. b) 1. c) 5. d) 25. e) 50. 
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2) Sabendo que: 
x e y são números positivos x - y = 1 e x4 + 4x3y + 6x2y2 
+ 4xy3 + y4 = 16 
podemos concluir que: 
a) x = 7/6 b) x = 6/5 c) x = 5/4 d) x = 4/3 
e) x = 3/2 
 
3) Sendo k um número real positivo, o terceiro termo do 
desenvolvimento de (-2x + k)12, ordenado segundo 
expoentes decrescentes de x, é 66x10. Assim, é correto 
afirmar que k é igual a 
a) 1/66. b) 1/64. c) 1/58. d) 
1/33. e) 1/32 
 
4) A soma alternada de coeficientes binomiais vale: 








+−








+








−








10
10
...
2
10
1
10
0
10
 
a) 210 b) 20. c) 10. d) 10!. e) 0. 
 
5) A soma é igual 
3 4 5 12
...
0 1 2 9
       
+ + + +       
       
 a: 
a) 
12
10
 
 
 
 
b) 
13
9
 
 
 
 
c) 
13
10
 
 
 
 
d) 
15
9
 
 
 
 
e) 
65
10
 
 
 
 
 
6) (EsPCEx – 2014) O termo independente de x no 
desenvolvimento de 
10
3
2
1
x
x
 
− 
 
é igual a 
a) 110. 
b) 210. 
c) 310. 
d) 410. 
e) 510. 
 
7) (EsPCEx – 2015) O valor da expressão E 
= (999)5 + 5·(999)4 + 10·(999)3 + 10·(999)2 +5·(999) + 1 
é igual a 
a) 9·103 
b) 9·1015 
c) 1015 
d) 999999 
e) 999·1015 
 
8) (EsPCEx – 2017) Determine o valor numérico do 
polinômio p(x) = x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 2017 para 
x = 89. 
a) 53 213 009. 
b) 57 138 236. 
c) 61 342 008. 
d) 65 612 016. 
e) 67 302 100. 
 
9) (EsPCEx – 2020) Qual o valor de n, no binômio (x + 
3)n para que o coeficiente do 5º termo nas potências 
decrescentes de x seja igual a 5670? 
a) 5 
b) 6 
c) 7 
d) 8 
e) 9 
 
10) (EsPCEx – 2022) A soma dos 2023 coeficientes 
binomiais com numerador 2022, 
2022
n 0
2022 2022 2022 2022 2022 2022
... ,
n 0 1 2 2021 2022
=
           
= + + + + +           
           
 
equivale a 
a) 41011. 
b) 22404. 
c) 21011. 
d) ( )
2023
2 . 
e) ( )
1011
2 . 
 
11) (AFA) No desenvolvimento de (x + 2)nx3, o 
coeficiente de xn+1 é 
 
a) 
2
)1n(n +
. 
b) 
4
)1n(n −
. 
c) 2n(n - 1). 
d) 4n(n - 1). 
 
12) (AFA - 98) O valor de m que satisfaz a expressão 

=







m
0k
k
k
m
3 = 1024 é 
a) 2. b) 3. c) 4. d) 5. 
 
13) (AFA - 99) Se, no desenvolvimento do binômio (x + 
y)m + 5, ordenado segundo as potências decrescentes de 
x, o quociente entre os termos que ocupam as posições 
(m + 3) e (m + 1) é , então o valor de m é 
a) par. 
b) primo. 
c) ímpar. 
d) múltiplo de 3. 
 
 
14) (AFA - 2001) O termo independente de x no 
desenvolvimento de 
7
3x
14x








+ é 
a) 4 b) 10 c) 21 d) 35 
 
15 (AFA – 2003) Em [0, 2] se  é a maior raiz da 
equação 
4 3 24 4 4 4
cos x cos x cos x cosx 1 0,
0 1 2 3
       
− + − + =       
       
então, o 
3
cos
2 4
 
− −  
 
 vale 
a) 
1
2
− b) 
1
2
 c) 0 d) 1 
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16) (AFA - 2003) No desenvolvimento de ( )nrr
xx
−
+ , 
ordenado pelas potências decrescentes de x, sendo r > 
0 e n natural, o coeficiente do 5° termo que é 
independente de x é igual a 
a) 252 b) 70 c) 10 d) 8 
 
17) (AFA - 2004) Sabendo-se que no desenvolvimento 
de ( )26
x1+ os coeficientes dos termos de ordem (2r + 
1) e (r + 3) são iguais, pode-se afirmar que r é igual a: 
a) 8 ou 4 b) 8 ou 2 c) 4 ou 2 d) 
2 ou 1 
 
18) (AFA - 2005) Analise as afirmativas abaixo e 
classifique-as em (V) verdadeiras ou (F) falsas. 
 
