Física 2 (2)-316-318

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Capítulo 12314
O ponto luminoso P encontra-se sobre o eixo principal da lente, 
como nos mostra a figura ao lado (fig. 29a). Pretendemos determi-
nar a posição de sua imagem P', a qual também se encontra sobre 
o eixo principal da lente.
A estratégia é a seguinte (acompanhe pela figura 29b):
•	 Partindo de P desenhamos um raio de luz r incidente na lente;
•	 Desenhamos o plano focal π', passando pelo foco F';
•	 Pelo centro óptico da lente desenhamos um eixo secundá-
rio (e. s.) paralelo ao raio incidente e na intersecção com o 
plano focal π' obtemos o foco secundário F '
s
;
•	 O raio refratado r' passará necessariamente pelo foco se-
cundário F '
s
 e interceptará o eixo principal da lente no pon-
to imagem P' procurado.
exemplo 6
A F O F' A'
P
A F O F' A'
P
r
P'
r'
F'
s
π'
eixo secund‡rio
Figura 29.
(a)
(b)
Vamos provar que os pontos antiprincipais, A e A', de uma 
lente convergente são simétricos em relação à lente.
Consideremos a figura 30, na qual temos o ponto antiprincipal 
A, disposto sobre o eixo da lente tal que:
AO = 2 · FO = 2f (por definição)
Vamos determinar a posição da imagem A' e provar que este 
ponto é simétrico ao ponto A em relação à lente.
Usaremos a estratégia do exemplo 6 para obtermos a imagem 
A, como nos mostra a figura 30.
Pela figura, verificamos que a posição do ponto A' está determinada, estando ele distante do centro em (x + f).
Observemos os triângulos AOB e OFF
s
: eles são semelhantes, pois o eixo secundário é paralelo à hipotenusa de AOB. Pode- 
se escrever a relação de semelhança:
a
b
 = 
2f
f
 ⇒ 
a
b
 = 
2
1
Por outro lado, os triângulos OBA' e A'FF
s
 também são semelhantes e pode-se escrever a relação:
a
b
 = 
(f + x)
x
 ⇒ 
2
1
 = 
(f + x)
x
 ⇒ 2x = f + x ⇒ x = f
Conclusão: A distância de A' ao centro óptico também vale 2f e podemos concluir que A e A' são simétricos em relação 
à lente, como havíamos dito no item 5.
Observação: Para uma lente divergente a demonstração é análoga.
exemplo 7
A f f f xFOF'
A'
r'
F
s
π'
αα
eixo secundário
b
a
r
B
Figura 30.
iL
u
st
r
A
ç
õ
es
: 
zA
Pt
Aplicação do foco secundário 
Quando se pretende determinar a imagem de um objeto puntiforme que se encon-
tra sobre o eixo principal da lente, usamos o recurso do foco secundário. Vamos a um 
exemplo.
Lentes esféricas 315
25. Toda lente delgada possui dois pontos antiprinci-
pais, A e A', situados sobre o seu eixo, simétricos 
em relação à lente e posicionados à distância 
2f do centro óptico. Nas figuras a e b temos os 
pontos antiprincipais das lentes convergente e 
divergente.
Figura a. Pontos antiprincipais da lente convergente. 
A é o ponto objeto e A', o ponto imagem.
A F
O
2f 2f
F' A'
Figura b. Pontos antiprincipais da lente divergente. 
A é o ponto objeto e A', o ponto imagem.
A' F'
O
2f 2f
F A
Analise cada uma das afirmativas e assinale falsa 
ou verdadeira:
I. Na lente convergente, se colocarmos um objeto 
luminoso em A, a respectiva imagem formar-se-á 
em A'. 
II. Na lente convergente, se um raio de luz sair 
de A e incidir na lente, o respectivo raio refra-
tado emergente da lente incidirá em A'.
III. Na lente divergente, se um raio de luz sair de 
A e incidir na lente, o respectivo raio refrata-
do emergente da lente incidirá em A'.
IV. Na lente divergente, o ponto A é objeto virtual 
e A' é imagem virtual.
V. Todo raio de luz que incidir na lente parale-
lamente ao eixo principal sofrerá refração e 
passará pelo ponto A'.
26. Dada uma lente delgada convergente, esboce a 
trajetória dos raios refratados 1 , 2 , 3 e 4 . 
