Tarefa Complementar - Aulas 7 e 8 - PARTE 2 - Teorema Fundamental da Aritmética

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Tarefa Complementar – Matemática/ Frente 2 
Aulas 7 e 8 – Parte 2 – Teorema Fundamental da Aritmética 
 
Prof. Rodolfo Pereira Borges 
 
 
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1. ( cmrj 2018) Um torneio de xadrez terá alunos de escolas 
militares. O Colégio Militar de Campo Grande (CMCG) levará 
120 alunos; o Colégio Militar do Rio de Janeiro (CMRJ), 1 8 0; e 
o Colégio Militar de Brasília (CMB), 252. Esses alunos serão 
divididos em grupos, de modo que cada grupo tenha representantes 
das três escolas, e que o número de alunos de cada escola seja o 
mesmo em cada grupo. Dessa maneira, o maior número de grupos 
que podem ser formados é 
a) 10. 
b) 12. 
c) 15. 
d) 21. 
e) 46. 
 
2. (Upe-ssa 2017) Rodrigo estava observando o pisca-pisca do 
enfeite natalino de sua casa. Ele é composto por lâmpadas nas cores 
amarelo, azul, verde e vermelho. Rodrigo notou que lâmpadas 
amarelas acendem a cada 4 5 segundos, as lâmpadas verdes, a 
cada 6 0 segundos, as azuis, a cada 27 segundos, e as vermelhas 
só acendem quando as lâmpadas das outras cores estão acesas ao 
mesmo tempo. De quantos em quantos minutos, as lâmpadas 
vermelhas acendem? 
a) 6 
b) 9 
c) 12 
d) 15 
e) 18 
 
3. ( ifsc 2017) Roberto e João são amigos de infância e, sempre 
que podem, saem para pedalar juntos. Um dia, empolgados com a 
ideia de saberem mais sobre o desempenho da dupla, resolveram 
cronometrar o tempo que gastavam andando de bicicleta. Para 
tanto, decidiram pedalar numa pista circular, próxima à casa deles. 
Constataram, então, que Roberto dava uma volta completa em 24 
segundos, enquanto João demorava 2 8 segundos para fazer o 
mesmo percurso. Diante disso, João questionou: 
 
– Se sairmos juntos de um mesmo local e no mesmo momento, em 
quanto tempo voltaremos a nos encontrar, pela primeira vez, neste 
mesmo ponto de largada? 
 
Assinale a alternativa CORRETA. 
a) 3min8s 
b) 2min48s 
c) 1min28 s 
d) 2min28s 
e) 1min 48 s 
 
4. (Fac. Albert Einstein - Medicin 2017) Um torneio de xadrez terá 
alunos de 3 escolas. Uma das escolas levará 120 alunos; outra, 
180 alunos; e outra, 252 alunos. Esses alunos serão divididos em 
grupos, de modo que cada grupo tenha representantes das três 
escolas, e o número de alunos de cada escola seja o mesmo em 
cada grupo. Dessa maneira, o maior número de grupos que podem 
ser formados é 
a) 12 
b) 2 3 
c) 4 6 
d) 6 9 
 
5. (Uepg 2016) Considerando o número natural a tal que 
m.m.c.(a,15) 120 e m.d.c.(a,15) 5 e o número natural b , tal 
que m.m.c.(b,20) 140 e m.d.c.(b,20) 4, assinale o que for 
correto. 
01) m.m.c.(a,b) 280 
02) m.d.c(a,b) 4 
04) a e b são números pares. 
08) a b 
 
6. ( ifsul 2017) As corridas com obstáculos são provas de atletismo 
que fazem parte do programa olímpico e consistem em corridas que 
têm no percurso barreiras que os atletas têm de saltar. Suponha que 
uma prova tenha um percurso de 1.000 metros e que a primeira 
barreira esteja a 2 5 metros da largada, a segunda a 5 0 metros, e 
assim sucessivamente. 
 
Se a última barreira está a 2 5 metros da linha de chegada, o total 
de barreiras no percurso é 
a) 3 9 
b) 41 
c) 4 3 
d) 4 5 
 
7. ( cftmg 2017) Seja x um número inteiro, 0 x 60  e o 
conjunto 
60
A K | K .
x
    
 
 Nessas condições, o número 
máximo de elementos do conjunto A é 
a) 6. 
b) 8. 
c) 12. 
d) 16. 
 
