Matemática - Livro 4-046-048

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MATEMÁTICA Capítulo 9 Polinômios46
Os monômios de um binômio também podem ser cha-
mados de termos.
Entre esses exemplos, os binômios M e N têm duas
variáveis cada: x e y. Por esse motivo é comum que sejam
indicados por M(x, y) e N(x, y). Já o binômio B tem apenas
a variável x, por isso também pode ser indicado por B(x).
• M(x, y) = 5x2 + 2y3
• N(x, y) = 4x2 + y2
• B(x) = x4 + 9x2
Binômios de grau mínimo são, necessariamente, de
1o grau, pois zero é o único número natural menor do que 1.
Exemplos:
• P(x) = 2x + 3
• Q(x) = −x + 0,4
• R(x) = (5 + 2i)x + (3 − i)
De forma genérica, um binômio de 1o grau é uma ex-
pressão matemática da forma ax + b com a e b diferentes
de zero.
Operações com binômios do 1o grau
Adições e subtrações de binômios do 1o grau são efe-
tuadas sempre entre os monômios de mesmo grau. Assim,
sendo A = ax + b e B = cx + d, tem-se que:
A + B = (a + c)x + (b + d)
A B = (a c)x + (b d)
Multiplicações entre binômios do 1o grau são efetuadas
de modo distributivo entre todos os seus monômios. Assim:
A ⋅ B = (ax + b) ⋅ (cx + d)
A ⋅ B = ax ⋅ cx + ax ⋅ d + b ⋅ cx + b ⋅ d
A ⋅ B = acx2 + adx + bcx + bd
A ⋅ B = acx2 + (ad + bc)x + bd
O produto de dois binômios do 1o grau com mesma
variável resulta sempre num trinômio do 2o grau.
Trinômios com uma variável
São as expressões algébricas que resultam da adição
de três monômios com mesma variável, mas graus dife-
rentes, de modo que todo trinômio possua três monômios.
O grau de um trinômio desse tipo é dado pelo grau do
maior monômio.
Exemplos:
• R = 5x2 + 2y3 + 4 é um trinômio do 3o grau.
• S = 4x2 + xy + y2 é um trinômio do 2o grau.
• T = x3 + 9x2 + 5x é um trinômio do 3o grau.
Entre esses exemplos, os trinômios R e S têm duas
variáveis cada: x e y. Por isso podem ser indicados por
R(x, y) e S(x, y). Já o trinômio T tem apenas a variável x,
por isso também pode ser indicado por T(x).
• R(x, y) = 5x2 + 2y3 + 4
• S(x, y) = 4x2 + xy + y2
• T(x) = x3 + 9x2 + 5x
Trinômios de grau mínimo são, necessariamente, do
2o grau, pois zero e um são os únicos números naturais
menores do que 2.
Trinômios de 2o grau
Trata-se das expressões do tipo ax2+ bx + c em que a,
b e c são números complexos diferentes de zero. Observe
os exemplos:
• 3x2 + 5x + 2
• − − ⋅ +x 2 x 42
• x2 - x + 1
• x2 + (1 + 3i)x - 2 + 2i
Considerando o universo dos números complexos, todo
trinômio do 2o grau resulta do produto de dois binômios do
1o grau. Note os exemplos:
• 3x2 + 5x + 2 = (x + 1)(3x + 2)
• x 2 x 4 x 2 x 2 22 ( )( )− − ⋅ + = − + +
• + = +




