Física 1-403-405

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Quantidade de movimento e impulso 401
8. Um automóvel tem movimento retilíneo e unifor-
me. Se sua velocidade dobrar, podemos afirmar que:
a) sua energia cinética se reduzirá à metade.
b) o módulo da quantidade de movimento se 
tornará o dobro do anterior.
c) sua energia cinética se tornará o dobro da 
anterior.
d) o módulo da quantidade de movimento se 
tornará o quádruplo do anterior.
e) o módulo da quantidade de movimento não se 
alterará.
9. Apresente a equação dimensional da quantidade 
de movimento.
Exercícios de Reforço
10. (UF-PE) Pai e filho são aconselhados a correr para 
perder peso. Para que ambos percam calorias na 
mesma proporção, o instrutor da academia sugeriu 
que ambos desenvolvessem a mesma quantidade 
de movimento. Se o pai tem 90 kg e corre a uma 
velocidade de 2,0 m/s, o filho, que tem 60 kg, 
deverá correr a:
a) 1,0 m/s d) 4,0 m/s
b) 2,0 m/s e) 5,0 m/s
c) 3,0 m/s
11. (UF-AM) Um menino faz girar uma pedra presa 
a uma haste rígida e de massa desprezível de 
maneira que ela descreva um movimento circular 
uniforme num plano vertical, num local em que 
a aceleração da gravidade é constante. Sobre 
esse movimento considere as seguintes grandezas 
relacionadas com a pedra:
I. Quantidade de movimento.
II. Energia potencial gravitacional.
III. Energia cinética.
IV. Peso.
Dentre essas grandezas, as que variam enquanto 
a pedra realiza seu movimento são:
a) apenas I e IV. d) apenas III e IV.
b) apenas I e II. e) apenas I e III.
c) apenas II e III.
12. (UE-RJ) Em uma aula de Física os alunos relacio-
nam os valores da energia cinética de um corpo 
aos de sua velocidade. O gráfico indica os resul-
tados encontrados. Determine em kg · m/s, o 
módulo da quantidade de movimento desse corpo 
quando atinge a velocidade de 5,0 m/s.
1,0 2,0 3,0 v (m/s)
E
C
 (J)
9,0
4,0
1,0
13. A figura representa um experimento em que um 
ônibus de massa 8 000 kg e um automóvel de 
massa 800 kg colidiram com muros idênticos.
10 km/h
8 000 kg
100 km/h
800 kg
 
Antes das colisões a velocidade do ônibus era 
10 km/h, e a velocidade do automóvel era 
100 km/h. Podemos observar que, antes das coli-
sões, os dois veículos tinham a mesma quantidade 
de movimento. No entanto, o experimento mos-
trou que o dano no muro, causado pelo automóvel, 
foi maior que o causado pelo ônibus. Por quê?
14. Uma partícula tem energia cinética de 60 J e 
momento linear de módulo 15 kg · m/s. Determine 
o módulo da velocidade dessa partícula.
2. Impulso de uma força constante
Consideremos uma situação particular em que a força resultante sobre 
um corpo é constante. Na figura 4 temos um bloco de massa m em movi-
mento uniformemente variado, sendo F a força resultante. No instante t
1
 o 
bloco tem velocidade v
1
 e quantidade de movimento Q
1
. No instante t
2
 
(com t
2
 > t
1
) o bloco tem velocidade v
2
 e quantidade de movimento Q
2
. Figura 4.
t
1
F
Q
1
v
1
t
2
F
Q
2
v
2
Z
a
p
t
Lu
iZ
 a
u
g
u
s
t
o
 R
ib
e
iR
o
Capítulo 20402
Usando a Segunda Lei de Newton:
F = m · a ⇒ F = m 
Δv
Δt
 ⇒ F · (Δt) = m · (Δv) ⇒ F · (Δt) = m · (v
2
 – v
1
) ⇒
⇒ F · (Δt) = mv
2
Q
2
 – mv
1
Q
1
 ⇒ F · (Δt) = Q
2
 – Q
1
 