8. (Unigranrio - Medicina 2017) Uma mulher tem três filhas 
matriculadas regularmente no ensino fundamental. O produto da 
sua idade com as idades de suas 3 filhas é 37.037. Desta forma, 
pode-se afirmar que a diferença entre as idades de sua filha mais 
velha e sua filha mais nova é 
a) 4 
b) 5 
c) 6 
d) 7 
e) 8 
 
9. (Famema 2020) Sílvia e Márcio moram em cidades diferentes no 
interior. Sílvia vai à capital uma vez a cada 10 dias, e Márcio vai à 
capital uma vez a cada 12 dias. A última vez em que eles se 
encontraram na capital foi um sábado. O próximo encontro dos dois 
na capital ocorrerá em 
a) uma terça-feira. 
b) uma quarta-feira. 
c) um domingo. 
d) um sábado. 
e) uma segunda-feira. 
 
 
 
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10. (cmrj 2020) A direção do Colégio Militar do Rio de Janeiro 
contratou uma empresa com o objetivo de construir uma nova sala 
para o Clube Literário. A sala terá 3,36 m de largura e 4,00 m 
de comprimento. No piso, o pedreiro vai colocar peças de cerâmica 
quadradas, do mesmo tamanho. 
 
Admitindo-se que não haverá perda de material, a menor 
quantidade dessas peças, que ele vai usar para cobrir 
completamente o piso, é um número 
a) ímpar e menor que 500. 
b) múltiplo de 10. 
c) maior que 570. 
d) igual a 525. 
e) primo. 
 
 
11. (ifce 2020) Um relógio A bate a cada 15 minutos, outro 
relógio B bate a cada 20 minutos, e um terceiro relógio C a cada 
25 minutos. O menor intervalo de tempo decorrido entre duas 
batidas simultâneas dos três relógios, em horas, é igual a 
a) 3. 
b) 6. 
c) 4. 
d) 5. 
e) 7. 
 
12. (Uerj 2020) Uma gerente de loja e seu assistente viajam com 
frequência para São Paulo e voltam no mesmo dia. A gerente viaja 
a cada 24 dias e o assistente, a cada 16 dias, regularmente. Em 
um final de semana, eles viajaram juntos. Depois de x viagens da 
gerente e y viagens do assistente sozinhos, eles viajaram juntos 
novamente. 
 
O menor valor de x y é: 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
 
13. (cp2 2020) Um estudante recebeu um kit para montagem de 
minirrobôs. Para a parte eletrônica, havia peças de três tipos 
diferentes, com as seguintes quantidades: 
 
 
 
O estudante distribuiu as peças em saquinhos, colocando um único 
tipo de peça em cada um deles, de modo que todos os saquinhos 
ficassem com a mesma quantidade de peças. 
 
Foram necessários para distribuir todas as peças, no mínimo, 
a) 17 saquinhos. 
b) 13 saquinhos. 
c) 9 saquinhos. 
d) 5 saquinhos. 
 
14. (Uerj 2020) Tem-se que o número 6 5 4 3 2 1a a a a a a é divisível 
por 11, se o valor da expressão 1 2 3 4 5 6(a a a a a a )     
também é divisível por 11. 
 
Por exemplo, 178409 é divisível por 11 porque: 
(9 0 4 8 7 1 11)      é divisível por 11. 
 
Considere a senha de seis dígitos 3894xy, sendo x e y 
pertencentes ao conjunto 
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. 
 
Se essa senha forma um número divisível por 99, o algarismo y é 
igual a: 
a) 9 
b) 8 
c) 7 
d) 6 
 
15. (cmrj 2020) 
 
Dona Ivani vendia ovos de galinhas caipiras na feira. Em um dia de 
bastante movimento, dois alunos do Colégio Militar, distraídos com 
uma conversa animada, esbarraram em sua barraca, derrubando-a e 
quebrando todos os ovos. Os dois, prontamente, pediram desculpas 
e se ofereceram para pagar o prejuízo de dona Ivani. 
 
