Os porquês parte 6 (sentenças matemáticas)

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Oswaldo K. Watanabe 2000 1 
 1 
SENTENÇAS MATEMÁTICAS 
 
 Assim como na língua portuguesa, que aprendemos as palavras, as funções e como 
usá-las para depois formarmos as expressões, e através das relações formarmos as 
sentenças ou frases, os períodos, etc., na Matemática também aprendemos os numerais, 
os símbolos operatórios, as expressões, os símbolos das relações para depois formarmos 
as sentenças. 
 Com o aparecimento da Teoria dos Conjuntos, que também foi chamada de 
Matemática Moderna no Brasil, nos anos 60, aumentam os símbolos utilizados nas 
escritas matemáticas, pois assim como na taquigrafia e na escrita japonesa, aparecem 
símbolos que traduzem uma sentença ou um conjunto de palavras, fazendo com que 
haja uma diminuição no trabalho manual da escrita, como por exemplo: 
 
  = símbolo que representa: “qualquer que seja” ou “para todo”. 
  = símbolo que representa: “existe pelo menos um”. 
  = símbolo que representa: “está contido”. 
 = símbolo que representa: “tal que”. 
 
Por se tratar de uma linguagem, a escrita matemática pode ser traduzida para a nossa 
linguagem cotidiana, assim como podemos também fazer a versão da nossa 
linguagem cotidiana para a matemática. 
 
 Exemplos: 
 
1) O dobro de um valor desconhecido ou uma quantidade desconhecida: 2x 
2) A reta r é paralela a reta s: rs 
3) O quadrado de um número adicionado com o seu quíntuplo é igual a seis: 
x2 + 5x = 6 
4) Se tenho 21 veículos entre motos e automóveis, num total de 62 rodas visíveis, 
então, se x é o número de automóveis e y o número de motos, podemos escrever: 
 x + y = 21 e 4x + 2y = 62. 
 
Exercícios sobre sentenças com expressões literais 
 
1) Escreva em linguagem matemática: 
 
a) A soma entre dois números é igual a 7. 
b) O dobro de uma certa quantidade diminuída de 5 é maior que 7. 
c) O quadrado da soma entre dois números é 25. 
d) A soma entre os quadrados de dois números é menor que 100. 
e) A quantidade de automóveis somada com a de motos é igual a 32. 
f) A reta r é paralela a reta s. 
g) A reta t é perpendicular a reta s. 
h) A relação entre o número de patas de cavalo e o numero de cavalos. 
i) A relação entre o número de portas de um prédio em relação ao número de 
apartamentos deste mesmo prédio, sabendo se que cada apartamento tem 13 portas. 
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 2 
 
2)Traduzir em linguagem do cotidiano, as sentenças matemáticas, onde o x representa 
um número, y um outro número, s o espaço percorrido por um móvel, s0 o espaço já 
percorrido, v a velocidade do móvel, v0 a velocidade inicial do móvel, a a aceleração do 
móvel e t o tempo de movimento do móvel. 
a) 3(x + y) – 5 = 20. 
b) S = s0 + vt 
c) V = v0t + 0,5at2. 
d) (x – y)3  20. 
e) x2 - y2  30 
f) 3x + 2y = 42 
g) v = (s – s0)/t 
 
 
 
Expressão numérica é um conjunto de operações ou simplesmente um número. 
Expressão algébrica literal é um conjunto de operações com números e letras ou 
simplesmente uma letra 
 
Exemplos: 
 
1) 2.3 + 6:3 -4 
2) 5 
3) 2x 
4) 3x + 2y 
5) 4a{12b – 5[(3d – c) : (2bc + 3)]} 
 
 
Sentença matemática é uma relação entre duas expressões. 
 
Exemplos: 
 
1) 2 + 3  4 
2) 20 + 30 = 60 
3) 2x – 3 = 7 
4) x2 – 5x + 6 = 0 
5) r // s 
6) t ⊥ s 
 
Vejam que no momento em que colocarmos uma resposta correta ou não, formamos 
uma sentença. 
 
 
 
 
 
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Relações mais usadas: 
 
- Igualdade ( = ) 
- Desigualdade ( , , , ,  ) 
- É paralelo (  ) 
- É perpendicular ( ⊥ ) 
- Etc. 
 
Existem sentenças que podem ser classificadas em verdadeiras ou falsas. 
 
As sentenças que apresentam letras ou símbolos não numéricos nas suas composições 
são chamadas de sentenças abertas. E as sentenças que são formadas só por números 
são chamadas de sentenças fechadas. 
As sentenças fechadas podem ser classificadas de verdadeiras ou falsas e algumas 
sentenças formadas por letras, as identidades como dos produtos notáveis, identidades 
trigonométricas e propriedades também pode ser classificadas de falsas ou verdadeiras. 
 
Exemplos: 
 
1) 2 + 3  4 (sentença fechada e verdadeira). 
2) 30 + 20 = 60 (sentença fechada e falsa) 
3) 2x – 3 = 7 (sentença aberta) 
4) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (sentença aberta e verdadeira) 
5) sen2x + cos2x = 1 (sentença aberta e verdadeira) 
6) x2 –7x + 10 = 0 (sentença aberta) 
 
Ao atribuirmos valores as letras, nas sentenças abertas, temos condições de verificar se 
este valor faz com que ela fique verdadeira ou falsa. 
 
Exemplo: 
 
Na sentença aberta 2x – 3 = 7, se atribuirmos a x o valor: 
0 (zero), a sentença fica 2.0 – 3 = 7, que é falsa. 
2, a sentença fica 2.2 – 3 = 7, que também é falsa. 
5, a sentença fica 2.5 – 3 = 7, que é verdadeira. 
 
Solução de uma sentença aberta 
 
O conjunto solução de uma sentença matemática aberta, é o conjunto de valores que 
substituídos nos lugares das letras (incógnitas) fazem com as mesmas fiquem 
verdadeiras. 
 
 
 
 
 
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Exemplos: 
 
1) na sentença 3x + 7 = 151, o x = 48 é solução, pois 3.48 + 7 = 151. 
 2) na sentença x2 - 5x + 4 = 0, x = 4 e x = 1 são soluções, pois 42 - 5.4 + 4 = 0 e 
 12 -5.1 + 4 = 0. 
3) na sentença x + 2 > 5, temos infinitas soluções, pois se substituirmos qualquer 
número maior que 3 no lugar de x, a sentença ficará verdadeira. ( x > 3 ). 
 
 
 As sentenças abertas estão divididas em equações e inequações. 
 A palavra equação tem origem na igualdade, isto é, são sentenças onde a relação entre 
as expressões é a igualdade. 
 
O QUE É RESOLVER UMA EQUAÇÃO??? 
 
Resolver uma equação é achar ou encontrar suas soluções. 
 
