APS II

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1 - Uma cultura de bactérias, com uma quantidade inicial 0Q bactérias, cresce a uma taxa proporcional à 
quantidade presente. Ao fim de 20 minutos cresceu 5%. Determine a quantidade de bactéria em qualquer tempo 
t. Quanto tempo levará a cultura para duplicar? R: 289t 
Observações: 
• Utilize o método das variáveis separáveis; 
• Trabalhe com 4 casas decimais; 
• Expresse o resultado final na forma de número inteiro. 
• Não se esqueça de encontrar todas as soluções necessárias, provando-as. 
• Escreva todas as soluções encontradas. 
 
2 - Suponha que um circuito simples, a resistência seja 15  e a indutância seja 5 H . Se uma pilha fornecer 
uma voltagem constante de 60 V e o interruptor for fechado quando 0=t , então a corrente começa com 
( ) 00 =I . Encontre ( )tI e a corrente depois de 5,1 s , pelo: 
a) Método de Lagrange; 
b) Método do Fator Integrante. 
R: ( ) ( )tetI 314 −−= e ( ) 96,35,1 I A 
Observações: 
• Utilize o método das equações lineares; 
• Não se esqueça de encontrar todas as soluções necessárias, provando-as. 
• Fórmula: 
t
i
LiRE


+= , sendo E a força eletromatriz (volts), o i a intensidade (ampère), o R a resistência 
(ohms) e o L a indutância (henries). 
• No valor da corrente para 1 segundo e meio, trabalhe com 2 casas decimais. 
• Resolva pelo método de Lagrange e pelo método do Fator Integrante. 
 
3) A temperatura em um forno industrial evolui no tempo conforme o seguinte modelo simplificado: 
023
2
2
=+


−


y
t
y
t
y
 
Calcule a temperatura para as condições iniciais dadas ( ) 30 =y e ( ) 40' =y . R: ( ) tt eetf 22 += 
Observação: resolva usando o método das equações diferenciais de ordem superior. 
 
Para as questões de 3 a 6, utilize as informações: 
0
2
2
=+


+


Kx
t
x
c
t
x
m , onde m é a massa, c o coeficiente de amortecimento e K é a constante elástica. 
Pela Lei de Hooke, Kxxf =)( 
 
4) Um peso de 0,25 kg é atado a uma mola com constante de elasticidade igual a 4 N/cm. Supondo que uma 
força de amortecimento igual ao dobro da velocidade instantânea atua no sistema, determine a equação de 
movimento se o peso parte da posição de equilíbrio com velocidade de 3 m/s para cima. R: 
ttetx 43)( −−= 
 
5) Um peso de 0,5 Kg é atado a uma mola de 1,5 m de comprimento. Na posição de equilíbrio, o comprimento 
da mola é de 2,48 m. Se o peso for suspenso e solto a partir do repouso de um ponto 2 m acima da posição de 
equilíbrio, encontre o deslocamento )(tx se é sabido ainda que o meio ambiente oferece resistência 
numericamente igual à velocidade instantânea. 
R: 





−−= − tsentetx t 3
3
2
3cos2)( 
Curso: ENGENHARIAS MECÂNICA/CIVIL/PRODUÇÃO/ELÉTRICA 
Disciplina: EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 
Período: 4º 
Professor: JORGE MATOS DA SILVA JUNIOR 
Aluno: 
Matrícula: 
Proposta de APS 
N° APS / Valor: 
2 / 2,0 
Carga Horária: 
5 
Data de Aplicação: 
Novembro / 2018 
 
6) Uma mola com uma massa de 2 kg tem comprimento natural de 0,5 m. Uma força de 25,6 N é necessária 
para mantê-la esticada até um comprimento de 0,7 m. Sabendo que a massa está imersa em um fluido com 
constante de amortecimento c = 40. Determine a posição em qualquer instante t se ele iniciar da posição de 
equilíbrio e for dado um empurrão para que a velocidade inicial seja de 0,6 m/s. 
R: ( )tt eetx 16405,0)( −− −= 
 
7) A temperatura em um forno industrial evolui no tempo conforme o seguinte modelo simplificado: 
023
2
2
=+


−


y
t
y
t
y
 
Calcule a temperatura para as condições iniciais dadas ( ) 30 =y e ( ) 40' =y . R: ( ) tt eetf 22 += 
 
Observação: resolva usando Transformada de Laplace.