−


x x 1 x
1 i 3
2
x
1 i 3
2
2
• x2 + (1 + 3i)x - 2 + 2i = (x + 1 + i)(x + 2i)
De modo genérico, a todo trinômio do 2o grau, com
apenas uma variável (no caso x), estão associados dois
números x1 e x2 tais que:
ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2)
Os valores de x1 e x2 podem ser obtidos por meio da
fórmula quadrática:
=
=
− +







x
b b 4ac
2a
x
b b 4ac
2a
1
2
2
2
.
Devido à presença da operação de radiciação nessa
fórmula, os valores x1 e x2 também são chamados de raízes
do trinômio.
Quando os coeficientes a, b e c são números reais, a
expressão b2 - 4ac é denominada discriminante do trinômio
e indicada por (D). Lê-se delta: D = b2 - 4ac.
Sendo D um número real, ficam estabelecidas relações entre seu sinal
e os valores das raízes do trinômio. Se o discriminante for positivo
então x1 e x2 são números reais e diferentes; se for nulo, então x1 e x2
têm o mesmo valor real, e, se for negativo, então x1 e x2 são números
complexos, não reais e conjugados um do outro.
0 x , x e x x
0 x , x e x x
0 x , x e x x
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
∆ > ⇔ ∈ ∈ ≠
∆ = ⇔ ∈ ∈ =
∆ < ⇔ ∉ ∉ =





 
 
 
Atenção
Trinômios quadrados perfeitos
Quando um binômio do 1o grau é multiplicado por si
mesmo, ou seja, é elevado à 2a potência, obtém-se um
trinômio cujo discriminante é nulo (D = 0).
F
R
E
N
T
E
 2
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Considere o binômio mx + n:
(mx + n)(mx + n) = (mx + n)2 = m2x2 + 2mnx + n2
Comparando essa expressão com a forma ax2 + bx + c
de um trinômio do 2o grau, tem-se:
+ +
+ +
  
