Tópicos de Física 2 - Parte 2-307-309

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577TÓPICO 4 | LENTES ESFÉRICAS
13. Associação de lentes – Teorema das 
Vergências
Nos equipamentos ópticos modernos com maior grau de sofisticação, são 
comuns as associações de lentes. Em geral, uma lente esférica, por si só, apre-
senta problemas como o das aberrações cromáticas, que consiste no fato de a 
lente ter distâncias focais diferentes para as diferentes cores. Ao incidir parale-
lamente ao eixo principal, um pincel elementar de luz branca refrata-se sofrendo 
dispersão, e cada cor experimenta um desvio diferente. Associando as lentes 
adequadamente, consegue-se uma minimização considerável desse e de outros 
inconvenientes.
Um sistema de lentes associadas como o que está representado no esquema 
ao lado é uma associação por justaposição.
Nesse caso, as lentes apresentam eixo principal comum e estão dispostas lado 
a lado, praticamente encostadas uma na outra.
Considere a figura ao lado, em que estão represen-
tadas duas lentes convergentes delgadas, L1 e L2, asso-
ciadas por justaposição. Seja O o centro óptico comum 
às lentes (de espessura desprezível e encostadas uma 
na outra) e P um ponto luminoso situado sobre o eixo 
do sistema. A lente L1 conjuga a P a imagem real P1, que 
se comporta como objeto virtual em relação a L2. Final-
mente, L2 conjuga a P1 a imagem real P2, que constitui 
a imagem final que a associação fornece a P.
É possível imaginar uma lente L que, colocada na 
mesma posição de L1 e L2, conjugue a P uma imagem 
com as mesmas características de P2. Dizemos, então, 
que essa lente única que substitui a associação é a 
lente equivalente.
Calculemos a abscissa focal (e a vergência) da lente 
equivalente em função das abscissas focais (e das vergências) das lentes compo-
nentes da associação. Para isso, vamos adotar em nossas considerações a se-
guinte simbologia:
• f1 e V 1: abscissa focal e vergência da lente L1;
• f2 e V 2: abscissa focal e vergência da lente L2;
• f e V: abscissa focal e vergência da lente equivalente.
Aplicando a função dos pontos conjugados à lente L1, tem-se:
1
f
1
p
1
p'1 1
5 1 (I)
Aplicando a função dos pontos conjugados à lente L2, tem-se:
1
f
1
p'
1
p'2 1 2
52 1
 
 (II)
Somando as equações (I) e (II), segue que:
1
f
1
f
1
p
1
p'1 2 2
1 5 1 (III)
Aplicando a função dos pontos conjugados à lente equivalente L, chega-se a:
1
f
1
p
1
p'2
5 1 (IV)
eixo
principal
V
1
V
2
V
3
V
4
L1 L2
p
2
'
p
1
'
p
P
2
P
1
P O
L
p
2
'p
P
2
P O
B
a
n
c
o
 d
e
 i
m
a
g
e
n
s
/A
rq
u
iv
o
 d
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B
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u
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 d
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d
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o
ra
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578 UNIDADE 3 | ÓPTICA GEOMÉTRICA
Comparando (III) e (IV), obtém-se: 
Em termos de vergências 





V 1
f
5 , é também correto que: 
1
f
1
f
1
f1 2
5 1
A conclusão a que chegamos é conhecida por Teorema das Vergências, sendo 
extensiva ao cálculo da vergência equivalente da associação de duas ou mais lentes 
justapostas. As lentes envolvidas podem ser convergentes ou divergentes, e, nos 
cálculos, deve-se observar os sinais algébricos de suas abscissas focais (e vergências).
Para n lentes que constituem uma associação delgada (espessura desprezível) 
por justaposição, podemos escrever que:
V 5 V1 1 V2
V 5 V1 1 V2 1 ... 1 Vn
1
f
1
f
1
f
... 1
f1 2 n
5 1 1 1
ou
Nível 1Exercícios
 47. Considere uma lente plano-convexa de vidro 
imersa no ar, em que o raio de curvatura da 
face convexa vale 25 cm. Se o índice de refra-
ção do vidro vale 1,5, calcule a distância focal 
e a vergência da lente.
Resolução:
Trata-se de uma aplicação direta da Equação 
dos Fabricantes de Lentes:
1
f
n
n
1
1
R
1
R
L
m 1 2
5 2 2








No caso, nL 5 1,5, nm 5 1,0 e R1 5 125 cm (na 
face convexa, R . 0).
O raio de curvatura R2 tende ao infinito, já que 
a face correspondente a ele é plana. Por isso, 
o termo 
1
R2
 tende a zero, conduzindo-nos a:








