Tópicos de Física 2 - Parte 2-310-312

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580 UNIDADE 3 | ÓPTICA GEOMÉTRICA
 55. Uma lente esférica, simétrica, biconvexa e de vi-
dro (índice de refração absoluto do vidro igual a 
n) com faces de raios de curvatura iniciais iguais 
a R0 5 50,0 cm será esmerilhada por um fabri-
cante de lentes, porém, de modo a manter suas 
faces sempre esféricas, convexas e simétricas, 
com raios de curvatura cada vez maiores. No grá-
fico abaixo, pode-se observar a variação da dis-
tância focal f da lente, em operação no ar (nar 5 1), 
em função do raio de curvatura R de suas faces 
em cada instante do processo.
R (cm)
f (cm)
0 50,0
50,0
Com base nessas informações, responda:
a) Qual o valor de n?
b) Como será o gráfico da vergência V da lente, 
em dioptrias, em função de R?
 56. Um feixe de luz monocromática de raios pa-
ralelos incide paralelamente ao eixo principal 
de uma lente esférica delgada biconvexa fei-
ta de vidro com índice de refração absoluto 
nV 5 2,0. Com essa lente imersa no ar (índice 
de refração absoluto nAr 5 1,0), os raios lu-
minosos refratados convergem em um ponto 
a uma distância dA do centro óptico. Se a lente 
for mergulhada em um líquido com índice de 
refração absoluto nL 5 1,5, porém, os mes-
mos raios luminosos incidentes convergem 
em um ponto do eixo principal a uma distância 
dL do centro óptico. Com base nessas infor-
mações, responda:
a) Qual o valor da relação 
d
d
A
L
?
b) Do ar para o líquido, a vergência (“grau”) 
da lente aumenta ou diminui? 
Resolução:
a) Pela equação de Halley, temos:
 
1
f
n
n
1
1
R
1
R
lente
meio 1 2
5 2 1








 No líquido e no ar, o feixe luminoso refratado 
através da lente converge para o seu foco 
principal imagem, conforme a figura a seguir:
E.R.
B
a
n
c
o
 d
e
 i
m
a
g
e
n
s
/A
rq
u
iv
o
 d
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 e
d
it
o
ra
 
lente
foco
d 5 f
 Lente imersa no ar:
 





1
d
2
1
1 K
A
5 2 ? ⇒ 
1
d
K
A
5
 Da qual: d
1
KA
5 (I)
 Em que K é uma constante associada aos 
raios de curvatura das faces da lente.
 Lente imersa no líquido:
 
1
d
2
3
2
1 K
L
5 2 ?








 ⇒ 
1
d
K
3L
5
 Da qual: d
3
KL
5 (II)
 De (I) e (II), temos:
d
d
1
K
3
K
A
L
5 [ 
d
d
1
3
A
L
5
b) Lembrando que as distâncias focais da lente 
no ar e no líquido valem respectivamente dA 
e dL, as correspondentes vergências nesses 
dois meios ficam determinadas por:
 V
1
d
e V
1
dA A
L
L
5 5
 Com dL 5 3dA, conclui-se que V
V
3L
A
5 , o 
que significa que do ar para o líquido a ver-
gência da lente diminui (reduz-se o “grau”) 
e esta se torna mais “fraca”.
 57. Um estudante possui uma lente côncavo-convexa 
de vidro 





n 3
2
v 5
, cujas faces têm raios de cur-
vatura 10 cm e 5,0 cm. Sabendo que a lente é 
utilizada no ar (nar 5 1) e posteriormente na água 





