Analise matricial parte 1

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TC036 - Mecânica das 
Estruturas II
Prof. Marcos Arndt
4. Análise Matricial de Estruturas –
Parte 1
4 Análise Matricial de Estruturas
4.1 Introdução
O método dos deslocamentos é o que está mais
direcionado a uma implementação computacional.
Portanto, este capítulo apresenta uma formalização
matricial desse método, que tem por objetivo
aproximar a sua metodologia aos procedimentos
adotados usualmente nos programas de computador.
Essa nova roupagem do método dos deslocamentos é
conhecida como método da rigidez direta (White,
Gergely e Sexsmith, 1976), mas essencialmente segue
a metodologia do método de origem. Essa
formalização matricial também é conhecida como
análise matricial das estruturas ou cálculo matricial
das estruturas.
4.2 Discretização no Método da 
Rigidez Direta
Os parâmetros de discretização são as componentes
de deslocamentos e rotações dos nós do modelo
estrutural.
Os nós são os pontos de encontro de barras ou as
extremidades livres. Também são considerados nós os
pontos onde existem apoios ou mudanças abruptas
das propriedades da barra.
O elemento é o trecho da barra entre dois nós
consecutivos.
No contexto do método da rigidez direta, uma
deslocabilidade é denominada grau de liberdade.
Na formulação matricial, as restrições de apoio são
consideradas em um estágio posterior da solução,
assim é comum se referir a uma componente de
deslocamento ou rotação nodal restrita por apoio
também como grau de liberdade.
Exemplos de discretização:
nó
elemento
deslocabilidade ou grau de liberdade
Exemplos de discretização:
Exemplos de discretização:
4.3 Desenvolvimento do método
Seja a viga hiperestática abaixo:
com 𝑑1 = 𝑑3 = 𝑑5 = 𝑑6 = 0
A
B C
Sistema Hipergeométrico:
com 𝑑1 = 𝑑3 = 𝑑5 = 𝑑6 = 0
Caso 0: Pode ser dividido em 3 etapas
