04 02 (Lista Teorema dos Senos, Teorema dos Cossenos e Outras Relações)

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Prof. Anderson Weber 
Matemática 
 
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Lista de Exercícios – Teorema dos Senos, Teorema dos Cossenos e Outras Relações 
 
1. (Ufrgs) Os lados de um losango medem 4 e um dos seus 
ângulos 30°. A medida da diagonal menor do losango é 
a) 2 2 3 .− b) 2 3 .+ 
c) 4 2 3 .− d) 2 2 3 .+ 
e) 4 2 3 .+ 
 
2. (Uece 2018) Se as medidas de dois dos lados de um 
triângulo são respectivamente 7 m e 5 2 m e se a 
medida do ângulo entre esses lados é 135 graus, então, a 
medida, em metros, do terceiro lado é 
a) 12. b) 15. 
c) 13. d) 14. 
 
3. (Uerj 2017) Ao coletar os dados para um estudo 
topográfico da margem de um lago a partir dos pontos A, 
B e T, um técnico determinou as medidas AT 32 m;= 
BT 13 m= e A B 1 ,T 20=  representadas no esquema 
abaixo. 
 
 
 
Calcule a distância, em metros, entre os pontos A e B, 
definidos pelo técnico nas margens desse lago. 
 
4. (Unesp) Uma pessoa se encontra no ponto A de uma 
planície, às margens de um rio e vê, do outro lado do rio, o 
topo do mastro de uma bandeira, ponto B. Com o objetivo 
de determinar a altura h do mastro, ela anda, em linha reta, 
50 m para a direita do ponto em que se encontrava e marca 
o ponto C. Sendo D o pé do mastro, avalia que os ângulos 
ˆBAC e ˆBCD valem 30 , e o ˆACB vale 105 , como mostra 
a figura: 
 
 
A altura h do mastro da bandeira, em metros, é 
a) 12,5. b) 12,5 2. 
c) 25,0. d) 25,0 2. 
e) 35,0. 
5. (Fuvest 2017) O paralelepípedo reto-retângulo 
ABCDEFGH, representado na figura, tem medida dos 
lados AB 4, BC 2= = e BF 2.= 
 
 
O seno do ângulo HAF é igual a 
a) 
1
2 5
 b) 
1
5
 
c) 
2
10
 d) 
2
5
 
e) 
3
10
 
 
6. (Unicamp 2017) Considere o triângulo retângulo ABD 
exibido na figura abaixo, em que AB 2 cm,= BC 1cm= e 
CD 5 cm.= Então, o ângulo θ é igual a 
 
 
 
a) 15 . b) 30 . 
c) 45 . d) 60 . 
 
7. (Ita 2016) Seja ABC um triângulo equilátero e suponha 
que M e N são pontos pertencentes ao lado BC tais que 
BM MN NC.= = Sendo  a medida, em radianos, do 
ângulo MAN, então o valor de cos é 
a) 
13
.
14
 b) 
14
.
15
 
c) 
15
.
16
 d) 
16
.
17
 
e) 
17
.
18
 
 
8. (Udesc 2015) Observe a figura. 
 
 
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Sabendo que os segmentos BC e DE são paralelos, que 
o ponto I é incentro do triângulo ABC e que o ângulo BIC 
é igual a 105 , então o segmento AC mede: 
a) 5 2 b) 
10 2
3
 
c) 20 2 d) 10 2 
e) 
20 2
3
 
 
9. (G1 - col. naval 2014) Considere que ABC é um 
triângulo acutângulo inscrito em uma circunferência L. A 
altura traçada do vértice B intersecta L no ponto D. 
Sabendo-se que AD 4= e BC 8,= calcule o raio de L e 
assinale a opção correta. 
a) 2 10 b) 4 10 
c) 2 5 d) 4 5 
e) 3 10 
 
10. (Unesp) No dia 11 de março de 2011, o Japão foi 
sacudido por terremoto com intensidade de 8,9 na Escala 
Richter, com o epicentro no Oceano Pacífico, a 360 km de 
Tóquio, seguido de tsunami. A cidade de Sendai, a 320 km 
a nordeste de Tóquio, foi atingida pela primeira onda do 
tsunami após 13 minutos. 
(O Estado de S.Paulo, 13.03.2011. Adaptado.) 
 
 
 
Baseando-se nos dados fornecidos e sabendo que 
cos 0,934  , onde  é o ângulo Epicentro-Tóquio-
Sendai, e que 8 22 3 93,4 215 100   , a velocidade média, 
em km/h, com que a 1ª onda do tsunami atingiu até a cidade 
de Sendai foi de: 
a) 10. b) 50. 
c) 100. d) 250. 
e) 600. 
 
11. (Fuvest) No losango ABCD de lado 1, representado na 
figura, tem-se que M é o ponto médio de AB , N é o ponto 
médio de BC e 14MN
4
= .Então, DM é igual a 
 
 
a) 
2
4
 b) 
2
2
 
c) 2 d) 
3 2
2
 
e) 
5 2
2
 
 
12. (Ufrgs) Sobre os lados de um triângulo retângulo 
constroem-se quadrados, conforme mostra a figura a 
seguir. 
 