1
f
1,5
1,0
1
1
25
05 2 1
1
f
0,50 1
25
5 ? [ f 5 50 cm 5 0,50 m
E.R.
A vergência é dada pelo inverso da distância 
focal.
V 1
f
5 ⇒ V
1
0,50
5 [ V 5 2,0 di
A lente é convergente, já que f . 0 e V . 0.
 48. Uma lente delgada biconvexa de raios de curva-
tura iguais a 50 cm, feita de material de índice de 
refração 1,5, está imersa no ar (índice de refração 
igual a 1,0). A que distância da lente deve-se co-
locar um objeto real para que sua imagem se 
forme no infinito?
 49. Uma lente esférica de vidro (nv 5 1,5) tem uma 
face plana e a outra côncava, com raio de curva-
tura de 1,0 m. Sabendo que a lente está imersa 
no ar (nar 5 1,0), determine:
a) a abscissa focal da lente;
b) sua vergência;
c) seu comportamento óptico (convergente ou 
divergente).
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579TÓPICO 4 | LENTES ESFÉRICAS
Exercícios Nível 2
 53. Uma lente esférica de vidro, envolvida pelo ar, tem 
raios de curvatura iguais. Sabendo que o índice 
de refração do vidro em relação ao ar vale 
3
2
 e 
que a convergência da lente é de 15 di:
a) calcule o raio de curvatura comum às faces da 
lente;
b) classifique a lente como biconvexa ou bicôncava.
 54. (Unifesp) Um estudante observa uma gota de água 
em repouso sobre sua régua de acrílico, como 
ilustrado na figura.
gota
5,0 mm
régua
B
a
n
c
o
 d
e
 i
m
a
g
e
n
s
/ 
A
rq
u
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o
 d
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R
e
p
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d
u
ç
ã
o
/ 
A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
 50. Uma lente plano-convexa de vidro em operação 
no ar apresenta distância focal f1 quando o raio 
de curvatura de sua face esférica tem medida R1. 
Desgastando-se essa lente, faz-se com que o raio 
de curvatura da face esférica adquira a medida 
R2, conforme indica a figura a seguir.
Sendo f2 a distância focal 
da lente depois do desgas-
te, é correto afirmar que:
a) f2 5
1
2
f1.
b) f2 5 f1.
c) f2 5 2f1.
d) f2 5 3f1.
e) o valor de f2 está indeterminado, já que não é 
conhecida a relação entre R2 e R1.
 51. São justapostas três lentes delgadas A, B e C 
com vergências VA 5 14 di, VB 5 23 di e 
VC 5 11 di.
a) Qual é a vergência e qual a distância focal 
do sistema resultante?
b) O comportamento óptico do sistema resul-
tante é convergente ou divergente?
 Resolução:
a) A vergência equivalente a uma associação 
delgada de lentes justapostas é calculada 
por:
V 5 V1 1 V2 1 ... 1 Vn
E.R.
 No caso:
V 5 VA 1 VB 1 VC
 Substituindo os valores de VA, VB e VC, se-
gue que:
V 5 14 di 2 3 di 1 1 di ⇒ V 5 12 di
 Sendo V 5 
1
f
, calculamos f, que é a distân-
cia focal equivalente à associação:
V 1
f
5 ⇒ f
1
V
1
2 di
0,5 m5 5
1
5
f 5 0,5 m 5 50 cm
b) Como a vergência do sistema resultante é 
positiva (V 5 12 di), ele tem comportamen-
to convergente.
 52. Admita que um náufrago tenha conseguido chegar 
a uma ilha deserta levando consigo apenas um 
conjunto de duas lentes justapostas, uma delas 
com vergência V1 5 13,0 di e a outra com vergên-
cia V2 5 21,0 di. Para acender uma fogueira con-
centrando raios solares, ele utilizará o Sol do meio-
-dia, dispondo as lentes paralelamente ao solo, 
onde fez um amontoado de gravetos e folhas secas. 
Para obter fogo no menor intervalo de tempo pos-
sível, o náufrago deverá colocar as lentes a uma 
distância dos gravetos e folhas secas igual a:
a) 2,0 m.
b) 1,5 m.
c) 1,0 m.
d) 0,50 m. 
e) 0,25 m.
R
2
R
1
Curioso, percebe que, ao olhar para o caderno 
de anotações através dessa gota, as letras au-
mentam ou diminuem de tamanho conforme 
afasta ou aproxima a régua do caderno. Fazendo 
alguns testes e algumas considerações, ele per-
cebe que a gota de água pode ser utilizada como 
uma lente e que os efeitos ópticos do acrílico 
podem ser desprezados. Se a gota tem raio de 
curvatura de 2,5 mm e índice de refração 1,35 
em relação ao ar:
a) Calcule a convergência C dessa lente.
b) Suponha que o estudante queira obter um au-
mento de 50 vezes para uma imagem direita, 
utilizandoessa gota. A que distância d da len-
te deve-se colocar o objeto?
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