Matrizes - Exercicios - 2021

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EXTENSÃO NIASSA 
Campus Universitário de Chiuaula, Telefax: 27121520, Caixa Postal n.o 4; - Lichinga 
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS TECNOLOGIAS, ENGENHARIAS E MATEMÁTICA 
Curso de Licenciatura em Ensino de MATEMÁTICA 
 
Matriz 
 
Ficha Nr. 2 
 
1- Uma matriz 3𝑥4 pode ser uma matriz identidade? Justifique a sua resposta. 
2- Verdadeiro ou falso: 
a. Se a matriz 𝐴 tiver inversa, então, sendo 𝐵 sua inversa, teremos 𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐼. 
b. Se 𝐴 foi uma matriz e 𝐵 outra tal que 𝐴 + 𝐵 = 0 então 𝐵 é a matriz inversa de 𝐴. 
c. Matriz nula é a matriz cuja diagonal principal possui zeros e o restante dos elementos 
diferentes de zero. 
d. A matriz identidade é a matriz que possui 1´s (uns) na diagonal principal e na secundário e, no 
restante dos elementos, possui zeros. 
 
3- Se 𝐴 for uma matriz triangular superior, qual é a transposta de 𝐴? 
 
4- Escreva a matriz coluna e a matriz linha do tipo 7𝑥1 tal que: 𝑎𝑖𝑗 = 2𝑖 + 3𝑗. 
 
5- Dada a matriz 𝐴 = [
−2 3 0 −1
5 −7 1 0
]. Calcule: 𝑎11 + 𝑎21 − 𝑎13 + 2𝑎22 
 
6- Julgue os itens a seguir se verdadeiros (V) ou falsos (F). 
a. ( ) Se uma matriz 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)3×3 é tal que 𝑎𝑖𝑗 = {
𝑖 + 𝑗, 𝑠𝑒 𝑖 > 𝑗
𝑖, 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗
𝑗, 𝑠𝑒 𝑖 < 𝑗
, então 𝐴𝑡 = [
1 2 3
3 2 5
4 3 3
] 
b. ( ) Sejam 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)2×3 e 𝐵 = (𝑏)𝑚×𝑛. Então para que exista a matriz 3𝐴 + 2𝐵, os valores de 
𝒎 e 𝒏 deverão ser, respectivamente, 2 e 3. 
c. ( ) Se 𝐴 = [
−1 −2
−1 3
], então 𝐴2 = [
1 4
1 9
]. 
d. ( ) A matriz identidade de ordem 2 é uma matriz diagonal, pois 𝐼𝑛 = [
1 4
1 9
]. 
"Jamais haverá ano novo se continuar a copiar os erros dos anos velhos." Luís de Camões 
Mestre Licínio Manuel Guido Mirassi 
7- Determine a matriz do tipo 3𝑥1 tal que 𝑎𝑖𝑗 =
1
3
𝑖 + 3𝑗. Determine a matriz transposta da obtida. 
8- Determine a matriz diagonal de ordem 5 tal que 𝑎𝑖𝑗 = 𝑖 – 𝑗. 
9- Se uma matriz 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)3×3 é tal que 𝑎𝑖𝑗 = {
𝑖 + 𝑗, 𝑠𝑒 𝑖 > 𝑗
𝑖, 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗
𝑗, 𝑠𝑒 𝑖 < 𝑗
, julgue os itens a seguir se verdadeiros 
(V) ou falsos (F): 
a) ( ) o produto dos elementos da diagonal principal da matriz A é igual a 6. 
b) ( ) a soma dos elementos da diagonal secundária da matriz A é igual a 9. 
c) ( ) os elementos da 3ª coluna da matriz A são todos iguais. 
d) ( ) os elementos da 1ª linha da matriz A estão em ordem crescente. 
 
