Tópicos de Física 1 - Parte 1-151-153

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149TÓPICO 4 | VETORES E CINEMÁTICA VETORIAL
9. Velocidade vetorial média
É definida como o quociente do deslocamento vetorial d & pelo respectivo inter-
valo de tempo Dt.
v &m 
d
t
r r
t t
2 1r r2 1r r
2 1t t2 1t t
 
&
5
D
5
r r2r r
t t2t t
Como Dt é um escalar positivo, a velocidade vetorial média tem sempre a 
mesma direção e o mesmo sentido que o deslocamento vetorial (ambos são se-
cantes à trajetória), como representa a figura ao lado.
Vamos comparar agora o módulo da velocidade vetorial média com o módulo 
da velocidade escalar média.
Sabemos que:
5
D
5
D
D
&
&
v| | |d|
t
e |v | | s|
tm m
Lembrando que |d &| < |Ds|, podemos concluir que o módulo da velocidade 
vetorial média nunca excede o módulo da velocidade escalar média.
|v &m| < |vm|
movimento
P
2
P1
trajetória
d v
m
Ocorrerá também o caso da igualdade, |v &m| 5 |vm|, quando a trajetória for 
retilínea.
Exemplo:
No caso da figura ao lado, uma partícula P1 vai de A até B percorrendo a 
semicircunferência, enquanto outra partícula P2 também vai de A até B, porém 
percorrendo o diâmetro que conecta esses dois pontos.
Supondo que as duas partículas se desloquem de A até B durante o mes-
mo intervalo de tempo, podemos concluir que:
 I. os deslocamentos vetoriais são iguais: d&1 5 d&2.
 II. os deslocamentos escalares têm módulos diferentes: |Ds1| . |Ds2|.
 III. |d&1| , |Ds1|; |d&2| 5 |Ds2|
 IV. as velocidades vetoriais médias têm módulos iguais: |v &m1| 5 |v &m2|.
 V. as velocidades escalares médias têm módulos diferentes: |vm1| . |vm2|.
 VI. |v &m1| , |vm1
|; |v &m2| 5 |vm2
|.
10. Velocidade vetorial (instantânea)
Frequentemente denominada apenas velocidade vetorial, a velocidade vetorial 
instantânea é dada matematicamente por: 
P2
P1
A B0
D
5
D DDD D→ →D→ →D D→ →DD D→ →→ →D D
&
&
&v l5v l&v lim
d
tD DtD D→ →t→ →D D→ →tD Dt→ →
lim v
t 0D Dt 0D D→ →t 0→ →D D→ →D Dt 0D Dt 0→ →t 0→ →t 0→ → m
m vmm v
AAComo vimos, a velocidade vetorial média é secante à trajetória, apresentan-
do mesma direção e mesmo sentido do deslocamento vetorial no intervalo de 
tempo considerado.
B
a
n
c
o
 d
e
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m
a
g
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s
/A
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150 UNIDADE 1 | CINEMÁTICA
A velocidade vetorial instantânea, entretanto, pelo 
fato de ser definida em intervalos de tempo tendentes 
a zero, é tangente à trajetória em cada ponto e orien-
tada no sentido do movimento.
Dt1 5 tB1
 2 tA; Dt2 5 tB22 tA; Dt3 5 tB3
– tA
A (tA)
B3 (tB3
)
B2 (tB2
)
B1 (tB1
)
trajet—ria
Dt3 , Dt2 , Dt1
|v & | 5 |v|
Reduzindo-se a duração do intervalo de tempo, obtém-se no limite para Dt 
tendente a zero o ponto B praticamente coincidente com o ponto A. Com isso, no 
limite para Dt tendente a zero, a direção da velocidade vetorial média passa de 
secante a tangente à trajetória no ponto considerado.
Exemplo:
Na situação apresentada na figura ao 
lado, uma partícula percorre de A para C, em 
movimento uniforme, a trajetória esquema-
tizada. Estão representadas nos pontos A, B 
e C as velocidades vetoriais da partícula, 
todas tangentes à trajetória e orientadas no 
sentido do movimento.
Observe que, embora as três velocidades vetoriais representadas tenham 
módulos iguais (movimento uniforme), v &A Þ v &B Þ v &C. Isso ocorre porque os vetores 
representativos dessas velocidades têm direções diferentes.
Dois vetores ou mais são iguais somente quando têm o mesmo módulo, a 
mesma direção e o mesmo sentido.
O módulo (intensidade) da velocidade vetorial instantânea é sempre igual ao 
módulo da velocidade escalar instantânea:
sentido do
movimento
trajetória
A
B
C
vA
vB
vC
Nível 1Exercícios
B
a
n
c
o
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m
a
g
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n
s
/ 
A
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ra
 42. Um escoteiro, ao fazer um exercício de marcha 
com seu pelotão, parte de um ponto P e sofre 
a seguinte sequência de deslocamentos:
 I. 600 m para o Norte;
 II. 300 m para o Oeste;
 III. 200 m para o Sul.
Sabendo que a duração da marcha é de 8 min 
20 s e que o escoteiro atinge um ponto Q, de-
termine:
a) o módulo do seu deslocamento vetorial de 
P a Q;
b) o módulo da velocidade vetorial média e da 
velocidade escalar média de P a Q. (Dê sua 
resposta em m/s.)
E.R.
 Resolução:
a) No esquema a seguir, estão representa-
dos os três deslocamentos parciais do 
escoteiro e também seu deslocamento 
total, de P até Q.
100 m
Q
P
100 m
O
N
S
L
d
d
II
d
I
d
III
B
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151TÓPICO 4 | VETORES E CINEMÁTICA VETORIAL
Aplicando o Teorema de Pitágoras ao 
triângulo retângulo destacado, obtemos o 
módulo do deslocamento vetorial do esco-
teiro de P até Q.
|d&|2 5 (300)2 1 (400)2 ∴ |d&| 5 500 m
b) O intervalo de tempo gasto pelo escoteiro 
de P até Q é Dt 5 8 min 20 s 5 500 s. Logo:
|v &m|
|d|
t
&
5
D
⇒ |v &m| 
500 m
500 s
5
|v &m| 5 1,0 m/s
& & &
5
D
D
5
1 1
D
|v |
| s|
t
|d| |d | |d |
t
m
I II III
5
1 1
|v |
600 300 200
500
m
 