 Nas equações do primeiro grau, isto é, nas equações onde x aparece como 
numerador e com expoente 1, resolvê-la é escrever uma sentença mais simples equivalente, 
usando as propriedades da igualdade. Logicamente, esta sentença mais simples é escrever a 
incógnita igual ao valor solução da equação. 
 
PROPRIEDADES DA IGUALDADE 
 
 Sejam a, b e c números reais. 
 
1) Se a = b, então a + c = b + c 
2) Se a = b, então c.a = c.b, com c  0 
3) Se a = b, então a2 = b2 e se a2 = b2, então a = b 
4) Se a = b, então a – c = b – c 
5) Se a = b, então 
c
a
 = 
c
b
, com c  0 
 
Exemplos: 
 
1) Escrever 5.x = 10 é equivalente a escrever x = 2, pois 
5
5x
 = 
5
10
  x = 2. 
2) Escrever x + 5 = 12 é equivalente a escrever x = 7, pois x + 5 – 5 = 12 – 5  
  x = 7 
 
3) Escrever x - 4 = 13 é equivalente a escrever x = 17, pois x – 4 + 4 = 13 + 4  
  x = 17. 
4) Escrever 
6
x
 = 10 é equivalente a escrever x = 60, pois 
6
x
.6 = 10.6  
  x = 60. 
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 5 
 
5) Escrever 2.x + 3 = 7 é equivalente a escrever x = 2, pois 2x + 3 – 3 = 7 – 3  
  2x = 4  
 
2
2x
 = 
2
4
 x = 2. 
 
6) Escrever 2x - 7 = 5x - 19 é equivalente a escrever x = 4, pois 
 2x – 7 – 2x = 5x – 19 – 2x  
  - 7 = 3x – 19  
  -7 + 19 = 3x – 19 + 19  
  12 = 3x  
  
3
12
 = 
3
3x
  4 = x  x = 4. 
 
7) Escrever 6 – 3x = 38 – 5x é equivalente a escrever x = 16, pois 
6 – 3x + 5x = 38 – 5x + 5x  
 6 + 2x = 38  
 6 + 2x – 6 = 38 – 6  
 2x = 32  
 
2
2x
 = 
2
32
  
 x = 16. 
 
Observação: Ao nos habituarmos a aplicar as propriedades da igualdade, quando se pede a 
solução de uma equação sem pedir a descrição das propriedades utilizadas, podemos 
simplesmente fazer estas operações mentalmente e darmos a solução diretamente. 
Exemplo: Se 2x = 35, estarei pensando, x deve ser a metade de 35, logo x = 17,5. 
 
Exercícios: 
 
Resolva cada equação, descrevendo as operações realizadas para se chegar a solução: 
 
01) 3x = 21 02) x + 3 = 12 03) x – 5 = 7 04) 2x + 8 = 4 
05) 3x – 2 = 6 06) 5x + 8 = 3 07) 3x – 4 = 7 08) 2x + 9 = 4 
09) 4 – 2x = 12 10) 7 + 3x = 15 11) 5x – 3 = 2x + 15 12) 7x + 2 = 5x – 9 
13) 4 – 3x = 8 – 7x 14) 7 – 2x = x + 1 15) 9 + 3x = 5x – 4 16) 
3
2
6,04
5
3
+=− x
x
 
 
 
Exercícios de equações com frações: 
 
Quando estamos resolvendo equações com frações ou equações fracionárias, o 
objetivo é conseguirmos escrever a igualdade na forma (a/b) = (c/b), pois se os 
denominadores são iguais a b, para que haja a igualdade entre as frações, basta 
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verificar para quais valores das variáveis, a igualdade a = c ocorre. Portanto, basta 
resolver a equação a = c. Ou obtermos a igualdade (a/b) = (c/d), porque neste caso, 
poderemos usar a propriedade fundamental das proporções e obter a equação a x d = 
b x c. 
Obs. Não esquecer que normalmente, a, b, c e d, são expressões, isto um conjunto 
de operações literais ou não. 
 
1) x + (2/3) = (5/8) Resp. x = -1/24 2) (3x/4) +1 = (7/9) Resp. x = -8/27 
3) (3x + 2)/5 – (4/7) = 5 Resp. x = 169/21 
4) (2x – 1)/4 + 3 = (x – 3)/5 + (9/2) Resp. x = 23/6 
 
 
 
 EQUAÇÕES FRACIONÁRIAS 
 
 São equações que apresentam variáveis ou incógnitas no denominador. 
 
 Para resolver tais equações fracionárias, não podemos esquecer de 
verificar quais os valores que as incógnitas não podem assumir por fazerem 
com que os denominadores (que são divisores), se anulem. Isto é os 
denominadores nunca podem ser iguais a zero. 
 
 
Exemplo: (2x + 4)/(3x – 7) + (3/4) = 4 
 
 Vejam que os denominadores que aparecem são 3x – 7 e 4. 
 Como 4 já é por sua natureza diferente de 0, devemos verificar para quais 
valores de x, 3x –7 = 0, ou seja x = (7/3). Isto significa que se por um acaso, ao 
resolvermos a equação e uma das soluções possíveis for 7/3, não devemos 
considerá-la. 
 
Resolvendo a equação: 
 
 Para resolvermos esta equação, devemos reduzir as frações em equivalentes 
de denominadores iguais 
 
 [4.(2x +4) + 3.(3x – 7)] / [4.(3x – 7)] = [4.4.(3x – 7)] / [4.(3x – 7)] 
 
Vejam que nesta igualdade entre duas frações, os denominadores são iguais, 
portanto, devemos concluir que os numeradores também devem ser iguais. Logo, 
para que a igualdade exista é necessário que [4.(2x +4) + 3.(3x – 7)] = [4.4.(3x – 
7)]. 
Resolvendo esta equação, 
 
4.(2x + 4) + 3.(3x – 7) = 4.4.(3x – 7) aplicando a distributiva 
 
8x + 16 + 9x – 21 = 48x – 112 reduzindo os termos semelhantes em um só 
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17x – 5 = 48x –112 somando 112 aos dois lados da igualdade 
 
17x + 107 = 48x tirando 17x de cada lado da igualdade 
 
107 = 31x ou 31x = 107 dividindo tudo por 31 
 
x = (107/31) que é diferente de 7/3. 
 
Portanto x = (107/31) é solução 
 
Exercícios: 
 
Resolva as seguintes equações: 
 1) 
5
4
53
32
=
+
−
x
x
 2) 
x
xxx
2
48
8
74 2 −+
=
−
 
 
 3) 
1
6
3
5
−
+
=
+
−
x
x
x
x
 
 
 
 
 
 
 
Equações literais 
 
 
 São equações que além da incógnita, apresentam outras letras que devem ser 
consideradas como valores fixos(constantes). Portanto, o valor da incógnita pode ser 
dado em função destas letras, considerando as como fossem números. 
 
