revisão trigonometria ime (1)

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1. (Ita 2021) Considere um triângulo ABC tal que m(AB) 14, 
3
cos(BAC)
5
 e 
5
cos(ABC) .
13
 Então, o raio da circunferência inscrita ao triângulo é igual a: 
a) 2. 
b) 2 2. 
c) 3. 
d) 4. 
e) 4 2. 
 
2. (Ita 2018) Com relação à equação 
3
2
tg x 3tgx
1 0,
1 3tg x

 

 podemos afirmar que 
a) no intervalo ,
2 2
π π 
 
 
 a soma das soluções é igual a 0. 
b) no intervalo ,
2 2
π π 
 
 
 a soma das soluções é maior que 0. 
c) a equação admite apenas uma solução real. 
d) existe uma única solução no intervalo 0, .
2
π 
 
 
 
e) existem duas soluções no intervalo , 0 .
2
π 
 
 
 
 
3. (Ime 2021) Seja a equação 22sen (e ) 4 3 sen(e )cos(e ) cos(2e ) 1,θ θ θ θ   .θ  O 
menor valor de θ que é raiz da equação é: 
a) n
6
π 
 
 
 
b) n
3
π 
 
 
 
c) 
5
n
6
π 
 
 
 
d) n
12
π 
 
 
 
e) 
5
n
12
π 
 
 
 
 
4. (Ime 2020) Todos os arcos entre 0 e 2π radianos que satisfazem a desigualdade 
 
1 3
senx cos x
2 2
   
 
estão compreendidos entre: 
a) 
12
π
 e 
6
π
 
b) 
5
12
π
 e 
7
12
π
 
c) 
2
3
π
 e 
5
6
π
 
d) 
3
π
 e 
2
π
 
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e) 
5
6
π
 e 
11
12
π
 
 
5. (Ime 2019) Os ângulos 1 2 3 100, , , ,θ θ θ θ são os termos de uma progressão aritmética na 
qual 11 26 75 90 .
4
π
θ θ θ θ    O valor de 
100
ii 1
sen θ

 
 
 
 é: 
a) 1 
b) 
2
2
 
c) 0 
d) 
2
2
 
e) 1 
 
6. (Ime 2019) Seja um triângulo ABC com lados a, b e c opostos aos ângulos ˆ ˆA, B e Ĉ, 
respectivamente. Os lados a, b e c formam uma progressão aritmética nesta ordem. 
Determine a relação correta entre as funções trigonométricas dos ângulos dos vértices desse 
triângulo. 
a) ˆ ˆˆ ˆ2 sen (A C) sen (A) sen (C)   
b) ˆ ˆˆ ˆ2 cos (A C) cos (A) cos (C)   
c) ˆ ˆˆ ˆ2 sen (A C) sen (A) sen (C)   
d) ˆ ˆˆ ˆ2 cos (A C) cos (A cos (C)   
e) ˆ ˆˆ ˆ2 cos (A C) sen (A) sen (C)   
 
7. (Ime 2017) No desenvolvimento de 
10
1
x sen 2 cos 2
x
β β
 
  
 
 o valor do termo independente 
de x é igual a 63 256. Considerando que β é um número real, com 0 8β π  e x 0, o 
valor de β é: 
a) 9π 
b) 12π 
c) 16π 
d) 18π 
e) 24π 
 
8. (Ime 2017) Calcule o valor de 
4 4
6 6
sen cos
,
sen cos
α α
α α


 sabendo-se que 
1
sen cos .
5
α α  
a) 
22
21
 
b) 
23
22
 
c) 
25
23
 
d) 
13
12
 
e) 
26
25
 
 
9. (Ime 2016) Em um triângulo ABC, o ponto D é o pé da bissetriz relativa ao ângulo A. 
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Sabe-se que 
 
AB
AC AD, r
AC
  e que C   
 
Portanto o valor de 2sen  é 
a) 
3r 1
4

 
b) 
3r 1
4r

 
c) 
r 3
4

 
d) 
3r 1
4r

 
e) 
3r 1
4

 
 
10. (Ime 2016) Seja a equação 
sen(2x) 1
.
tgx 2
 As soluções dessa equação para x ,
2
π
π
 
  
 
 
formam um polígono no círculo trigonométrico de área 
a) 
3
2
 
b) 3 
c) 
5 3
8
 
d) 
1
2
 
e) 1 
 
11. (Ime 2015) Os lados a, b e c de um triângulo estão em PA nesta ordem, sendo opostos 
aos ângulos internos A, B e C, respectivamente. Determine o valor da expressão: 
 
A C
cos
2
A C
cos
2


 
a) 2 
b) 2 
c) 2 2 
d) 3 
e) 4 
 
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Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: 
 [D] 
 
Temos que: 
 
 
 
   
2
2
3 3 4
cos A sen A 1
5 5 5
5 5 12
cosB senB 1
13 13 13
4 5 12 3 56
senC sen 180 A B sen A B
5 13 13 5 65
 
     
 
 
     
 
           
 
 