m x 2mnx n
ax bx c
2 2 2
2
=
=
=





a m
b 2mn
c n
2
2
D = b2 - 4ac = (2mn)2 - 4m2n2 = 4m2n2 - 4m2n2 = 0
Como neste caso as raízes x1 e x2 têm o mesmo valor,
esse valor é denominado raiz dupla do trinômio. Todo tri-
nômio quadrado perfeito possui raiz dupla.
Polinômios
Polinômios são funções complexas f: C→ C resultantes
da soma de uma série de monômios que podem ter mes-
mo grau ou graus diferentes, mesma variável ou variáveis
diferentes.
As variáveis de um polinômio são comumente apre-
sentadas entre parênteses como mostram os exemplos
a seguir:
• A(x, y) = x2 + xy + y2 −2x −4y + 3
• B(x, y, z) = 4x3 + 9x − y + z2
• P(x) = x3 + x2 + 8x + 20
Entre os exemplos acima, o polinômio A tem 2 variáveis
(x e y), o polinômio B tem 3 variáveis (x, y e z) e o polinômio
P tem apenas a variável x.
Podemos afirmar que toda somatória de monômios
de diferentes graus e mesma variável é um polinômio que
pode ser expresso por:
NP(x) a x , n
p
n p
p 0
n
∑= ∈
−
=
Os monômios apx
n - p são denominados termos do
polinômio, assim a palavra binômio designa um polinômio
com dois termos, a palavra trinômio um polinômio com três
termos e assim por diante.
Observação: Embora o prefixo poli indique pluralidade,
no estudo da Álgebra também consideram-se os monômios
como sendo um tipo especial de polinômio.
Todo número complexo também pode ser considerado
um polinômio pela sua definição algébrica.
n 0 P(x) a x a x a x a
p
n p
p 0
n
p
n p
p 0
0
0
0
0∑ ∑= ⇒ = = = =
−
=
−
=
Polinômios como esses são denominados polinômios
constantes e, particularmente, quando essa constante é o
número zero, o polinômio também é chamado de polinô-
mio nulo.
Características dos polinômios de
apenas uma variável
Escrevendo de forma explícita a somatória dos monô-
mios de graus diferentes, que definem um polinômio com
uma única variável, tem-se a expressão geral:
P(x) = a0x
n
+ a1x
n - 1
+ a2x
n - 2
+ ... + an - 2x
2
+ an - 1x + an
Os coeficientes e a variável de um polinômio podem
ser quaisquer números complexos, mas o expoente da va-
riável deve ser necessariamente um número natural.
Cada termo ou monômio de um polinômio apresenta
um coeficiente multiplicado pela variável elevada a algum
expoente. No termo a1x
n - 1, por exemplo, a1 é o coeficiente,
x é a variável e n – 1 é o expoente.
Os termos de um polinômio costumam ser apresenta-
dos de acordo com alguma relação de ordem (crescente ou
decrescente) entre os expoentes da variável. Neste capítu-
lo, foi feita a opção pela ordem decrescente dos expoentes.
No termo an - 1x tem-se, particularmente, que a
variável x está elevada à primeira potência, ou seja,
o expoente da variável é o número 1:
an - 1x = an - 1x
1
Outro termo que merece atenção especial é o termo
an, em que o expoente da variável x é o número zero:
an = anx
0
Este monômio de grau zero é denominado termo in-
dependente do polinômio.
Grau de um polinômio
O grau de um polinômio P é indicado por GP ou gr(P).
Em polinômios de apenas uma variável, o grau coincide
com o valor do expoente do seu monômio não nulo de
maior grau.
O monômio não nulo que fornece o grau de um poli-
nômio é denominado termo principal do polinômio. Veja,
a seguir, alguns exemplos:
Polinômio Termo principal Grau
P(x) = 3x7 + 2x6 + x4 − 8x3 − 2x2 + 5 3x7 gr(P) = 7
Q(x) = −x3 + 6x2 + 3x 5 −x3 gr(P) = 3
T(x) = x2 + 5x + 18 x2 gr(P) = 2
B(x) = 7x − 5 7x1 gr(P) = 1
M(x) = 12 12x0 gr(P) = 0
Considere a expressão geral para o polinômio P(x) de
acordo com a ordem decrescente dos expoentes de seus
termos:
P(x) = a0x
n
+ a1x
n - 1
+ a2x
n - 2
+ ... + an - 2x
2
+ an - 1x + an
MATEMÁTICA Capítulo 9 Polinômios48
Nessa expressão, em que n é um número natural, nem
sempre o primeiro termo a0x
n representa o termo principal
de P, pois o termo pode ou não ser um monômio nulo. Se o
primeiro termo da expressão for não nulo, então ele é o termo
principale seu expoente n indica qual é o grau do polinômio.
a0 ≠ 0 ⇔ gr(P) = n