Exemplos: 
 
1) 2ax + 5b = 8ab  2ax + 5b – 5b = 8ab – 5b  2ax = 8ab – 5b  
a
ax
2
2
 = 
a
bab
2
58 −
  x = 
a
bab
2
58 −
 
2) 3ax – 4bc = 2(bx - 3ac)  3ax – 4bc = 2bx - 6ac  
  3ax - 4bc + 4bc = 2bx - 6ac + 4bc  3ax = 2bx - 6ac + 4bc  
  3ax – 2bx = 2bx - 6ac + 4bc – 2bx  3ax – 2bx = -6ac + 4bc  
  x( 3a – 2b ) = -2c( 3a – 2b )  
ba
bax
23
)23(
−
−
 = 
ba
bac
23
)23(2
−
−−
  x = -2c 
 
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Exercícios 
 
Dê a solução de cada equação: 
 
1) 3ax - 5b = 18ab 
2) 4abx + 5b = 7a + b 
3) 2x - 7b = 8ab – 4a 
4) 9ax + 2a = 3b – 2a 
5) 7bx + 5ab = 8ab – 3a 
6) 3(ax – 4b) = 2(bx - 3ac) 
7) 5ax – c = 2(bx - 3ac) 
8) 3bx – 7bc = 2(bx + 2ac) 
9) 5ax – 8bc = 2(3bx - 8ac) 
10) ax – c = 6(2bx - 7ac) 
 
Respostas: 
 
 
 
 
 
 
 
EQUAÇÃO DO 2º GRAU 
 
 
 Forma geral: ax2 + bx + c = 0, com a  0. 
 
 
 Uma equação é do 2º grau, quando a incógnita esta elevado só a números 
inteiro e o seu maior expoente é 2. 
 
 Uma equação qualquer tem no máximo um número de soluções diferentes é 
igual ao maior expoente de sua incógnita. Portanto numa equação do 2º grau, o 
número máximo de soluções diferentes é 2. 
 
 Para resolver uma equação completa do 2º grau (a0, b0 e c0), a forma 
mais usada é a través da fórmula de Báscaras, apeser de muitos usarem também 
as fórmulas de soma e produto das duas raizas quando as mesmas são números 
inteiros ou nestes casos, resolver através da fatoração de um trinômio do 2º grau. 
 
 Vejamos como Báscaras chegou a sua fórmula: 
 
1) Ele subtraiu c dos dois membros da igualdade para isolar os termos em x. 
 
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 9 
 ax2 + bx + c - c = 0 - c  ax2 + bx = -c 
2) Vejam que não temos como isolar x totalmente. Em função disto, ele 
provavelmente pensou em transformar o primeiro membro da igualdade em 
um trinômio do quadrado perfeito. Para isto ser possível, teriam que existirem 
duas parcelas que fossem o quadrado de alguém. Observando bem, temos um 
meio quadrado ax2, mas seria bom se a também estivesse elevado ao 
quadrado. 
3) Para obter um quadrado, especificamente a2 x2, ele multiplicou os dois lados 
da igualdade por a . 
 
 a(ax2 + bx) =a(-c)  a2x2 + abx = -ac 
Esta expressão do lado esquerdo da igualdade tem por objetivo ser parte de um 
quadrado perfeito (ax)2 + 2.axb + b2. Porém, como colocar o 2 no abx sem 
modificar o a2x2 ? 
4) Para resolver este último problema, ele deve ter pensado em modificar 
também o a2x2. E assim, pensou no número 4 que é ao mesmo tempo 
quadrado e dobro do 2. Portanto, multiplicou tudo por quatro. 
 4a2x2 + 4abx = -4ac. Vejam que agora temos parte de 
 (2ax)2 + 2.(2ax)b + b2 = (2ax + b)2, só falta o b2. Mas isto ficou fácil, basta 
somar b2 
 em cada parte da igualdade 4a2x2 + 4abx + b2 = -4ac + b2. 
5) Fatorando o primeiro membro, temos: (2ax + b)2 = -4ac + b2 ou 
 
 (2ax + b)2 = b2 – 4ac  2ax + b =  4ac -b2  2ax + b – b =  4ac -b2 - b  
2ax = -b  4ac -b2  
a
ax
2
2
 = 
a
acb
2
4b ± 2 −−
  
 
 x =a
acb
2
4b ± 2 −−
 que é a fórmula de Báscaras. 
 
 
 A partir desta fórmula, se  = b2 – 4ac, temos a fórmula x = 
a
b
2
−
. 
 
 Portanto, basta conhecer os valores de a que é o número que esta multiplicando x2, 
b que é o número que multiplica x e c que é o termo independente (sem x). 
 
Exemplos: 
 
1) 2x2 – 7x + 3 = 0 a = 2, b = -7 e c = 3 
  = b2 – 4ac 
  = (-7)2 – 4.2.3 = 49 – 24 = 25 
 x = 
a
b
2
−
 
Oswaldo K. Watanabe 2000 
10 
 10 
 x =
2.2
25)7( −−
 = 
4
57 
 
 x’ = 
4
57 +
 = 
4
12
 = 3 
 x’’ = 
4
57 −
 = 
4
2
 = 
2
1
 
 
Conjunto solução = S = { 
2
1
, 3 } 
 
2) x2 – 8x - 20 = 0 a = 1, b = -8 e c = -20 
  = b2 – 4ac 
  = (-8)2 – 4.1.(-20) = 64 + 80 = 144 
 x = 
a
b
2
−
 
 x =
1.2
144)8( −−
 = 
2
128 
 
 x’ = 
2
128 +
 = 
2
20
 = 10 
 x’’ = 
2
128 −
 = 
2
4−
 = -2 
 
S = { -2, 10 } 
 
 
3) x2 – 5x = 0 a = 1, b = -5 e c = 0 
  = b2 – 4ac 
  = (-5)2 – 4.1.0 = 25 – 0 = 25 
 x = 
a
b
2
−
 
 x =
1.2
25)5( −−
 = 
2
55 
 
 x’ = 
2
55 +
 = 
2
10
 = 5 
 x’’ = 
2
55 −
 = 
2
0
 = 0 
 
S = { 0, 5 } 
 
4) x2 – 2x + 4 = 0 a = 1, b = -2 e c = 4 
  = b2 – 4ac 
  = (-2)2 – 4.1.4 = 4 – 16 = -12 
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11 
 11 
Como  é negativo e não existe raiz quadrada de número negativo no conjunto 
dos números reais, não existe x’ e x’’. 
 