 
Aplicando a lei dos senos: 
14 14 65
2R R
56 8senC
65
    
 
Dada a relação 
r
cos A cosB cosC 1 ,
R
    e sabendo que 
2
56 33
cosC 1 ,
65 65
 
   
 
 
chegamos a: 
3 5 33 r
1
655 13 65
8
r 4
   
 
 
 
Resposta da questão 2: 
 [B] 
 
3
2
3tg x tg x
tg3x ,
1 3tg x



 logo, 
3
2
tg x 3tg x
tg3x .
1 3tg x

 

 
 
Então, a equação 
3
2
tg x 3tgx
1 0
1 3tg x

 

 é equivalente a equação tg3x 1 0.   
De tg3x 1 0, tg3 x 1.    
De tg3 x 1, 
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 
3x k , k
4
1 4k
x
12
π
π
π
  
 

 
 
De x ,
2 2
π π
   
 1 4k
2 12 2
7 5
k
4 4
ππ π 
  
  
 
 
Como k , k 1  ou k 0 ou k 1. 
Assim, no intervalo , ,
2 2
π π 
 
 
 há as soluções 
3
x , x
12 12
π π
   e 
5
x ,
12
π
 cuja soma é 
3
0.
12
π
 
 
É possível verificar que as alternativas [A], [C], [D] e [E] são incorretas. 
 
Resposta da questão 3: 
 [E] 
 
Desenvolvendo: 
 
2
2 2
2 2
2sen (e ) 4 3 sen(e )cos(e ) cos(2e ) 1
2sen (e ) 4 3 sen(e )cos(e ) 2cos (e ) 1 1
sen (e ) cos (e ) 3 2sen(e )cos(e ) 0
cos(2e ) 3 sen(2e ) 0
3
tg(2e )
3
2e k
6
k
e , k
12 2
θ θ θ θ
θ θ θ θ
θ θ θ θ
θ θ
θ
θ
θ
π
π
π π
  
   
   
  
 
  
   
 
 
Como e 0,θ  tomando k 1, chegamos a: 
5
e
12 2 12
5
n
12
θ π π π
π
θ
   
 
   
 
 
 
Resposta da questão 4: 
 [C] 
 
De 
1 3
sen x cos x ,
2 2
   segue que: 
3 1
sen x cos x
2
2 2 6 2
sen x cos x
2 2 4
6 2
sen x
4 4
π

 

 
 
  
 
 
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Como 0 x 2 ,π  
7
x
4 4 4
π π π
    
 
De 
6 2
sen x ,
4 4
π  
  
 
 
5 7
x
12 4 12
2 5
x
3 6
π π π
π π
  
 
 
 
Resposta da questão 5: 
 [D] 
 
Do enunciado, temos: 
 
 
100
1 100
i
i 1
100
i 1 100
i 1
100
2
50
θ θ
θ
θ θ θ


 

  


 
 
Da equação 11 26 75 90
4
π
θ θ θ θ    e sendo r a razão da progressão aritmética, temos 
 
1 100 1 100
11 26 75 90
11 90 26 75
10r 10r 25r 25r
1 100 1 100
1 100
1 100
4
4
10r 10r 25r 25r
4
2
4
8
θ θ θ θ
π
θ θ θ θ
π
θ θ θ θ
π
θ θ θ θ
π
θ θ
π
θ θ
   
   
   
       
  
 
 
 
Dessa forma, 
100
i
i 1
100
i
i 1
50
8
25
4
π
θ
π
θ


 



 
 
Logo, 
100
i
i 1
100
i
i 1
100
i
i 1
25
sen sen
4
sen sen
4
2
sen
2
π
θ
π
θ
θ



 
  
 
 
 
  
 
 
 
  
 
 



 
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Resposta da questão 6: 
 [A] 
 
Aplicando o teorema dos senos no triângulo ABC, 
a b c
ˆ ˆ ˆsen A senB senC
  
 
Então, 
b a c
ˆ ˆˆsenB sen A senC



 
 
Da PA (a, b, c), segue que: 2b a c.  
Portanto, 
   
 
 
b 2b
ˆ ˆˆsenB senA senC
ˆˆ ˆsenA senC 2senB
ˆ ˆˆ ˆsenA senC 2 sen A C
ˆ ˆˆ ˆsenA senC 2 sen A C
ˆ ˆˆ ˆ2sen A C senA senC
π


 
    
   
  
 
 
Resposta da questão 7: 
 [E] 
 
Utilizando o Binômio de Newton: 
 
10 p
10 p101 1
x sen 2 cos 2 x sen 2 cos 2
px x
β β β β
    
         
    
 
 
Como x está multiplicando no primeiro termo e dividindo no segundo, para obter o termo 
independente é necessário que os expoentes de x sejam iguais. Ou seja: 
 
     
     
5
5
independente
5 5 5
3 5
5 5 55
5
10 p p p 5
10 1
T x sen 2 cos 2
5 x
10 63 10 9 8 7 6 5! 7 9
sen 2 cos 2 sen 2 cos 2
5 256 5 4 3 2 5! 2 2
1 1 1
sen 2 cos 2 2 2sen 2 cos 2 sen 4
32 32 2
1
sen 4 0 4
82
β β
β β β β
β β β β β
ππβ β β
   
