Lista 1_ Matrizes

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Matrizes 
 
 
Prof. João Giudice 
 
1 
 
1. A, B e C são matrizes quadradas de ordem n. Se a Matriz C é antissimétrica, demonstre que: 
( 3 ) 3t t tA B C BA C+ = − . 
2. Suponha A e B matrizes reais inversíveis e de ordem n, tais que A B AB+ = . Prove que 1 1A B I− −+ = . 
3. Sejam A e B matrizes reais e de ordem n, tais que A é inversível. Dado que 1 1A BA I− − = . Mostre que 2B A= . 
4. A e B são matrizes inversíveis. Determine a matriz X na equação: ( )X B I BA X= + − . 
5. Sejam A, B, A+B matrizes inversíveis. Prove que se 1 1A B− −+ também é inversível, então vale a identidade: 
1 1 1 1( ) ( )A B A A B B− − − −+ = + 
Dica: mostre que ��� � ��� � ����� � �����. 
6. Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n e com elementos reais. Definimos ( )tr B a soma dos elementos da diagonal principal 
da matriz B. Mostre que ( ) ( )tr BA tr AB= . 
7. Sejam A, B e C matrizes 5x5, com elementos reais. Mostre que se 0tAA = então 0A = . 
8. A matriz 
cos( ) ( )
( )
( ) cos( )
sen
R
sen
θ θ
θ
θ θ
 
=  
− 
 é chamada de matriz de rotação. Dizemos que uma matriz A é ortogonal, quando 1tA A−=
. Verifique se a matriz ( )R θ é ortogonal. Justifique sua resposta. 
9. Matriz não singular é aquela que possui inversa. Determine uma matriz não singular P, que satisfaça a equação matricial 
1 6 0
0 1
P A
−
 
=  
− 
. É dado que 
1 2
5 4
A
 
=  
 
. 
10. Seja ( )
n
M R o conjunto das matrizes quadradas, de ordem n e coeficientes reais. Define-se a função: 
: ( ) ( ) ( )
n n n
M R M R M RΘ × → , com ( , )A B AB BAΘ = − . 
 Determine o valor de ( ( , ), ) ( ( , ), ) ( ( , ), )A B C B C A C A BΘ Θ + Θ Θ + Θ Θ . 
11.Dadas as matrizes � � 	0 �� 0� e � � 	
 00 
��, onde i é a unidade imaginária e ω é uma raiz cúbica não real da unidade. Ache 
tr(C), se 
� � ����� � ����
���
���
 
a) 0 b) 40 c) 200 d) 400 e) 20 
12. Sendo � � 	� 00 � �, onde i é a unidade imaginária, ache o traço da matriz (A445 – A43). 
a) 4i b) 2i c) 0 d) -2i e) 8i 
13. Das proposições a seguir indique se são verdadeiras ou falsas e assinale a alternativa correspondente. 
I. Seja A uma matriz quadrada e B = aA + bI, onde I é a identidade e a e b são reais, então A e B comutam. 
II. Sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordem; se A – kI e B – kI comutam então A e B comutam. 
III. Se A e B são matrizes antissimétricas e AB é simétrica então AB = BA. 
a) VVV b)VVF c) VFV d) FVF e) FFF 
 
14. Dada a matriz � � �4 2 12 4 21 2 4� e seja S uma matriz triangular inferior, tal que A = S.S
t, ache o traço da matriz S. 
a) 2 � √3								 �		3√3										!�	2"1 � √3#												$�	16 e) 4 
15. Dada a matriz � � 	1 %10 1 �. Ache a soma dos elementos de B = A + A2 + A3 + ... + An, para n natural maior que 1. 
a) 
&�&���
� 								 �	 '�' � 1�									!� 	% '�' � 1�										$�	'�1 % '�											(�	&���&�� 
Gabarito 
11) D 12)A 13)A 14) C 15) E