Instalacoes Eletricas Aula 2

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INSTALAÇÕES ELÉTRICAS 
INDUSTRIAIS 
AULA 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Juliano de Mello Pedroso 
 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
Entender o comportamento dos indutores e capacitores como elementos 
essenciais da grande maioria dos circuitos elétricos e eletrônicos já nos 
possibilita uma grande base técnica para começarmos a calcular circuitos com 
esses elementos. 
Há vários exemplos práticos do uso de capacitores e indutores na vida 
prática de um engenheiro, mas antes é necessário saber a base teórica desses 
circuitos tão importantes na eletrônica analógica. 
Nesta aula abordaremos os seguintes temas: 
1. Circuitos RL série e paralelo; 
2. Fator de potência; 
3. Capacitor e Capacitância; 
4. Circuitos em C.A. com capacitância Pura 
5. Circuitos RC Série e Paralelo. 
Bom estudo! 
 
TEMA 1 – CIRCUITOS RL SÉRIE E PARALELO 
Circuitos na prática possuem tanto resistência como indutância, o que 
significa que a corrente, ao percorrer um circuito encontrará dois tipos de 
oposição: a oferecida pela resistência, e a oposição da força eletromotriz de 
autoindução (reatância indutiva). 
Além do mais, em um circuito contendo resistência e indutância, a 
corrente continuará atrasada em relação à tensão, só que em um ângulo menor 
que 90° (não esqueça que a resistência tende a colocar VG em I em fase, 
enquanto a indutância tende a defasá-las de 90°). 
No circuito da Figura 1, a resistência R representa todas as resistências 
ao longo do caminho da corrente (inclusive a resistência ôhmica do fio da 
bobina). 
 
 
 
3 
Figuras 1a e 1b – circuito com indutor 
 
Na Figura 1b, diagrama fasorial, observe o atraso de 90° da corrente no 
indutor (que é a mesma na resistência) em relação à tensão (VL). Como a 
corrente na resistência está em fase com a tensão VR, as duas são 
representadas no mesmo eixo. 
Observe ainda na Figura 1b, que a obtenção da tensão do gerador é por 
soma vetorial. 
Do triângulo retângulo descrito na Figura 2, pode-se tirar: 
Figura 2 – triângulo retângulo de fasores 
 
 
 
 
 
 
VG2 = VR2 + VL2 
OU 
𝑉𝐺 = √𝑉𝑅2 + 𝑉𝐿2 
 
 Nessa relação que obtivemos, se dividirmos ambos os membros por I2 
𝑉𝐺2
𝐼2
= 
𝑉𝑅2
𝐼2
+ 
𝑉𝐿2
𝐼2
 𝑜𝑢 (
𝑉𝐺
𝐼
)
2
= (
𝑉𝑅
𝐼
)
2
+ (
𝑉𝐿
𝐼
)
2
 
 
Em que: 
 
𝑉𝑅
𝐼
= 𝑅 = Resistência ôhmica do circuito 
 
𝑉𝐿
𝐼
= 𝑋𝐿 = Reatância indutiva da bobina 
 
𝑉𝐺
𝐼
= 𝑍 = Impedância do circuito 
 
 
4 
A impedância é o efeito combinado de uma resistência com uma 
indutância. Desta forma, pode-se escrever: 
𝑍2 = 𝑅2 + 𝑋𝐿2 
ou 
𝑍 = √𝑅2 + 𝑋𝐿2 
 
O mesmo resultado seria obtido se tivéssemos dividido cada lado do 
triângulo por I. 
Figura 3 – Triângulos dos fasores: (a) tensões; (b) divisão pela corrente (c) 
impedâncias 
 
O ângulo de defasagem entre VG e I, ϕ, pode ser calculado por: 
𝑡𝑔 𝜙 = 
𝑉𝐿
𝑉𝑅
= 
𝑋𝐿
𝑅
 
ou 
cos 𝜙 = 
𝑅
𝑍
 
 
Quando temos um circuito em paralelo por definição temos a mesma 
tensão em todos os componentes do circuito. Na Figura 4, temos: 
VR = VL = VG. 
Figura 4 – Circuito RL Paralelo 
 
 
 