A seguir, responda: os raios emergentes passam 
todos por um mesmo ponto P. Qual é esse ponto?
A F O F'
A'1
2
3
4
Resolução:
O raio emergente 1 incidirá no ponto antiprin-
cipal imagem A'.
O raio emergente 2 será paralelo ao eixo principal.
iL
u
st
r
A
ç
õ
es
: 
zA
Pt
exercícios de Aplicação
O raio emergente 3 não sofrerá desvio.
O raio emergente 4 será determinado com o 
recurso de um foco secundário, como mostra a 
figura a seguir.
O ponto P tem duas propriedades: ele é um foco 
secundário e, ao mesmo tempo, é a imagem de 
um objeto impróprio, isto é, situado no infinito.
1
2
3
4
A F
P
O F'
A'1
2
3
4
plano focal
27. A figura representa 
uma lente delga-
da convergente e 
dois raios paralelos 
incidentes sobre 
ela. Obtenha os 
respectivos raios 
emergentes.
Resolução:
Nesse caso, devemos fazer uso de um eixo secun-
dário, paralelo aos raios, e do respectivo foco 
secundário F '
s
, conforme a figura a seguir.
Os raios emergentes passam pelo foco secundá-
rio F '
s
.
F F'
O
F'
s
plano
focal
eixo secundário
paralelo aos 
raios e 
1
2
1 2
28. Na figura temos uma lente delgada, divergente, 
e três raios de luz notáveis incidindo sobre ela. 
Construa os respectivos raios refratados pela lente.
A' F'
O
F A
F F'
O
1
2
Capítulo 12316
29. Determine a imagem do segmento de reta PQ 
deitado sobre o eixo de uma lente convergente, 
como nos mostra a figura. O ponto antiprincipal A 
é o ponto médio do segmento PQ. 
A'F'FAP Q
Uma vez obtida a imagem P'Q', responda:
a) O ponto imagem antiprincipal A' é o ponto 
médio do segmento P'Q'?
b) A imagem P 'Q' é maior ou menor que o objeto PQ?
c) Relativamente ao segmento objeto PQ, a ima-
gem P'Q' está invertida ou direita?
Resolu•‹o:
Vamos fazer uso do foco secundário para determi-
nar a posição de P ' e de Q'.
A'
F'F
F
s
AP Q P' Q'
e. s.
π
1o. Desenhamos um eixo secundário com uma 
inclinação qualquer para servir de direção dos 
raios refratados.
2o. Desenhamos o plano focal π que será inter-
ceptado pelo eixo secundário anterior e vai 
determinar o foco secundário F
s
.
3o. Dois raios de luz saem de P e de Q incidindo na 
lente, porém passando pelo foco secundário. 
Ao incidirem na lente produzirão raios refra-
tados paralelos ao eixo secundário.
4o. A intersecção dos raios refratados com o eixo 
principal nos dará, respectivamente, os pon-
tos P ' e Q'.
a) Pela figura se percebe que P'A' < A'Q'. 
Portanto, A' não é o ponto médio de P'Q'.
b) A imagem P'Q' foi ampliada devido à proximi-
dade de Q com o foco F da lente.
c) Não houve inversão da imagem, ou seja, P'Q' é 
direita em relação ao segmento objeto PQ.
iL
u
st
r
A
ç
õ
es
: 
zA
Pt
30. Uma formiguinha passeia no eixo principal de 
uma lente convergente, partindo do ponto anti-
principal A e indo até um ponto B, à esquerda de 
A, como mostra a figura a seguir. O seu movimen-
to é retilíneo e uniforme.
A'F'FAB
Analise cada uma das afirmativas e indique quais 
são as verdadeiras:
I. A imagem da formiguinha se desloca da 
esquerda para a direita.
II. O movimento da sua imagem é retilíneo e 
uniforme.
III. A distância percorrida pela imagem é menor que 
a distância percorrida pela formiguinha objeto.
IV. Durante a sua caminhada pelo segmento AB, em 
nenhum instante a sua imagem desapareceu.
exercícios de reforço
31. (Fuvest-SP) Na figura estão representados uma lente 
delgada convergente e três raios paralelos inciden-
tes. Complete a trajetória dos raios luminosos.
focoO
32. Obtenha graficamente a imagem do ponto P, 
situado no ponto médio do segmento FO da lente 
convergente da figura. Use as técnicas do eixo 
secundário e do foco secundário.
F'F P
O