Ângulos na Circunferência

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Ângulos na Circuferência Matemática 2
Aula 10
Matemática 2 - Aula 10 - Ângulos na Circuferência 65
+
1. Ângulo Central
A medida de um ângulo central é igual à medida de 
seu arco correspondente.
2. Ângulo Inscrito
A medido de um ângulo inscrito é igual a metade do 
arco “que ele enxerga”.
Demonstração:
1°) Ligando o centro a uma extremidade do arco, 
temos um triângulo isósceles;
2°) Pelo Teorema do ângulo externo temos que o 
ângulo central vale 2α.
A. Arco capaz
Dois ângulos inscritos em uma mesma circuferência, 
com o esmo arco correspondente, tem medidas 
iguais.
B. Triângulo retângulo
Todo triângulo inscrito em uma semicircuferência é 
retângulo.
C. Quadrilátero inscrito
Todo quadrilátero inscrito em uma circuferência tem 
ângulos opostos suplementares.
D. Ângulo de Segmento
Todo ângulo de segmento é um ângulo inscrito, assim 
vale metade do “arco que enxerga”. Porém nesse caso 
o arco é determinado a partir dedo vértice do ângulo
Agudo
Matemática 2 - Aula 10 - Ângulos na Circuferência66
Reto
Obtuso
3. Ângulo Excêntrico
A. Interior
SOMA OS
ARCOS
2
NM +
=a
A medida de um ângulo de vértice interno é igual 
à metade da soma das medidas dos seus arcos 
correspondentes.
B. Exterior
SUBTRAE 
OS ARCOS
2
NM −
=a
A medida de um ângulo de vértice externo é igual 
à metade da diferença das medidas dos seus arcos 
correspondentes.
Exercícios Matemática 2
Aula 10
Matemática 2 - Aula 10 - Ângulos na Circuferência 67
1. PUC-SP
Na figura, AB é diâmetro da circuferência. O menor 
dos arcos, AC, mede:
a) 100o
b) 120o
c) 140o
d) 150o
e) 160o
2. Unifenas-MG
O quadrilátero ABCD está inscrito em uma 
circuferência e o ângulo ABC mede 108o. A medida 
do ângulo CDA é igual a:
a) 22o
b) 36o
c) 72o
d) 92o
e) 108o
Matemática 2 - Aula 10 - Ângulos na Circuferência68
3. Mackenzie-SP
Na figura, as circuferências tem o mesmo centro O e 
os menores arcos, AB e EF, são tais que AB=EF=40o.
A medida do menor arco, CD, é:
a) 50o
b) 70o
c) 65o
d) 60o
e) 80o
4. UCSal-BA
Na figura abaixo, o triângulo ABC é isósceles e BD 
é a bissetriz do ângulo de vértice B. A medida q, do 
ângulo assinalado, é:
a) 55o
b) 50o
c) 45o
d) 40o
e) 35o
Exercícios Matemática 2
Aula 10
Matemática 2 - Aula 10 - Ângulos na Circuferência 69
Básico
1. Unimep-SP
Na figura, o ângulo a é igual a:
a) 95o
b) 120o
c) 115o
d) 85o
e) 105o
2. UFV - MG
Qual é o valor do ângulo a na figura?
a) 55o
b) 65o
c) 35o
d) 110o
e) 130o
3. Cesgranrio-RJ
Em um círculo de centro O, está inscrito o ângulo a 
(ver figura). Se o arco AMB mede 130o, o ângulo a 
mede:
a) 25o
b) 30o
c) 40o
d) 45o
e) 50o
4. UFPE
Na figura abaixo, o triângulo ABC está inscrito na 
circuferência de centgro O e AB é um diâmetro. 
Indique o valor do ângulo a, em graus.
5. Cesgranrio-RJ
Um quadrilátero está inscrito em um círculo. A soma, 
em radianos, dos ângulos a e b da figura é:
a) 
p
4
 
b) 
p
2
c) p
d) 3p
2
e) 2p
6. Unifenas-MG
O quadrilátero ABCD está inscrito em uma 
circuferência e o ângulo ABC mede 108o. A medida 
do ângulo CDA é igual a:
a) 22o
b) 36o
c) 72o
d) 92o
e) 108o
Propostos
Matemática 2 - Aula 10 - Ângulos na Circuferência70
7. PUC-SP
O ângulo x da figura mede:
a) 60o
b) 80o
c) 90o
d) 100o
e) 120o
8. 
Dado um pentágono regular ABCDE, constrói-se uma 
circuferência pelos vértices Be E de tal forma que BC 
e ED sejam tangentes a essa circuferência, em B e 
E, respectivamente. A medida menor do arco BE na 
circuferência construída é:
a) 72o
b) 108o
c) 120o
d) 135o
e) 144o
Aprofundamento
9. FCV-SP
A medida do ângulo ADC inscrito na circuferência de 
centro O é:
a) 125o
b) 110o
c) 120o
d) 100o
e) 135o
10. UEM-PR
Considere ABC um triângulo inscrito em uma 
semicircuferência de diâmetro BC, cuja medida do 
ângulo C é 20o. Determine a medida, em graus, do 
ângulo formado pela altura e pela mediana relativas 
à hipotenusa.
11. PUC-SP
O pentágono ABCDE da figura seguinte está inscrito 
em um círculo de centro O. O ângulo central COD 
mede 60o. Então, x+y é igual a:
a) 180o
b) 185o
c) 190o
d) 210o
e) 250o
12. Unesp
Os pontos A, B, C, D, E e F pertencem à circuferência. 
O valor de a é:
a) 60o
b) 50o
c) 45o
d) 40o
e) 35o
Matemática 2 - Aula 10 - Ângulos na Circuferência 71
. Fuvest-SP
Os pontos A, B e C pertencem a uma circuferência 
de centro O. Sabe-se que OA é perpendicular a OB e 
forma com BC um ângulo de 70o. Então, a tangente à 
circuferência no ponto C forma, com a reta OA, um 
ângulo de:
a) 10o
b) 20o
c) 30o
d) 40o
e) 50o
13. Fuvest-SP
Na figura abaixo, o lado BC do triângulo é congruente 
ao raio da circuferência. Qual a medida do ângulo 
BAC?
a) 30o
b) 40o
c) 35o
d) 45o
e) 50o
14. ITA-SP
Numa circuferência, increveu-se um quadrilátero 
convexo ABCD tal que ABC = 70o. Se x=ACB + BDC, 
então x é igual a:
a) 120o
b) 110o
c) 100o
d) 90o
e) 80o
15. Unesp
Em um quadrilátero ABCD tem-se Ab=AC=AD, 
conforme a figura abaixo. Sabe-se que o ângulo BAC 
mede 20o. Então, o ângulo BDC mede:
a) 5o
b) 10o
c) 15o
d) 20o
e) 40o
Matemática 2 - Aula 10 - Ângulos na Circuferência72
Gabarito - Exercícios Propostos
1-a 2-a 3-a 4-37o 5-c 6-c 7-b
8-e 9-a 10-50o 11-d 12-b 13-a 14-b 
15-b -d