5 
 A partir desse circuito temos o diagrama fasorial correspondente a 
seguir, descrito na Figura 5: 
Figura 5 – Diagrama fasorial de um circuito em paralelo 
 
No diagrama da Figura 5 pode-se ver que a corrente no indutor IL, está 
atrasada 90° em relação à tensão, VL. Ao contrário do circuito RL série, neste 
caso desenhamos o diagrama de corrente que pode ser visto na Figura 6 (obs.: 
a fase de VG é escolhida arbitrariamente). 
Figura 6 – Triângulo das correntes 
 
 Do triângulo de correntes tiramos: 
𝐼2 = 𝐼𝑅2 + 𝐼𝐿2 ou 𝐼 = √𝐼𝑅2 + 𝐼𝐿2 
 
Se dividirmos, a Figura 3, os lados do triângulo por VG, obteremos o 
triângulo das admitâncias descrito na Figura 6. 
Figuras 7a, 7b e 7c – Admitâncias 
 
 Da Figura 7c tiramos: 
 
 
6 
1
𝑍2
= 
1
𝑅2
+ 
1
𝑋𝐿2
 
 
 De onde tiramos: 
𝑍 = 
𝑅 . 𝑋𝐿
√𝑅2 + 𝑋𝐿2
 
 
O ângulo de defasagem entre VG e I pode ser calculado por: 
cos 𝜙 = 
1
𝑅
1
𝑍
 = 
𝑍
𝑅
 
ou 
tan 𝜙 = 
1
𝑋𝐿
1
𝑅
= 
𝑅
𝑋𝐿
 
TEMA 2 – FATOR DE POTÊNCIA 
Se usarmos a corrente alternada devemos considerar dois tipos de 
potência: a Potência Ativa (P) ou Real e a Potência Reativa (Q). 
 Potência Ativa: é a potência que tem a finalidade principal do 
equipamento. Por exemplo: uma lâmpada tem a finalidade de iluminar, 
ou seja, a potência que realmente gera luz, nesse caso. 
 Potência Reativa: É a potência que gera e mantém os campos 
magnéticos quando se fala em carga indutiva. Essa potência não é 
contabilizada de forma direta. 
A somatória dessas duas formas de potência nos dá uma terceira 
chamada de potência aparente. Essa potência, por ser um valor maior, é usada 
nos anúncios de determinados equipamentos, mascarando a potência que 
deveria ser usada como produto final. 
A relação entre essas potências tem como resultado o triângulo das 
potências descrito na Figura 8. 
Nesse triângulo existe a relação entre três potências usuais e devemos 
salientar as unidades que são usadas. 
Potência ativa (P) – a Unidade é Watt (W); 
Potência reativa (Q) – a Unidade é o Volt-Ampere reativo (VAr); 
 
 
7 
Potência Aparente – a Unidade é o Volt-Ampere (VA). 
Figura 8 – Triângulo das potências 
 
O exemplo didático mais usado para entendermos o triângulo das 
potências é o copo de chopp, que veremos a seguir na Figura 9. 
Primeiramente tomamos como a extensão total do copo como sendo a 
potência aparente, ou seja, o máximo de chopp que o copo pode conter. A 
seguir se define a parte que é formada por espuma como sendo a potência 
reativa, ou seja que não é aproveitada. Por último, temos o líquido 
propriamente dito – o chopp, esse totalmente aproveitado no exemplo. 
Figura 9 – Relação das potências com o exemplo do copo de chopp 
 
Fonte: <http://www.hardmob.com.br/promocoes/572490-extra-lampada-ultra-led-a60-golden-
luz-branca-6500k-e27-10w-r-16-92-frete-gratis-4.html>. 
 