10- Construa as seguintes matrizes: 
a) 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)3×3 tal que 𝑎𝑖𝑗 = {
1, 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗
0, 𝑠𝑒 𝑖 ≠ 𝑗
 ; 
b) C) 𝐶 = (𝑐𝑖𝑗)2×4 , tal que 𝑐𝑖𝑗 = {
𝑖 + 𝑗, 𝑠𝑒 𝑖 ≤ 𝑗
𝑖 − 𝑗, 𝑠𝑒 𝑖 > 𝑗
 
 
c) 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗)3×3 tal que 𝑏𝑖𝑗 = {
𝑖 + 2𝑗, 𝑠𝑒 𝑖 ≠ 𝑗
𝑖 − 3𝑗, 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗
; 
d) d)𝐷 = (𝑑𝑖𝑗)4×4, tal que 𝑑𝑖𝑗 = {
(−1)i+j, 𝑠𝑒 𝑖 ≠ 𝑗
 0, 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗
. 
11- Construa a matriz 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)3×2 tal que 𝑎𝑖𝑗 = {
1, 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗
𝑖2, 𝑠𝑒 𝑖 ≠ 𝑗
 
12- Seja a matriz 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)5×5
 
tal que 𝑎𝑖𝑗 = 5𝑖 − 3𝑗. Determine a soma dos elementos da diagonal 
principal dessa matriz. 
13- Dada uma matriz B, calcule x e y para que a mesma seja simétrica: 𝐵 = [
1 𝑥 2 − 𝑦
5 −1 −4
6 𝑦 0
]. 
14- Sejam as matrizes A e B, respectivamente, 3𝑥4 e 𝑝 𝑥 𝑞. Se a matriz 𝐴 ∙ 𝐵 é 3𝑥5, então é verdade que: 
 a) p = 5 e q = 5 b) p = 4 e q = 5 c) p = 3 e q = 5 
 d) p = 3 e q = 4 e) p = 3 e q = 3. 
15- Dadas as matrizes 𝐴 = [𝑎𝑖𝑗]2×2 tal que 𝑎𝑖𝑗 = 𝑖
𝑗 e 𝐵 = [𝑏𝑖𝑗]2×2 tal que 𝑏𝑖𝑗 = 𝑗
𝑖, determine: 
a) 1111 ba  b) ).( 221122 bba  c) 2121.ba 
16- Determine o elemento 𝑐46 da matriz 𝐶 = (𝑐𝑖𝑗)7𝑥7, em que 𝑐𝑖𝑗 =
(−2)𝑗−1 ∙
2𝑗
𝑖
  
i
j
c
ij
ij
2
.2

 . 
"Jamais haverá ano novo se continuar a copiar os erros dos anos velhos." Luís de Camões 
Mestre Licínio Manuel Guido Mirassi 
17- Observe a matriz 





















15525
0094
31363
101252
11101
A e responda: 
a) Qual a ordem da matriz? 
b) Escreva o elemento 𝑎22. 
c) Escreva sua transposta. 
d) Para que valores de 𝑖 tem-se 𝑎𝑖𝑗 = 0? 
 
18- Determine o traço de cada uma das matrizes abaixo: 
a) (−2 √3
4 3
) ∙ (−2 √3
4 3
) b) [
−√2 0 1
9 7 3
7 −3 3 + √2
] c) 
















29187
05155
93123
3191
 
19- As meninas 1 = Adriana; 2 = Bruna e 3 = Carla falam muito ao telefone entre si. A matriz M 
mostra cada elemento 𝑎𝑖𝑗 representando o número de telefonemas que “𝑖” deu para “𝑗” no mês de 
setembro: 𝑀 |
0 13 10
18 0 6
9 12 0
|. Quem mais telefonou e quem mais recebeu ligações? 
20- Determine x e y na igualdade [
𝑥 3
4 𝑦
] + [
−1 5
8 𝑦
] = [
4 8
12 −6
]. 
21- Dadas as matrizes 𝐴 = [
1 2 −3
4 5 6
] e 𝐵 = [
1 −2
3 0
4 −3
], determine 𝐴 + 2 ∙ 𝐵𝑇. 
22- Se A é uma matriz de ordem 2 e 𝐴𝑡 sua transposta, determine A tal que 𝐴 = 2 ∙ 𝐴𝑡. 
 
23- Suponha que A, B, C, D e E sejam matrizes das seguintes ordens, (4𝑥5), (4𝑥5), (5𝑥2), (4𝑥2) e 
(5𝑥4) respectivamente. Determine das expressões matriciais, quais estão definidas e dê a ordem da 
matriz resultante: 
a) 𝐵 ∙ 𝐴 b) 𝐸 ∙ (𝐴𝐶) c) (𝐴𝑡 + 𝐸) ∙ 𝐷 d) 𝐴 ∙ 𝐵 + B 
 
