Lista de Exercícios de Teoria dos Números

Prévia do material em texto

Universidade Federal de Juiz de Fora
Instituto de Ciências Exatas
Departamento de Matemática
MA143 - Introdução à Teoria dos Números
Professor: Rogério Casagrande
Lista 5 - Caṕıtulos 4 e 5
1. Equações Diofantinas Lineares
(a) Resolva a equação diofantina linear 39x+ 26y = 105.
(b) Encontre as soluções inteiras e positivas de: 158x− 57y = 7.
(c) Encontre as soluções inteiras e negativas de: 6x+ 15y = 51.
2. Sabendo que k ≡ 1 (mod 4), mostre que 6k + 5 ≡ 3 (mod 4).
3. Mostre, mediante um exemplo, que a2 ≡ b2 (mod m) não implica a ≡ b (mod m).
4. (a) Mostre que 1110 ≡ 1 (mod 100).
(b) Ache os restos das divisões de 250 e 4165 por 7.
5. Demonstre que se a ≡ b (mod m), então mdc(a,m) = mdc(b,m).
6. Mostre, mediante um exemplo, que ak ≡ bk (mod m) e k ≡ j (mod m) não implica aj ≡
bj (mod m).
7. Demonstre as seguintes proposições:
(a) Se a é um inteiro ı́mpar, então a2 ≡ 1 (mod 8)
(b) Se a é um inteiro qualquer, então a3 é congruente a 0 ou 1 ou 8 módulo 9.
(c) Se a é um inteiro qualquer, então a3 ≡ a (mod 6).
8. (a) Achar a classe residual módeulo 9 de 1913.
(b) Os inteiros 29 e 41 pertencem a uma mesma classe residual módulo m. Determinar m.