ΔQ
 ⇒ F · (Δt) = ΔQ 1
A equação 1 nos diz que o produto F · (Δt) é igual à variação da quantidade de 
movimento (ΔQ) no intervalo de tempo Δt. Devido à grande utilidade do conceito da 
quantidade de movimento, os físicos resolveram dar um nome ao produto F · (Δt):
F · (Δt) = impulso de F no intervalo de tempo Δt
Representando o impulso por I , temos:
I = F · Δt 2
Sendo Δt > 0, os vetores F e I têm a mesma direção e o mesmo sentido (fig. 5). 
Se Δt = 0, teremos I = 0. Usando essa definição, a equação 1 pode ser escrita do 
seguinte modo:
I = ΔQ 3
A equação 3 traduz o chamado Teorema do Impulso.
No Sistema Internacional, a unidade de |F| é o newton (N), e a unidade de tempo é 
o segundo (s). Assim, a partir de:
|I | = |F| · Δt
temos:
unidade de |I | = N · s
Essa unidade não tem nome especial.
A partir da equação 3 percebemos que as unidades de impulso e quantidade de 
movimento são equivalentes:
N · s = kg · m/s
Um bloco de massa m = 2,0 kg desliza sobre uma superfície horizontal 
sob a ação de forças cuja resultante F é constante (como mostra a fig. 6) e 
tem módulo F = 12 N. No instante t
i
 = 0, a velocidade do bloco tem mó-
dulo v
i
 = 4,0 m/s. Vamos determinar o impulso de F no intervalo de tempo 
que vai de t
i
 = 0 a t
f
 = 3,0 s e a velocidade do bloco no instante t
f
 = 3,0 s.
O impulso (I ) da força F é dado por:
I = F · Δt
O vetor I tem a mesma direção e o mesmo sentido da força F (fig. 7) 
e seu módulo é:
I = F · Δt = (12 N)(3,0 s) = 36 N · s
|I | = 36 N · s
Podemos calcular a velocidade final usando o Teorema do Impulso:
I = ΔQ = Q
f
 – Q
i
Exemplo 2
Figura 5.
F
I
Figura 6.
t
i
 = 0 t
f
 = 3,0 s
F vi F vf
Figura 7.
I
F
Figura 8.
Q
f
Q
i
v
i
v
f
Figura 9.
Q
f
Q
i I
IL
U
St
R
A
ç
õ
ES
: 
ZA
pt
Quantidade de movimento e impulso 403
Como os vetores têm a mesma direção e o mesmo sentido (figs. 8 e 9), podemos usar os módulos:
I = Q
f
 – Q
i
 = mv
f
 – mv
i
36 = (2,0) · v
f
 – (2,0)(4,0) ⇒ v
f
 = 22 m/s
Você pode observar que, para calcular v
f
, não há necessidade de usar o Teorema do Impulso. Com os valores da força (F) e 
da massa (m), poderíamos usar a Segunda Lei de Newton (F = m · a), obtendo a aceleração. A seguir, usando a equação ho-
rária da velocidade escalar do MUV (v = v
0
 + at), poderíamos calcular a velocidade final. Usamos aqui o Teorema do Impulso 
para adquirirmos familiaridade com esse teorema, que será útil mais adiante.
Numa região onde g = 10 m/s2, um garoto lança verticalmente para 
cima uma bola de massa m = 0,20 kg, com velocidade inicial de módulo 
v
0
 = 30 m/s (fig. 10). Depois de um intervalo de tempo Δt, a bola está des-
cendo com velocidade de módulo v
1
 = 15 m/s. Desprezando a resistência 
do ar, vamos calcular a variação da quantidade de movimento da bola, no 
intervalo de tempo Δt, e o valor de Δt.
Vamos calcular a variação da quantidade de movimento da bola de dois 
modos:
1º. modo:
As quantidades de movimento da bola nos instantes t
0
 e t
1
 são, 
respectivamente, Q
0
 e Q
1
 (fig. 11):
Q
0
 = m · v
0
 = (0,20 kg)(30 m/s) = 6,0 kg · m/s
Q
1
 = m · v
1
 = (0,20 kg)(15 m/s) = 3,0 kg · m/s
A variação da quantidade de movimento (ΔQ) deve ser obtida 
fazendo-se a diferença entre a quantidade de movimento final (Q
1
) e 
a inicial (Q
0
):
ΔQ = Q
1
 – Q
0
Observamos que essa operação é uma subtração de vetores. Seguindo o procedimento visto no ca-
pítulo 8, desenhamos os vetores a partir de uma mesma origem (fig. 12) e ligamos suas extremidades 
(com sentido de Q
0
 para Q
1
). Da figura, tiramos:
|ΔQ| = |Q
0
| + |Q
1
| = 6,0 + 3,0 ⇒ |ΔQ| = 9,0 kg · m/s
2º. modo:
Aproveitando o fato de que os vetores Q
0
 e Q
1
 têm a mesma direção, podemos determinar (ΔQ) 
algebricamente, adotando um eixo e atribuindo sinais a Q
0
 e Q
1
 (fig. 13). Adotando o eixo da figura 13, 
o vetor Q
1
 tem o mesmo sentido do eixo e, portanto, Q
1
 = 3,0 kg · m/s.
O vetor Q
0
 tem sentido oposto ao do eixo e, assim, Q
0
 = –6,0 kg · m/s. Portanto:
ΔQ = Q
1
 – Q
0
 = (3,0) – (–6,0) = 3,0 + 6,0 = +9,0 ⇒ |ΔQ| = 9,0 kg · m/s
Vamos determinar o valor de Δt usando o Teorema do Impulso e observando que a única força 
atuante na bola é o seu peso P (fig. 14), sendo:
P = m · g = (0,20 kg)(10 m/s2) = 2,0 N
O impulso (I ) do peso deve ser igual à variação da quantidade de movimento (ΔQ):
I = ΔQ ⇒ P · (Δt) = ΔQ ⇒ Δt = 
|ΔQ|
P
 = 
9,0
2,0
 ⇒ Δt = 4,5 s
Exemplo 3
Figura 11.
v
1
Q
1v0
t
0
t
1
Q
0
Figura 12.
ΔQ
Q
0
Q
1
Figura 13.
Q
1
 = +3,0
Q
0
 = – 6,0
eixo
Figura 14.
ΔQ = I
P
Z
a
p
t
Figura 10.
v
1
g
v
0
t
1
 = ∆t
(t
0
 = 0)