n 4
3
a 5 , responda:
a) Do ar para a água os planos focais aproximam-se 
ou afastam-se do centro óptico?
b) Qual é a variação da distância focal da lente?
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581TÓPICO 4 | LENTES ESFÉRICAS
 58. (UFTM-MG) Em um laboratório, uma lente pla-
no-convexa de raio de curvatura 0,5 m é parcial-
mente mergulhada em água, de modo que o eixo 
principal fique no mesmo plano da superfície de 
separação entre a água e o ar. Um feixe de luz, 
incidindo paralelamente a esse eixo, após passar 
pela lente, converge para dois focos distintos (Far 
e Fágua). Na região em que a lente está imersa no 
ar, a convergência é de 1 di.
ar
água
F
água Far
luz
incidente
Se o índice de refração do ar tem valor 1 e o índi-
ce de refração da água, valor 4/3, a convergência 
da parte da lente mergulhada no líquido é, em di:
a) 1
4
b) 3
5
c) 2
3
d) 3
4
e) 4
5
 59. Nicolas é um curioso estudante de Óptica Geomé-
trica que dispõe de duas lupas iguais (lentes bicon-
vexas de vidro que obedecem às condições de 
Gauss). Posicionando um pequeno objeto luminoso 
a 10 cm de uma das lupas, ele nota uma imagem 
direita e ampliada, com duas vezes as dimensões 
do objeto. Em seguida, ele justapõe as duas lupas, 
mantendo o objeto na mesma posição, a 10 cm da 
associação. Nesse caso, ele observará uma imagem
a) direita e ampliada.
b) invertida e ampliada.
c) direita e reduzida.
d) invertida e reduzida.
e) imprópria (indefinida).
Teoria da Relatividade Geral
Em 1916, Einstein publicou sua Teoria da Relatividade Geral. Entre outros 
temas, ele tratou das deformações que uma grande massa provoca no cha-
mado espaço-tempo. É como se uma superfície horizontal de borracha, presa 
pelas bordas, recebesse um corpo pesado em sua região central. Isso provo-
caria uma vala análoga à deformação no espaço-tempo proposta pelo cientista. 
Uma pequena esfera que passasse com baixa velocidade perto dessa vala 
seria “atraída” para a parte mais funda dela, como se a vala fosse uma espé-
cie de sorvedouro. Esse foi o fundamento da explicação de Einstein para a 
gravitação dos planetas em torno do Sol ou a da Lua em torno da Terra.
 Albert Einstein (1879-1955).
Ampliando o olhar
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 60. Um objeto luminoso de altura igual a 15 cm é 
colocado perpendicularmente ao eixo óptico de 
uma lente esférica convergente que obedece às 
condições de Gauss. Sabendo que a imagem 
obtida tem altura igual a 3,0 cm e está a 30 cm 
do objeto, determine a vergência da lente.
 61. (Vunesp) Suponha que você tenha em mãos duas 
lentes de mesmo diâmetro e confeccionadas com 
o mesmo tipo de vidro, mas uma plano-convexa 
(convergente) e outra plano-côncava (divergente). 
Como proceder para verificar, sem auxílio de ins-
trumentos de medição, se a convergência de uma 
é igual, em módulo, à divergência da outra?
 62. Um raio de luz monocromática R incide paralela-
mente ao eixo principal de um sistema óptico 
composto de duas lentes convergentes, L1 e L2, 
produzindo um raio emergente R', conforme ilus-
tra a figura a seguir. A vergência da lente L2 é igual 
a 4,0 di.
L
1
L
2
25 cm
50 cm
20 cm
R
eixo
principal
R'
Determine:
a) a distância focal da lente L1;
b) a distância entre as lentes.
 63. (Unisa-SP) Um objeto luminoso é colocado a 60 cm 
de uma lente convergente de 20 cm de distância 
focal. Uma segunda lente convergente, de 30 cm 
de distância focal, é colocada a 80 cm da primeira 
lente, tendo seus eixos principais coincidentes. 
A que distância da segunda lente se forma a imagem 
final fornecida pelo sistema?
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582 UNIDADE 3 | ÓPTICA GEOMÉTRICA
As deformações no espaço-tempo também encurvam as 
trajetórias da luz, o que justifica as imagens produzidas pelas 
lentes gravitacionais descritas mais adiante neste texto.
Em 1919, Einstein recebeu notícias que comprovavam 
