Folhas - 43 questões

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A média aritmética dos elementos de um conjunto formado por n valores numéricos diminui 
quatro unidades quando o número 58 é retirado. Quando o número 57 é adicionado ao 
conjunto original, a média aritmética dos elementos desse novo conjunto aumenta três 
unidades em relação a média inicial. Qual o valor da soma dos elementos originais do 
conjunto? 
 
Em um grupo de 57 pessoas, 3 pessoas gostam de arroz-doce, brigadeiro e cocada; 7 
pessoas gostam de brigadeiro e cocada; 8 pessoas gostam de arroz-doce e cocada; 10 
pessoas gostam de arroz-doce e brigadeiro. O total de pessoas do grupo que gostam de 
cocada é 15, de brigadeiro é 25 e de arroz-doce é 30. Calcule o número de pessoas do 
grupo que: 
a) gostam de pelo menos um dos três doces; 
b) não gostam de nenhum dos três doces; 
c) gostam de arroz-doce, mas não gostam nem de brigadeiro nem de cocada. 
 
O gráfico a seguir representa, em um semicírculo, como foi a evolução do Ideb (Índice de 
Desenvolvimento da Educação Básica) de 2011 em comparação ao Ideb de 2007, 
considerando-se as 2 700 escolas públicas brasileiras que obtiveram as menores notas em 
2007. 
Pelo gráfico, sabe-se que as escolas que melhoraram mas não atingiram a média nacional 
são representadas pelo setor circular determinado por um ângulo de 140° e que os setores 
circulares que indicam as escolas que mantiveram a mesma nota e as que pioraram 
correspondem a 2/35 e 1/7, respectivamente, da área do setor circular que indica as 
escolas que tiveram melhora, mas não atingiram a média nacional. Diante do exposto, 
determine o número das escolas que melhoraram e atingiram a média, das que 
mantiveram a nota e das que pioraram. 
 
A heparina é um medicamento de ação anticoagulante prescrito em diversas patologias. De 
acordo com a indicação médica, um paciente de 72 kg deverá receber 100 unidades de 
heparina por quilograma por hora (via intravenosa). 
No rótulo da solução de heparina a ser ministrada, consta a informação 10.000 unidades/50 
mL. 
a) Calcule a quantidade de heparina, em mL, que esse paciente deverá receber por hora. 
b) Sabendo que 20 gotas equivalem a 1 mL, esse paciente deverá receber 1 gota a cada x 
segundos. Calcule x. 
 
O sr. José dispõe de 180 metros de tela para fazer um cercado retangular, aproveitando, 
como um dos lados, parte de um extenso muro reto. O cercado compõe-se de uma parte 
paralela ao muro e três outras, perpendiculares e ele (ver figura). 
 
Para cercar a maior área possível, com a tela disponível, quais são os valores de x e y, 
respectivamente? 
 
Em um mercado de pescados, o gerente sabe que, quando o quilograma de peixe de 
primeira qualidade é anunciado, no início do dia, por um preço de p reais, o mercado vende 
uma quantidade n = 400 − 5p quilogramas nesse dia (20 ≤ p ≤ 60). 
 
No fim do dia, a quantidade de quilogramas vendidos é conhecida e o gerente paga ao 
fornecedor a quantia de 200 reais mais 10 reais por quilograma vendido. 
 
a) Determine a quantia que o gerente arrecada, quanto paga ao fornecedor e qual é o seu 
lucro quando anuncia o preço p = 32 reais por quilograma. 
b) Determine o preço que o gerente deve anunciar para que seu lucro seja máximo. 
Dadas as funções reais definidas por f(x) = |x|2 – 4|x| e g(x) = |x2 – 4x|: 
a) esboce o gráfico de cada uma dessas funções; 
b) determine o conjunto solução da equação f(x) = g(x). 
Considere a função h(x) = a (x – b)2. Sabe-se que o gráfico de h contém os pontos (1, 0) e 
(0, 2). 
 
a) Determine os valores das constantes a e b. Justifique sua resposta. 
 
b) Sabendo-se que h(x) = (fog)(x), em que f(x) = 2x2 e g(x) é uma função afim decrescente, 
determine g(3). Justifique sua resposta. 
 
c) Resolva a equação f(x) – h(x) = |x|. 
O gráfico a seguir corresponde a uma função exponencial da forma f(x) = 2ax +b, sendo a e 
b constantes e x ∈ IR. 
a) Calcule os valores a e b da expressão de f(x) que correspondem a esse gráfico. 
b) Calcule o valor de x para o qual se tem f(x) = 1. 
c) Dado k > 0 qualquer, mostre que o ponto x = log2(4k
2) satisfaz a equação f(x) = k. 
 