Exercícios: 
 
Determine o conjunto solução de cada equação: 
 
1) x2 + 9x + 14 = 0 S = { -7, -2 } 
2) x2 - 7x + 10 = 0 S = { 2, 5 } 
3) x2 + 6x - 16 = 0 S = { -8, 2 } 
4) x2 - 5 x - 14 = 0 S = { -2, 7 } 
5) x2 + 3x - 28 = 0 S = { -7, 4 } 
6) x2 + 9x = 0 S = { -9, 0 } 
7) x2 - 9 = 0 S = { -3, 3 } 
8) x2 -7x = 0 S = { 0, 7 } 
9) x2 + 14 = 0 S =  
10) 6x2 - 24 = 0 S = { -2, 2 } 
11) 0,2x2 – 1,4x + 1,2 = 0 S = { 1, 6 } 
12) 
4
3 2x
- 
3
2x
 - 
12
1
 = 0 S = { -
9
1
, 1 } 
13) x 2 - (2m + 5)x + (m2 + 5m + 6) = 0 S = { m + 2, m + 3 } 
14) x2 – ( m – 2 )x - m + 1 = 0 S = { -1, m-1 } 
15) x2 – 5mx + 6m2 = 0 S = { 2m, 3m } 
16) (x – 7)(x + 5) – (2x – 3)(x – 7) = 0 S = { 7, 8 } 
 17) 
2
52
−
−
x
x
 + 
1
1
−
+
x
x
 = 3 S = 
 18) 
3
1
−
+
x
x
 - 
2
1
 = 
2
x
 S = 
 19) 
13
210
+
+
x
x
 - 2 = 
x
x
2
1+
 S = 
 
 
 
 
 
Resolução de equações do 2º grau através das formulas de soma e produto entre as 
raizes x’ e x’’ 
 
 
 Se x’ = 
a
b
2
+−
 e x’’ = 
a
b
2
−−
, temos: 
 
 S = x’ + x’’ = 
a
b
2
+−
 + 
a
b
2
−−
 = 
a
bb
2
−−+−
 = 
a
b
2
2−
 =
a
b−
 
 
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12 
 12 
 S = x’ + x’’ = 
a
b−
 
 
 
 P = x’.x’’ = (
a
b
2
+−
)(
a
b
2
−−
) = 
2
22
4
)()(
a
b −−
 = 
2
2
4a
b −
 = 
2
22
4
)4(
a
acbb −−
 
= 
 = 
2
22
4
4
a
acbb +−
 = 
aa
ac
4
4
 = 
a
c
 
 
 P = x’.x’’ = 
a
c
 
 
 
 Este método é mais usado quando a = 1, caso contrário, corremos o risco de 
encontrarmos raízes fracionárias. E neste caso, o aluno teria que ter muita 
facilidade em fazer operações mentais com frações. 
 Caso a = 1, ficamos com S = x`+ x`` = -b e P = x`.x`` = c. 
 Para resolver equações por este método, o segredo é: 
1) saber que se c é positivo, então as raízes têm o mesmo sinal da soma (-b). 
2) saber que se c é negativo, então as raízes têm sinais contrário e a soma é a 
diferença, com o maior tendo o sinal da soma (-b). 
3) determinar todos os pares de números inteiros cujo produto seja c. 
4) verificar quais dos pares acima tem soma igual a -b. 
 
Usando a fórmula de Báscaras, ao calcularmos separadamente o valor de ∆, podemos 
chegar as conclusõe, no conjunto do número reais: 
 
I) Se ∆ > 0 ( positivo), então a equação tem duas raízes x’ e x’’ diferentes (x’ ≠ x’’). 
II) Se ∆ = 0, então a equação tem duas raízes iguais, x’ = x’’. 
III) Se ∆ < 0 ( negativo), então a equação não tem raízes reais. 
 
 
 
 
Exemplos: 
 
 1) x2 - 6x + 8 = 0 a = 1, b = -6 e c = 8 
 
 x`+ x`` = -(-6) = 6 
 x`.x`` = 8 
 Vejam que tanto S como P são positivos, portanto as duas raízes são positivas. 
 
 x`.x`` = 8 que pode ser 8.1 ou 2.4, mas 8 + 1  6 e 2 + 4 = 6, logo as raízes são 
 
Oswaldo K. Watanabe 2000 
13 
 13 
 x`= 2 e x`` = 4. 
 
 2) x2 - 5x - 14 = 0 a = 1, b = -5 e c = -14 
 
 x`+ x`` = -(-5) = 5 
 x`.x`` = -14 
 Vejam que o P é negativo, portanto uma raiz é negativa e a outra é 
positiva e como S é positivo, então o maior é positivo. 
 x`.x`` = -14 que pode ser 14.(-1) ou 7.(-2), mas 14 - 1  5 e 7 - 2 = 5, logo 
as raízes são 
 
 x`= 7 e x`` = -2. 
 
 
 3) x2 + 2x - 24 = 0 a = 1, b = 2 e c = -24 
 
 x`+ x`` = -2 
 x`.x`` = -24 
 Vejam que o P é negativo, portanto as raízes têm sinais diferentes e como 
a soma é negativa, então o maior é negativo. 
 x`.x`` = -24 que pode ser -24.1 ou -12.2 ou -8.3 ou -6.4, mas -24 + 1  -2, -12 + 2 
 -2 
 -8 + 3  -2 e -6 + 4 = -2, logo as raízes são 
 
 x`= -6 e x`` = 4. 
 
 4) x2 + 9x + 18 = 0 a = 1, b = 9 e c = 18 
 
 x’ + x’’ = -9 
 x’.x’’ = 18 
 Vejam que P é positivo, portanto as raízes têm sinais iguais e como a soma é 
negativa, então as duas raízes são negativas. 
 x’.x’’ = 18 que pode ser –18.(-1) ou –9.(-2) ou –6.(-3), mas –18 – 1  -9, -9 - 2  -
9 e 
 -6 – 3 = -9. Logo as raízes são 
 
 x’ = - 3 e x’’ = -6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Oswaldo K. Watanabe 2000 
14 
 14 
EQUAÇÕES BI-QUADRADAS 
 
 As equações biquadradas são equações da forma ax4 + bx2 + c = 0, e como são 
redutíveis a equações do 2º grau, pois se denominarmos x2 = y, 
consequentemente x4 = (x2)2 = y2, ficando a equação ay2 + by + c = 0 e a solução 
final fica: 
x’ = 'y e x’’ = ''y . 
 Esta idéia pode ser utilizada nas equações do tipo ax2n + bxn + c = 0, onde xn = 
y. 
 
