AVALIAÇÃO CONTINUADA - SEMANA 05

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ 
ENGENHARIA DA COMPUTAÇÃO 
MATEMÁTICA DISCRETA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 AVALIAÇÃO CONTINUADA - SEMANA 05 
 Chrystian Gemaque Maciel - 501212 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUIXADÁ 
 2021 
1) Verifique se a congruência apresentada em cada item é verdadeira ou falsa. Justifique 
suas respostas de acordo com a definição de congruência modular. 
a) 12 ≡ 16 (mod 3) 
Resposta: É falso, pois 12 - 16 (mod 3) é diferente de zero. 
 
c) 10 ≡ 22 (mod 4) 
Resposta: É verdadeiro, 10 – 22 (mod 4) é igual a zero. 
 
e) 10 ≡ 25 (mod 6) 
Resposta: É falso, pois 10 – 25 (mod 6) é diferente de zero. 
 
g) 10 ≡ 82 (mod 12) 
Resposta: É verdadeiro, 10 – 82 (mod 12) é igual a zero 
 
i) 24 ≡ 84 (mod 13) 
Resposta: É falso, pois 24 – 84 (mod 13) é diferente de zero. 
 
k) 10 ≡ 84 (mod 15) 
Resposta: É falso, pois 10 – 84 (mod 15) é diferente de zero. 
 
2) Explique a diferença entre as expressões “j ≡ k (mod m)” e “j mod m = k”. 
Resposta: A expressão j é congruente a k no módulo m, significa que para essa 
expressão, há dois valores possíveis, um falso e outro verdadeiro. A expressão j mod m 
= k, significa que o resto da divisão entre j e m é igual a k, tendo como resultado um 
valor numérico. 
 
3) Prove os teoremas abaixo usando as técnicas de sua preferência: 
c) “Para todo m inteiro positivo e j, k inteiros, j ≡ k (mod m) se e somente se k ≡ j (mod 
m)”. 
Resposta: Se j ≡ k (mod m), então m | (j – k), ou seja, existe um inteiro c, tal que, j – k = 
m*c, sendo assim j = m*c+k; 
Do mesmo modo que para k ≡ j (mod m), m | (k – j), ou seja também existe um inteiro 
a, tal que, k – j = m*a, sendo assim k = m*a+j. 
 
i) “Para todo n inteiro, se n mod 10 = 3, então n2 mod 10 = 9”. 
Resposta: Se n mod 10 é igual a 3, existe um inteiro k, tal que n = 10*k + 3, aonde 3 é o 
resto, 10 é o divisor e k é o quociente; 
Com isso teremos: n2 = (10*k + 3)2 100k2 + 60k + 9  k(100k + 60) + 9, chegando 
então ao resultado que n2 mod 10 = 9, provando ser verdade o teorema.