24- Dadas as matrizes 𝐴 = [
2 0
−1 1
3 4
] e 𝐵 = [
−1 2 3
0 1 0
], calcule (𝐴 + 𝐵𝑡 ) . (𝐴𝑡 – 𝐵) 
25- Dadas as matrizes: 𝐴𝑡 = (
0 2
−1 3
) e 𝐵𝑡 = (
−2 1
0 3
), determinar a matriz 𝑋, tal que 𝑋 = 𝐴2 − 𝐴𝐵 +
𝐼3 
"Jamais haverá ano novo se continuar a copiar os erros dos anos velhos." Luís de Camões 
Mestre Licínio Manuel Guido Mirassi 
26- Determine a e b para que a igualdade (𝑎 + 4 𝑏
3
10 7
) = (
2𝑎 𝑏
10 7
) seja verdadeira. 
27- Dadas as matrizes 𝐴 = (
3 1
4 −2
) 
 
e 𝐵 = (
𝑥 + 𝑦 𝑥 − 𝑦
1 −2
), determine x e y para que 𝐴 = 𝐵𝑡. 
28- Determine os valores de x e y na equação matricial: (
2 𝑥
𝑦 3
) + (
−4 −4
−7 5
) = 2 ∙ (
−1 2
−3 4
). 
29- Se (
3 −1
1 3
) ∙ (
𝑥
𝑦) = 4 ∙ (
1
2
), determine o valor de 𝑥 + 𝑦. 
30- Dada a matriz 𝐴 = [
1 −1 0
2 3 4
0 1 −2
], obtenha a matriz x tal que 𝑥 = 𝐴 + 𝐴𝑡. 
31- Determine os valores de x, y, z e w de modo que: 

















5- 8
0 1
1- 4
3 2
 w
y 
z
x
. 
 
32- Dadas as matrizes A = 





8 2 6
2- 4 0
, B = 





0 6- 12
9 6 3
 e C = 





2 1- 1
0 1- 0
, calcule o resultado 
das seguintes operações: 
a) 2A – B + 3C b) 





 CBA
3
1
2
1
 
33- Se a = 
4 3
1 2

, b = 
1 3
7 21

 e c = 
3 5
2- 1-
, determine A = a
2
 + b – c
2
. 
34- Dadas as matrizes A = 





2- 4
1 3
e B = 




 
2- 1
y- xyx
, determine x e y para que A = B
t
. 
35- Determine a, b, x e y, sabendo que: 
2 3 1
2 0 7
x y a b
x y a b
     
   
    
 
36- Considere as matrizes 
1 2 2 1
3 5 4
A e A B
x
   
     
   
. A soma dos elementos da primeira coluna da 
matriz B é igual a: 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 
37- Dada a matriz A = 










2- 1 0
4 3 2
0 1- 1
, obtenha a matriz x tal que x = A + A
t
. 
38- Dada a matriz A = 





x3
21
, dê a condição para que exista a inversa de A, em seguida em função de 
x determine a inversa de A. 
"Jamais haverá ano novo se continuar a copiar os erros dos anos velhos." Luís de Camões 
Mestre Licínio Manuel Guido Mirassi 
39- Encontre todos os valores de  que tornam a matriz A uma matriz singular. A= 
3
2
1 1
2 2 1
0
  
 
 
 
  
 
 
40- Calcule m e n para que a matriz B = 







 seja a inversa da matriz A = .







n
m
 
41- Encontre a inversa de A=













 e B=











814
312
201
.42- Uma matriz A é do tipo 3 𝑥 5, outra matriz B é do tipo 5 𝑥 2 e a matriz 𝐶 é do tipo 𝑚 𝑥 4. Qual o 
valor de 𝒎 para que exista o produto (𝐴 ∙ 𝐵) ∙ 𝐶? 
43- Dadas as matrizes 







31
53
A
 
e  04B obtenha X tal que 𝑿 ∙ 𝐴 = 𝐵. 
44- Calcule o valor de k para que as matrizes 𝐴 = (
5 4
2 𝑘
) e 𝐶 = (
2 3
6 𝑘
) não tenham inversas. 
 
45- A e B são matrizes e At é a matriz transposta de A. Se




















 

1
2
1
Be
2x
y1
32
A então a matriz At.B será 
nula para: 
 a) 𝑥 + 𝑦 = −3 b) 𝑥 ∙ 𝑦 = 2 c) 
𝑥
𝑦
= − 4 d) x . y2 = −1 e) 
y
x
= − 8 
46- Determine a e b para que a igualdade 






 
7 10
b 4 3a
= 





7 10
b 2a
seja verdadeira. 
47- Sejam A = 










2 0
1- 4
3 2
e B = 










5 8
1- 7
0 2
, determine (A + B)
t
. 
48- Dadas as matrizes A = 





2- 4
1 3
 e B = 




 
2- 1
y- xyx
, determine x e y para que A = B
t
. 
 