Exemplos: 
 
1) x4 - 6x2 + 8 = 0, se x2 = y, temos: y2 – 6y + 8 = 0, com a = 1, b = -6 e c = 8 
  = (-6)2 – 4.1.8 = 36 – 32 = 4 
 y = 
1.2
4)6( −−
 = 
2
26 
 
 y’ = 4 e y’’ = 2Se y’ = 4  x2 = 4  x = 2 
 Se y’’ = 2  x2 = 2  x = 2 
 
2) x6 – 28x3 + 27 = 0, se x3 = y, temos: y2 – 28y + 27 = 0, com a = 1, b = -28 e c = 
27 
  = (-28)2 – 4.1.27 = 784 – 108 = 676 
 y = 
1.2
676)28( −−
 = 
2
2628 
 
 y’ = 27 e y’’ = 1 
 Se y’ = 27  x3 = 27  x = 3 
 Se y’’ = 1  x3 = 1  x = 1. 
 
 
Exercícios: 
 
Resolva as equações: 
 
1) x4 - 13x2 + 36 = 0 S = { -3, -2, 2, 3 } 
2) x4 - 3x2 - 4 = 0 S = { -2, 2 } 
3) x4 + 6x2 - 40 = 0 S = { -2, 2 } 
4) x4 + 6x2 + 8 = 0 S =  
5) x4 - 20x2 + 64 = 0 S = { -4, -2, 2, 4 } 
 
 
 
 
 
 
Oswaldo K. Watanabe 2000 
15 
 15 
EQUAÇÕES COM MAIS DE UMA INCÓGNITA 
 
 
 Até agora, trabalhamos basicamente, com equações onde apareciam apenas 
um valor desconhecido e geralmente chamado de x. Porém, existem várias 
situações, onde estamos relacionando dois ou mais valores desconhecidos, e neste 
caso teremos nas igualdades, as equações com mais de uma incógnita. 
 
Exemplos: 
 
1) A soma de dois valores é 10. Se chamarmos um de x e o outro valor de y, 
podemos fazer a versão matemática como x + y = 10. 
2) O dobro de uma quantia adicionada do triplo de outra é 70. Se chamarmos a 
primeira quantia de x1 e a segunda de x2, podemos fazer a versão matemática 
como 2x1 + 3x2 = 70 . 
 
 Vejam que, se lembrarmos que uma solução de uma equação é o conjunto de valores 
que colocados nos lugares das incógnitas, fazem com que a sentença fique 
verdadeira, no primeiro exemplo temos uma infinidade de pares de valores inteiros 
que satisfazem a igualdade: x = -10 e y = 20, x= 0 e y = 10, x = 1 e y = 9, etc. e 
muito mais entre números reais. Assim como no primeiro exemplo, o 2º também 
possui infinitos pares de valores reais que satisfazem a igualdade. 
Para facilitar a escrita, usamos os pares ordenados (x, y) ou (x1, x2), ou ternas 
ordenadas (x, y, z) ou (x1, x2, x3), ou quadras ordenadas (x, y, z, t) ou (x1, x2, x3, x4), 
ou genericamente énuplas ordenadas (x1, x2, x3, ... , xn), para representar as 
soluções de cada equação. 
No segundo exemplo temos: { (20, 10), (5, 20), ( 23, 8), ... } 
 
 
 
 SISTEMA DE DUAS EQUAÇÕES A DUAS ou mais INCÓGNITAS 
 
Um Sistema de equações é um conjunto de equações que traduzem o mesmo fenômeno. 
Os sistemas de duas equações a duas incógnitas pode ser resolvido, se usando as duas, 
transformá-las em uma única, contendo as mesmas informações. Portanto ao depararmos com 
tais problemas, devemos nos concentrar em reduzi-las em uma equação com uma só das duas 
incógnitas. 
Antes de aprendermos MATRIZES E DETERMINANTES, podemos resolvê-las através de um 
dos três métodos: SUBSTITUIÇÃO, ADIÇÃO E COMPARAÇÃO. 
 
1) Método da substituição 
 
Este método consiste em tirar o valor de uma das incógnitas numa das equações e substituí-la na 
outra, dando origem assim a uma nova equação, que mantém as relações originais dadas. 
Resolvendo esta equação, basta substituir o valor encontrado numa das equações anteriores e 
resolvê-la, encontrando assim os valores das duas incógnitas. 
Oswaldo K. Watanabe 2000 
16 
 16 
Exemplo: 
 



=−
=+
743
1632
yx
yx
 
2
1
equação
equação
 
 
 
 Da equação 1, podemos isolar (tirar o valor) x, 2x = 16 – 3y, 
 x = 
2
316 y−
 (equação 3) 
 
Substituindo o valor de x da 3, na equação 2, temos 3. 
2
316 y−
 – 4y = 7 ou 
 
2
948 y−
 = 7 + 4y ou 48 – 9y = 2.(7 + 4y) ou 48 – 9y = 14 + 8y ou 
 48 – 14 = 8y + 9y, isto é 17y = 34, logo y = 2. 
 Se y = 2, ao substituirmos este valor na equação 3, temos: x = 
2
2.316 −
 
Ou seja x = 
2
10
ou x = 5 
Portanto a solução do sistema tem x = 5 e y = 2. 
 
2) Método da Adição 
 
Este método consiste me fazer uma das incógnitas sumir através da soma ou subtração ( 
composição ) entre as duas equações. Para que uma das incógnitas desapareça na soma de uma 
com a outra, é necessário que a mesma tenha os mesmos valores absolutos, porém com sinais 
contrários. Caso não estejam, devemos encontrar números que multiplicados pelas equações, 
façam que os valores fiquem iguais. 
Exemplo 
 



=−
=+
743
1632
yx
yx
 
Vejam que nem x e nem y têm números (coeficientes) iguais nas duas equações. A melhor 
maneira é multiplicar a equação de cima pelo número de baixo e o de baixo pela de cima. 
 
No exemplo, se queremos eliminar x, devemos multiplicar a primeira equação inteira por 3 e a 
segunda por – 2. Assim ao somarmos, o x desaparecerá. 
 
 
 3.(2x + 3y = 16) 6x + 9y = 48 
 -2.(3x – 4y = 7) -6x + 8y = -14 
 ------------------ 
 17y = 34 
Substituindo está equação na linha do do sistema, temos um sistema mais simples 
Oswaldo K. Watanabe 2000 
17 
 17 
 



=
=+
3417
1632
y
yx
 
 Se 17y = 34 → y = 2 
 
Substituindo o valor encontrado na equação da 1ª linha, temos: 
 
 2x + 3.2 = 16 → 2x + 6 = 16 → 2x = 10 → x = 5 
 
Portanto a solução é ( 5, 2 ) ou x = 5 e y = 2. 
 
 
 
3) Método da Comparação 
 
 Este método não é muito usado, mas quando as equações já apresentam a mesma 
incógnita isolada, (iguala-se) compara-se os valores e resolve-se a equação encontrada. 
Resolvida esta última equação, substitui-se o valor encontrado numa das duas originais e 
encontra-se o valor da outra incógnita. Na verdade, poderíamos dizer que é uma vertente do 
método da substituição. 
 