Sendo "a" a medida da hipotenusa, "b" e "c" as medidas dos 
catetos, e P e Q os pontos representados na figura, então 
a distância entre P e Q é igual a 
a) ( )2 2a b .+ b) ( )2 22a b+ . 
c) ( )2 2a 2b+ . d) ( )2 23a b+ . 
e) ( )2 2a 3b+ . 
 
13. (Unicamp) Um triângulo retângulo de vértices A, B e C 
é tal que AC = 6 cm, AB = 8 cm e BC = 10 cm. Os segmentos 
AC, AB e BC também são lados de quadrados construídos 
externamente ao triângulo ABC. Seja O o centro da 
circunferência que circunscreve o triângulo e sejam D, E e 
F os centros dos quadrados com lados BC, AC e AB, 
respectivamente. 
a) Calcule os comprimentos dos segmentos DO, EO e FO. 
b) Calcule os comprimentos dos lados do triângulo de 
vértices D, E e F. 
 
 
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14. (Unicamp) Sejam A, B, C e N quatro pontos em um 
mesmo plano, conforme mostra a figura a seguir. 
 
a) Calcule o raio da circunferência que passa pelos pontos 
A, B e N. 
b) Calcule o comprimento do segmento NB. 
 
15. (Unicamp) O quadrilátero convexo ABCD, cujos lados 
medem, consecutivamente, 1, 3, 4 e 6 cm, está inscrito em 
uma circunferência de centro O e raio R. 
a) Calcule o raio R da circunferência. 
b) Calcule o volume do cone reto cuja base é o círculo de 
raio R e cuja altura mede 5 cm. 
 
16. (Ita 2018) Os lados de um triângulo de vértices A, B e 
C medem AB 3 cm, BC 7 cm= = e CA 8 cm.= A 
circunferência inscrita no triângulo tangencia o lado AB no 
ponto N e o lado CA no ponto K. Então, o comprimento 
do segmento NK, em cm, é 
a) 2. b) 2 2. 
c) 3. d) 2 3. 
e) 
7
.
2
 
 
17. (Unicamp) Sejam á, â e ã os ângulos internos de um 
triângulo. 
a) Mostre que as tangentes desses três ângulos não podem 
ser, todas elas, maiores ou iguais a 2. 
b) Supondo que as tangentes dos três ângulos sejam 
números inteiros positivos, calcule essas tangentes. 
 
18. (Unicamp) Na figura adiante, AB = AC = ℓ é o lado do 
decágono regular inscrito em uma circunferência de raio 1 
e centro O. 
a) Calcule o valor de ℓ. 
b) Mostre que cos 36° = 51
4
 
+  
 
. 
 
19. (Unicamp) Calcule a área de um triângulo em função 
de um lado ℓ e dos dois ângulos á e â a ele adjacentes. 
 
20. (Fuvest 2019) 
 
 
Conforme se vê na figura, em um plano, encontram-se: 
 
- duas retas perpendiculares r e s e o ponto O de 
intersecção dessas duas retas; 
- um ponto Q s tal que a medida de OQ é 5; 
- uma circunferência c, centrada em Q, de raio 1; 
- um ponto P c tal que o segmento OP intersecta c 
apenas em P. 
 
Denotam-se ˆQOPθ = e ˆOQP.β = 
a) Calcule sen ,θ no caso em que θ assume o máximo 
valor possível na descrição acima. 
b) Calcule sen ,θ no caso em que 60 .β =  
 
Ainda na figura, encontram-se: 
- a reta t contendo Q e P; 
- a semirreta u partindo de P e contendo O; 
- a semirreta w partindo de P para fora de c de modo que 
u e w estão em semiplanos distintos relativos a t. 
 
Supõe-se que os ângulos formados por u e t e por w e t 
sejam iguais a um certo valor ,α com 0 90 .α   Caso w 
intersecte r (como é o caso da figura), denotam-se R 
como esse único ponto de intersecção e ˆORP.γ = 
 
c) Determine a medida de OR, no caso em que 45 .α =  
 
 
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_______________________________________________ 
 
Gabarito: 
 
1. c) 2. c) 3. AB=40m. 
 
4. b) 5. e) 6. c) 
 
7. a) 8. d) 9. c) 
 
10. e) 11. b) 12. e) 
 
13. a) DO = 5 cm, EO = 7 cm e FO = 7 cm 
 b) DE = 2 29 cm, DF = 130 cm e EF = 7 2 cm 
 
14. a) 1 km 15. a) R=3 66 /8 cm 
 b) 2 km b) 495π/32 cm3 
 
16. a) 
 
17. a) α ≥ 63°;β ≥ 63°; γ ≥ 63°; α + β + γ ≥ 189. 
 b) 1, 2 e 3. 
18. a) ℓ = 
( )5 1
2
−
 
 b) ℓ2 = 12 + 12 - 2.1.1. cos 36°⇔ cos 36° = 
( )1 5
4
+
 
 
19. S = [ℓ2 sen α sen β]/[2 sen (α + β)] 
 
20. a) sen θ = 
1
5
 
 b) 
√7
14
 
 c) OR = 30.