A senhora, muito simpática, lembrou-se dos seus tempos de 
estudante e do quanto se divertia com os desafios matemáticos. 
Então, propôs aos dois um problema aritmético: 
 
“O número total de ovos quebrados foi maior que 200 e menor 
que 400. Se eu contar de dois em dois, de três em três, de quatro 
em quatro, de cinco em cinco e de seis em seis, sempre sobrará um. 
Mas se eu contar de sete em sete, não sobrará nenhum. Eu vendo 7 
ovos por R$ 8,50. Quanto vocês me devem ao todo pelos ovos 
quebrados?” 
a) R$ 325,00 
b) R$ 340,00 
c) R$ 365,50 
d) R$ 370,00 
e) R$ 385,00 
 
 
 
 
APROFUNDANDO 
 
 
1. ( cp2 2019) Maria adora séries de televisão e pretende assistir, 
durante um ano, a todos os episódios (de todas as temporadas e sem 
pular nenhum episódio) das suas três séries preferidas. Para isso, 
 
 
 
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ela assistirá a três episódios por dia, sendo um de cada série. Sabe-
se que cada temporada da série A tem 2 0 episódios, da série B 
tem 24 episódios e da série C tem 18 episódios. Nenhuma das 
três séries tem mais que 365 episódios ao todo. Ela decidiuque 
começará, hoje, a assistir ao 1º episódio da 1ª temporada de cada 
uma dessas três séries. Maria também sabe que haverá um certo dia 
X em que conseguirá, coincidentemente, assistir ao último 
episódio de alguma temporada das três séries. 
 
Ao final do dia X, Maria já terá assistido, ao todo, 
a) 12 temporadas completas das três séries. 
b) 15 temporadas completas da série A. 
c) 18 temporadas completas da série B. 
d) 2 0 temporadas completas da série C. 
 
2. ( cmrj 2018) Os povos indígenas têm uma forte relação com a 
natureza. Suponha que a tribo indígena Kayapó Gorotire, do Norte 
do Brasil, celebre o Ritual do Sol de 2 0 em 2 0 dias, o Ritual da 
Chuva de 6 6 em 6 6 dias, e o Ritual da Terra de 3 0 em 3 0 
dias. Se os três rituais acontecerem hoje, 10 de setembro de 2017, 
que é um domingo, o próximo dia da semana em que os três rituais 
serão celebrados juntos novamente será 
a) Sábado. 
b) Terça-feira. 
c) Quarta-feira. 
d) Quinta-feira. 
e) Sexta-feira. 
 
 
 
3. (Uepg 2017) Considerando que x e y são números naturais, 
tais que, m.m.c (x, y) 102 e m.d.c (x, y) 17, assinale o que for 
correto. 
01) x y 80.  
02) x e y são números pares. 
04) xy é um número divisível por três. 
08) xy é um número menor que 1.500. 
 
4. (Uel 2017) Os povos indígenas têm uma forte relação com a 
natureza. Uma certa tribo indígena celebra o Ritual do Sol de 2 0 
em 2 0 dias, o Ritual da Chuva de 6 6 em 6 6 dias e o Ritual da 
Terra de 3 0 em 3 0 dias. 
 
A partir dessas informações, responda aos itens a seguir. 
 
a) Considerando que, coincidentemente, os três rituais ocorram 
hoje, determine a quantidade mínima de dias para que os três 
rituais sejam celebrados juntos novamente. 
Justifique sua resposta apresentando os cálculos realizados na 
resolução deste item. 
b) Hoje é segunda-feira. Sabendo que, daqui a 3.960 dias, os três 
rituais acontecerão no mesmo dia, determine em que dia da 
semana ocorrerá esta coincidência. 
Justifique sua resposta apresentando os cálculos realizados na 
resolução deste item. 
 
 
 
5. ( col. naval 2017) O produto das idades de quatro irmãos é 
180. Além disso, todos os irmãos têm idades diferentes. Se o mais 
velho tem menos de 12 anos, é correto afirmar que a maior soma 
possível dessas quatro idades é igual a 
a) 16 
b) 19 
c) 2 0 
d) 22 
e) 2 5 
 
6. (Ebmsp 2017) Um grupo de pesquisadores, composto por 6 
médicos e seus 19 orientandos, recebeu, ao final de um projeto, 
como bonificação, uma quantia, em notas de R$100,00, a ser 
dividida entre eles de tal modo que metade fosse dividida, 
igualmente, entre os médicos e a outra metade fosse dividida, 
igualmente, entre os orientandos. 
 