Obs. Para quem se lembra, pode-se usar a Regra de Cramer ou escalonamento, ou ainda inversão 
de matrizes do curso médio. 
 
Exercícios: 
I) Determine os pares ordenados que satisfaçam os sistemas por substituição: 
 
1) x + 2y = 7 e 3x – 4y = 1 2) 4x + 5y = 6 e 2x – 3y = -8 
 
3) 3x – 5y = 4 e 2x + 6y = -2 4) 3y + 6x = 4 e 2x – 3y = 0 
 
II) Determine os pares ordenados que satisfaçam os sistemas por adição: 
 
1) 6x + 5y = 7 e 4x – 3y = 2 2) 3x + 2y = 4 e 5x + y = 5 
 
3) 4x – 7y = 12 e 2x – 5y = 8 4) 5x + 6y = 2 e 2x – 3y = 7 
 
III) Em cada problema, monte as equações e através de suas soluções mostre que são soluções 
dos problemas. 
 
1) Se numa compra de cadeiras e mesas, num total de 14 peças o preço total a 
ser pago é de R$ 1230,00. Determine a quantidade de cada um, sabendo-se que cada cadeira 
custa R$ 70,00 e cada mesa R$ 120,00. 
2) Se a idade de João é o dobro da idade de Pedro menos 5 anos, determine a 
idade dos mesmos sabendo-se que daqui a 4 anos, a idade de João será o dobro da idade de Pedro 
mais um. 
Oswaldo K. Watanabe 2000 
18 
 18 
3) Se um turista deixasse R$ 2,50 em cada igreja que visitou, lhe sobrariam R$ 
18,50, mas se deixasse R$ 4,00, lhe faltaria R$ 1,00. 
 
 
Para o curso médio 
4) Regra de Cramer 
 
Este método, usa os determinantes para encontrar a solução de um sistema. Sua origem e 
dedução vem do método da adição ( ou escalonamento ou triangularização). 
Vejamos o caso de um sistema genérico de duas equações com duas incógmitas: 
 



=+
=+
21222121
11212111
bxaxa
bxaxa
 
 
Para podermos eliminar uma das incógnitas, x
1
 por exemplo, devemos multiplicara 1ª equação por 
21a e a 2ª linha por 11a− 
 
21112221112111
11212122111121
baxaaxaa
baxaaxaa
−=−−
=+
 
___________________________ 
 0 + 
21111121222111221 )( babaxaaaa −=− , 
22111221
21111121
2
aaaa
baba
x
−
−
= → 
 
12212211
11212111
2
aaaa
baba
x
−
−
= 
 
 
Para podermos eliminar a incógnita x
2
, devemos multiplicar a 1ª equação por a
22
 e a 
2ª equação por -a
12
 
21122221212112
11222122211122
baxaaxaa
baxaaxaa
−=−−
=+
 
-------------------------------------- 
( ) ( )21121122121121122 0 babaxaaaa −=+− , 
21121122
21121122
1
aaaa
baba
x
−
−
= 
 
Mas como: 
 
D = det 





2221
1211
aa
aa
= 12212211 aaaa − , D 1x = det 12212211
2221
1211
abab
ab
ab
−=





 e 
D
2x
= det 11212111
2121
1111
baba
ba
ba
−=





 , temos que: 
Oswaldo K. Watanabe 2000 
19 
 19 
 
x
1
 = 
D
Dx1 e x
2
 = 
D
Dx2 
 
Analogamente ao sistema de duas equações a 2 incógnitas, podemos aplicar a regra para sistemas 
de n equações a n incógnitas, Em geral, utiliza-se este método para sistemas de até 3 incógnitas, 
pois nestes casos os determinantes podem ser calculados através da regra de Sarrus. 
 
Exemplo numérico; 
 





=−+
=+−
=++
323
832
2
zyx
zyx
zyx
 
 
D = 
123
312
111
−
− = (1 + 9 + 4) – (-3 – 2 + 6) = 14 – 1 = 13 
 
D x = 
123
318
112
−
− = (2 + 9 + 16) – (-3 – 8 +12) = 27 – 1 = 26 
 
D y = 
133
382
121
−
 = (-8 + 18 + 6) – (24 – 4 + 9) = 16 – 29 = - 13 
 
D
z
= 
323
812
211
− = (-3 + 24 + 8) – (-6 + 6 + 16) = 29 – 16 = 13 
 
x = 
13
26
 = 2 y = 
13
13−
 = -1 z = 
13
13
 = 1 S = (2, -1, 1) 
 
 
 
 
 
5) Regra do escalonamento ou triangulação 
 
Este método tem como objetivo, transformar o sistema original em um sistema equivalente mais 
simples. Consiste em analogamente ao método da adição, manter a 1ª equação e na segunda, 
Oswaldo K. Watanabe 2000 
20 
 20 
reduzir uma incógnita (zerar os seus coeficientes), na terceira duas, e assim sucessivamente. 
Porém existe uma ordem para esta redução, que é: eliminar uma das incógnitas na 2ª, 3ª, ....., 
após esta eliminação, eliminar uma segunda incógnita na 3ª, 4ª, ....., até que a última fique com 
uma única incógnita. 
 
Obs.: Apesar de um sistema ser um conjunto de equações, não podemos esquecer que cada uma é 
uma informação sobre um determinado problema e que cada uma ainda é uma equação e 
portanto, podemos mudar a ordem de colocação das mesmas e se desejarmos, simplificar cada 
equação dividindo todos os elementos por um mesmo número ou mesmo multiplicarmos. 
Também podemos modificar as posições das incógnitas, mas deixar todas as equações com a 
mesma ordem das incógnitas. 
 
Vejamos um exemplo numérico: 
 
 





=−+
=+−
=++
323
832
2
zyx
zyx
zyx
 
Para não escrevermos as incógnitas, mantemos todas as equações com a mesma ordem, ficando 
cada incógnita na mesma coluna, 
 
 




















−
−
3
8
2
123
312
111
 
 
Para zerarmos os coeficientes de x na 2ª e 3ª linha, fazemos: 
2 vezes a linha 1 menos a linha 2 e substituímos o resultado na linha 2: (
221.2 LLL →− ) 
3 vezes a linha 1 menos a linha 3 e substituímos o resultado na linha 3: ( 331.3 LLL →− ) 
 
 










−










−
3
4
2
410
130
111
 
 
Agora vamos zerar o coeficiente de y na linha 3. 
 
