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Estruturas 
Isostáticas
Treliças Isostáticas
Prof. Msc. Gabriel Trindade Caviglione
• Unidade de Ensino: 02
• Competência da Unidade: Aplicar os conceitos fundamentais para determinar e analisar os esforços,
atuantes e reativos, em treliças isostáticas. Avaliar a estabilidade e as estaticidades de treliças.
Calcular os esforços axiais nas barras de treliças isostáticas.
• Resumo: Possibilitar ao aluno o entendimento de conceitos básicos de treliças isostáticas, tipos de
vínculos e restrições, tipos de carregamentos, análise da estabilidade e das estaticidades e cálculo dos
esforços de reação nos apoios e das forças axiais nas barras
• Palavras-chave: Estruturas Isostáticas, Treliças Isostáticas, Estabilidade de Treliças, Estaticidade de 
Treliças, Método de Ritter, Treliças Complexas, Treliças Espaciais.
• Título da Teleaula: Estruturas Isostáticas – Treliças Isostáticas
• Teleaula nº: 02
Contextualização da teleaula
• O que são treliças?
• Onde podemos encontrá-las?
• Podem ser de madeira, metálica ou concreto
Fonte: https://goo.gl/bcQCRi, https://goo.gl/6BzXht, https://goo.gl/xEpPs5
Contextualização da teleaula
• O que são treliças?
• Onde podemos encontrá-las?
Fonte:https://goo.gl/4RP3e8 https://bit.ly/30w11mW https://goo.gl/znhf6Z
Treliças
Tipos de Treliças
Estaticidade 
Externa/Interna/Global
• “Estruturas reticuladas constituídas por barras que, por sua vez, são 
unidas por rótulas.”
• Estruturas leves e altamente resistentes. 
• Nó – ponto de encontro das barras.
• Carregamentos externos atuam nos nós;
• Barras - responsáveis por suportar os efeitos 
internos da estrutura (tração e compressão); 
Treliças
Fonte: SANTOS (2018)
• Classificação: simples, compostas e espaciais
• Elementos: banzos, diagonais e montantes
• Arranjos notáveis, tipos de treliça
Fonte: SANTOS (2018)
Fonte: SANTOS (2018)
Fonte: https://goo.gl/931bg4 https://goo.gl/bcQCRi, e SANTOS (2018)
• Treliças são usadas em 
coberturas de telhados, 
“tesouras”
Estabilidade de treliças
• O que garante a estabilidade de uma treliça? (treliça não cair)
• Forças devem-se encaminhar para os apoios -> formato 
triangular
• Regra geral:
Fonte: SANTOS (2018)
𝑏 = 2𝑛 − 3
𝑏 < 2𝑛 − 3➔ INSTÁVEL
𝑏 ≥ 2𝑛 − 3➔ ESTÁVEL
Estaticidade de treliças
• Nº incógnitas vs Nº equações
• Isostática, Hiperestática, Hipostática
• Falta ou excesso de barras
• “Possibilidade de se determinar os esforços:”
• Internamente e Externamente
Fonte: SANTOS (2018)
Estaticidade global
• Avaliação do numero de incógnitas disponíveis comparas as necessárias
• Equação da Estaticidade Global
• 𝐸𝑔 < 0 ➔ treliça é HIPOSTÁTICA
• 𝐸𝑔 = 0 ➔ treliça é ISOSTÁTICA
• 𝐸𝑔 > 0 ➔ treliça é HIPERESTÁTICA
𝑬𝒈 = 𝒓 + 𝒃 − 𝟐𝒏
Estaticidade interna
• Avaliação do numero de barras disponíveis comparas as necessárias
• Equação da Estaticidade Interna
• 𝐸𝑖 < 0 ➔ internamente HIPOSTÁTICA 
• 𝐸𝑖 = 0 ➔ internamente ISOSTÁTICA 
• 𝐸𝑖 > 0 ➔ internamente HIPERESTÁTICA
𝑬𝒊 = 𝒃 − (𝟐𝒏 − 𝟑)
Estaticidade externa
• Avaliação do numero de reações disponíveis comparas as necessárias
• Equação da Estaticidade Externa
• 𝐸𝑒 < 0 ➔ externamente HIPOSTÁTICA 
• 𝐸𝑒 = 0 ➔ externamente ISOSTÁTICA 
• 𝐸𝑒 > 0 ➔ externamente HIPERESTÁTICA
𝑬𝒆 = 𝒓 − 3
Situação Problema 01