Com base nessas informações, pode-se afirmar que a diferença 
entre os valores recebidos por um médico e um orientando foi, no 
mínimo, igual a 
a) R$1.300,00 
b) R$1.500,00 
c) R$ 2.000,00 
d) R$ 2.400,00 
e) R$ 3.000,00 
 
 
7. (Uece 2016) Ao fatorarmos o número inteiro positivo n, 
obtemos a expressão x yn 2 5 ,  onde x e y são números 
inteiros positivos. Se n admite exatamente 12 divisores positivos 
e é menor do que o número 1 9 9, então, a soma x y é igual a 
a) 5. 
b) 6. 
c) 7. 
d) 8. 
 
8. (Uefs 2016) Uma equipe de professores corrigiu, em três dias de 
correção de um vestibular, números de redações iguais a 7 0 2, 
728 e 585. Em cada dia, as redações foram igualmente divididas 
entre os professores. 
 
O número de professores na equipe é um divisor de 
a) 5 2 
b) 5 4 
c) 6 0 
d) 6 8 
e) 77 
 
9. (G1 - ifce 2016) O número x2 3 6 20   possui exatamente 
9 6 divisores inteiros positivos quando x é um número natural 
igual a 
a) 20. 
b) 14. 
c) 16 
d) 18. 
e) 12. 
 
10. (Acafe 2016) Um feirante deseja distribuir 576 goiabas, 43 2 
laranjas e 504 maçãs entre várias famílias de um bairro carente. A 
exigência do feirante é que a distribuição seja feita de modo que 
cada família receba o mesmo e o menor número possível de frutas 
de uma mesma espécie. 
 
 
 
 
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A quantidade total de frutas recebida por cada família representa 
um número: 
a) divisível por 9. 
b) múltiplo de 7. 
c) múltiplo de 12. 
d) entre 4 0 e 50. 
 
11. (Cefet MG 2015) Nas afirmações abaixo, os números a, b e 
n são inteiros positivos. Analise-as, atribuindo (V) para as 
verdadeiras e (F) para as falsas. 
 
( ) Se a e b deixam o mesmo resto quando divididos por n, 
então a b é múltiplo de n. 
( ) Se (a b) é múltiplo de n, então a e b são múltiplos de 
n. 
( ) Se (a b) é múltiplo de n, então a ou b é múltiplo de n. 
( ) Se d mdc(a,b) e m mmc(a,b), então m é múltiplo de 
d. 
 
A sequência correta encontrada é 
a) V, V, F, V. 
b) V, F, F, V. 
c) V, F, V, V. 
d) V, F, F, F. 
e) F, V, F, V. 
 
 
12. ( epcar 2021) Considere, em *, os seis menores números 
consecutivos tais que: 
 
- a soma dos três menores é igual ao número A; 
- a soma dos três maiores é igual ao número B; 
- o número A é divisível por 5; e 
- o número B é divisível por 6. 
 
Analise as afirmações a seguir e marque a única correta. 
a) A B é um número múltiplo de 12. 
b) O máximo divisor comum de A e B é um número maior que 
10. 
c) O produto de A por B é um número quadrado perfeito. 
d) O mínimo múltiplo comum de A e B é igual a 120. 
 
13. (Uerj 2020) Uma gerente de loja e seu assistente viajam com 
frequência para São Paulo e voltam no mesmo dia. A gerente viaja 
a cada 24 dias e o assistente, a cada 16 dias, regularmente. Em 
um final de semana, eles viajaram juntos. Depois de x viagens da 
gerente e y viagens do assistente sozinhos, eles viajaram juntos 
novamente. 
 
O menor valor de x y é: 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
 
14. (cmrj 2020) Três amigos, Marcelo, Márcio e João, estão na 
rodoviária do Rio de Janeiro, esperando os seus respectivos ônibus. 
Marcelo vai para São Paulo (SP), Márcio vai para Salvador (BA) e 
João vai para o Vitória (ES). Os ônibus partem para São Paulo, 
Salvador e Vitória de 12 em 12 minutos, de 2 0 em 2 0 minutos 
e de 18 em 18 minutos, respectivamente. O relógio abaixo nos 
mostra o último horário em que os três ônibus saíram juntos à tarde. 
 