   
      
  
       
       
     
       
     
6 24
π
β 
 
 
Resposta da questão 8: 
 [B] 
 
Teremos: 
 
Relação 1: 
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 
 
2
2 2 2 2 2 4 2 2 4
2
24 4 4 4
4 4 4 4
sen cos 1 sen cos 1 sen 2 sen cos cos 1
1
sen cos 2 sen cos 1 sen cos 2 1
5
2 23
sen cos 1 sen cos
25 25
α α α α α α α α
α α αα α α
α α α α
          
 
          
 
     
 
 
Relação 2: 
 
 
 
3
2 2 2 2 3
6 2 2 2 2 6
2
26 6 6 6
6 6 6 6
sen cos 1 sen cos 1
sen 3 sen cos sen cos cos 1
1
sen cos 3 sen cos 1 sen cos 3 1
5
3 22
sen cos 1 sen cos
25 25
α α α α
α α α α α α
α α α α α α
α α α α
    
      
 
          
 
     
 
 
Logo, 
4 4
6 6
sen cos 23 22 23
25 25 22sen cos
α α
α α

  

 
 
Resposta da questão 9: 
 [D] 
 
Sendo x,α  pode-se desenhar, com base no enunciado: 
 
 
 
Nota-se que ABD é isósceles. Assim, pode-se escrever: 
 
 
2
22
2 2
b c b sen x
sen x sen 3x 180 c sen 3x
sen x 1 1
r 4 sen x 3
r4 sen x 3sen x 3 4 sen x
3r 1
sen x sen
4r
α
  
  

     
   

 
 
 
Resposta da questão 10: 
 [A] 
 
Reescrevendo a equação: 
 
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2 2
1
2
3
sen(2x) 2 sen x cos x cos x 1 1 1
2 cos x cos x cos x
tgx 1 sen x 2 4 2
x
1 3
cos x
2
x
3
x ,
22
x
3
π
π
π
π
π
 
        
 



 
       
 
Estes valores de x formam um triângulo retângulo em 
3
π
 com hipotenusa sobre o diâmetro 
(distância entre 
2
3
π
 e ).
3
π
 Assim, pode-se calcular comprimento dos catetos: 
2 2
1 2 1 2x x cos cos sen sen 2 sen x x 3
3 3 3 3 3
π π π π π      
               
      
 
 
 
2 2
2 3 2 3
2 2
x x cos cos sen sen 2 cos x x 1
3 3 3 3 3
π π π π π   
          
   
 
 
A área do triângulo será: 
1 2 2 3x x x x 1 3 3A A
2 2 2
 
    
 
Resposta da questão 11: 
 [B] 
 
Consideremos que R é o raio da circunferência circunscrita no triângulo, portanto através do 
Teorema dos Senos podemos escrever que a 2R sen A, b 2R senB  e c 2R senC. 
(a, b, c) é uma P.A.: a c 2b  
A C A C A C
cos 2 sen cos
sen A senC sen A senC2 2 2
A C A C A C A C senB
cos 2 sen cos sen 2
2 2 2 2
2R sen A 2R senC a c 2b
2
2R senB b b
  
 
 
   
    
   
 
 
   
 
 
 
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Resumo das questões selecionadas nesta atividade 
 
Data de elaboração: 12/08/2021 às 22:19 
Nome do arquivo: revis?o trigonometria ime 
 
 
Legenda: 
Q/Prova = número da questão na prova 
Q/DB = número da questão no banco de dados do SuperPro® 
 
 
Q/prova Q/DB Grau/Dif. Matéria Fonte Tipo 
 
 
1 ............. 198435 ..... Elevada ......... Matemática ... Ita/2021 ................................ Múltipla escolha 
 
2 ............. 176301 ..... Elevada ......... Matemática ... Ita/2018 ................................ Múltipla escolha 
 
3 ............. 195949 ..... Elevada ......... Matemática ... Ime/2021 .............................. Múltipla escolha 
 
4 ............. 189608 ..... Elevada ......... Matemática ... Ime/2020 .............................. Múltipla escolha 
 
5 ............. 183545 ..... Média ............ Matemática ... Ime/2019 .............................. Múltipla escolha 
 
6 ............. 183554 ..... Elevada ......... Matemática ... Ime/2019 .............................. Múltipla escolha 
 
7 ............. 164250 ..... Elevada ......... Matemática ... Ime/2017 .............................. Múltipla escolha 
 
8 ............. 164251 ..... Elevada ......... Matemática ... Ime/2017 .............................. Múltipla escolha 
 
9 ............. 149091 ..... Elevada ......... Matemática ... Ime/2016 .............................. Múltipla escolha 
 
10 ........... 149088 ..... Elevada ......... Matemática ... Ime/2016 .............................. Múltipla escolha 
 
11 ........... 141298 ..... Elevada ......... Matemática ... Ime/2015 .............................. Múltipla escolha