332 .3 LLL →− 
 
 










−
−










−
−
13
4
2
1300
130
111
 
 
Oswaldo K. Watanabe 2000 
21 
 21 
Voltando ao sistema, temos: 





−=−
−=−
=++
1313
43
2
z
zy
zyx
 
 
Portanto temos z = 1, 
Substituindo na 2ª equação temos: 3y – 1 = -4, isto é y = -1 
Substituindo z e y pelos seus valores na 1ª equação, temos: x – 1 + 1 + 2, logo x = 2. 
 
S = (2, -1, 1) 
 
6) Por Equação matricial: A.X = B → X = A 1− .B 
 
Um sistema, visto sob o prisma de matrizes, é resultado da comparação de um produto entre 
matriz quadrada dos coeficientes com a matriz coluna das incógnitas com a matriz coluna das 
respostas. Vejam o exemplo genérico: 






=





+
+






=











21
11
222121
212111
21
11
2
1
2221
1211
.
b
b
xaxa
xaxa
b
b
x
x
aa
aa
 
 



=+
=+
21222121
11212111
bxaxa
bxaxa
 
 
Para podermos resolver a equação matricial, é necessário saber determinar matriz inversa de uma 
matriz A nxn , pois não existe a operação direta de divisão, apesar que em algumas calculadoras 
mais potentes, ao escrevermos 
A
B
 o programa entende que deve fazer A 1− .B. 
Obter a matriz inversa de uma matriz não é objeto deste capitulo, porém vai algumas 
informações sobre. 
Para determinarmos a matriz inversa da matriz A, podemos usar a definição A
_
1 .
det
1
A
A
A =− , 
onde A
_
= matriz adjunta de A que é a matiz transposta da matriz dos cofatores de A 
 
O cofator de um elemento a ij de uma matriz quadrada é o determinante da matriz D ij de ordem 1 
a menos que a de A, matriz essa obtida da matriz A, tirando se a linha i e a coluna j. 
(A ij ) = (-1)
ji+ .D ij 
A matriz dos cofatores de A ( A’) é a matriz formada pelos cofatores de todos os elementos da 
matriz A, sendo que nas posições onde i + j é impar, mudamos os sinais. 
A matriz transposta (A’) t de uma matriz é trocar as linhas pelas colunas. 
 
Exemplo: 
Oswaldo K. Watanabe 2000 
22 
 22 





=−+
=+−
=++
323
832
2
zyx
zyx
zyx
 A = 










−
−
123
312
111
 , X =










z
y
x
 e B = 










3
8
2
 
 
Det.A = (1 + 9 + 4) – (-3 + 6 – 2) = 14 – 1 = 13 
 
A
11
=(-1) 11+ 
12
31
−
−
=1 – 6 = - 5 A
12
=(-1) 21+ 
13
32
−
=-(-2-9) =11 A 13 =(-1)
31+
23
12 −
=4+3= 7 
 
A
21
=(-1) 12+
12
11
−
= -(-1–2) = 3 A
22
 = (-1) 22+
13
11
−
= -1-3= -4 A 23 =(-1)
32+
23
11
=-(2-3) = 1 
 
A 31=(-1)
13+
31
11
−
=3+1=4 A 32 =(-1)
23+ . 
32
11
=-(3-2)= -1 A 33 =(-1)
33+ . 
12
11
−
=-1-2 = -3 
 
A’ = 










−−
−
−
314
143
7115
 → (A’) t = 










−
−−
−
317
1411
435
 
 
X = .
13
1










−
−−
−
317
1411
435
.










3
8
2
 = 










−=










−+
−−
++−
13
13
26
13
1
9814
33222
122410
.
13
1
 
 
X = 










−
1
1
2
 , isto é x = 2, y = -1 e z = 1. S = (2, -1, 1) 
 
 
Equações módulo 
 
O principio básico para resolução de equações com módulo é criar condições para aplicar a 
propriedade │f(x) │= k, k Є R│ k ≥ 0 → f(x) = k ou f(x) = -k. 
 
Vejamos alguns exemplos básicos: 
 
1) │2x -5│= 7 
 
2x – 5 = 7 → 2x = 12 → x = 6 ou 2x – 5 = -7 → 2x = -2 → x = -1. 
 
2) │x² - 5x + 5│= 1 
Oswaldo K. Watanabe 2000 
23 
 23 
 
x² -5x + 5 = 1 → x² -5x + 4 = 0, resolvendo esta equação, temos x = 4 ou x = 1 
 
x² - 5x + 5 = -1 → x² - 5x + 6 = 0, resolvendo esta equação, temos x = 2 ou x = 3 
 
 
 
 
3) ││x + 2│ - 4 │= 7 
 
 │x + 2│ - 4 = 7 → │x + 2│ = 11 → x + 2 = 11 ou x + 2 = -11→ x = 9 ou x = -13 
 
 │x + 2│ - 4 = -7→ │x + 2│ = -3 impossível 
 
 
Equações exponenciais 
 
São equações, onde a incógnita está no expoente. 
Nestas equações, o objetivo a ser perseguido é chegar emcondições de aplicar a 
propriedade “ Se nmaa nm =→= ”. Pois assim teremos uma equação do tipo já visto. 
 
Alguns modelos básicos de equações: 
 
1) 27 x = 81 → (3³) x = 3 4 → 3 x3 = 3 4 → 3x = 4 → x =
3
4
 
2) 124
3
22162 433 =→=→=→= x
x
x
x
 
3) 055.65055.625 2 =+−→=+− xxxx , como 5 x2 = 5 2.x = (5 x )², ao usarmos 5 x = t, 
 
Temos: t² - 6t + 5 = 0. 
Resolvendo esta equação temos t’ = 5 e t’’ = 1. Mas t = 5 x , logo 
Se t = 5 → 5 x = 5 → x = 1 
Se t = 1 → 5 x = 1 → 5 x = 5 0 → x = 0 
 
4) 3. 5 x + 5 1+x - 3. 5 1−x = 925 → 3. 5 x + 5.5 x - 
5
3
. 5 x = 925 
 
1255
37
4625
546255.37
5
4625
5
5.37
5
4625
5
5.35.255.15
=→=→=→=→=
−+ xxx
xxxx
355 3 =→= xx 
 
 
 
 
Oswaldo K. Watanabe 2000 
24 
 24 
Equações logarítmicas 
 
Nestas equações, o principio básico é aplicar a definição de logaritmos e para prepara-- 
-las, algumas de suas propriedades. 
 
Definição: sejam a e b positivas, a ≠ 1 e c Є R, se a c = b, então log a b = c. 
 
Alguns exemplos básicos: 
 
1) log 5 (3x - 2) = 2 → 3x – 2 = 5² → 3x – 2 = 25 → 3x = 27 → x = 9. 
 
2) Log{log 6 [log 2 (2x – 4)]} = 0 → log 6 [log 2 (2x – 4)] = 10
0 
 log 6 [log 2 (2x – 4)] = 1 → log 2 (2x – 4) = 6
1 → 2x – 4 = 2 6 
 2x – 4 = 64 → 2x = 68 → x = 34. 
 