 
 
Como os três amigos querem partir, para as suas cidades ao mesmo 
tempo, qual é a próxima hora em que isso será possível? 
a) 16h20min 
b) 17h15min 
c) 18h20min 
d) 19h15min 
e) 20h 20min 
 
15. (Uerj 2020) A soma de dois números naturais diferentes é 68. 
Ambos são múltiplos de 17. 
A diferença entre o maior número e o menor é: 
a) 3 5 
b) 3 4 
c) 3 3 
d) 3 2 
 
16. (Uece 2020) Assinale a opção que corresponde à quantidade de 
números inteiros positivos que são fatores do número 30.030. 
a) 3 2 
b) 3 4 
c) 6 4 
d) 6 6 
 
17. (ifce 2020) Um relógio A bate a cada 15 minutos, outro 
relógio B bate a cada 2 0 minutos, e um terceiro relógio C a 
cada 2 5 minutos. O menor intervalo de tempo decorrido entre 
duas batidas simultâneas dos três relógios, em horas, é igual a 
a) 3. 
b) 6. 
c) 4. 
d) 5. 
e) 7. 
 
 
 
GABARITO: 
 
 
Resposta da questão 1: 
 [B] 
 
Seja x o maior número de grupos que podem ser formados. 
Do enunciado, x divide 120,180 e 252. Como queremos o 
maior x possível, x é o máximo divisor dos números 120,180 
e 252. 
 
 
 
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Como mdc (120,180, 252) 12, o maior número de grupos que 
podem ser formados é 12. 
 
Resposta da questão 2: 
 [B] 
 
Transformando os tempos dados para minutos e calculando-se o 
mínimo múltiplo comum entre eles, tem-se: 
 
45 s 0,75 min
60 s 1min MMC 0,75; 1; 0,45 9
27 s 0,45min

  

 
 
Assim, a cada 9 minutos as lâmpadas vermelhas estarão acesas 
(pois todas as outrasestarão acesas ao mesmo tempo). Lembrando 
que para encontrar o MMC deve-se fatorar os números (dividir 
sucessivamente por números primos em ordem crescente). Ou seja: 
0,75 1 0,45 2
0,75 0,50 0,45 2
0,75 0,25 0,45 3
0,25 0,25 0,15 3
900
0,25 0,25 0,05 5 2 2 3 3 5 5 900 9
100
0,05 0,05 0,01 5
0,01 0,01 0,01






        







 
 
 
Resposta da questão 3: 
 [B] 
 
Para obter após quanto tempo os dois amigos se encontram na linha 
de chegada, basta obter o mínimo múltiplo comum (MMC) entre 
dos dois tempos. Ou seja: 
 
28 24 2
14, 12 2
7, 6 2
MMC(28, 24) 2 2 2 3 7 1 168
7, 3 3
7, 1 7
1, 1 1
        
 
Dividindo 168 segundos por 6 0 para obter o tempo em minutos 
temos: 
168
2,8 2 min
60
  e 4 8 segundos. 
 
Resposta da questão 4: 
 [A] 
 
O resultado pedido corresponde ao máximo divisor comum dos 
números 120,180 e 2 5 2, ou seja, 
3 2 2 2 2
2
mdc(120, 180, 252) mdc(2 3 5, 2 3 5, 2 3 7)
2 3
12.
      
 

 
 
Resposta da questão 5: 
 01 + 02 + 04 + 08 = 15. 
 
Sabendo que m.m.c.(p,q)m.d.c.(p,q) p q,  com p, q , 
temos 
 
m.m.c.(a,15) m.d.c.(a,15) a 15 a 15 120 5
a 40.
      
 
 
 
Analogamente, vem 
 
m.m.c.(b, 20) m.d.c.(b, 20) b 20 b 20 140 4
b 28.
      
 
 
 
[01] Verdadeira, pois 
3 2 3m.m.c.(40, 28) m.m.c.(2 5, 2 7) 2 5 7 280.       
[02] Verdadeira. De fato, pois 
3 2 2m.d.c.(40, 28) m.d.c.(2 5, 2 7) 2 4.     
[04] Verdadeira. É imediato que a 40 e b 28 são números 
pares. 
[08] Verdadeira. Com efeito, pois 40 28. 
 
Resposta da questão 6: 
 [A] 
 
Para obter o número total de barreiras, basta dividir o tamanho total 
do percurso pelo espaço que cada barreira está uma da outra, ou 
seja, 
1000 25 40.  
 
Porém, como a última barreira está a 2 5 metros da linha de 
chegada, deve-se subtrair uma barreira, logo: 
40 1 39  barreiras. 
 