SP-1: Estágio em uma empresa de projeto estrutural
• Verificar a estabilidade e as estaticidades da treliça abaixo: 
Fonte: SANTOS (2018)
Resolvendo a Situação Problema 01
1º PASSO – Estabilidade da treliça
𝑏 = 2𝑛 − 3
𝑏 = 𝟐𝟓 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠
𝑛 = 14 𝑛ó𝑠
2𝑛 − 3 = 2 × 14 − 3 = 𝟐𝟓
𝑏 ≥ 2𝑛 − 3➔ treliça é ESTÁVEL
Fonte: SANTOS (2018)
Resolvendo a Situação Problema 01
2º PASSO – Estaticidade global
𝐸𝑔 = 𝑟 + 𝑏 − 2𝑛
𝑟 = 𝟑 𝑟𝑒𝑎çõ𝑒𝑠
𝐸𝑔 = 3 + 25 − 2 × 14
𝐸𝑔 = 28 − 28 = 0
𝐸𝑔 = 0 ➔ treliça é ISOSTÁTICA
Fonte: SANTOS (2018)
Resolvendo a Situação Problema 01
3º PASSO – Estaticidade interna da treliça
𝐸𝑖 = 𝑏 − (2𝑛 − 3)
𝐸𝑖 = 25 − 2 × 14 − 3
𝐸𝑖 = 25 − (28 − 3)
𝐸𝑖 = 25 − 25 = 0
𝐸𝑖 = 0 ➔ internamente ISOSTÁTICA
Fonte: SANTOS (2018)
Resolvendo a Situação Problema 01
4º PASSO – Estaticidade externa da treliça
𝐸𝑒 = 𝑟 − 3
𝑟 = 3 𝑟𝑒𝑎çõ𝑒𝑠
𝐸𝑒 = 3 − 3 = 0
𝐸𝑒 = 0 ➔ externamente ISOSTÁTICA
Fonte: SANTOS (2018)
Método de Ritter
(método das seções)
Método de 
equilíbrio dos nós
Método de Ritter
• O que garante a estabilidade de uma seção qualquer de uma treliça??
• Esforços a esquerda = esforços a direita
• Cálculo de esforços internos (forças axiais) de barras de interesse;
• Secção da treliça em duas partes – corte passa pela barra de interesse 
e, no máximo, mais duas (não concorrentes e não paralelas).
Fonte: SANTOS 2018
Método de Ritter (seção)
Fonte: do Autor
• “Cortar” a treliça
• Adicionar as forças de 
equilíbrio
• Decomposição vetorial
• Calcular as forças∑Fh=0;∑Fv=0 e ∑M=0
Método de Ritter – Roteiro de cálculo
1 - Determinar as reações;
2 – “cortar” a treliça, passando pela barra de interesse, lembrando das regras;
3 - Força normal nas barras, decomposição de vetores força; 
4 - Determinar os valores dos vetores por Equações de Equilíbrio;
5 - Verificar os sentidos dos vetores com relação aos nós
para definir tração ou compressão.
CALCULE AS REAÇÕES DE APOIO DA TRELIÇA ABAIXO.
Exercício Exemplo – Reações de Apoio
∑ML=0->-18*(16)-18*(12)-18*(8)-18*(4)+18*4+VG*(20)=0 
VG= 648/20= 32,4 kN
Exercício Exemplo – Reações de Apoio
32,4 kN 75,6 kN
∑FV=0->
-18*6+32,4+VL=0
VL=75,6 kN
32,4 kN 75,6 kN
N9
N12
N11
Exercício Exemplo – Método de Ritter
CALCULE OS ESFORÇOS NORMAIS N9, N11 E N12 DA TRELIÇA, 
APARTIR DAS REAÇÕES DE APOIO.
32,4 kN
N9
N12
N11
∑Fv=0
-18-18+32,4+N11=0
N11=3,6kN
∑MJ=0
+18.8+18.4-32,4.12-N9.2,5=0
216-388,8=2,5.N9
N9=-172,8/2,5=-69,11kN
∑Fh=0
+N9+N12=0
-69,11+N12=0-> N12=69,11kN
Método de equilíbrio dos nós
• Método de Ritter aplicado a um único nó
• Análise é realizada a partir do diagrama de corpo livre de cada nó da treliça;
• Válidas as equações de equilíbrio em cada nó:
Ʃ𝐹𝑉 = 0
Ʃ𝐹𝐻 = 0
Fonte: adaptado de SANTOS 2018
Método de equilíbrio dos nós
• Decomposição Vetorial das forças e Equilíbrio do nó
• Ʃ𝐹𝑉 = 0 = 𝑁1 − 𝑁2. 𝑠𝑒𝑛𝛼 − 𝑁3. 𝑠𝑒𝑛𝛼
• Ʃ𝐹𝐻 = 0 = −𝑁5 + 𝑁4 + 𝑁3. 𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝑁2𝑐𝑜𝑠𝛼
• Aplica-se em todos
os nós de treliça
Fonte: adaptado de SANTOS 2018
𝑁1
𝑁2
𝑁3
𝑁4𝑁5
Método de equilíbrio dos nós – Roteiro de cálculo
1 – Escolher o nó a se analisar
2 – “cortar” ao redor do nó
3 - Força normal nas barras, decomposição de vetores força; 
4 - Determinar os valores dos vetores;
5 - Comparar os sentidos dos vetores com relação 
aos nós para definir tração ou compressão.