 
8 
A potência reativa não deve passar de 8% da carga total, ou seja, a 
potência real deve ser 92% da potência aparente. Essa porcentagem de tensão 
elétrica medida é chamada, na indústria, de fator de potência. Se essa regra 
não for obedecida o usuário paga um adicional de fator de potência. 
Para corrigir esse fator de potência devemos tomar algumas medidas 
que serão tratadas em aulas posteriores. 
TEMA 3 – CAPACITOR E CAPACITÂNCIA 
Um condensador ou simplesmente um capacitor é um componente 
eletrônico constituído por duas armaduras ou placas condutoras, separadas por 
um material chamado dielétrico com propriedades isolantes. 
A capacidade de um capacitor para armazenar cargas depende de sua 
capacitância (C). Esta, por sua vez, depende da área das placas, da espessura 
do dielétrico e do material do qual este é feito. 
Figura 10 – Esquema de um capacitor e seu símbolo 
 
 No caso de um capacitor de placas planas e paralelas, a sua 
capacitância será dada por: 
𝐶 = 
𝜀 . 𝑆
𝑑
 
 
ԑ = constante dielétrica 
S = Área de uma das placas (são iguais) em m2 
d = espessura do dielétrico em m 
 
A capacitância C será dada em Farads (F). Um Farad é um 
Coulomb/Volt. 
 
 
9 
Quando ligamos um capacitor a um gerador, o capacitor adquire uma 
carga Q, como descrito na Figura 11. 
Figura 11 – Carga do capacitor 
 
A placa superior fica com uma carga Q (faltade elétrons), enquanto a 
placa inferior ficará com uma carga –Q (excesso de elétrons). O número de 
elétrons, em excesso em uma placa, é igual ao número de elétrons faltantes na 
outra placa. Na relação entre a capacitância e a carga adquirida é a tensão 
aplicada, que é dada pela fórmula: 
𝑄 = 𝐶. 𝑉 
 
 Quando ligamos um capacitor a uma fonte de tensão por meio de uma 
resistência R, a tensão no capacitor levará um certo tempo até atingir o valor 
da tensão da fonte. 
 Considerando um capacitor inicialmente descarregado, no instante em 
que a chave é fechada (t=0), toda a tensão da fonte será aplicada à resistência. 
 Não há uma corrente passando através do capacitor, mas sim uma 
movimentação de cargas de uma placa para a outra pelo circuito. Neste caso, 
vamos ter um deslocamento de cargas positivas, indo da placa inferior para a 
placa superior – na realidade, elétrons se deslocando. 
 Com a chegada de cargas no capacitor, aumenta a sua tensão e 
consequentemente diminui a tensão na resistência. Depois de algum tempo, a 
tensão no capacitor será igual à tensão da fonte. 
 O comportamento dinâmico das tensões no circuito e da corrente, pode 
ser melhor entendido quando representado graficamente. 
 
 
 
10 
Figura 12 – Carga do capacitor 
 
Observe na Figura 12b, a soma VC+VR=E, isto é, à medida que VR 
diminui, VC cresce na mesma proporção. 
Uma medida de velocidade de crescimento da tensão no capacitor nos é 
dada pela constante de tempo do circuito (definido como sendo: 
R .C 
Fisicamente, a constante de tempo significa que, passando um tempo 
igual a uma constante de tempo, a tensão no capacitor atingiu 63% da tensão 
da fonte. Na Figura 12 podemos verificar que existe uma defasagem entre a 
tensão no capacitor e a corrente (quando uma é máxima a outra é mínima e 
vice-versa). 
A expressão que relaciona a tensão no capacitor com o tempo é dada 
por: 
𝑉𝐶(𝑡) = 𝐸 − 𝐸. 𝑒−
𝑡
𝑅𝐶 = 𝐸 (1 − 𝑒−
𝑡
𝑅𝐶) 
 A expressão da tensão no resistor é dada por: 
𝑉𝐶(𝑡) = 𝐸 . 𝑒−
𝑡
𝑅𝐶 
3.1 Associação de capacitores 
Para capacitores em paralelo temos a seguinte fórmula: 
𝐶𝑒𝑞 = 𝐶1 + 𝐶2 + 𝐶3 + ⋯ + 𝐶𝑛 
 
 
 
11 
Figura 13 – Capacitores em paralelo 
 
 
Onde Ceq é o capacitor equivalente. 
 Para capacitores em série temos a seguinte fórmula: 
1
𝐶𝑒𝑞
= 
1
𝐶1
+ 
1
𝐶2
+ 
1
𝐶3
+ ⋯ +
1
𝐶𝑛
 