Resposta da questão 7: 
 [C] 
 
De acordo com a lei de formação do conjunto A, concluímos que 
k é um divisor positivo de 60. Utilizando o processo de Euclides 
para determinar o número n de divisores positivos de 6 0, 
obtemos: 
 
A decomposição do 6 0 em fatores primos será dada por 
260 2 3 5,   portanto, o número de divisores de 6 0 será dado 
por: 
      n (2 1) (1 1) (1 1) 12. 
 
Resposta da questão 8: 
 [C] 
 
Fatorando-se o produto das idades, tem-se: 
37037 7
5291 11
481 13
37 37
1
 
 
 
 
 
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Logo, a idade da mãe será 3 7 anos e das filhas 7,11 e 13 anos. 
A diferença de idade entre a filha mais velha e a mais nova será de 
6 anos. 
 
Resposta da questão 9: 
 [B] 
 
Os dois se encontrarão novamente após 
2mmc(10, 12) mmc(2 5, 2 3) 60    dias. Assim, como 
60 8 7 4,   podemos concluir que o próximo encontro ocorrerá 
numa quarta-feira. 
 
Resposta da questão 10: 
 [D] 
 
Considerando que: 
3,36m 336cm e que 4,0m 400cm. 
 
Podemos determinar a medida do maior lado para a peça de 
cerâmica quadrada calculando o MDC entre 336 e 400. 
MDC(336, 400) 16. 
 
Número de peças utilizadas no comprimento: 400 : 16 25. 
Número de peças utilizadas na largura: 336 : 16 21. 
 
Portanto, o número de peças será dado por: 21 25 525.  
 
 
Resposta da questão 11: 
 [D] 
 
Devemos determinar o MMC(15, 20, 25). 
 
15 20 25 2
15 10 25 2
15 5 25 3
5 5 25 5
1 1 5 5
1 1 1
2 2 3 5 5 300 minutos.
300 min 5 horas 
    

 
 
Resposta da questão 12: 
 [C] 
 
Tem-se que 
3 4
4
mmc(24,16) mmc(2 3, 2 )
2 3
48.
 
 

 
 
Desse modo, a gerente e o assistente viajam juntos a cada 48 dias. 
Ao fim de quarenta e oito dias, a gerente realizou uma viagem 
sozinha e outra acompanhada pelo assistente, enquanto que o 
assistente realizou duas viagens sozinho e uma acompanhado da 
gerente. 
A resposta é    x y 1 2 3. 
 
Resposta da questão 13: 
 [B] 
 
Temos um total de 65 peças. Calculando o MDC entre 15, 20 e 
30 obtemos 5. 
Portanto, o total de saquinhos para distribuir as peças será dado 
por: 
65 5 13  
 
Resposta da questão 14: 
 [D] 
 
Se 3894xy é divisível por  99 9 11, então 3894xy é divisível 
por 9 e por 11. Logo, sendo ,α   temos 
y x 4 9 8 3 11 y x 11 ,α α         
 
o que implica em x y e 0.α  
 
Por conseguinte, sendo ,β vem 
9
3 8 9 4 y y 9 y 12.
2
β
β         
 
Donde segue que 
9
0 12 9 8 3 14
2
2 2
2 4
3 3
{3, 4}.
β
β
β
β
     
    
 
 
 
Finalmente, como β deve ser par, temos 4,β  o que implica em 
y 6. 
 
Resposta da questão 15: 
 [C] 
 
Considerando que n é o número de ovos quebrados e que 
200 n 400.  
Sabemos, pelas informações do problema, que n 1 é múltiplo de 
2, 3, 4, 5 e 6. 
Então, n 1 é múltiplo do MMC(2, 3, 4, 5, 6) 60. 
 