a) Cargas ao longo dos elementos:
b) Cargas aplicadas nos nós:
c) Reações de apoio:
𝛽0
∗
𝛽10
𝛽20
𝛽30
𝛽40
𝛽50
𝛽60
−𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠
𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎𝑠
𝑛𝑜𝑠 𝑛ó𝑠
−𝑟𝑒𝑎çõ𝑒𝑠
𝑑𝑒
𝑎𝑝𝑜𝑖𝑜
Da condição de equilíbrio do Método dos
Deslocamentos:
𝛽0 = 𝛽0
∗ +
−𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠
𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎𝑠
𝑛𝑜𝑠 𝑛ó𝑠
+
−𝑟𝑒𝑎çõ𝑒𝑠
𝑑𝑒
𝑎𝑝𝑜𝑖𝑜
𝛽0 + 𝐾 𝐷 = 0
𝐾 𝐷 = − 𝛽0
𝐾 𝐷 = 𝐹 𝐹 = − 𝛽0
𝐹 = − 𝛽0
∗ +
𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠
𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎𝑠
𝑛𝑜𝑠 𝑛ó𝑠
+
𝑟𝑒𝑎çõ𝑒𝑠
𝑑𝑒
𝑎𝑝𝑜𝑖𝑜
Vetor de cargas nodais equivalentesVetor de forças
Cargas nodais equivalentes:
Vetor de Forças:
−𝑃/2
−𝑃𝐿1/8
−
𝑃
2
−
𝑞𝐿2
2
𝑃𝐿1
8
−
𝑞𝐿2
2
12
−𝑞𝐿2/2
𝑞𝐿2
2/12
𝑃𝐿1/8
𝑃/2𝑃/2
𝑃𝐿1/8
𝑞𝐿2/2𝑞𝐿2/2
𝑞𝐿2
2/12 𝑞𝐿2
2/12
0
0
0
𝑀
0
0
𝑅𝐴
0
𝑅𝐵
0
𝑅𝐶
𝑀𝐶
∗
Vetor de Forças:
𝐹 =
−
𝑃
2
−
𝑃𝐿1
8
−
𝑃
2
−
𝑞𝐿2
2
𝑃𝐿1
8
−
𝑞𝐿2
2
12
−
𝑞𝐿2
2
𝑞𝐿2
2
12
+
0
0
0
𝑀
0
0
+
𝑅𝐴
0
𝑅𝐵
0
𝑅𝐶
𝑀𝐶
∗
=
−
𝑃
2
+ 𝑅𝐴
−
𝑃𝐿1
8
−
𝑃
2
−
𝑞𝐿2
2
+ 𝑅𝐵
𝑃𝐿1
8
−
𝑞𝐿2
2
12
+𝑀
−
𝑞𝐿2
2
+ 𝑅𝐶
𝑞𝐿2
2
12
+𝑀𝐶
∗
Casos 1 a 6:
Analisando um trecho de viga qualquer de
comprimento L:
Fazendo Di = 1 obtemos K1i, K2i, K3i e K4i (coluna i de
uma matriz 4x4 que corresponde à matriz de rigidez
da viga)
𝐾𝑒 =
12𝐸𝐼/𝐿3 6𝐸𝐼/𝐿2
6𝐸𝐼/𝐿2 4𝐸𝐼/𝐿
−12𝐸𝐼/𝐿3 6𝐸𝐼/𝐿2
−6𝐸𝐼/𝐿2 2𝐸𝐼/𝐿
−12𝐸𝐼/𝐿3 −6𝐸𝐼/𝐿2
6𝐸𝐼/𝐿2 2𝐸𝐼/𝐿
12𝐸𝐼/𝐿3 −6𝐸𝐼/𝐿2
−6𝐸𝐼/𝐿2 4𝐸𝐼/𝐿
𝐾𝑒 =
𝐸𝐼
𝐿3
12 6𝐿
6𝐿 4𝐿2
−12 6𝐿
−6𝐿 2𝐿2
−12 −6𝐿
6𝐿 2𝐿2
12 −6𝐿
−6𝐿 4𝐿2
D1 = 1 D2 = 1 D3 = 1 D4 = 1
Matriz de Rigidez 
Elementar para 
Vigas
Casos 1 a 6:
𝐾𝑒1 =
𝐸𝐼
𝐿1
3
12 6𝐿1
6𝐿1 4𝐿1
2
−12 6𝐿1
−6𝐿1 2𝐿1
2
−12 −6𝐿1
6𝐿1 2𝐿1
2
12 −6𝐿1
−6𝐿1 4𝐿1
2
𝐾𝑒2 =
𝐸𝐼
𝐿2
3
12 6𝐿2
6𝐿2 4𝐿2
2
−12 6𝐿2
−6𝐿2 2𝐿2
2
−12 −6𝐿2
6𝐿2 2𝐿2
2
12 −6𝐿2
−6𝐿2 4𝐿2
2
Casos 1 a 6:
𝐾𝑒1 = 𝐸𝐼
12/𝐿1
3 6/𝐿1
2
6/𝐿1
2 4/𝐿1
−12/𝐿1
3 6/𝐿1
2
−6/𝐿1
2 2/𝐿1
−12/𝐿1