( ) No desenvolvimento de ( )7kx2 + , k  ℝ*, o 
coeficiente numérico do termo em x4 é quatro vezes o 
coeficiente numérico do termo em x3. Então k vale 
4
1
 
( ) Sejam m e p números inteiros positivos, tais que 
p1m − . Então, 








+








−
−
+








−
−
p
m
1p
1m
2p
1m
 é igual a







 +
p
1m
 
( ) Se 1023
n
n
...
3
n
2
n
1
n
=








++








+








+








, o valor de n é 
igual a 10 
 
A sequência correta é 
 a) V, V, V b) F, F, V c)V, F, F 
 d) F,V, V 
 
19) (AFA - 2007) Os três primeiros coeficientes do 
desenvolvimento de 
n
2
x2
1
x 





+ segundo as potências 
decrescentes de x estão 
em progressão aritmética. O valor de n é um número 
a) primo. 
b) quadrado perfeito. 
c) cubo perfeito. 
d) maior que 9 e menor que 15 
 
20) (AFA - 2007) O termo em x8 no desenvolvimento de 
(x – 2)4 . (x + 1)5 é 
a) –3x8 b) –32x8 c) 72x8 
 d) 80x8 
 
21) (AFA - 2008) Analise as proposições 
 
(02) Se 1(1!) + 2(2!) + 3(3!) + ...+ n(n!) = (n + 1)! - 1, com 
n {1, 2, 3, 4, ...}, entãoo valor de 
)10...4321(!8
1)!10(10...)!2(2)!1(1
+++++
++++
é igual a 18. 
(04) O valor de 
=








−
p
1m 1m
m
 é p2 
(08) Uma caixa ( I ) contém 6 garrafas com rótulo e duas 
garrafas sem rótulo; outra caixa ( II ) contém 4 garrafas 
com rótulo e uma sem rótulo. Uma caixa é selecionada 
aleatoriamente e dela uma garrafa é retirada. A 
probabilidade dessa garrafa retirada ser sem rótulo é 
de 22,5%. 
(16) Dois dígitos distintos são selecionados 
aleatoriamente dentre os dígitos de 1 a 9. Se a soma 
entre eles é par, a probabilidade de ambos serem 
ímpares é 
8
5
. 
A soma das proposições verdadeiras é igual a 
a) 14 b) 24 c) 26 d) 30 
22) (AFA - 2009) Com relação ao binômio 
n
2
x
2
x 





+ é 
correto afirmar que 
a) se o 5° termo do desenvolvimento desse binômio, 
segundo as potências decrescentes de x, é 560x2, 
então n é igual a 7 
b) se n é ímpar, seu desenvolvimento possui um 
número ímpar de termos. 
c) possui termo independente de x,  n  N* 
d) a soma de seus coeficientes binomiais é igual a 64 
quando esse binômio possui seis termos. 
 
23) (AFA – 2018) O menor dos possíveis coeficientes 
do termo em x8, no desenvolvimento de (2 + x2 + x3)10 é 
igual a 
a) 11 240 
b) 12 420 
c) 13 440 
d) 14 720 
 
24) (EFOMM – 2020) Assinale a alternativa que 
apresenta o termo independente de x na expansão 
binomial 
8
2
6
1
x .
x
 
+ 
 
 
a) 1 
b) 8 
c) 28 
d) 56 
e) 70 
 
25) (EFOMM – 2022) O valor da soma 
1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 29.30 é 
a) 2
30C 
b) 2
302.C 
c) 29
31C 
d) 28
312.C 
e) 3
31C 
 
26) (EN) Os coeficientes dos três primeiros termos do 
desenvolvimento de 
n
2
x2
1
x 





+ coincidem com os três 
primeiros termos de uma progressão aritmética (PA). O 
valor do 11° termo da PA é: 
a) 27 
b) 29 
c) 31 
d) 33 
e) 35 
 
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27) (EN) Seja m a menor raiz interna da equação 
( )( )
1!
3
7x51x
=