49- Resolva a equação matricial: 





















2 2 4
3 5 1
2 5 3
2- 1- 1
7 2 0
5 4 1
= x + 










 5 9 1
3- 1- 8
2 7 2
. 
50- Determine os valores de x e y na equação matricial: 





















4 3
2 1
.2
5 7
4- 4
3 
 x2
y
. 
"Jamais haverá ano novo se continuar a copiar os erros dos anos velhos." Luís de Camões 
Mestre Licínio Manuel Guido Mirassi 
 
51- Dadas as matrizes A = ,
5- 2
3 0






 B = 





1- 0
4 2
e C = 





 0 6
2 4
, calcule: 
a) 𝐴 + 𝐵 b) 𝐴 + 𝐶 c) 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 
 
52- Dada a matriz A = 










2- 1 0
4 3 2
0 1- 1
, obtenha a matriz x tal que x = A + A
t
. 
53- Determine os valores de m, n, p e q de modo que: 

















5 1
8 7
3q- 
n-n 
p 
2m 
qp
m
. 
 
54- Determine os valores de x, y, z e w de modo que: 

















5- 8
0 1
1- 4
3 2
 w
y 
z
x
. 
55- Calcule x e y , sabendo que 













16
7
3
32
yx
yx
. 
56- Julgue os itens a seguir se verdadeiros (V) ou falsos (F). 
a. ( ) (At)t = A, qualquer que seja a matriz A. 
b. ( ) A matriz transposta duma matriz identidade é sempre igual a ela mesma. 
c. ( ) Se M é uma matriz linha, então Mt é uma matriz coluna. 
d. ( ) para toda matriz diagonal M, temos que Mt = M. 
 
57- Dadas as matrizes 






110
52
A e 




 

15
3 yxyx
B , calcular x e y para que . 
58- Dadas as matrizes 







50
33
A , 








14
61
B e 







07
59
C , calcule: 
a) 𝐴 + 𝐵 b) 𝐴 – 𝐶 c) 𝐵 + 𝐶 + 𝐴 
59- Dada a matriz 













710
461
1012
A , obtenha a matriz X tal que tAAX  . 
60- Dadas as matrizes 













5
3
2
A e 











7
1
4
B , calcular a matriz X, tal que 0 BAX . 
61- Seja 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)2𝑥3, em que 𝑎𝑖𝑗 = 2𝑖 + 𝑗. Determine a, b e c em que 









71
24
cbb
caba
B , a fim 
de que tenhamos 𝐴 = 𝐵. 
tBA 
"Jamais haverá ano novo se continuar a copiar os erros dos anos velhos." Luís de Camões 
Mestre Licínio Manuel Guido Mirassi 
 
62- Dadas as matrizes 







31
53
A e  04B obtenha X tal que X.A = B. 
63- Determine x e y na igualdade 


















612
84
8
51
4
3
yy
x
 
64- Seja 𝐷 a matriz seguinte [
4 5
3 7
5 −3
] , encontre a matriz oposta de 𝐷. 
65- Resolva a equação matricial 

























42
31
91
2
3
5
02
3
3
1
Y . 
66- Determine 𝑋 em 4𝑋 + 3𝐴 = 𝐵𝑡 + 3𝑋, se 










2
3
4
0
3
1
A e 






57
32
B . 
67- Seja polinómio 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 − 11, e a matriz 𝐴 = [
1 −1
3 2
] determine o valor de 𝑓(𝐴). 
 
68- Dadas as matrizes 𝐴 = (
0 4 −2
6 2 8
), 𝐵 = (
−3 6 9
12 −6 0
) e C= (
0 −1 0
1 −1 2
) , calcule o resultado 
das seguintes operações: 
a) 𝐴 − 𝐵 + 3𝐶 b) 





 CBA
3
1
2
1
 
69- Efetue: 
a) 












 2
3
.
4 1
3- 5
 b) 











 3 0
1- 2
.
4 1
2 5
 c) 




















2 1 2
2 2 1
1 2 2
.
1 1 0
0 1 1
0 0 1
 
d) 













2
1
35
02
 e)  











0
3
3
512 f)  214
1
2
0












 
g) 




