3 −6/𝐿1
2
6/𝐿1
2 2/𝐿1
12/𝐿1
3 −6/𝐿1
2
−6/𝐿1
2 4/𝐿1
𝐾𝑒2 = 𝐸𝐼
12/𝐿2
3 6/𝐿2
2
6/𝐿2
2 4/𝐿2
−12/𝐿2
3 6/𝐿2
2
−6/𝐿2
2 2/𝐿2
−12/𝐿2
3 −6/𝐿2
2
6/𝐿2
2 2/𝐿2
12/𝐿2
3 −6/𝐿2
2
−6/𝐿2
2 4/𝐿2
𝐾 = 𝐸𝐼
12/𝐿1
3 6/𝐿1
2 −12/𝐿1
3
6/𝐿1
2 4/𝐿1 −6/𝐿1
2
−12/𝐿1
3 −6/𝐿1
2 12
𝐿1
3 +
12
𝐿2
3
6/𝐿1
2 0 0
2/𝐿1 0 0
−
6
𝐿1
2 +
6
𝐿2
2 −12/𝐿2
3 6/𝐿2
2
6/𝐿1
2 2/𝐿1 −
6
𝐿1
2 +
6
𝐿2
2
0 0 −12/𝐿2
3
0 0 6/𝐿2
2
4
𝐿1
+
4
𝐿2
−6/𝐿2
2 2/𝐿2
−6/𝐿2
2 12/𝐿2
3 −6/𝐿2
2
2/𝐿2 −6/𝐿2
2 4/𝐿2
3 4 5 6
1 2 3 4
3
4
5
6
1
2
3
4
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
Sistema de equações não restringido (sem considerar
as condições de contorno dos apoios):
Faz-se agora a reordenação da matriz K e dos vetores
F e D da seguinte forma:
a) Numera-se primeiro os graus de liberdade livres
Dl e depois os graus de liberdade restringidos Dp ,
tal que:
b) Neste caso Fl contém as forças nodais conhecidas
e Fp contém as reações de apoio (desconhecidas):
𝐾 𝐷 = 𝐹
𝐊𝑙𝑙 𝐊𝑙𝑝
𝐊𝑝𝑙 𝐊𝑝𝑝
𝑫𝑙
𝑫𝑝
=
𝑭𝑙
𝑭𝑝
൝
𝐊𝑙𝑙𝑫𝑙 + 𝐊𝑙𝑝𝑫𝑝 = 𝑭𝑙
𝐊𝑝𝑙𝑫𝑙 + 𝐊𝑝𝑝𝑫𝑝 = 𝑭𝑝
𝐊𝑙𝑙𝑫𝑙 = 𝑭𝑙 − 𝐊𝑙𝑝𝑫𝑝 ⇒ Determina−se 𝑫𝑙
𝑭𝑝 = 𝐊𝑝𝑙𝑫𝑙 + 𝐊𝑝𝑝𝑫𝑝 ⇒ Determina−se 𝑭𝑝
Reordenação dos vetores e matrizes:
2
4
1
3
5
6
𝑑1 = 𝑑3 = 𝑑5 = 𝑑6 = 0
𝐷 =
𝑑1 = 0
𝑑2
𝑑3 = 0
𝑑4
𝑑5 = 0
𝑑6 = 0
𝐷𝑜𝑟𝑑 =
𝑑2
𝑑4
𝑑1 = 0
𝑑3 = 0
𝑑5 = 0
𝑑6 = 0
Reordenação dos vetores e matrizes:
𝐾 = 𝐸𝐼
12/𝐿1
3 6/𝐿1
2 −12/𝐿1
3
6/𝐿1
2 4/𝐿1 −6/𝐿1
2
−12/𝐿1
3 −6/𝐿1
2 12
𝐿1
3 +
12
𝐿2
3
6/𝐿1
2 0 0
2/𝐿1 0 0
−
6
𝐿1
2 +
6
𝐿2
2 −12/𝐿2
3 6/𝐿2
2
6/𝐿1
2 2/𝐿1 −
6
𝐿1
2 +
6
𝐿2
2
0 0 −12/𝐿2
3
0 0 6/𝐿2
2
4
𝐿1
+
4
𝐿2
−6/𝐿2
2 2/𝐿2
−6/𝐿2
2 12/𝐿2
3 −6/𝐿2
2
2/𝐿2 −6/𝐿2
2 4/𝐿2
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
𝐾𝑜𝑟𝑑 = 𝐸𝐼
4/𝐿1 2/𝐿1 6/𝐿1
2
2/𝐿1
4
𝐿1
+
4
𝐿2
6/𝐿1
2
6/𝐿1
2 6/𝐿1
2 12/𝐿1
3
−6/𝐿1
2 0 0
−
6
𝐿1
2 +
6
𝐿2
2 −6/𝐿2
2 2/𝐿2
−12/𝐿1
3 0 0
−6/𝐿1
2 −
6
𝐿1
2 +
6
𝐿2
2 −12/𝐿1
3
0 −6/𝐿2
2 0
0 2/𝐿2 0
12
𝐿1
3 +
12
𝐿2
3 −12/𝐿2
3 6/𝐿2
2
−12/𝐿2
3 12/𝐿2
3 −6/𝐿2
2
6/𝐿2
2 −6/𝐿2
2 4/𝐿2
2 4 1 3 5 6