Quando o primeiro termo da expressão for um monô-
mio nulo, ou seja, a0 = 0, deve-se observar o seu segundo
termo a1x
n - 1, a fim de verificar se ele é ou não nulo. Caso
o primeiro termo seja nulo e o segundo não, o grau do
polinômio é o expoente da variável do segundo termo.
a0 = 0 e a1 ≠ 0 ⇔ gr(P) = n 1
Quando o primeiro e segundo termos da expressão ge-
ral são nulos, deve-se observar o seu terceiro termo e assim
por diante, até que se encontre um termo que não seja nulo.
Exercício resolvido
1 Sendo k um número real, determine os valores de k
para que P(x) = (k - 1)x3 + 3x2 + kx + 1 seja um poli-
nômio do:
a) 2o grau.
b) 3o grau.
Resolução:
a) Para que P(x) seja do 2o grau, o coeciente de x3
deve ser igual a zero. Assim: k 1 = 0 ⇔ k = 1.
b) Para que P(x) seja do 3o grau, o coeciente de x3
deve ser diferente de zero. Assim: k - 1 ≠ 0 ⇔ k ≠ 1.
Polinômio nulo
Se todos os termos de um polinômio forem nulos, então o polinômio
também é chamado de polinômio nulo.
NN(x) a x , n e a 0, p
p
n p
p 0
n
p∑= ∈ = ∀
−
=
O polinômio nulo resulta da adição de qualquer quantidade de mo-
nômios nulos:
N(x) = 0x
n
+ 0x
n 1
+ 0x
n 2
+ ... + 0x
2
+ 0x + 0
O polinômio nulo também resulta da subtração de um polinômio
por si mesmo:
P(x) - P(x) = N(x)
O polinômio nulo não tem grau definido.
Atenção
Série dos coeficientes de um polinômio
Além da expressão geral P(x) = a0x
n
+ a1x
n - 1
+ ... + an - 1x +
+ an, todo polinômio não nulo pode ser representado pela
sucessão dos números complexos que são os coeficientes
de cada termo:
(a0, a1, ... ,an - 1, an), a0 ≠ 0
Os elementos ordenados nessa sucessão de números
complexos são denominados:
a0 → Coeficiente principal ou coeficiente dominante
a1 → Coeficiente secundário
∶
an → Termo independente
A série de coeficientes de um polinômio sempre inicia
com seu coeficiente principal a0 ≠ 0 e termina pelo seu
termo independente an. Os polinômios de grau zero têm
apenas um coeficiente, por isso só observam-se as séries
de coeficientes de polinômios com grau n ≥ 1.
Por exemplo, a série de coeficientes do binômio
B(x) = 7x − 5 é o par ordenado (7, −5); a série de coefi-
cientes do trinômio T(x) = x2 + 5x + 18 é a trinca ordenada
(1, 5, 18); a série de coeficientes do quadrinômio
Q(x) = −x3 + 6x2 + 3x − 5 é a quadra ordenada (−1, 6, 3,−5).
O número de elementos da série de coeficientes de
um polinômio é sempre um número maior que o grau do
polinômio. Então, se gr(P) = n, a série possui (n + 1) elemen-
tos ordenados. Assim, os coeficientes dos termos nulos de
um polinômio de grau n ≥ 1 devem ser apresentados em
suas respectivas séries.
Observe, por exemplo, que embora o polinômio P(x) = 3x7 +
+ 2x6 + x4 - 8x3 - 2x2 + 5 seja do 7o grau, há apenas 6 termos
explícitos em sua forma geral. Isso ocorre quando há mo-
nômios nulos entre seus termos. No caso específico desse
P(x), trata-se dos termos do 5o e 1o graus. Escrevendo cada
um deles com o coeficiente nulo, tem-se uma expressão
de 8 termos visíveis:
P(x) = 3x7 + 2x6 + 0x5 + x4 - 8x3 - 2x2 + 0x + 5
Nessa representação do polinômio pode-se observar
mais facilmente a série de seus coeficientes com 7 + 1 = 8
elementos ordenados:
(3, 2, 0, 1, -8, -2, 0, 5)
As séries de coeficientes de um polinômio são usa-
das nos algoritmos de algumas operações com polinômios
como, por exemplo, a divisão.
Valor numérico de um polinômio
Para determinar o valor numérico de um polinômio,
basta que sejam atribuídos valores numéricos para suas
variáveis.
Observe os exemplos a seguir:
• O valor numérico do polinômio A(x, y) = x2 + xy +
+ y2 - 2x - 4y + 3 quando x = 3 e y = 4 é:
A(3, 4) = 32 + 3 ⋅ 4 ⋅ 42 - 2 ⋅ 3 - 4 ⋅ 4 + 3 = 9 + 12 +
+ 16 - 6 - 16 + 3 = 18
• O valor numérico do mesmo polinômio quando x = 0
e y = −1 é:
A(0, -1) = 02 + 0 ⋅ (-1) + (-1)2 - 2 ⋅ 0 - 4 ⋅ (-1) + 3 =
= 0 + 0 + 1 - 0 + 4 + 3 = 8
• O valor numérico de B(x, y, z) = 4x3 + 9x - y + z2 quan-
do x = 0 e y = 1 e z = 2 é:
B(0, 1, 2) = 4 ⋅ 03 + 9 ⋅ 0 - 1 + 22 = 0 + 0 - 1 + 4 = 3