|vm|5 2,2 m/s
 43. Três cidades A, B e C, situadas em uma região pla-
na, ocupam os vértices de um triângulo equilátero 
de 60 km de lado. Um carro viaja de A para C, pas-
sando por B. Se o intervalo de tempo gasto no per-
curso total é de 1 h 12 min, determine, em km/h:
a) o valor absoluto da velocidade escalar média;
b) a intensidade da velocidade vetorial média.
 44. Um carro percorreu a trajetória ABC, represen-
tada na figura, partindo do ponto A no instante 
t0 5 0 e atingindo o ponto C no instante t1 5 20 s. 
Considerando que cada quadrícula da figura tem 
lado igual a 10 m, determine:
a) o módulo do desloca-
mento vetorial sofrido 
pelo carro de A até C;
b) o módulo das veloci-
dades vetorial média 
e escalar média no 
intervalo de t0 a t1.
A
BC
B
a
n
c
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g
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A
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Exercícios Nível 2
 45. (Unicamp-SP) A figura abaixo representa um mapa 
da cidade de Vectoria o qual indica o sentido das 
mãos do tráfego. Devido ao congestionamento, os 
veículos trafegam com a velocidade média de 
18 km/h. Cada quadra dessa cidade mede 200 m 
por 200 m (do centro de uma rua ao centro da ou-
tra rua). Uma ambulância localizada em A precisa 
pegar um doente localizado bem no meio da qua-
dra em B, sem andar na contramão.
a) Qual é o menor in-
tervalo de tempo 
gasto (em minutos) 
no percurso de A 
para B?
b) Qual é o módulo do 
vetor velocidade 
média (em km/h) 
entre os pontos A 
e B?
 46. (Vunesp) O plano de voo de um avião comercial 
prevê os seguintes trechos: do aeroporto A ao 
aeroporto B, 1 100 km para o norte, em 1,5 h; 
escala de 30 min em B; do aeroporto B ao aero-
porto C, 800 km para o oeste, em 1,0 h; escala 
de 30 min em C; do aeroporto C ao aeroporto D, 
500 km para o sul, em 30 min. O módulo da ve-
locidade vetorial média, de A até D, desenvolvida 
por esse avião, em km/h, terá sido de
a) 250.
b) 300.
c) 350.
d) 400.
e) 450.
 47. Uma embarcação carregada com suprimentos 
zarpa de um porto O na costa às 7 h para fazer 
entregas em três pequenas ilhas, A, B e C, posi-
cionadas conforme representa o esquema.
9,0 km
3,0 km
15,0 km
O
C
B A
A embarcação atraca na ilha C às 13 h do mesmo 
dia. Calcule para o percurso total de O até C:
a) a velocidade escalar média;
b) a velocidade vetorial média. 
A
B
R
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p
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