Portanto, n 1 poderá ser: 
240 ou 300 ou 360 (múltiplos de 60 maiores que 200 e 
menores que 400) 
 
n 1 240 n 241 (não é múltiplo de 7)
n 1 300 n 301 (é múltiplo de 7)
n 1 360 n 361 (não é múltiplo de 7)
   
   
   
 
 
Temos então, n 301. 
Portanto, o valor dos ovos quebrados será dado por: 
301
8,50 R$ 365,50
7
  
 
 
APROFUNDANDO 
 
 
 
 
 
Página 7 de 9 
Resposta da questão 1: 
 [D] 
 
Calculando: 
3 2
24 20 18 2
12 10 9 2
6 5 9 2 A 360 20 18 temporadas
3 5 9 3 MMC 2 3 5 360 B 360 24 15 temporadas
C 360 18 20 temporadas1 5 3 3
1 5 1 5
1 1 1




  
         
   



 
 
 
Resposta da questão 2: 
 [B] 
 
Como o Ritual do Sol é de 2 0 em 2 0 dias, o da Chuva é de 6 6 
em 6 6 dias e o da Terra é de 3 0 em 3 0 dias, os Rituais 
ocorrem simultaneamente a cada múltiplo do mmc(20,30,66), 
ou seja, a cada 6 60 dias. 
1 semana possui 7 dias. 
Note que 660 7 94 2,   logo, significa que passaram 9 4 
semanas mais 2 dois dias. 
Dado que os três rituais ocorreram juntos num domingo, eles 
voltarão a ocorrer juntos numa terça-feira. 
 
 
 
Resposta da questão 3: 
 01 + 04 = 05. 
 
Calculando: 
mmc(x, y) mdc(x, y) xy
102 17 xy xy 1734
 
   
 
 
Decompondo: 
17 x 17 2 341734
17 y 17 3 51102
2 ou6
3 x 17 6 1023
y 17 1 171
  
    
   
  
 
 
Analisando as alternativas uma a uma: 
 
[01] CORRETA. Calculando: 
x y 80
34 51 85 80
102 17 119 80
 
  
  
 
 
[02] INCORRETA. Apenas um dos números é par. 
 
[04] CORRETA. 1734 é divisível por 3. 
 
[08] INCORRETA. 1734 1500. 
 
Resposta da questão 4: 
 a) Calculando o mínimo múltiplo comum (MMC) dos três 
números dados: 
20 66 15 2
10 33 15 2
5 33 15 3
5 11 5 5
1 11 1 11
1 1 1
MMC 2 2 3 5 11 660     
 
 
Assim, como o MMC é igual a 6 6 0, então apenas daqui a 
6 60 dias os três rituais serão celebrados juntos novamente. 
 
b) Sabendo-se que os dias da semana se repetem de 7 em 7, 
pode-se dividir o intervalo dado por 7 (número de semanas 
completas) e depois verificar o resto. Ou seja: 
3960 7 565(semanasinteiras)eresto5dias  
Assim, iniciando-se pela segunda-feira (dia 0), no quinto dia 
ocorrerá novamente a coincidência citada, portanto no sábado (dia 
5). 
 
Resposta da questão 5: 
 [D] 
 
O número 180 pode ser decomposto da seguinte forma. 
 
2 2180 2 3 5 1
180 2 5 (3 3) 2 1
   
     
 
 
Portanto, as maiores idades, considerando as condições 
apresentadas no problema, são: 
10, 9, 2 e 1, ou seja a maior soma para estas 4 idades é 22. 
 
Resposta da questão 6: 
 [A] 
 
O valor total em notas de 100 será representado por 100n, onde 
n é o número de notas. 
 
A diferença entre o valor recebido por um médico e o valor 
recebido por um orientando será dada por: 
 950 300 n50n 50n 650 n
6 19 114 114
  
   
 
Considerando: 
650 n
n 114 650 (não é múltiplo de 100)
114
650 n
n 228 1300 (múltiplo de 100)
114

  

  
 
 
Portanto, a diferença pedida é no mínimo R$ 1.300,00. 
 
 
Resposta da questão 7: 
 [B] 
 
Se o número de divisores positivos de n é igual a 12, então 
(x 1) (y 1) 12.   Logo, sendo x e y inteiros positivos, temos 
 
 
 
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(x, y) {(1, 5), (2, 3), (3, 2), (5,1)}. Porém, como n 199, só pode 
ser x 5 e y 1. Daí, segue que x y 5 1 6.    
 
Resposta da questão 8: 
 [A] 
 
O número de professores corresponde ao máximo divisor comum 
dos números de redações. Portanto, desde que 3702 2 3 13,   
3728 2 7 13   e 2585 3 5 13,   temos 
mdc(702, 728, 585) 13. Logo, como 52 4 13,  segue o 
resultado. 
 