aspectos de sua teoria. Nessa ocasião, os astrônomos bri-
tânicos Andrew Crommelin e Charles Davidson, da equipe 
de Arthur Edington, estiveram no Brasil, em Sobral, Ceará, 
para observar um eclipse total do Sol. Eles verificaram no 
momento do fenômeno, com o céu obscurecido pela presen-
ça da Lua diante do disco solar, o aparecimento de estrelas 
do grupo das Híades, que deveriam estar escondidas atrás 
do Sol. O que foi visto, na verdade, foram imagens virtuais 
dessas estrelas produzidas pela lente-gravitacional-Sol, que 
deforma o espaço-tempo ao seu redor.
Os quasares e as lentes gravitacionais
Em 1963, o astrônomo holandês Maarten Schmidt localizou 
uma “estrela” que foi chamada de 3C 273. Quando analisou seu 
espectro, ficou intrigado. As conclusões não faziam sentido, des-
toando de tudo o que se conhecia até então.
Depois de algum tempo de dúvidas e inquietação, Schmidt con-
cluiu, pela análise do red shift da 3C 273 – deslocamento do espec-
tro da estrela para frequências mais baixasdevido ao efeito Doppler 
luminoso – que aquele corpo celeste devia estar muito mais longe 
da Terra que a maioria das galáxias e que se afastava de nosso 
planeta com grande velocidade, o que ia ao encontro das teorias do 
universo em expansão. A 3C 273 foi chamada de quasar – quasi-stellar astronomical radiosource, que significa 
“fonte de rádio astronômica quase estelar”.
Os quasares são corpos que, embora tenham tamanho equivalente ao do Sistema Solar, brilham mais que 
1 trilhão de sóis. Sua distância à Terra excede 2 bilhões de anos-luz e sua detecção em nosso planeta é feita 
principalmente por meio das ondas de rádio e raios X que emitem. 
Albert Einstein demonstrou que a presença de um corpo de grande 
massa pode desviar ondas eletromagnéticas, em especial a luz. Quando 
as radiações emanadas de um astro passam nas proximidades do Sol, 
por exemplo, elas se encurvam, como está ilustrado na figura ao lado, 
fazendo com que se obtenham imagens virtuais do astro em posições 
aparentes diferentes daquela em que ele realmente está.
A influência de grandes massas sobre ondas eletromagnéticas pode ser 
comprovada quando um quasar, “escondido” atrás de uma galáxia, tem suas 
radiações captadas por sistemas de detecção (radiotelescópios) localizados 
na Terra. Luz, ondas de rádio e raios X emitidos por ele são desviados inten-
samente pela deformação do espaço-tempo em torno da galáxia, proporcio-
nando aos astrônomos imagens duplas ou múltiplas daquele corpo celeste.
É importante notar que essas imagens não provêm de dois ou mais 
quasares distintos; trata-se do mesmo astro, já que qualquer alteração 
verificada em uma delas também é constatada simultaneamente nas demais.
A galáxia funciona como uma lente gravitacional que, desviando a energia radiante como se fosse uma 
imensa lente óptica, permite a visualização de imagens dos astros de onde essa energia provém. Isso nos 
leva a acreditar que, realmente, as radiações desses corpos celestes não se propagam em linha reta, 
sendo desviadas pela presença de grandes concentrações de massa.
imagem
objeto
Terra
Sol
 A luz do astro sofre um desvio devido à 
presença do Sol. (Ilustração com 
tamanhos e distâncias fora de escala e 
em cores fantasia.)
 Ilustração, com tamanho e 
distâncias fora de escala e em 
cores fantasia, representando 
duas imagens de um mesmo 
quasar conjugadas por uma lente 
gravitacional (galáxia).
imagem 1
quasar
imagem 2
Terra
lente gravitacional
(gal‡xia)
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Sol
Terra
posição
da estrela
posição de
observação
da estrela
 Representação ilustrativa, com tamanhos e 
distâncias fora de escala e em cores fantasia, 
da deformação no espaço-tempo provocada 
pela presença do Sol e o consequente desvio 
da luz proveniente de uma estrela.
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