(se adotar p/fora -> + tração e – compressão)
Exercício Exemplo – Equilíbrio dos Pontos
32,4 kN 75,6 kN
CALCULE OS ESFORÇOS NORMAIS APARTIR DO EQUILÍBRIO 
DOS PONTOS
Exercício Exemplo – Equilíbrio dos Pontos
N2
N1
VG
x
y
𝛼
EQUILÍBRIO NÓ G
∑Fy=0
+N2.sen α +Vg=0
N2.(0,530) +32,4=0 
->N2=-61,13kN (compressão)
α = 32°
sen α =0,530
cos α =0,848
∑Fx=0
N2.cos α+N1=0
N1.0,848+N1=0 -> N1= -(-61,13)*0,848=+51,84kN
Exercício Exemplo – Equilíbrio dos Pontos
EQUILÍBRIO NÓ A
∑Fy=0
-N2.sen α –N3-18=0
-(-61,13).0,530 –N3-18=0 ->N3=14,40kN
α = 32°
sen α =0,530
cos α =0,848
N2=-61,13kN
N4
N3
x
y
𝛼
∑Fx=0
-N2.cos α+N4=0
-N2.0,848+N4=0->N4= -61,13*0,848=-51,84kN
Exercício Exemplo – Esforços Normais
Estágio em uma 
empresa: Esforços 
internos de uma 
treliça
Situação Problema 02
• SP-2: Determinar o valor do esforço ao qual a barra E-F da treliça abaixo 
está sujeita
Fonte: SANTOS (2018)
1º PASSO – Calcular as reações nos apoios
Ʃ𝑀𝐴 = 0
𝑀𝐴 = 𝑅𝐵 ∙ 12 − 4 × 2 ∙ 4 × 4 ∙ 4 × 6 ∙
(4 × 8) ∙ (4 × 10) ∙ (4 × 12) = 0
𝑅𝐵 ∙ 12 = 8 + 16 + 24 + 32 + 40 + 48 . : 𝑅𝐵 =
168
12
= 𝟏𝟒 𝒌𝑵
Ʃ𝐹𝑉 = 0
𝐹𝑉 = 𝑅𝐴 + 14 − 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 0
𝑅𝐴 + 14 − 28 = 0 .: 𝑅𝐴 = 𝟏𝟒 𝒌𝑵
Resolvendo a Situação Problema 02
Fonte:SANTOS (2018)
2º E 3º PASSOS – Seccionar a treliça e transformar as barras em vetores
Resolvendo a Situação Problema 02
Fonte: SANTOS (2018)
4º PASSO – Determinar os valores dos vetores
Ʃ𝑀𝐾 = 0
Ʃ𝑀𝐾 = 14 ∙ 4 − 𝐸𝐹𝑋 ∙ 2 − 4 ∙ 2 − 4 ∙ 4 = 0
𝐸𝐹𝑋 ∙ 2 = 56 − 8 − 16 .: 𝐸𝐹𝑋 =
32
2
= 𝟏𝟔 𝒌𝑵
tan 𝛼 =
1,0
2,0
; 𝛼 = tan−1 0,5 = 26,56°
𝐸𝐹𝑋 = 𝐸𝐹 ∙ cos 𝛼; 16 = 𝐸𝐹 ∙ cos 26,56
𝐸𝐹 =
16
0,894
= 𝟏𝟕, 𝟖𝟗 𝒌𝑵
Resolvendo a Situação Problema 02
Fonte: SANTOS (2018)
Treliças complexas
Treliças espaciais
Treliças complexas
• São estaticamente determinadas – atendem à condição b = 2n – r;
• Não é possível aplicar Método de Ritter ou dos Nós;
• Método de Henneberg - Método Geral de Resolução de Treliças 
Complexas. 
Fonte: SANTOS (2018)
Treliças complexas – Método de Henneberg
• Substituição de treliça complexa por treliça 
simples e superposição de esforços;
• Mudança de posição de 1 ou 2 barras da treliça 
complexa, sem alterar a estaticidade inicial. 
• Barras deslocadas possuem ação nula sobre o 
nó de sua nova posição.
• Inserção das forças X1 e X2 no lugar das barras 
deslocadas.