 
Figura 14 – Capacitores em série 
 
TEMA 4 – CIRCUITO EM CA COM CAPACITÂNCIA PURA 
Esse componente eletrônico chamado capacitor é usado com a função 
de acumular cargas elétricas, ou seja, energia elétrica. 
Em ambientes industriais esse componente é muito útil. Construído em 
escalas maiores, os capacitores industriais são usados para corrigir fator de 
potência gerado pelos indutores que estão presentes no processo produtivo. 
Caso a tensão aplicada ao capacitor seja senoidal, a corrente no circuito 
também será senoidal e defasada 90° em relação à tensão. Em tal situação, a 
tensão estará 90° atrasada em relação à corrente. 
Um capacitor em um circuito C.A. oferece uma oposição à passagem da 
corrente, sendo esta oposição medida pela reatância do capacitor (XC). Esta 
depende da capacitância (C) e da frequência do gerador dada por: 
𝑋𝐶 = 
1
2𝜋 . 𝑓 . 𝐶
 
Em que: 
C em farads (F) 
F em Hertz (Hz) 
XC em Ohms (Ω) 
 
 
12 
Figuras 15a, 15b e 15c – Análise do capacitor: (a) circuito com capacitor (b) 
gráfico demonstrando a defasagem (c) diagrama fasorial 
 
A 1ª Lei de Ohm para este caso é: 
𝐼 = 
𝑉
𝑋𝐶
 
 
V e I (tensão e corrente eficazes). 
Em um circuito puramente capacitivo, não há consumo de potência. 
A potência real é dada pela fórmula: 
P = V . I . cos φ 
 
Como o ângulo φ formado entre a tensão e a corrente é 90° e cos90° = 
0, a potência será igual a 0. 
Este mesmo resultado pode ser mostrado graficamente na Figura 16: 
Figura 16 – Gráfico representativo de tensão, corrente e potência 
 
 
 
 
13 
Primeiramente, o capacitor acumula tensão elétrica em suas placas 
condutoras. A seguir, o condensador devolve energia ao circuito. 
TEMA 5 – CIRCUITOS RC SÉRIE E PARALELO 
 O capacitor é uma solução de armazenamento de cargas, a qual nos 
remete à pergunta feita a partir da descoberta da energia elétrica. Na Figura 17 
há uma série de capacitores que são diferenciados pelo modelo, aplicação e 
quantidade de capacitância. 
Figura 17 – Capacitores diversos 
 
Fonte: <http://www.py2bbs.qsl.br/capacitores.php>. 
 
A seguir é necessário que se desenvolva uma série de relações 
matemáticas triviais que são a fundamentação teórica da inserção de 
capacitores em circuitos de corrente alternada. 
 No circuito da Figura 18a, a tensão aplicada VG é a soma vetorial da 
tensão no resistor VR, a qual está em fase com a corrente, com a tensão no 
capacitor VC. 
 
 
 
14 
Figuras 18a, 18 b e 18 c – Circuitos RC em série 
 
O diagrama fasorial correspondente é: 
Figura 19 – Diagrama fasorial 
 
Figura 20 – Diagrama fasorial 
 
 As expressões matemáticas são: 
𝑉𝐶 = 𝑉𝑚𝐶 . 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 
𝐼 = 𝐼𝑚 . 𝑠𝑒𝑛 (𝜔𝑡 + 90) 
𝑉𝑅 = 𝑉𝑚𝑅 . 𝑠𝑒𝑛 (𝜔𝑡 + 90) 
𝑉𝐺 = 𝑉𝑚 . 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 90 − 𝜙) 
 
 
15 
Os triângulos de tensão impedância e potência descritos na Figura 21, 
são: 
Figuras 21a, 21b e 21c – Triângulos do circuito RC 
 
 Da Figura 21a tiramos: 
𝑉𝐺2 = 𝑉𝑅2 + 𝑉𝐶2 
 Ou 𝑉𝐺 = √𝑉𝑅2 + 𝑉𝐶2 
 cos ϕ = 
𝑉𝑅
𝑉𝐺
 tan 𝜙 = 
𝑉𝐶
𝑉𝑅
 
 
 Da Figura 21b tiramos: 
𝑉𝐺
𝐼
= 𝑍 = Impedância do circuito 
𝑉𝑅
𝐼
= 𝑅 = Resistência 
𝑉𝐶
𝐼
= 𝑋𝐶 = Reatância capacitiva 
 𝑍2 = 𝑅2 + 𝑋𝐶2 
Ou 
𝑍 = √𝑅2 + 𝑋𝐶2 
 
Do triângulo de potência obtemos: 
𝑃𝑎𝑝 = 𝑉𝐺 . 𝐼 = Potência aparente (VA) 
𝑃 = 𝑉𝑅 . 𝐼 = Potência real (Watts) 
𝑃 = 𝑉𝐺 . 𝐼 . cos 𝜙 
Pr = 𝑉𝐶 . 𝐼 = Potência reativa (VAR) 
 
 Em um circuito RC paralelo, a tensão é a mesma nos dois 
componentes, conforme a Figura 22. 
 
 
 
16 
Figura 22 – Capacitor em paralelo com resistor 
 
E o diagrama fasorial correspondente será o da Figura 23. 
Figura 23 – Diagrama fasorial 
 
As expressões matemáticas das correntes e da tensão são: 
𝑉𝐺 = 𝑉𝑚 . 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 
𝐼 = 𝐼𝑚 . 𝑠𝑒𝑛 (𝜔𝑡 + 𝜙) 
𝐼𝑅 = 𝐼𝑅𝑚 . 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 
𝐼𝐶 = 𝐼𝐶𝑚 . 𝑠𝑒𝑛 (𝜔𝑡 + 90) 
 
Os triângulos de corrente, impedância e potência são respectivamente: 
Figura 24a, 24b e 24c – Triângulos de corrente, impedância e potência 
 
 
 
17 
Da Figura 24a, tiramos: 
𝐼2 = 𝐼𝑅2 + 𝐼𝐶2 
ou 
𝐼 = √𝐼𝑅2 + 𝐼𝐶2 
 
Da Figura 24b, tiramos: 
1
𝑉𝐺
=
1
𝑍
 ,
𝐼𝐶
𝑉
=
1
𝑋𝐶
 ,
𝐼𝑅
𝑉𝐺
=
1
𝑅
 
1
𝑍2
=
1
𝑋𝐶2
+
1
𝑅2
 e resolvendo obtemos 
 
𝑍 = 
𝑋𝐶 . 𝑅
√𝑋𝐶2 + 𝑅2
 
Da Figura 24c tiramos: 
𝑃𝑎𝑝 = 𝑉𝐺 . 𝐼 = Potência aparente (em VA) 
𝑃 = 𝑉𝐺 . 𝐼𝑅 = 𝑉𝐺 . 𝐼 cos 𝜙 = Potência real (W) 
Pr = 𝑉𝐺 . 𝐼𝐶 = 𝑉𝐺 . 𝐼 . 𝑠𝑒𝑛 𝜙 = Potência reativa (VAR) 
 
O ângulo de defasagem (ϕ) pode ser calculado em qualquer caso por: 
cos 𝜙 = 
𝐼𝑅
𝐼
 
ou 
cos 𝜙 = 
𝑍
𝑅
 
ou 
cos 𝜙 = 
𝑃
𝑃𝑎𝑝
 
FINALIZANDO 
Vimos nessa aula que os indutores e os capacitores têm papel 
fundamental no processo produtivo. Por essa razão, o engenheiro deve 
conhecer esses componentes assim como suas funções exercidas na prática, 
lembrando ainda que tais componentes são passivos, ou seja, seu uso no 
circuito elétrico não aumenta a intensidadede corrente ou tensão, e de tais 
componentes têm função primordial na linha de produção. 
Bom estudo! 
 
 
 
18 
REFERÊNCIAS 
BOYLESTAD, R. Introdução à análise de circuitos. 12. ed. São Paulo: 
Pearson Prentice Hall, 2012. 
BOYLESTAD, R.; NASHELSKY, L. Dispositivos eletrônicos e teoria de 
circuitos. 11. ed. São Paulo: Pearson, 2013. 
MARIOTTO, P. Análise de circuitos elétricos. São Paulo: Pearson Prentice 
Hall, 2003. 
NILSSON, J; RIEDEL, S. Circuitos elétricos. 8. ed. São Paulo: Pearson 
Prentice Hall, 2009.