Resposta da questão 9: 
 [E] 
 
x x 2 x 3 22 3 6 20 2 3 3 2 2 5 2 3 5            
 
O número de divisores positivos será dado por: 
(x 3 1) (2 1) (1 1) 96
(x 4) 6 96
x 4 16
x 12
      
  
 

 
 
Resposta da questão 10: 
 [B] 
 
Fatorando as quantidades de goiabas, laranjas e maçãs, tem-se: 
 
6 2
4 3 3 2
3 2
576 2 3
432 2 3 MDC 432,504,576 2 3 72 famílias
504 2 3 7
 
    

   
 
 
Assim, cada família receberá: 
576 72 8 goiabas
432 72 6 laranjas
504 72 7 maçãs
 
 
 
 
 
Somando as frutas que cada família receberá tem-se o número 21, 
que é múltiplo de 7. 
 
Resposta da questão 11: 
 [B] 
 
Se a e b deixam o mesmo resto quando divididos por n, então 
a nx r  e b ny r,  com x sendo o quociente da divisão de 
a por n, y sendo o quociente da divisão de b por n e r o resto 
comum. Logo, segue que a b n(x y)   e, portanto, a b é 
múltiplo de n. 
 
Sejam a 7, b 4 e n 3. Tem-se que 7 4 3  é múltiplo de 
3. Porém, nem 7 e nem 4 são múltiplos de 3. 
 
Sejam a 2, b 3 e n 6. É claro que 2 3 6  é múltiplo de 
6. Contudo, nem 2 e nem 3 são múltiplos de 6. 
 
Se d mdc(a, b), então a d r  e b d s,  em que r e s são 
inteiros positivos. Além disso, lembrando que 
mmc(p, q) mdc(p, q) p q,   com p e q sendo inteiros 
positivos, temos 
 
d m a b d m (d r) (d s)
m (r s) d
m k d, k .
        
   
   
 
 
Portanto, m é múltiplo de d. 
 
Resposta da questão 12: 
 [D] 
 
Vamos considerar seis números naturais consecutivos e não nulos. 
x, x 1, x 2, x 3, x 4, x 5.     
 
A soma dos três menores será dada por A 3x 3.  
 
A soma dos três maiores será dada por B 3x 12.  
 
Por tentativa e erro, para que A seja múltiplo e 5 e B seja múltiplo 
de 6, devemos considerar x 4. 
Portanto, A 15 e B 24. 
 
Podemos, então analisar as afirmações: 
[A] Falsa, 5 24 39  não é múltiplo de 12. 
[B] Falsa, o máximo divisor comum entre 15 e 24 é 3 10. 
[C] Falsa, pois o produto de 15 por 24 é 360, que não é um 
quadrado perfeito. 
[D] Verdadeira. O mínimo múltiplo comum de 15 e 24 é 120. 
 
Resposta da questão 13: 
 [C] 
 
Tem-se que 
3 4
4
mmc(24, 16) mmc(2 3, 2 )
2 3
48.
 
 

 
 
Desse modo, a gerente e o assistente viajam juntos a cada 48 dias. 
Ao fim de quarenta e oito dias, a gerente realizou uma viagem 
sozinha e outra acompanhada pelo assistente, enquanto que o 
assistente realizou duas viagens sozinho e uma acompanhado da 
gerente. 
A resposta é    x y 1 2 3. 
 
Resposta da questão 14: 
 [A] 
 
Calculando o MMC(12, 18, 20) obtemos 180 minutos, ou seja, 3 
horas. 
 
Logo, o próximo horário em que os ônibus sairão juntos será: 
13h e 20min 3h 16h 20min  
 
 
 
Resposta da questão 15: 
 [B] 
 
 
 
 
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Sejam os números naturais 17α e 17 ,β com 0.α β  Tem-se 
que 
17 17 68 4α β α β     
 
Portanto, só pode ser 3α  e 1.β  
A resposta é 
17 17 17(3 1) 34.α β    
 
Resposta da questão 16: 
 [C] 
 
Sendo 30030 2 3 5 7 11 13,      podemos concluir que a 
resposta é 
6 vezes
(1 1) (1 1) (1 1) 64.       
 
Resposta da questão 17: 
 [D] 
 
Devemos determinar o MMC(15, 20, 25). 
 
15 20 25 2
15 10 25 2
15 5 25 3
5 5 25 5
1 1 5 5
1 1 1
2 2 3 5 5 300 minutos.
300 min 5 horas 
    
