Apostila Nova Concursos Epcar-190-192

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MATEMÁTICA
4. Usando uma equação, determine a medida de cada 
ângulo do triângulo:
a) Quanto mede a soma dos ângulos de um quadrado?
5. Dois ângulos são complementares tais que o triplo 
de um deles é igual ao dobro do outro. Determine o suple-
mento do menor.
6. A metade de um ângulo menos a quinta parte de seu 
complemento mede 38 graus. Qual é esse angulo?
7. Cinco semi-retas partem de um mesmo ponto V, for-
mando cinco ângulos que cobrem todo o plano e são pro-
porcionais aos números 2, 3, 4, 5 e 6. Calcule o maior dos 
ângulos.
8. Na figura, o ângulo x mede a sexta parte do ângulo 
y, mais a metade do ângulo z. Calcule y.
9. Observe a figura abaixo e determine o valor de m e 
n.
10. Determine o valor de a na figura seguinte:
Respostas
1) Resposta
a) 55˚
b) 74˚
c) 33˚
2) Resposta “130”.
Solução: Imagine uma linha cortando o ângulo î, for-
mando uma linha paralela às retas “a” e “b”.
Fica então decomposto nos ângulos ê e ô.
Sendo assim, ê = 80° e ô = 50°, pois o ângulo ô é igual 
ao complemento de 130° na reta b.
Logo, î = 80° + 50° = 130°.
3) Solução:
a) 160° - 3x = x + 100° 
160° - 100° = x + 3x 
60° = 4x 
x = 60°/4 
x = 15° 
Então 15°+100° = 115° e 160°-3*15° = 115°
b) 6x + 15° + 2x + 5º = 180°
6x + 2x = 180° -15° - 5°
8x = 160°
x = 160°/8
x = 20°
Então, 6*20°+15° = 135° e 2*20°+5° = 45°
c) Sabemos que a figura tem 90°.
Então x + (x + 10°) + (x + 20°) + (x + 20°) = 90°
4x + 50° = 90°
4x = 40°
x = 40°/4
x = 10°
d) Sabemos que os ângulos laranja + verde formam 
180°, pois são exatamente a metade de um círculo.
Então, 138° + x = 180°
x = 180° - 138°
x = 42°
Logo, o ângulo x mede 42°.
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MATEMÁTICA
4) Solução: Sabemos que a soma dos ângulos do triân-
gulo é 180°.
Então, 6x + 4x + 2x = 180°
12x = 180°
x = 180°/12
x = 15°
Os ângulos são: 30° 60° e 90°.
a) Um quadrado tem quatro ângulos de 90º, e, portan-
to a soma deles vale 360º.
5) Resposta “144˚”.
Solução: 
- dois ângulos são complementares, então a + b = 90º
- o triplo de um é igual ao dobro do outro, então 3a 
= 2b
É um sistema de equações do 1º grau. Se fizermos a = 
2b/3, substituímos na primeira equação:
2b/3 + b = 90
5b/3 = 90
b = 3/5 * 90
b = 54 → a = 90 – 54 = 36º
Como a é o menor ângulo, o suplemento de 36 é 180-
36 = 144º.
6) Resposta “80˚”.
Solução: (a metade de um ângulo) menos seu a [quinta 
parte] de seu [complemento] mede 38º.
[a/2] – [1/5] [(90-a)] = 38
a/2 – 90/5 + a/5 = 38
a/2 + a/5 = 38 + 90/5
7a/10 = 38 + 18
a = 10/7 * 56
a = 80º
7) Resposta “180˚”.
Solução: Seja x a constante de proporcionalidade, te-
mos para os ângulos: a, b, c, d, e…, a seguinte proporção 
com os números 2, 3, 4, 5 e 6:
a/2 = x → a = 2x
b/3 = x → b = 3x
c/4 = x → c = 4x
d/5 = x → d = 5x
e/6 = x → e = 6x
Assim as semi-retas: a + b + c + d + e = 2x + 3x + 4x 
+ 5x + 6x = 360º
Agora a soma das retas: 20x
Então: 20x = 360º → x = 360°/20
x = 18°
Agora sabemos que o maior é 6x, então 6 . 18° = 108°.
8) Resposta “135˚”.
Solução: Na figura, o ângulo x mede a sexta parte do 
ângulo y, mais a metade do ângulo z. Calcule y.
Então vale lembrar que:
x + y = 180 então y = 180 – x.
E também como x e z são opostos pelo vértice, x = z
E de acordo com a figura: o ângulo x mede a sexta 
parte do ângulo y, mais a metade do ângulo z. Calcule y.
x = y/6 + z/2
Agora vamos substituir lembrando que y = 180 - x e x 
= z
Então:
x = 180° - x/6 + x/2 agora resolvendo fatoração:
6x = 180°- x + 3x | 6x = 180° + 2x
6x – 2x = 180°
4x = 180°
x=180°/4
x=45º
Agora achar y, sabendo que y = 180° - x
y=180º - 45°
y=135°.
9) Resposta “11º; 159º”.
Solução: 
3m - 12º e m + 10º, são ângulos opostos pelo vérti-
ce logo são iguais.
3m - 12º = m + 10º
3m - m = 10º + 12º
2m = 22º
m = 22º/2
m = 11º
m + 10º e n são ângulos suplementares logo a soma 
entre eles é igual a 180º.
(m + 10º) + n = 180º
(11º + 10º) + n = 180º
21º + n = 180º
n = 180º - 21º
n = 159º
Resposta: m = 11º e n = 159º.
10) Resposta “45˚”.
É um ângulo oposto pelo vértice, logo, são ângulos 
iguais.
Triângulos
Triângulo é um polígono de três lados. É o polígono 
que possui o menor número de lados. Talvez seja o polí-
gono mais importante que existe. Todo triângulo possui al-
guns elementos e os principais são: vértices, lados, ângulos, 
alturas, medianas e bissetrizes.
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MATEMÁTICA
Apresentaremos agora alguns objetos com detalhes 
sobre os mesmos.
1. Vértices: A,B,C.
2. Lados: AB,BC e AC.
3. Ângulos internos: a, b e c.
Altura: É um segmento de reta traçada a partir de um 
vértice de forma a encontrar o lado oposto ao vértice for-
mando um ângulo reto. BH é uma altura do triângulo.
Mediana: É o segmento que une um vértice ao ponto 
médio do lado oposto. BM é uma mediana.
Bissetriz: É a semi-reta que divide um ângulo em duas 
partes iguais. O ângulo B está dividido ao meio e neste 
caso Ê = Ô.
Ângulo Interno: É formado por dois lados do triângulo. 
Todo triângulo possui três ângulos internos.
Ângulo Externo: É formado por um dos lados do triân-
gulo e pelo prolongamento do lado adjacente (ao lado).
Classificação dos triângulos quanto ao 
número de lados
Triângulo Equilátero: Os três lados têm medidas 
iguais. m(AB) = m(BC) = m(CA)
Triângulo Isóscele: Pelo menos dois lados têm medi-
das iguais. m(AB) = m(AC).
Triângulo Escaleno: Todos os três lados têm medidas 
diferentes.
Classificação dos triângulos quanto às 
medidas dos ângulos
Triângulo Acutângulo: Todos os ângulos internos são 
agudos, isto é, as medidas dos ângulos são menores do 
que 90º.
Triângulo Obtusângulo: Um ângulo interno é obtuso, 
isto é, possui um ângulo com medida maior do que 90º.
Triângulo Retângulo: Possui um ângulo interno reto 
(90 graus).