 −−
. Pode-se afirmar que o termo médio 
do desenvolvimento de ( ) m123
zy − é 
a) 2
3
18 zy
!6!6
!12
 
b) 183
zy
!6!6
!12−
 
c) 452
15
zy
!15!15
!30
 
d) 452
15
zy
!15!15
!30−
 
e) 183
zy
!6!6
!12
 
 
28) (ITA) O termo independente de x no 
desenvolvimento do binômio
12
3
3
x3
x5
x5
x3








− é: 
a) 3 45729 
b) 3 15972 
c) 3
5
3
891 
d) 3
3
5
376 
e) 3 75165 
29) (ITA) O termo independente de x em 
3
x
2
x1 





++ é: 
a) 1 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13 
 
30) (ITA) Considere o conjunto S = {(a, b)  IN x IN: 
a + b = 18}. A soma de todos os números da forma 
!b!a
!18
S)b,a(  
A) 86 B) 9! C) 96 D) 126 E) 12! 
 
31) (AFA – 2018) O menor dos possíveis coeficientes 
do termo em x8 , no desenvolvimento de (2 + x2 + 3x3)10 
é igual a 
a) 11240 b) 12420 c) 13440 d) 14720 
 
32) (EN – 2018) Se a 3 2= + e b 3 2= − , seja k o 
determinante da matriz 
1 a 1 1 1
1 1 a 1 1
1 1 1 b 1
1 1 1 1 b
+ 
 
−
 
 +
 
− 
, sendo 
assim, é correto afirmar que o coeficiente de xk – 1 no 
desenvolvimento de 
3 3
2
2
1 1
2x . x
x 2x
   
+ +   
   
é 
a) 21 
b) 22 
c) 23 
d) 24 
e) 25 
 
33) (ITA – 2018) Sejam a e b números inteiros positivos. 
Se a e b são, nessa ordem, termos consecutivos de 
uma progressão geométrica de razão 
1
2
e o termo 
independente de
12
b
ax
x
 
− 
 
é igual a 7920, então a + b 
e 
a) 2. b) 3. c) 4. d) 5. e) 6. 
 
34) (ITA – 2014) Para os inteiros positivos k e n, com k 
≤ n, sabe-se que
n n 1n 1
k k 1k 1
+   +
=   
++    
 
Então, o valor de 
n n n n1 1 1
...
0 1 2 n2 3 n 1
       
+ + + +       
+       
é igual 
a 
a) 2n + 1 
b) 2n+1 + 1 
c) 
n 1
2 1
n
+
+
 
d) 
n 1
2 1
n 1
+
−
+
 
e) 
n 1
2 1
n
+
−
 
 
35) (EN – 2014 - Feminino) O coeficiente de x5 no 
desenvolvimento de 
7
32
x
x
 
+ 
 
é 
a) 30 b) 90 c) 120 d) 270 e) 560 
 
36) (IME – 2016) O valor da soma abaixo é: 
2016 2017 2018 2019 2020 2016
5 5 5 5 5 6
           
+ + + + +           
           
 
a) 
2020
6
 
 
 
 
b) 
2020
7
 
 
 
 
c) 
2021
5
 
 
 
 
d) 
2021
6
 
 
 
 
e) 
2022
5
 
 
 
 
 
37) (IME – 2014) Sabe-se que o valor do sexto termo 
da expansão em binômio de Newton de 
( )
( )
7
2
2
x 1 7
9 1log
2
x 1 1
1 3
log
52
 
 − +
 
+ 
− + 
 
 
é 84. O valor da 
soma dos possíveis valores de x é 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 
 
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38) (EN – 2017) O par ordenado de números reais, x ≠ 
0 e y ≠ 0 que satisfaz o sistema 
2 2
1 1 3
x y 4
1 1 5
16x y

+ =


 + =

 em que x 
é o menor elemento do par. Se p = 3x + y encontre o 
termo de ordem (p + 1) do binômio 
15
2
2
5
x z
y
143
 
− 
 
 
 e 
assinale a opção correta. 
a) -21x10 z5 y20 
b) 21x5 z10 y20 
c) -21x10 z5 y10 
d) 21x32 z10 y20 
e) 21x10 z5 y20 
 
GABARITO 
 
A) 10, 13, 20, 22, 30 
B) 1, 5, 6, 16, 17, 33 
C) 7, 11, 19, 21, 23, 24, 26, 31, 37 
D) 8, 9, 12, 14, 18, 25, 32, 34, 36 
E) 2, 3, 4, 27, 28, 29, 35, 38