2
4
1
3
5
6
Reordenação dos vetores e matrizes:
1
2
3
4
5
6
𝐹 =
−
𝑃
2
+ 𝑅𝐴
−
𝑃𝐿1
8
−
𝑃
2
−
𝑞𝐿2
2
+ 𝑅𝐵
𝑃𝐿1
8
−
𝑞𝐿2
2
12
+𝑀
−
𝑞𝐿2
2
+ 𝑅𝐶
𝑞𝐿2
2
12
+𝑀𝐶
∗
2
4
1
3
5
6
𝐹𝑜𝑟𝑑 =
−
𝑃𝐿1
8
𝑃𝐿1
8
−
𝑞𝐿2
2
12
+𝑀
−
𝑃
2
+ 𝑅𝐴
−
𝑃
2
−
𝑞𝐿2
2
+ 𝑅𝐵
−
𝑞𝐿2
2
+ 𝑅𝐶
𝑞𝐿2
2
12
+𝑀𝐶
∗
Sistema reordenado:
𝐸𝐼
4/𝐿1 2/𝐿1 6/𝐿1
2
2/𝐿1
4
𝐿1
+
4
𝐿2
6/𝐿1
2
6/𝐿1
2 6/𝐿1
2 12/𝐿1
3
−6/𝐿1
2 0 0
−
6
𝐿1
2 +
6
𝐿2
2 −6/𝐿2
2 2/𝐿2
−12/𝐿1
3 0 0
−6/𝐿1
2 −
6
𝐿1
2 +
6
𝐿2
2 −12/𝐿1
3
0 −6/𝐿2
2 0
0 2/𝐿2 0
12
𝐿1
3 +
12
𝐿2
3 −12/𝐿2
3 6/𝐿2
2
−12/𝐿2
3 12/𝐿2
3 −6/𝐿2
2
6/𝐿2
2 −6/𝐿2
2 4/𝐿2
𝑑2
𝑑4
0
0
0
0
=
−
𝑃𝐿1
8
𝑃𝐿1
8
−
𝑞𝐿2
2
12
+𝑀
−
𝑃
2
+ 𝑅𝐴
−
𝑃
2
−
𝑞𝐿2
2
+ 𝑅𝐵
−
𝑞𝐿2
2
+ 𝑅𝐶
𝑞𝐿2
2
12
+ 𝑀𝐶
∗
Kll
Kpl
Klp
Kpp
Dl
Dp
Fl
Fp
𝐊𝑙𝑙𝑫𝑙 = 𝑭𝑙 − 𝐊𝑙𝑝𝑫𝑝
𝐸𝐼
4
𝐿1
2
𝐿1
2
𝐿1
4
𝐿1
+
4
𝐿2
𝑑2
𝑑4
=
−
𝑃𝐿1
8
𝑃𝐿1
8
−
𝑞𝐿2
2
12
+𝑀
𝑑2
𝑑4
Sistema reordenado:
𝐸𝐼
4/𝐿1 2/𝐿1 6/𝐿1
2
2/𝐿1
4
𝐿1
+
4
𝐿2
6/𝐿1
2
6/𝐿1
2 6/𝐿1
2 12/𝐿1
3
−6/𝐿1
2 0 0
−
6
𝐿1
2 +
6
𝐿2
2 −6/𝐿2
2 2/𝐿2
−12/𝐿1
3 0 0
−6/𝐿1
2 −
6
𝐿1
2 +
6
𝐿2
2 −12/𝐿1
3
0 −6/𝐿2
2 0
0 2/𝐿2 0
12
𝐿1
3 +
12
𝐿2
3 −12/𝐿2
3 6/𝐿2
2
−12/𝐿2
3 12/𝐿2
3 −6/𝐿2
2
6/𝐿2
2 −6/𝐿2
2 4/𝐿2
𝑑2
𝑑4
0
0
0
0
=
−
𝑃𝐿1
8
𝑃𝐿1
8
−
𝑞𝐿2
2
12
+ 𝑀
−
𝑃
2
+ 𝑅𝐴
−
𝑃
2
−
𝑞𝐿2
2
+ 𝑅𝐵
−
𝑞𝐿2
2
+ 𝑅𝐶
𝑞𝐿2
2
12
+ 𝑀𝐶
∗
Kll
Kpl
Klp
Kpp
Dl
Dp
Fl
Fp
−
𝑃
2
+ 𝑅𝐴
−
𝑃
2
−
𝑞𝐿2
2
+ 𝑅𝐵
−
𝑞𝐿2
2
+ 𝑅𝐶
𝑞𝐿2
2
12
+𝑀𝐶
∗
= 𝐸𝐼
6
𝐿1
2
−
6
𝐿1
2
6
𝐿1
2
−
6
𝐿1
2 +
6
𝐿2
2
0
0
−
6
𝐿2
2
2
𝐿2
𝑑2
𝑑4
𝑭𝑝 = 𝐊𝑝𝑙𝑫𝑙 + 𝐊𝑝𝑝𝑫𝑝
𝑅𝐴
𝑅𝐵
𝑅𝐶
𝑀𝐶
∗
Os esforços internos são obtidos pelo equilíbrio
individual de cada elemento:
Por equilíbrio do elemento:
𝐾𝑒 𝐷𝑒 = 𝐹𝑒 𝐹𝑒 =
𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠
𝑛𝑜𝑑𝑎𝑖𝑠
𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣.
+
𝑒𝑠𝑓𝑜𝑟ç𝑜𝑠
𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜𝑠
𝑃𝐿1/8
𝑃/2𝑃/2
𝑃𝐿1/8
𝐾𝑒𝐷𝑒 = 𝐹𝑒
𝐸𝐼
𝐿1
3
12 6𝐿1
6𝐿1 4𝐿1
2
−12 6𝐿1
−6𝐿1 2𝐿1
2
−12 −6𝐿1
6𝐿1 2𝐿1
2
12 −6𝐿1
−6𝐿1 4𝐿1
2
𝑑1 = 0
𝑑2
𝑑3 = 0
𝑑4
=
−
𝑃
2
+ 𝑉𝐴
−
𝑃𝐿1
8
+𝑀𝐴
−
𝑃
2
+ 𝑉𝐵
𝑃𝐿1
8
+𝑀𝐵
𝑉𝐴
𝑀𝐴
𝑉𝐵
𝑀𝐵