Para certo modelo de computadores produzidos por uma empresa, o percentual dos 
processadores que apresentam falhas após T anos de uso é dado pela seguinte função: 
P(T) = 100(1 − 2− 0,1T) 
a) Em quanto tempo 75% dos processadores de um lote desse modelo de computadores 
terão apresentado falhas? 
b) Os novos computadores dessa empresa vêm com um processador menos suscetível a 
falhas. Para o modelo mais recente, embora o percentual de processadores que 
apresentam falhas também seja dado por uma função na forma Q(T) = 100(1 − 2CT), o 
percentual de processadores defeituosos após 10 anos de uso equivale a 1/4 do valor 
observado, nesse mesmo período, para o modelo antigo (ou seja, o valor obtido 
empregando-se a função P(T) acima). Determine, nesse caso, o valor da constante c. Se 
necessário, utilize log2(7) ≈ 2,81. 
 
Em uma progressão aritmética a1, a2, ..., an, ... a soma dos n primeiros termos é dada por 
Sn = bn
2 + n, sendo b um número real. Sabendo-se que a3 = 7, determine: 
a) o valor de b e a razão da progressão aritmética; 
b) o 20o termo da progressão; 
c) a soma dos 20 primeiros termos da progressão. 
 
Em uma sequência de 8 números, a1, a2, ..., a7, a8, os 5 primeiros termos formam uma 
progressão aritmética (PA) de primeiro termo 1; os 3 últimos formam uma progressão 
geométrica (PG) de primeiro termo 2. 
Sabendo que a5 = a6 e a4 = a7: 
a) determine as razões da PA e da PG; 
b) escreva os oito termos dessa sequência. 
 
Considere os números complexos z = 1 + i e = 1 – i, sendo i = -1 a unidade imaginária. 
a) Escreva os números z3 e 4 na forma x + iy. 
b) Sabendo que z, e 2 são raízes do polinômio P(x) = x3 + ax2 + bx + c, calcule os valores 
de a, b e c. 
 
z
z
O polinômio p(x) = x3 – 2x2 – 9x + 18 tem três raízes: r, –r e s. 
a) Determine os valores de r e s. 
b) Calcule p(z) para z = 1 + i, onde i é a unidade imaginária. 
 
Uma bola de bilhar, inicialmente em repouso em um ponto P, situado na borda de uma 
mesa de bilhar com formato circular, recebe uma tacada e se desloca em um movimento 
retilíneo. A bola atinge a borda no ponto R e é refletida elasticamente, sem deslizar. Chame 
de Q o ponto da borda diametralmente oposto a P e de θ a medida do ângulo QPR. 
a) Para qual valor de θ, após a primeira reflexão, a trajetória da bola será paralela ao 
diâmetro PQ? 
b) Para qual valor de θ, após a primeira reflexão, a trajetória da bola será perpendicular a 
PQ? 
c) Supondo agora que 30° < θ < 60°, encontre uma expressão, em função de θ, para a 
medida α do ângulo agudo formado pela reta que contém P e Q e pela reta que contém a 
trajetória da bola após a primeira reflexão na borda. 
 
Gerard Stenley Hawkins, matemático e físico, nos anos 1980, envolveu-se com o estudo 
dos misteriosos círculos que apareceram em plantações na Inglaterra. Ele verificou que 
certos círculos seguiam o padrão indicado na figura a seguir, isto é, três círculos 
congruentes, com centros nos vértices de um triângulo equilátero, tinham uma reta 
tangente comum. 
 
Nestas condições, e considerando-se uma circunferência maior que passe pelos centros 
dos três círculos congruentes, calcule a razão entre o raio da circunferência maior e o raio 
dos círculos menores. 
 
 
Sejam x e y dois números reais, com 0 < x < /2 e /2 < y < , satisfazendo sen y = 4/5 e 
11 sen x + 5 cos (y – x) = 3. 
Nessas condições, determine: 
a) cos y; 
b) sen 2x.