Treliças complexas – Método de Henneberg
1 - Simplificação da treliça;
2 – Barras de ação nulo;
3 – Esforços X1 e X2
Fonte: SANTOS (2018)
https://kroton-my.sharepoint.com/:f:/g/personal/gabriel_caviglione_anhanguera_com/EnRyXxkhI_FBkf1Y5TQFve8Ba0phF9LRGUyiN3O16iiUiw?e=B0cRzA
Treliças Espaciais
• Formadas pela união dos nós, que formam reticulados tridimensionais; 
Fonte: https://goo.gl/4RP3e8 e SANTOS (2018)
Treliças Espaciais
• Por serem elementos tridimensionais, é necessário considerar 
situação tridimensional para cálculo de reações de apoio.
Fonte: SANTOS (2018)
Treliças Espaciais - Estaticidade
Como avaliar a estaticidade de treliças espaciais? Quais as 
diferenças e semelhanças com relação as treliças planas?
• 𝑏 + 𝑟 < 3𝑛 ➔ estaticamente instável
(HIPOSTÁTICA)
• 𝑏 + 𝑟 = 3𝑛 ➔ estaticamente determinada 
(ISOSTÁTICA)
• 𝑏 + 𝑟 > 3𝑛 ➔ estaticamente indeterminada 
(HIPERESTÁTICA)
Fonte: https://bit.ly/2JwjgSo
Situação Problema 03
• SP-3: Verificar a estaticidade de uma torre para caixa d’água
Fonte: SANTOS (2018)
Estaticidade de treliça tridimensional
𝑏 + 𝑟 = 3𝑛➔ treliça é ISOSTÁTICA
Resolvendo a Situação Problema 03
Fonte: SANTOS (2018)
3𝑛 = 3 ∙ 9 = 𝟐𝟕
𝑏 + 𝑟 = 21 + 6 = 𝟐𝟕
Recapitulando [...]
Recapitulando ...
• Estabilidade de Treliças
• Estaticidade: global; interna e externa
𝑬𝒈 = 𝒓 + 𝒃 − 𝟐𝒏 (Global)
𝑬𝒊 = 𝒃 − (𝟐𝒏 − 𝟑) (Interna)
𝑬𝒆 = 𝒓 −3 (externa)
Recapitulando ...
• Método de Ritter
• Método de equilíbrio dos nós
• 1 – Escolher o ou seção a se analisar
• 2 – “cortar” a estrutura, transformando as 
barras em vetores 
• 3 - Força normal nas barras, 
• 4 - Determinar os valores dos vetores;
• 5 – Verificar o sentido dos vetores e 
classificar em compressão ou tração
Recapitulando ...
• Treliças Complexas
• Treliças Espaciais
• Método de Método de Henneberg
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	Slide 2
	Slide 3: Contextualização da teleaula
	Slide 4: Contextualização da teleaula
	Slide 5
	Slide 6: Treliças
	Slide 7
	Slide 8
	Slide 9
	Slide 10: Estabilidade de treliças
	Slide 11: Estaticidade de treliças
	Slide 12: Estaticidade global
	Slide 13: Estaticidade interna
	Slide 14: Estaticidade externa
	Slide 15: Situação Problema 01
	Slide 16: Resolvendo a Situação Problema 01
	Slide 17: Resolvendo a Situação Problema 01
	Slide 18: Resolvendo a Situação Problema 01
	Slide 19: Resolvendo a Situação Problema 01
	Slide 20
	Slide 21: Método de Ritter
	Slide 22: Método de Ritter (seção)
	Slide 23: Método de Ritter – Roteiro de cálculo
	Slide 24: Exercício Exemplo – Reações de Apoio
	Slide 25: Exercício Exemplo – Reações de Apoio
	Slide 26: Exercício Exemplo – Método de Ritter
	Slide 27
	Slide 28: Método de equilíbrio dos nós
	Slide 29: Método de equilíbrio dos nós
	Slide 30: Método de equilíbrio dos nós – Roteiro de cálculo
	Slide 31: Exercício Exemplo – Equilíbrio dos Pontos
	Slide 32: Exercício Exemplo – Equilíbrio dos Pontos
	Slide 33: Exercício Exemplo – Equilíbrio dos Pontos
	Slide 34: Exercício Exemplo – Esforços Normais
	Slide 35
	Slide 36: Situação Problema 02
	Slide 37: Resolvendo a Situação Problema 02
	Slide 38: Resolvendo a Situação Problema 02
	Slide 39: Resolvendo a Situação Problema 02
	Slide 40
	Slide 41: Treliças complexas
	Slide 42: Treliças complexas – Método de Henneberg
	Slide 43: Treliças complexas – Método de Henneberg
	Slide 44: Treliças Espaciais
	Slide 45: Treliças Espaciais
	Slide 46: Treliças Espaciais - Estaticidade
	Slide 47: Situação Problema 03
	Slide 48: Resolvendo a Situação Problema 03
	Slide 49
	Slide 50: Recapitulando ...
	Slide 51: Recapitulando ...
	Slide 52: Recapitulando ...
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