3) ( log 3 x)² - 4 log 3 x + 3 = 0 
Se t = log 3 x, substituindo temos: 
t² - 4t + 3 = 0, resolvendo esta equação, temo t = 3 ou t = 1 
Se t = 3, então log 3 x = 3 → x = 3³ → x = 27 
Se t = 1, então log 3 x = 1 → x = 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INEQUAÇÕES 
 
São sentenças matemáticas onde a relação é de DESIGUALDADE ( >, <, ≥, ≤, ≠ ). 
 
As propriedades da desigualdade são semelhantes a da igualdade 
 
Sejam a, b e c números reais. 
 
1) Se a ≠ b, então a + c ≠ b + c 
2) Se a ≠ b, então c.a ≠ c.b, com c  0 
3) Se a ≠ b, então a2 ≠ b2 e se a2 ≠ b2, então a ≠ b 
4) Se a ≠ b, então a – c ≠ b – c 
Oswaldo K. Watanabe 2000 
25 
 25 
5) Se a ≠ b, então 
c
a
 ≠ 
c
b
, com c  0 
Estas propriedades acima valem tanto para < e ≤, como para > e ≥. 
 
Exemplos: 
 
1) 2x – 5 > 7 → 2x – 5 + 5 > 7 + 5 → 2x > 12 → 2x/2 > 12/2 → x > 6. 
 
2) 3x + 5 ≤ x + 13 → 3x + 5 – 5 ≤ x + 13 – 5 → 3x ≤ x + 8 → 3x – x ≤ x + 8 – x 
 → 2x ≤ 8 → 2x/2 ≤ 8/2 → x ≤ 4. 
 
 
 
 
 
 
Para inequações do 2° grau, temos: 
1) Se x² > k, k > 0, então x > k ou x < - k 
2) Se x² < k, k > 0, então - k < x < k ( x > - k e x < k ) 
3) Se ax² + bx + c > 0 ou ax² + bx + c < 0, então devemos responder fazendo análise do 
gráfico de F(x) = ax² + bx + c. ou usar a regra: 
 
Se ∆ < O e a > 0, F(x) > 0 para qualquer valor de x real. 
 
Se ∆ < 0 e a < 0, F(x) < 0 para qualquer valor de x real. 
 
Vejam que se ∆ < 0, a F(x) tem sempre o mesmo sinal de a. 
 
Se ∆ = 0, temos x’ = x’’ e neste caso, F(x) terá o mesmo sinal de a para qualquer x real 
diferente de x’. 
 
Se ∆ > 0, temos x’ ≠ x’’, com x’ > x’’ e neste caso, F(x) tem o mesmo sinal de a para x < 
x’’ e x > x’ e para os valores x entre x’’ e x’ F(x) tem sinal contrário ao de a. 
 
Colocar exemplos com reta numerada. 
Exemplos: 
 
1) x² > 9, então x > 3 ou x < -3 ___________ -3............3____________ 
 
 
2) x² < 4, então x > -2 e x < 2 ( -2 < x < 2) ........-2_______2........ 
 
3) x² - 7x + 10 > 0 , x’ = 5 e x’’ = 2, logo x < 2 ou x > 5. ____2........5_____ 
 
4) x² - x + 2 ≤ 0, como ∆ < 0, a expressão x² - x + 2 será positiva para qualquer x, logo nunca 
será negativa ( < 0) ou 0. Resposta V = { }. + + + + + + + + + + + 
Oswaldo K. Watanabe 2000 
26 
 26 
 ......................................... 
 
5) x² - 6x + 9 > 0, como ∆ = 0, x² - 6x + 9 só não será positiva para x = 3, onde será zero. Resp. 
xЄR │ x ≠ 3. ______________3______________ 
 
Nos casos de inequações envolvendo produtos e cocientes entre polinômios, usamos o que 
também é conhecido como varal de análise de sinais. 
 
Exemplos: 
 
4) f(x) . g(x) > 0 ou 
)(
)(
xg
xf
 > 0, como se trata de uma multiplicação ou divisão, elas 
só serão positivas para os valores de x que fazem com que f(x) e g(x) sejam 
ambas positivas ou ambas negativas. Para tanto, deve se fazer o estudo dos sinais 
das mesmas. (Não esquecer que no caso da divisão existe as condições de 
existência do resultado) 
5) f(x).g(x).h(x) < 0 ou 0
)(
)().(

xh
xgxf
, Vejam que agora temos 3 expressões e neste 
caso, ela será positiva quando só duas delas forem negativas ou todas serem 
positivas e será negativa, quando só uma ou todas forem negativas. Para se chegar 
aos valores x que respeita a condição do exercício, devemos fazer estudo dos 
sinais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Regra dos sinais para expressões do: 
 
a) PRIMEIRO GRAU: Como o ZERO é quem separa o valor positivo e o negativo da 
expressão, devemos encontrar o valor que faz com que a expressão ax + b seja igual a 
zero. Se ax + b = 0, então ax = -b, logo x = 
a
b−
, colocando na reta numerada, temos: 
___________________
a
b−
_________________ 
Sinal contrário ao de a mesmo sinal de a 
 
Juntando as letras em destaque, temos a regra da cama. 
Oswaldo K. Watanabe 2000 
27 
 27 
Significado: 
Ao substituirmos valores x na expressão a esquerda (menores) de 
a
b−
, ela, expressão terá 
como resultado, um número com sinal contrário ao de a e se for um valor x a direita, a 
expressão terá como resultado, um número com o mesmo sinal de a. Isto tudo em função 
do gráfico ser uma reta crescente, se a > 0 (a positivo) e decrescente se a < 0 (a negativo). 
 
 
Fazer exemplos numéricos com varal 
 
 
 
 
b) SEGUNDO GRAU: 
Ao procurarmos os valores que zeram ax² + bx + c, usando a fórmula de Báscaras, 
encontramos as seguintes situações, em função do que já foi visto na equação do 2° grau: 
 
I) ∆ > 0 ___________________x’___________________x’’__________________ 
 mesmo sinal de a sinal contrário ao de a mesmo sinal de a 
 Regra da ma ca ma. 
 
 II) ∆ = 0 _______________________x’=x’’_______________________ 
 mesmo sinal de a mesmo sinal de a 
 
 III) ∆ < 0 ____________________________________________________________ 
 mesmo sinal de a 
 
Não esquecer que para os valores x’ e x’’ a expressão ax² + bx + c é igual a zero. 
 
 
Fazer exemplos numéricos com varal 
 
 
 
 
 
 
Exercícios: 
 
Dê o conjunto verdade de cada uma das inequações abaixo: