C1 Lista Semanal 1 - 2023_2 (Com Gabarito)

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CÁLCULO I
2023 - 1º Semestre
Lista de Exercícios 1
Questão 1. Determine o domínio da seguinte função racional:
f(x) =
3x2 − 2x
x2 − 4
.
Solução: Para determinar o domínio de uma função racional, precisamos encontrar
os valores de x que não tornam o denominador igual a zero. Neste caso, o denominador
é x2 − 4. Para garantir que o denominador não seja zero, temos:
x2 − 4 = (x− 2)(x+ 2) ̸= 0 .
Isso é equivalente a x ̸= −2 e x ̸= 2. Portanto, o domínio da função é:
Df = R \ {−2, 2} .
Questão 2. Considere as funções polinomiais g(x) = 2x − 3 e h(x) = x2 + 1.
Determine a função composta g(h(x)) e seu domínio.
Solução: Primeiro, vamos encontrar a função composta g(h(x)). Para fazer isso,
substitua h(x) em g(x):
g(h(x)) = 2(x2 + 1)− 3 = 2x2 − 1.
Agora, vamos determinar o domínio de g(h(x)). Como g(h(x)) é uma função
polinomial, ela está definida para todos os valores reais de x. Portanto, o domínio da
função composta g(h(x)) é:
Dg◦h = R.
Observação. Como o domínio de g é igual a R, a imagem de h está contida no
domínio de g. Por conta disso, o domínio de g ◦ h é igual ao domínio de h, que nesse
caso também é igual a R. Dependendo das funções envolvidas, as duas maneiras
expostas acima de se determinar o domínio de uma função composta podem levar
a resultados diferentes Por exemplo, isso ocorre com h2 ◦ h1 se h1(x) =
√
x+ 3 e
h2(x) = x
2 + 2. O domínio de h2 ◦ h1 é [−3,+∞[ ou R? De acordo com as notas de
aula, qual seria a resposta correta? Compare com a solução da Questão 4 a seguir.
Questão 3. Determine o domínio da seguinte função algébrica:
f(x) =
√
x2 − 5x+ 6.
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Universidade Federal do Pará
Cálculo I Lista de Exercícios 1
Solução: Para determinar o domínio de uma função algébrica com raiz quadrada,
precisamos encontrar os valores de x para os quais a função está definida. Neste caso,
a raiz quadrada está definida apenas para números não negativos (ou seja, a expressão
dentro da raiz quadrada deve ser maior ou igual a zero).
Então, precisamos resolver a seguinte inequação:
x2 − 5x+ 6 ≥ 0.
Fatoramos a expressão quadrática:
(x− 2)(x− 3) ≥ 0.
Agora, analisamos os sinais dos fatores para encontrar o intervalo em que a ex-
pressão é não negativa:
1. Se x < 2, ambos os fatores (x− 2) e (x− 3) são negativos. Então, o produto
é positivo.
2. Se 2 < x < 3, o fator (x− 2) é positivo e o fator (x− 3) é negativo. Então, o
produto é negativo.
3. Se x > 3, ambos os fatores (x− 2) e (x− 3) são positivos. Então, o produto é
positivo.
Incluindo os pontos onde a expressão é igual a zero (x = 2 e x = 3), obtemos o
domínio da função algébrica f(x) =
√
x2 − 5x+ 6:
Df = (−∞, 2] ∪ [3,+∞).
Questão 4. Dadas as funções racionais p(x) =
1
x+ 2
e q(x) =
1
x− 1
, encontre a
função composta p(q(x)) e seu domínio.
Solução: Primeiro, precisamos encontrar a função composta p(q(x)). Para fazer
isso, substitua q(x) em p(x):
p(q(x)) = p
(
1
x− 1
)
=
1
1
x−1 + 2
.
Multiplicamos o numerador e o denominador da fração por (x− 1):
p(q(x)) =
x− 1
1 + 2 · (x− 1)
.
Simplificamos a expressão:
p(q(x)) =
x− 1
2x− 1
.
Agora, vamos determinar o domínio de p(q(x)). O domínio de uma função racional
é o conjunto de todos os valores de x para os quais a função está definida, ou seja, os
valores de x que não tornam o denominador igual a zero.
Para encontrar o domínio, precisamos analisar tanto a função composta p(q(x))
quanto a função q(x), pois não podemos ter um valor de x que torne o denominador
de q(x) igual a zero.
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Cálculo I Lista de Exercícios 1
Analisando o denominador de q(x):
x− 1 ̸= 0 =⇒ x ̸= 1.
Analisando o denominador de p(q(x)):
2x− 1 ̸= 0 =⇒ x ̸= 1
2
.
Então, o domínio da função composta p(q(x)) é:
Dp◦q = R \
{
1
2
, 1
}
.
Questão 5. Considere a função “maior inteiro menor ou igual que”, também conhecida
como “função piso". Vamos denotá-la por f(x) = ⌊x⌋.
a) A função f é injetora? E sobrejetora?
b) A função f possui função inversa? Justifique.
Solução:
a) Perceba que x pode assumir qualquer valor real, no entanto, se pegarmos dois
valores distintos entre os inteiros 2 e 3, teremos a mesma imagem que será 2.
Portanto f não é injetora.
Quanto à sobrejetividade, se tomarmos o contradomínio de f como sendo R,
então f não será sobrejetora. No entanto, se tomarmos o contradomínio como
sendo Z, então f será sobrejetora.
b) Não. A condição para a existência de função inversa é a bijeção e a função f
não é bijetora.
Questão Extra. Desenhe a mão livre o gráfico de uma função real f que tenha
as seguintes propriedades:
1. O domínio de f é o intervalo [−3, 5];
2. f(−1) = −1, f(2) = −2 e f(5) = 3;
3. A função f é decrescente no intervalo [−2, 0] e crescente no intervalo [1, 3].
Essa função é injetora? É sobrejetora?
Atenção: existem infinitas respostas corretas para esta questão.
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