012
201
022
210
011
201
 h)  











4
0
1
312 i) 











561
402
80
25
 
70- Dada a matriz A = 










1 0 0
0 0 1
0 1- 2
, calcule A
2
. 
71- Dadas as matrizes 











34
10
01
A e 𝐵 = (
−1 2 3
0 1 0
), calcule (𝐴 + 𝐵𝑡)(𝐴𝑡 − 𝐵). 
"Jamais haverá ano novo se continuar a copiar os erros dos anos velhos." Luís de Camões 
Mestre Licínio Manuel Guido Mirassi 
72- Considere as matrizes 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) e 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗), quadradas de ordem 2, com 𝑎𝑖𝑗 = 2𝑖 + 3𝑗 e 𝑏𝑖𝑗 =
−3𝑖 − 2𝑗. Sabendo que 𝐶 = 𝐴 + 𝐵, determine 𝐶2. 
73- Resolva a equação 𝐴 ∙ 𝑋 + 𝐵 = 𝐶, na qual 






12
94
A , 






8
7
B e 






3
2
C . 
74- Se A = 




sen
cos
 




cos
sen
obtenha 𝐴 ∙ 𝐴 
75- Sendo A= 


 3
2
 


3
1
, B = 


0
3
 


5
1
 e C = 


 2
4
 


1
1
, efetue: 
a) 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ 𝐶 b) 𝐴 ∙ (𝐵𝑡 x C) 
c) (A + B)∙C d) 𝐵 ∙(A – 𝐶𝑡) e) [(𝐴 – 𝐵) ∙ 𝐶]𝑡 
83- Dadas as matrizes A = 





a0
0a
 e B = 





1b
b1
, determine 𝑎 e 𝑏, de modo que 𝑨 ∙ 𝑩 = 𝑰. 
84- Duas matrizes quadradas de mesma ordem são inversas se o seu produto é igual à matriz identidade 
daquela ordem. Sendo 𝐴 = (
2 1
0 −1
) e 𝐵 = (
𝑥 𝑦
𝑧 𝑤
) matrizes inversas, o valor de 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑤 
é: 
a) 0 b) 1 c) – 2 d) 3 e) – 4 
85- Dada a matriz 𝐴 = (
3 7
2 5
), determine sua inversa e calcule 4 ∙ 𝐴−1 . 
86- Se x e y são números reais distintos e não nulos, a matriz 𝑋 = (
𝑥 1
𝑦 1
) admite inversa 𝑋−1 . A soma 
dos elementos de 𝑋−1 é: a) −2. b) −1. c) 1. d) 2. 
 
87- Determinar a inversa das matrizes: 
a) 𝐴 = (
4 3
1 0
) b) 











031
121
001
B 
88- Dadas as matrizes 






21
11
A e 






11
02
M : 
a) Determine 𝑀−1; 
b) Sabendo que a matriz traço duma matriz é a soma dos elementos da diagonal principal, determine 
o traço da matriz: 𝑀−1 ∙ 𝐴 ∙ 𝑀. 
"Jamais haverá ano novo se continuar a copiar os erros dos anos velhos." Luís de Camões 
Mestre Licínio Manuel Guido Mirassi 
 
89- Quais das matrizes abaixo são não-singulares? 
5 7 3
4 8 9
8 4 15
A
 
 
  
  
 
4 0 1
19 1 3
5 4 7
B
 
 
  
 
 
 
7 0 3
8 45 2
4 9 2
C
 
 
  
 
 
 
90- Ache as inversas das seguintes matrizes, se houver inversa: 
1 0
0 2
A
 
  
 
 
7 7
3 1
B
 
  
 
 
1 0 0
0 0 1
0 1 0
C
 
 
  
 
 
 
4 2 1
7 3 3
2 0 1
D
 
 
  
 
 
 
 E = 


3
2
 
 


7
4
 F= 


4
2
 


8
4
 G =





3
5
2
 
0
0
0
 





6
1
4
 
91- A inversa de (
𝑦 −2
−1 𝑥
) é a matriz (
𝑥 𝑥 − 3
𝑥 − 4 1
). Determine x e y . 
92- Verifica se a matriz A =










100
431
072
 é a matriz inversa da matriz B = 












100
821
2873
 
93- Determina o valor de x para que as matrizes sejam inversíveis: 
 a) 







23
2x
 b) 




 
42
13x
 c) 







x
x
29
4
 d) 











x
x
231
112
01